некоторые понятия теории множеств и математической логики

ТЕМА 1
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
1.Основные понятия.
2.Числовые множества.
Основные понятия
Понятие множества одно из основных математических понятий.
Строго оно не определяется, но его можно пояснить на примерах. Так
можно говорить о множестве всех студентов, находящихся в аудитории,
множестве всех точек данной плоскости, множестве всех решений данного
уравнения. Студенты в аудитории, точки плоскости и решения уравнения
являются элементами соответствующего множества. Теория множеств1
– раздел математики, в котором рассматриваются общие свойства
множеств.
Чтобы
определить
множество
достаточно
указать
характеристическое свойство элементов, т.е. такое свойство, которыми
обладают все элементы данного множества. То, что данный элемент x
принадлежит множеству M , записывают так
xM .
Определение. Если каждый элемент множества A является в то же
время элементом множества B , то множество A называется
подмножеством множества B . Это записывают так:
или
A B
B A .
Определение. Пустое множество это множество, не содержащее
элементов, обладающих характеристическими свойствами элементов
данного множества. Обозначается .
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется
конечным множеством, а если число элементов бесконечно –
бесконечным множеством.
Для множеств введены следующие операции объединения,
пересечения и разности, определяемые следующим образом:
1. Объединением (суммой) двух, трех, вообще произвольного числа
множеств называется множество элементов, каждый из которых
содержится хотя бы в одном из множеств-слагаемых.
B
A
A B
________________
1
Теория множеств как математическая наука возникла в конце 19 века в
трудах немецкого математика Георга Кантора (1845-1918). Ему
принадлежат слова «Множество есть многое, мыслимое как единое».
3
2. Пересечением двух, трех, вообще произвольного числа множеств
называется множество элементов, общих всем данным множествам.
A
B
AB
3. Разностью между множеством A и B называется множество всех
элементов из A , не являющихся элементами множества B . Разность
между множеством A и его пересечением с B называется также
дополнением множества B в множестве A .
B
A
A\ B
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. Коммутативность
A B  B  A , A B  B  A ,
2. Ассоциативность
 A B   С  A   B C  ,  A B   С  A   B C  ,








