Математика (107 мс, 112 ф)

107 мс
Решить из каждого варианта нечетные задания (записать в тетрадь)
После выхода на учебу будет проведен математический диктант
Решить из задания 1 (под буквой «б»), из задания 2 (под буквой «в»)
112 ф
Тезисы лекции по теме: «Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и
определенный интегралы и их свойства»
Цель: усвоение теоретических основ изучаемой темы (первообразная функции,
неопределенный и определенный интегралы, формула Ньютона - Лейбница, методы
интегрирования, табличный интеграл)
План занятия:
1) Первообразная функции и неопределенный интеграл.
2) Таблица интегралов. Методы интегрирования.
3) Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница.
4) Практическое использование определенного интеграла (записать полностью)
Материал для конспектирования выделен в основном тексте. В конце лекции
приведены примеры для самостоятельного решения
Вопрос 1
Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном
исчислении, а именно: дана функция y  f x , найти функцию F x  , такую, что
F x  f x .
Функция F x  называется первообразной для данной функции y  f x на некотором
промежутке Х, если для любого x  X выполняется равенство F x  f x .
В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если
F x  – первообразная для функции y  f x  на промежутке Х, то все первообразные
для функции y  f x имеют вид F x  C , где С – произвольная постоянная.
Выражение вида F x  C описывает все первообразные для функции f x  .
Действительно, для любой постоянной С: F x   C   F x   0  f x  .
Пусть наряду с данной первообразной F x  функция F1 x – также первообразная
для f x  . Тогда должны выполняться равенства F1x  F x  f x .
Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.
Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления:
если F x  – первообразная для f x  , то совокупность функций F x  C , где С –
произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции
f x  , который обозначается следующим образом  f  x x  F  x   C .
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских
кривых y  F x  C , называемых интегральными.
Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять
производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция f x  .
Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем
дифференцирование.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
 f x x   f x 
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы (разности) функций равен
сумме (разности) интегралов от слагаемых функций
  f x   f x x   f x x   f x x
1
2
1
2
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла
 kf x x  k  f x x
Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул
дифференцирования этих функций.
Вопрос 2
Таблица основных интегралов
1)
7)
2)
8)
3)
9)
4)
10)
5)
11)
12)
6)
Такие интегралы называются табличными.
Основные методы интегрирования
1. Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных
преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения
свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким
табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие
преобразования дифференциала (операция «подведение под знак дифференциала»):
u  u  a 
1
u   au 
a
1
uu   u 2 
2
cos uu  sin u 
sin uu  cos u 
1
u   ln u 
u
1
  tgu 
cos 2 u
1
 ctgu 
sin 2 u
2. Метод интегрирования заменой переменной (подстановкой)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной
интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому
интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
Пусть требуется вычислить интеграл  f  x x . Сделаем подстановку х =φ(t), где φ(t) функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда dx=φ'(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования
неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
 f x x   f  t  t t записать формулу
Формула также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой
переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t= φ(х), тогда
Другими словами, формулу  f  x  x x   f t t , где t= φ(х) можно применять справа
налево.
3. Метод интегрирования по частям
Пусть u=u(х) и ν=v(х) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда
d(uv)=u*dv+v*du.
Интегрируя это равенство, получим
 uv    uv   vu или  uv  uv   vu записать формулу
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает
возможность свести вычисление интеграла  uv к вычислению интеграла  vu , который
может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного
интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u
и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после
нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту
формулу приходится использовать несколько раз.
Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом
интегрирования по частям.
1. Интегралы вида  Px e kx x ,  Px sin kxx ,  Px  cos kxx ,
где Р(х) - многочлен, К - число. Удобно положить u=Р(х), а за dv обозначить все
остальные сомножители.
