ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)"

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ
"Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)"
для студентов 2 курса дневного отделения экономфака (специальность "Менеджмент организаций")
2007-2008 учебный год, 2-й семестр, преподаватель – доцент Ю.С.Налбандян
ЛИТЕРАТУРА
1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2000.
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2001.
4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977 или любое
позднее издание.
5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.,
Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание.
6 Луценко А.И. Задачи по теории вероятностей. Ростов-на-Дону, 1998 (2003).
УРОВЕНЬ «3»
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства)
1. Перестановки, сочетания и размещения (определение и примеры).
2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные).
3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности.
4. Условная вероятность, зависимые события, теорема умножения. Независимые события и вероятность их
произведения.
5. Сумма и произведение событий. Формулировки теорем сложения для несовместных и совместных
событий (с соответствующими определениями, включая следствия).
6. Полная группа событий, противоположные события, вероятности событий полной группы и
противоположных событий.
7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
8. Формула Бернулли и формула Пуассона. (с описанием ситуации, в которых они применяются).
9. Локальная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства.
10. Интегральная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства.
11. Независимые и взаимно независимые случайные величины.
12. Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять, уметь
применить).
13. Определение, формула для вычисления и основные свойства дисперсии (перечислять, уметь применить),
среднее квадратическое отклонение.
14. Теоретические моменты (определения начальных моментов к-го порядка, центральных моментов
к-го порядка, примеры из числовых характеристик случайных величин).
15. Непрерывная случайная величина (НСВ), ее функция распределения (понятие и основные свойства).
16. НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства).
17. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения,
математическое ожидание и дисперсия).
18. Экспоненциальное распределение (плотность распределения, функция распределения, математическое
ожидание и дисперсия).
19. Нормальное распределение (плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия).
20. Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что
отклонение нормально распределенной НСВ по модулю меньше заданного числа.
21. Определения генеральной совокупности, выборки, повторной, бесповторной, репрезентативной выборки.
22. Вариационный и интервальный вариационный ряд, понятие вариант, частот, относительных частот,
полигона частот и относительных частот, гистограммы частот и относительныхчастот.
23. Эмпирическая и теоретическая функции распределения и связь между ними.
24. Определения несмещенных, смещенных, эффективных, состоятельных оценок.
25. Среднее выборочное и его свойства.
26. Выборочная дисперсия и ее смещенность, несмещенная выборочная дисперсия.
27. Состоятельные оценки (определение) и суть метода моментов.
28. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного
интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и
неизвестной генеральной дисперсии.
29. Определение статистических гипотез, нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го и 2-го рода.
30. Понятия статистического критерия, критической области, области принятия решения, критических точек
и уровня значимости, неравенства для поиска критических точек.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
- задачи на применение утверждений и формул вопросов 1-10, 17-120;
- составление законов распределения ДСВ, вычисление их числовых характеристик (математического
ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения), построение многоугольника распределения и
функции распределения;
- вычисление числовых характеристик НСВ, определение плотности распределения по известной функции
распределения и функции распределения по известной плотности; использование свойства плотности;
- определение вероятности попадания значения НСВ в заданный числовой интервал (для произвольного
закона по общей формуле, а также для равномерного, экспоненциального и нормального распределений);
- для дискретного вариационного ряда построение полигона частот (относительных частот), вычисление
точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного
среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- для интервального вариационного ряда, построение гистограммы частот (относительных частот),
вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии,
выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения);
- применение метода моментов для оценки параметров распределения генеральной совокупности;
- определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном
распределении.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
УРОВЕНЬ «4» И «5»
(если нет положительной оценки по семестру – то дополнительно к основной части)
Теорема сложения вероятностей для совместных событий (с доказательством).
Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства
вероятностей, построение закона распределения в конкретных случаях,).
Геометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства
вероятности, построение закона распределения в конкретных случаях).
Гипергеометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона
распределения в конкретных случаях).
Независимые случайные величины, их сумма и произведение, доказательство теорем о M(X+Y), M(XY).
Определение дисперсии, вывод формулы для ее вычисления.
Свойства дисперсии и математического ожидания (с доказательствами), их применение.
Вывод формул для вычисления математического ожидании и дисперсии случайной величины X - числа
появления события А в серии из n независимых испытаний (с доказательством).
Теоретические моменты (определения начального момента k-го порядка, центрального момента k-го
порядка, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные
моменты и проведение вычислений).
Непрерывная случайная величина, функция распределения и ее свойства (с доказательствами)
Вывод формул для вычисления математического ожидания и дисперсии для равномерного закона
распределения.
Вывод формулы для вычисления математического ожидания экспоненциального закона распределения,
формула для дисперсии (без вывода).
Вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ по абсолютной величине меньше
заданного числа (с выводом) и правило трех сигм, применение формул.
Неравенство Чебышёва (с выводом), теорема Чебышёва и её следствие, «промежуточное» неравенство,
теорема Бернулли и ее следствие (без доказательства), их применение.
Проверка статистических гипотез в случаях:
А) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при неизвестной
генеральной дисперсии;
Б) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при известной генеральной
дисперсии;
В) сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией
нормальной совокупности.