3. Дистрибутивность
 A B   С


  AС    BC  .
Если для элементов множества введены операции, то множество, в
зависимости от свойств операций, имеет специальное название – группа,
кольцо, поле и др. Эти множества являются предметом изучения общей
алгебры.
Велико влияние теории множеств на развитие современной
математики. Она явилась фундаментом новых математических дисциплин:
теории функций действительного переменного, общей топологии, общей
алгебры, функционального анализа. Теоретико-множественные методы
находят все большее применение и в классических разделах математики.
Это связано с тем, что получаемые с ее помощью общие результаты не
зависят от природы рассматриваемых объектов и при сохранении
заданных отношений (аксиом) между элементами они могут быть
перенесены на любую систему объектов.
Теоретико-множественные методы стимулировали процесс создания
и стандартизации математических символов (знаков)2 – условных
___________________________________
2
Сознательное и планомерное создание математической символики начал
4
обозначений, предназначенных для записи математических понятий и
логических операций. В частности, широко употребляют такие
обозначения логических операций, как кванторы всеобщности  ,
существования  и единственности ! , которые по высказыванию Px 
2
x  2 , x10 ) строят высказывание о
количественной характеристике области истинности высказывания Px .
Так, высказывание x:Px  означает – для любого x истинно
2
высказывание Px  (например x:x 0 ). Высказывание x:Px  означает
– существует x , для которого высказывание Px  истинно (например
x: x 2 ). Высказывание !x:Px  означает - для одного и только одного x
высказывание Px  истинно (например !x:x 10 ).
(примеры высказываний: x 0 ,
Числовые множества
Число – важнейшее математическое понятие и исторически первым
числовым множеством, необходимым человеку для определения
количества и порядка предметов, было множество натуральных чисел
1,2,...,n,.... Дальнейшее расширение понятия числа связано с понятием
дробных чисел, определяемых как частное при делении двух натуральных
чисел, когда делимое не делится нацело на делитель
1 2 4 7
, , , ...
2 3 5 6
Введение отрицательных чисел не было непосредственно вызвано
потребностями счета и измерения, а связано с развитием математики и
решением арифметических задач алгебраическим способом, независимо от
их конкретного содержания. Например
x a 0  x 3 при a 3 .
Историки науки утверждают, что в Индии отрицательные числа
систематически применялись еще в 6-11 веках. В европейской науке
отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времен
Р.Декарта3, после того как им было дано геометрическое истолкование
отрицательных чисел.
___________________________________
еще немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). Он писал: «Общее
искусство знаков, или искусство обозначения представляет чудесное
пособие, так как оно разгружает воображение… Следует заботиться о том,
чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большей частью
бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают
интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным образом
сокращается работа мысли…»
3
Рене Декарт(1596 – 1650) - французский философ и математик.
5
Объединение множеств натуральных чисел, дробных чисел
(положительных и отрицательных) и нуля получило название множества
рациональных чисел. Рациональные числа обладают свойством
замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям.
Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме
деления на нуль) любых двух рациональных чисел снова является
рациональным числом. Совокупность рациональных чисел обладает
свойством плотности: между любыми двумя рациональными
различными числами находится бесконечно много рациональных чисел.
Действительно, пусть a и b рациональные числа и ab . Найдем
число a1 как среднее арифметическое чисел a и b
a1 
a b
,
2
при этом aa1 b .
В силу свойства замкнутости a1 рациональное число. Найдем среднее
арифметическое a1 и b
a2 
a1 b
,
2
при этом aa1 a2 b .
Продолжая процедуру вычисления средних, находим бесконечную
последовательность рациональных чисел, заключенных между числами a
иb
a  a1  a2  ...  an    b, .
Свойство плотности теоретически дает возможность осуществлять
при помощи рациональных чисел измерения (например, длин отрезков в
выбранном масштабе) с любой степенью точности.
Множество рациональных чисел оказалось недостаточным для
изучения непрерывно меняющихся переменных величин. Новое
расширение понятия числа заключается в дополнении множества
рациональных чисел множеством иррациональных чисел. Это
объединение называется множеством действительных (вещественных
чисел). Еще в древней Греции было сделано открытие, что не всякие
отрезки соизмеримы. Т.е. не всякий отрезок может быть выражен
рациональным числом, если за единицу масштаба выбрана длина другого
отрезка. Например – диагональ квадрата через его сторону. Греки
научились сравнивать такие отрезки геометрическим способом, однако,
то, что это отношение может рассматриваться как число, ими не было
осознано до конца. В 1707 году И.Ньютон4 во «Всеобщей арифметике»
дает следующее определение:
____________________
4
Исаак Ньютон (1646-1727) – английский физик и математик, создавший
6
«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того
же рода принятой нами за единицу». Эта формулировка уже дает единое
определение действительного числа. В конце 19 века понятие
действительного числа было уточнено на основе глубокого анализа
понятия непрерывности.
Множество действительных чисел наглядно изображается с
помощью числовой прямой (числовой оси).
O
E
A
B
x
На прямой выбираются две точки, O и E . Точка O называется
началом отсчета, точка E - единичная точка, отрезок
OE масштабным или единичным отрезком. Направление от точки O к
точке E называется положительным направлением, а направление от E к
O - отрицательным направлением. Длина отрезка OE принимается за
единицу измерения длин всех отрезков числовой прямой.
Каждое действительное число изображается точкой
числовой
прямой. Положительное число a изображается точкой A , лежащей правее
точки O , и такой, что длина отрезка OA равна a . Тем самым
устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством
действительных чисел и точками числовой прямой. Каждому
действительному числу соответствует точка числовой прямой, и наоборот
– каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.
Поэтому часто понятия «число» и «точка» не различаются. Если точка A
является образом числа a , то число a называется декартовой
координатой или просто координатой точки A .
Интервалом (промежутком, открытым промежутком) называется
множество точек числовой прямой, заключенных между точками A и B ,
причем сами точки A и B не причисляются к интервалу. Обозначается
a,b.
Отрезком (сегментом, замкнутым промежутком) называется
множество точек числовой прямой, лежащих между точками A и B , к
которому присоединены сами эти точки; обозначается a,b.
Термины интервал и отрезок применяются для обозначения
соответствующих множеств действительных чисел, интервал состоит из
____________________
теоретические основы механики и астрономии, открывший закон
всемирного тяготения, разработавший (наряду с Г.Лейбницем)
дифференциальное и интегральное исчисления.
7
чисел, удовлетворяющих неравенствам a xb , а отрезок - из чисел,
удовлетворяющих неравенствам a xb .
Множество, состоящее из одного числа а , обозначается a.
Длина отрезка a,b равна разности координат ba . Множество
действительных чисел и точек числовой прямой обозначается одной
буквой R .
Заключительным этапом в развитии понятия числа является
рассмотрение множества комплексных чисел. Идея возникновения
понятия комплексного числа возникла в связи с решением алгебраических
уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени, когда при их решении появляется
необходимость извлекать корень квадратный из отрицательного числа5
x 2 10, x  1 .
Но, если при решении квадратных уравнений это означало
отсутствие решений, то при решении кубических уравнений при
нахождении действительных корней такие корни появлялись на
промежуточном этапе6. Это требовало осмысления получающейся
«мнимой» величины. Комплексные числа с трудом прививались в
деятельности математиков7 до тех пор, пока в 18 веке не было дано
геометрическое истолкование комплексного числа.
Пример 1.
Найти множество положительных действительных чисел меньших
единицы.
Искомое множество чисел x , удовлетворяет неравенствам 0x1,
значит можно записать x0,1 .
Пример 2.
Найти
множество
чисел,
удовлетворяющих
неравенству
x2 3x40 .
Найдем корни уравнения x 2 3x40 . Имеем x1 1, x2 4 .
______________________________
5
В 1545 году в труде «Великое искусство, или Об алгебраических
правилах» итальянский математик, философ и врач Джероламо Кардано
(1501-1576) счел такие числа бесполезными, непригодными к
употреблению.
6
Пользу комплексных чисел первым оценил итальянский математик и
инженер Раффаэле Бомбелли (1530-1572). Он же дал простейшие правила
действий с комплексными числами.
7
Г.Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и
чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с
небытием».
8
Искомое множество есть объединение двух множеств ,1 и
4, . Т.е. x,14,.
Пример 3.
Найти множество чисел, удовлетворяющих системе неравенств:
 2
 x 3x  40,

 x 0.

Пусть A множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству, а
B - второму. Т.е. A 1,4 и B  0,. Тогда, искомое множество есть
множество чисел, удовлетворяющих одновременно обоим неравенствам,
т.е. является пересечением множеств A и B . Таким образом,
xA B 1,40, 0,4.
Пример 4.
Найти множество чисел, удовлетворяющих системе неравенств:
 2
 x 3x  40,

 x 10.

Пусть A множество чисел, удовлетворяющих первому неравенству,
а B - второму. Т.е. A ,14, и B  ,1. Тогда, искомое
множество есть множество чисел, удовлетворяющих одновременно обоим
неравенствам, т.е. является пересечением множеств A и B . Таким
образом,
xA B  ,14,,1
 ,1,14,,1 ,1   ,1 .
9