2.Интегралы вида  Px arcsin xx ,  Px  arccos xx ,  Px  ln xx ,  Px arctgxx ,  Px arcctgxx .
Удобно положить Р(х)dx=dv, а за u обозначить остальные сомножители.
3. Интегралы вида  e ax sin bxx ,  e ax cos bxx ,
где а и b - числа. За u можно принять функцию u=еαх.
Вопрос 3
Пусть функция f x  задана на отрезке a; b. Разобьем отрезок a; b на n произвольных
частей точками
.
Точки, разделяющие отрезок a; b на частичные отрезки
длиной
,
называются точками разбиения. Внутри каждого частичного отрезка выберем
произвольную точку
. Образуем сумму произведений
,
называемую интегральной суммой для функции f x  на отрезке a; b . При этом числа a и
b называются соответственно нижним и верхним пределами, выражение f xx –
подынтегральным выражением, f x  – подынтегральной функцией.
Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции,
ограниченной вертикальными прямыми x  a, x  b при a  b , осью Ох и графиком
неотрицательной и непрерывной функции y  f x . В этом состоит его
геометрический смысл.
Физический смысл определенного интеграла
1. Работа переменной силы, величина которой есть непрерывная функция F  F x ,
действующей на a; b, равна определенному интегралу от величины F x  , взятому по
a; b.
2. Путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=a до t=b, равен
определенному интегралу от скорости  t  , т.е.
b
S    t t
a
3. Масса m неоднородного стержня на a; b равна определенному интегралу от
плотности  x  , т.е.
b
m    x x
a
Свойства определенного интеграла
1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2) Интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же сумме интегралов
от этих функций (свойство линейности).
3) Для любого действительного числа C выполняется
4) При перемене местами пределов интегрирования интеграл изменяет лишь знак
5) Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю
a
 f x x  0
a
6) для любых чисел а, b и c имеет место равенство
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция y  f x непрерывна на отрезке a; b и F x  - одна из первообразных
функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница:
b
 f x x  F b  F a  записать формулу
a
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Вопрос 4
1. Вычисление площади плоской фигуры
Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс ( f x   0 ) равна
b
соответствующему определенному интегралу S   f x x . Если криволинейная трапеция
a
расположена ниже оси абсцисс ( f x   0 ), то ее площадь находится по формуле
b
S    f x x .
a
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  f1 x  и y  f 2 x , прямыми x  a, x  b при
условии, f 2 x  f1 x находится по формуле
b
S    f 2 x   f1 x x
a
Если криволинейная трапеция ограничена прямыми y  c, y  d , осью Oy, x    y   0 непрерывной кривой, то ее площадь находится по формуле
d
S   xy
c
2. Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая y  f x на отрезке a; b - гладкая, то длина соответствующей дуги этой
кривой находится по формуле
b
L   1  y  2 x
a
3. Вычисление объема тела
Пусть в пространстве задано тело объемом V и пусть построены его сечения
плоскостями, перпендикулярными Ox и проходящими через точку x из отрезка a; b ,
x  a; b. Площадь фигуры, образующей в сечении зависит от точки x, определяющей
плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на отрезке
a; b функцией S x. Тогда объем части тела, находящейся между плоскостями x  a, x  b
вычисляется по формуле
b
V   S x x
a
4. Вычисление объема тела вращения
Объем фигуры, полученной вращением вокруг оси Ox, находится по формуле
b
V    y 2 x x
a
Примеры для решения
1. Вычислить неопределенный интеграл
cos 6 x
x
4
6x
 sin
Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как
методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем
оба метода.
1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле
. Тогда
или
. Тогда
После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла:
постоянный множитель
можно выносить за знак неопределенного интеграла, и
так как
, то пришли к табличному интегралу
, где
и
.
2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что
и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде
внесем под знак дифференциала
. Тогда
,
. Для этого выпишем дифференциал этой функции
После внесения под знак дифференциала функции
, где
x
 x3
x

3
x
 2 x

.
x
x

и
x
5  x2
x
x2  3
x
 x2  9
x

пришли к табличному интегралу
x
2
x
x
3
x
2
4  x2
x
 x 2  25
2. Используя таблицу интегралов и основные свойства неопределенного интеграла
вычислить интеграл


 7 x
x

2
 x  3x  5 
x
 
x

2
 x x  1 x
  3 * 5
x
3
2


2
2

  x  x  x
2 

6
  5  x  x 4 x
8

5
  6 x  x 3  7 x x


 15 x 9 x

4 

3
 13  2 x  x 3 x
3

5
  9 x  x 4  2 x x
14

3
  5x  x 6  2 x x
6
  2 x  x
4
3. Вычислите неопределенный интеграл (используя методы интегрирования)
x
 x3
24
 3x  1 x
 ctg

2
xx
 sin 6 xx
 tguu
 xx  2 x
2
9
x
4  3x 2
 x x  3x
 x x  2 
100
x
x
 e 1
 2 x  1e x
 ln xx
 x e x
 10 x  11 x
x
3x
2
x
4
4. Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница
1
 x x
4
0
 x
1
1
2
 1x
4

x x
1
x
x
x
1
2


2
 sin 4 xx
0