АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Теория вероятностей и математическая статистика

АННОТАЦИОННАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Теория вероятностей и математическая статистика
Направление подготовки 010400.62 прикладная математика и информатика
(математическое и информационное обеспечение экономической деятельности)
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Общая трудоемкость дисциплины 252 ч.
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) "Теория вероятностей" являются:
фундаментальная подготовка в области построения и анализа вероятностных моделей,
овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего использования в
разнообразных приложениях.
Целью освоения дисциплины (модуля) "Математическая статистика" является
фундаментальная математическая подготовка в области планирования, систематизации и
использования статистических данных для обнаружения закономерностей в тех явлениях,
в которых существенную роль играет случайность.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Курс входит в цикл профессиональных дисциплин в базовой части обучения.
Для его успешного освоения необходимы знания и умения, приобретенные в
результате обучения предшествующим (а также параллельно изучаемым) дисциплинам:
математический анализ, комплексный анализ, функциональный анализ, алгебра.
Освоение теории вероятностей необходимо для дальнейшего изучения
математической статистики. Знание теории вероятностей может существенно помочь при
построении и анализе различных математических моделей, возникающих в физике,
химии, биологии, медицине, экономике, финансовой и актуарной областях, а также в
технике. Кроме того, методы теории вероятностей широко применяются в целом ряде
направлений современной математики.
Методы математической статистики помогают проверить соответствие
математической модели изучаемому явлению или процессу, дают возможность принять
решение о свойствах модели по результатам экспериментов, которые подвержены
случайным колебаниям, в частности оценить неизвестные параметры и проверить
статистические гипотезы. Обучение этим методам оправдано широким спектром
применения для решения многих проблем производства, техники, физики, биологии,
геологии, экономики, психологии, лингвистики.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины (модуля): ОК-6, ОК-7, ОК-8, ОК-10, ОК-11, ОК-12, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК4, ПК-5, ПК-6, ПК-8, ПК-9, ПК-10, ПК-11, ПК-15, ПК-16, ПК-18, ПК-20, ПК-21, ПК-22,
ПК-25, ПК-27, ПК-29.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать: определения и свойства основных объектов изучения теории вероятностей
и математической статистики, а также формулировки наиболее важных утверждений,
методы их доказательств, возможные сферы приложений.
2) Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области
теории вероятностей, устанавливать взаимосвязи между вводимыми понятиям, доказывать
как известные утверждения, так и родственные им новые;
использовать теоретические основы математической статистики для решения
конкретных статистических задач, находить оптимальные статистические решения с
наименьшим риском ошибки.
3) Владеть: разнообразным математическим аппаратом, подбирая сочетания
различных методов, для описания и анализа вероятностных моделей;
многообразными методами современной математической статистики для решения
как классических задач, так и новых задач, возникающих в практических областях.
4. Структура и содержание дисциплины.
Теория вероятностей
Классическая вероятностная схема. Основные формулы комбинаторики. Основные
понятия элементарной теории вероятностей.
Геометрическая вероятность.
Геометрическое определение вероятности. Задача о встрече. Задача Бюффона.
Парадокс Бертрана.
Аксиоматика теории вероятностей.  - алгебра событий. Вероятность как
нормированная мера. Борелевская  -алгебра и мера Лебега.
Условная вероятность, независимость. Условная вероятность, независимость
событий. Формулы полной вероятности и Байеса .
Схема Бернулли. Распределение числа успехов в n испытаниях. Наиболее
вероятное число успехов. Номер первого успешного испытания. Приближение
гипергеометрического распределения биномиальным. Независимые испытания с
несколькими исходами. Теорема Пуассона для схемы Бернулли.
Случайные величины и их распределения. Случайные величины. Дискретные
распределения. Примеры дискретных распределений.
Функция распределения. Свойства функции распределения. Абсолютно
непрерывные распределения случайных величин. Свойства нормального распределения.
Случайные векторы и их распределения. Свойства функции совместного
распределения. Типы многомерных распределений. Независимость случайных величин.
Преобразование случайных величин. Преобразование одной случайной величины.
Функции от двух случайных величин. Примеры использования формулы свёртки.
Числовые характеристики зависимости случайных величин. Коэффициент
корреляции и его свойства.
Сходимость последовательностей случайных величин. Сходимость почти наверное
и по вероятности. Неравенства Чебышёва. Законы больших чисел (ЗБЧ).
Характеристические функции. Свойства характеристических функций.
Слабая сходимость. ЦПТ. Предельная теорема Муавра-Лапласа.
Математическая статистика
Основные понятия математической статистики. Задачи математической статистики.
Основные понятия выборочного метода. Эмпирическая функция распределения,
гистограмма, эмпирические моменты. Сходимость эмпирических характеристик к
теоретическим.
Точечное оценивание. Параметрические семейства распределений. Точечные
оценки. Несмещенность, состоятельность оценок. Методы нахождения оценок: метод
моментов, метод максимального правдоподобия. Состоятельность оценок метода
моментов.
Сравнение оценок. Необходимость и способы сравнения оценок. Среднеквадратический подход. Эффективность оценок. Единственность эффективной оценки в классе с
фиксированным смещением. Асимптотические нормальные оценки. Асимптотический
подход к сравнению оценок.
Эффективные оценки. Условия регулярности. Регулярные и нерегулярные
семейства распределений. Неравенство Рао-Крамера – способ проверки эффективности
оценок.
Доверительные интервалы. Интервальное оценивание. Способы построения
доверительных интервалов. Распределения, связанные с нормальным. Гамма –
распределение и его свойства. Распределение хи-квадрат и его свойства. Распределение
Стьюдента. Распределение Фишера. Их взаимосвязь и свойства. Лемма Фишера.
Построение точных доверительных интервалов для параметров нормального
распределения.
Проверка гипотез. Гипотезы и критерии. Основные виды гипотез. Вероятности
ошибок. Мощность критерия. Проверка двух простых гипотез. Способы сравнения
критериев. Понятие наиболее мощного критерия (НМК). Лемма Неймана-Пирсона.
Простая гипотеза и сложная альтернатива.
Критерии согласия. Общий принцип построения критериев согласия. Понятие
состоятельности критерия. Критерии Колмогорова, хи-квадрат Пирсона.
Исследование статической зависимости: линейная регрессия. Модель регрессии.
Метод наименьших квадратов. Общая модель линейной регрессии. Оценка МНК, её
свойства.
Составил доцент кафедры МАиМ В.А.Труфанов