Технические требования - Лаборатория ITLab

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Учебно-исследовательская лаборатория «Математические и
программные технологии для современных компьютерных систем
(Информационные технологии)»
Образовательный комплекс
«Основы прикладной теории вероятностей и
статистики»
Описание требований
Нижний Новгород
2003
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
Авторский коллектив
Руководитель - д.ф.-м.н., проф. Федоткин М.А.
Ответственный исполнитель - д.ф.-м.н., проф. Федоткин М.А.
Главный разработчик - асс. Зорин А.В.
Разработчик - студентка магистратуры ф-та ВМК Загускина Е.В.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
2
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
Содержание
Авторский коллектив ..................................................................................... 2
Цели и задачи образовательного комплекса ............................................ 4
Области применения и возможности использования ............................. 4
Планируемые результаты ............................................................................ 4
Обоснование необходимости разработки образовательного комплекса 5
Характеристика состояния области ........................................................................... 5
Имеющийся задел коллектива ................................................................................... 6
Новизна предлагаемого комплекса............................................................................ 6
Технические требования ............................................................................... 6
Требования к учебнику ............................................................................................... 6
Требования к лабораторному практикуму ................................................................ 7
Требования к презентации.......................................................................................... 7
Условия эксплуатации ................................................................................................ 7
Среда разработки ......................................................................................................... 7
Сроки и этапы работы ................................................................................... 7
Краткая программа курса .............................................................................. 9
План лабораторного практикума ............................................................... 12
Свойства частот и вероятностей. ............................................................................. 11
Моделирование случайных величин ....................................................................... 11
Проверка гипотез о виде распределения ................................................................ 11
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
3
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
Цели и задачи образовательного комплекса

Изучение основ современной
математической статистики.

Знакомство с методами построения и анализа адекватных стохастических
моделей реальных процессов и явлений простейшего типа.

Развитие интуиции вероятностно-статистического мировоззрения на мир.

Критическое знакомство с решениями конкретных задач с целью усвоения
основных понятий, положений и идей прикладной теории вероятностей и
математической статистики.

Развитие навыков и умения имитационного моделирования простейших
ситуаций стохастического характера путем выполнения лабораторного
практикума.
прикладной
теории
вероятностей
и
Области применения и возможности использования
Образовательный комплекс рассчитан на широкий круг преподавателей, научных
работников и инженеров, аспирантов, магистров и студентов, которым
приходится пользоваться вероятностно-статистическими методами в прикладных
и теоретических исследованиях. Это определило его структуру и изложение на
основе подхода А.Н. Колмогорова с минимально возможным применением
теории меры и функционального анализа. В силу этого настоящий
образовательный комплекс по основам прикладной теории вероятностей и
математической статистике значительно отличается от традиционных, так как
содержит большое число конкретных задач с подробным решением.
Планируемые результаты
В комплект поставки образовательного комплекса входят:

учебный план и программа курса,

учебный план лабораторного практикума,

электронный учебник,

руководство пользователя по использованию программного комплекса для
выполнения лабораторного практикума,

презентация образовательного комплекса.
Учебник и лабораторный практикум могут поставляться и использоваться как
независимые компоненты.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
4
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
Обоснование необходимости разработки
образовательного комплекса
Характеристика состояния области
Широкий и всевозрастающий интерес за последнее десятилетие к теории
вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и к
применению вероятностно-статистических методов в самых разнообразных
областях науки, техники, производства и экономики объясняется следующими
двумя основными причинами.
1. Увеличением чувствительности современных измерительных, приемных и
управляющих устройств. Вследствие чего случайные отклонения количественных
характеристик таких устройств от их средних значений играют все более
существенную роль. Отказ от изучения роли стохастических отклонений и
случайных механизмов очень часто приводит к авариям атомных реакторов,
разрушению мостов, плотин, промышленных сооружений и гражданских зданий,
поломкам самолетов и кораблей, транспортным катастрофам, выпуску
некачественной и ненадежной продукции, экономическим и природным
катаклизмам и т. п.
2. Развитием современных средств вычислительной микропроцессорной техники,
когда появилась реальная возможность хранения, поиска и обработки больших
массивов вероятностно-статистической информации о реальных объектах.
Используя
мощные
компьютеры,
прикладная
теория
вероятностей,
математическая статистика и теория случайных процессов дают более широкую
концепцию причинных связей между реальными процессами, позволяют найти
закономерности природы там, где детерминированный подход оказывается
бессильным. Например, в теории ошибок разного рода измерений, в
молекулярной и статистической физике, в биологии, в рыночной экономике, в
телефонии и процессах обслуживания, в процессах адаптивного управления и
принятия решений, в управлении конфликтными транспортными потоками на
магистралях крупных городов и т. д.
Кроме того, существуют современные статистические пакеты. Такого рода
пакеты, обладая богатым пользовательским интерфейсом, позволяют
непосредственно использовать методы прикладной теории вероятностей,
статистики и теории случайных процессов для изучения разнообразных свойств
реальных экспериментов. В настоящее время в нашей стране и за рубежом
широко ведутся интенсивные компьютерные разработки универсальных
статистических пакетов, которые имитируют функционирование разнообразных
реальных систем.
В силу вышесказанного не вызывает сомнения целесообразность введения курса
по основам прикладной теории вероятностей и математической статистике в
учебные планы естественнонаучных и технических специальностей вузов.
Имеющаяся учебная литература и образовательные программы либо посвящены
математическим аспектам теории вероятностей и математической статистике с
использованием всех разделов теории меры и функционального анализа, либо
рассчитаны целиком на прикладников и поэтому не могут быть использованы как
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
5
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
средства построения и изучения вероятностных моделей реальных
экспериментов. К сожалению, на сегодня нет удовлетворительных
образовательных комплексов, которые на основе необходимого и строгого
математического обоснования обучают
студентов естественнонаучных
специальностей с различной математической подготовкой приемам и методам
построения и анализа вероятностных моделей реальных процессов и явлений.
Разрабатываемый образовательный комплекс должен в какой-то мере восполнить
этот существенный на данный момент недостаток.
Имеющийся задел коллектива
Данный комплекс разработан на основе общих лекционных курсов по теории
вероятностей и математической статистике, которые на протяжении ряда лет его
руководитель читал и читает студентам различных факультетов Нижегородского
государственного университета им. Н.И. Лобачевского. В зависимости от
специальностей студентов (прикладная математика и информатика, прикладная
информатика, прикладная физика, экономика, социология) этот курс преподается
в течение трех, двух, одного семестров, сопровождается практикой и
лабораторными работами. По этим курсам имеются методические пособия и
описания большого числа лабораторных работ. Творческий коллектив состоит из
специалистов в области теории вероятностей, математической статистики, теории
управляемых случайных процессов, имитационного моделирования.
Новизна предлагаемого комплекса
Разрабатываемый комплекс предназначен, прежде всего, для будущих
специалистов в области изучения, оптимизации и синтеза статистически
устойчивых случайных экспериментов. Поэтому курс начинается с методов
построения теоретико-множественной и вероятностной модели такого рода
сложных экспериментов. При этом основное внимание уделяется: проблеме
классификации реальных экспериментов и их заданию, интуитивным понятиям
допустимых, элементарных и наблюдаемых исходов, качественным и
количественным признакам статистически устойчивых экспериментов, вопросу
статистической зависимости и ее математической формализации.
Образовательный комплекс включает двухсеместровый курс лекций и
лабораторный практикум, рассчитан на студентов с различной математической
подготовкой и позволяет приобрести навыки построения и изучения
вероятностных моделей реальных случайных экспериментов с использованием
компьютерной технологии.
Технические требования
Требования к учебнику
Текст учебника должен содержать весь учебный материал разрабатываемого
курса и контрольные задачи и вопросы с решениями. В учебнике должны быть
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
6
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
предусмотрены примеры и упражнения, которые можно выполнить с помощью
лабораторного практикума.
Учебник должен быть подготовлен в формате Microsoft Word. Учебник должен
содержать необходимые иллюстрации.
Требования к лабораторному практикуму
Лабораторный практикум позволяет реализовать некоторые приемы, методы и
алгоритмы, приведенные в электронном учебнике.
Лабораторный практикум представляет собой стандартное оконное приложение с
меню и панелью инструментов и обеспечивает удобный пользовательский
интерфейс, позволяющий в диалоговом режиме задавать исходные данные
решаемой задачи и сохранять результаты в файле. Лабораторный практикум
снабжен необходимой справочной системой, которая описывает его
функциональные возможности и пользовательский интерфейс.
Требования к презентации
Данный документ представляет собой презентацию Microsoft PowerPoint и
содержит в иллюстративной форме общее описание функциональных
возможностей образовательного модуля и его достоинств. Презентация может
использоваться для представления и рекламы образовательного комплекса.
Условия эксплуатации
Разрабатываемый образовательный комплекс функционирует под управлением
операционных систем Windows 95 или Windows NT и выше на персональной
ЭВМ типа IBM PC с процессором класса не ниже Pentium.
Среда разработки
Учебник, описание алгоритмов,
пользовательская документация
Microsoft Word, Acrobat Reader
Лабораторный практикум
C++Builder
Презентация
Microsoft PowerPoint
Сроки и этапы работы
№
1.
Этап
Анализ
требований
Результаты

Пояснительная записка

Техническое задание
Срок
30.05.2003
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
7
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
2.
3.
4.
Разработка
эскизного
проекта
Подготовка
рабочего
проекта
Апробация
курса

Краткая программа курса

План лабораторного практикума

Презентация
Эскизные варианты:

электронного учебника,

лабораторного практикума,

презентации курса
Рабочие варианты:

электронного учебника,

лабораторного практикума,

презентации курса,

руководства пользователя,

справочного руководства
Предложения по развитию и
совершенствованию курса
15.10.2003
15.12.2003
31.12.2003
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
8
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
Приложение
Краткая программа курса
Лекции: 68 ч.
Лабораторные работы: 16 ч.
1. Основные понятия теории вероятностей и теоретико-множественная модель
случайных экспериментов. 6 ч.
1.1. Предмет теории вероятностей и математической статистики. Краткий
исторический очерк теории вероятностей. Реальные эксперименты, их
задание и классификация. Аксиомы выбора элементарных исходов
статистически устойчивых экспериментов. Соотношения и теоретикомножественные операции между случайными событиями.
1.2. Допустимые и наблюдаемые события статистически устойчивых
экспериментов. Наименьшая -алгебра эволюционных экспериментов.
Методы построения теоретико-множественных моделей случайных
экспериментов.
2. Вероятностная модель априорных экспериментов. 6 ч.
2.1. Субъективный способ измерения случайных событий. Основные
ограничения при назначении субъективных вероятностей. Статистическая
устойчивость эксперимента и свойства относительных частот его исходов.
Аксиоматический подход Колмогорова к построению вероятностных
моделей априорных экспериментов. Общие свойства вероятностной
функции Колмогорова
2.2. Определение вероятности для классических опытов с дискретным и
непрерывным множеством элементарных исходов.
2.3. Статистическая устойчивость эксперимента и свойства относительных
частот его исходов. Аксиоматический подход Колмогорова к построению
вероятностных моделей априорных экспериментов.
2.4. Общие свойства вероятностной функции Колмогорова.
3. Унифицированная и
экспериментов. 6 ч.
локализованная
вероятностные
модели
условных
3.1. Интуитивное понятие о причинно-независимых исходах и экспериментах.
Зависимость между случайными событиями и задание условных
экспериментов. Методы построения вероятностных моделей условных
экспериментов.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
9
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
3.2. Связь условных и априорных вероятностей. Математическое описание
независимости случайных событий и его фундаментальная роль в теории
вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса.
4. Количественные характеристики
устойчивых экспериментов. 20 ч.
элементарных
исходов
статистически
4.1. Конструктивное задание борелевской -алгебры на действительной
прямой. Фундаментальное значение требования измеримости от
количественных характеристик экспериментов. Одномерные случайные
величины. Свойства функции распределения одномерной случайной
величины. Законы распределения случайных величин и их классификация.
4.2. Семейства случайных величин и их законы распределения. Двумерные
случайные величины.
4.3. Зависимость случайных величин и их условные законы распределения.
Формулы полной вероятности и Байеса для несчетного числа гипотез.
Неслучайные
функции
от
случайных
аргументов.
Числовые
характеристики одномерных случайных величин.
4.4. Некоторые распространенные законы распределения случайных величин.
Последовательность независимых испытаний Бернулли и биномиальная
случайная величина. Локальные и интегральные предельные теоремы в
схеме независимых испытаний Бернулли.
5. Числовые характеристики многомерных случайных величин и элементы
теории корреляции. 4 ч.
5.1. Характеристики положения, статистической зависимости и разброса
многомерных случайных величин. Различные способы измерения
статистической
зависимости
между
случайными
величинами.
Корреляционный момент, коэффициент корреляции и их свойства.
5.2. Условное математическое ожидание. Регрессия случайных величин.
6. Предельные теоремы теории вероятностей. 4 ч.
6.1. Различные типы сходимостей последовательности случайных величин.
Законы больших чисел и их интерпретация с точки зрения интуитивного
понятия о статистической устойчивости экспериментов.
6.2. Центральная предельная теорема А.М. Ляпунова.
7. Прикладная статистика. Выборочные характеристики случайных величин и
точечное оценивание. 6 ч.
7.1. Предмет математической статистики и его связь с фундаментальными
проблемами теории вероятностей. Задачи математической статистики.
Основные
интуитивные
понятия
математической
статистики.
Эмпирические или статистические характеристики случайных величин.
7.2. Точечное оценивание неизвестных параметров законов распределения
случайных величин. Основные требования к оценкам. Критерий
оптимальности оценок и экспоненциальные семейства. Достаточные
статистики. Методы построения точечных оценок для неизвестных
параметров законов распределения случайных величин.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
10
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
8. Интервальное оценивание неизвестных параметров законов распределения
случайных величин. 4 ч.
8.1. Определение доверительного интервала. Построение доверительного
интервала с помощью центральной статистики. Доверительные интервалы
для неизвестного параметра нормального распределения случайной
величины.
8.2. Построение доверительного интервала с использованием точечной
оценки.
9. Проверка статистических гипотез. 8 ч.
9.1. Понятие статистической гипотезы. Основные принципы построения
критериев согласия. Проверка простых гипотез о виде распределения.
Критерии согласия Колмогорова и хи-квадрат. Проверка сложных гипотез
о виде распределения с помощью хи-квадрат Пирсона. Проверка
независимости случайных величин.
9.2. Проверка однородности наблюдений с помощью критерия Смирнова и
критерия хи-квадрат.
9.3. Простые параметрические гипотезы. Проверка простых гипотез о
параметрах распределения Райса.
9.4. Проверка сложных параметрических гипотез. Критерий отношения
правдоподобия и метод максимального правдоподобия.
10. Исследование статистической зависимости между случайными величинами. 4
ч.
10.1. Корреляционный анализ тесноты связи между случайными величинами.
Теснота связи в двумерных нормальных распределениях. Проверка
гипотезы о статистической значимости или об отсутствии
корреляционной связи.
10.2. Однофакторный дисперсионный анализ. Двухфакторный дисперсионный
анализ.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
11
Прикладная теория вероятностей. Техническое задание.
План лабораторного практикума
Практикум состоит из трёх частей:
1. Свойства частот и вероятностей.
2. Моделирование случайных величин.
3. Проверка гипотез о виде распределения.
Свойства частот и вероятностей
1.1.
Способы вычисления вероятностей.
1.2.
Зависимость частоты события от количества проведенных
экспериментов.
1.3.
Отношения включения и несовместности между событиями.
1.4.
Независимость событий.
1.5.
Связь свойств частот и вероятностей.
Моделирование случайных величин
1.6. Имитация реального эксперимента.
1.7. Моделирование случайных величин по их функции распределения.
1.8. Вычисление выборочных характеристик (законов распределения и
числовых характеристик).
1.9. Построение вероятностной модели эксперимента и сравнение
теоретических и выборочных характеристик.
Проверка гипотез о виде распределения
1.10.
Получение значения статистики хи-квадрат по выборочным
значениям случайной величины.
1.11.
Вычисление значений интегральной функции распределения
для хи-квадрат распределения.
1.12.
Принятие статистического решения об отвержении гипотезы на
заданном уровне значимости.
Задания:
1.1. Для конкретного описания эксперимента на содержательном уровне
составить программу, которая моделирует выборку значений
случайной величины и вычисляет ее эмпирические характеристики.
1.2. Составить программу, которая позволяет проверить гипотезу о виде
распределения для полученной выборки.
Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского
12