Методы вычислений. Модуль 3. Численное интегрирование

Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
Модуль 3. Численное интегрирование. Решение систем линейных
алгебраических уравнений.
1. Численное интегрирование.
1.1. Постановка задачи.
1.2. Метод прямоугольников.
1.3. Метод трапеций.
1.4. Метод парабол (Симпсона).
1.5. Правило Рунге оценки погрешности.
1.6. Практикум.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
понятие, определения.
2.2. Характеристика методов решения СЛАУ.
2.3. Прямые методы решения СЛАУ: метод Гаусса.
2.4. Итерационные методы решения СЛАУ.
2.4.1. Метод итераций (метод последовательных приближений).
2.4.2. Метод Зейделя.
2.4.3. Условия сходимости и окончания итерационного
процесса.
2.4.4. Пример применения метода итераций и метода Зейделя.
2.5. Практикум.
1
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
1. Численное интегрирование.
1.1. Постановка задачи.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
 f ( x)dx ,
(1)
a
где f(x) – непрерывная на отрезке [a; b] функция.
С геометрической точки зрения интеграл (1) при f(x) > 0 равен площади
криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x =
b
b (рис. 1). Другими словами,
 f ( x)dx
равен площади заштрихованной фигуры на
a
рис. 1.
y
y = f(x)
О a
b
x
Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла.
Вычислить определенный интеграл (1) можно с помощью аналитической
формулы Ньютона-Лейбница (2):
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ,
(2)
a
где F(x) – первообразная функция для заданной функции f(x).
Однако во многих случаях не удается найти никакой аналитической формулы
в виду невозможности определения F(x).
3
Таким интегралом, например, является
sin( x)
dx .
x
2

(3)
В математическом анализе доказывается, что для данной подынтегральной
функции нельзя выразить первообразную F(x) через элементарные функции. С
другой стороны площадь криволинейной трапеции, задаваемой интегралом (3)
существует (рис. 3). Значит, должно существовать и значение интеграла, которое,
однако, мы не можем найти точно.
2
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
0,9
0,8
0,7
0,6
y
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
3
2,
8
2,
6
2,
4
2,
2
2
1,
8
1,
6
1,
4
1,
2
1
0
x
sin x
на отрезке [1; 3].
x
В таких случаях приходится применять методы численного интегрирования.
Основной принцип построения всех приближенных формул численного
интегрирования состоит в том, что интервал интегрирования разбивается на
множество меньших отрезков, внутри которых подынтегральная кривая y = f(x)
заменяется с некоторой степенью точности более простыми функциями, интегралы
от которых можно вычислить. С геометрической точки зрения выполняется
следующее: искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется
суммой площадей элементарных геометрических фигур.
Рис. 2. График функции y 
1.2. Метод прямоугольников.
b
Как говорилось выше, вычисление интеграла
S   f ( x)dx равносильно
a
вычислению площади некоторой фигуры – криволинейной трапеции с
параллельными «основаниями» x = a, x = b и «боковыми сторонами» y = 0, y = f(x)
(рис. 1).
Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной
h
ba
.
n
Приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n
прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого
подинтервала (рис. 3).
b
S   f ( x)dx  hy0+hy1+…+hyn-1 = h(y0+y1+…+yn-1). То есть формула численного
a
интегрирования имеет вид:
b
n1
a
i 0
S   f ( x)dx  h yi
3
(4)
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
и называется формулой «левых» прямоугольников.
y
y = f(x)
yn-1 = f(xn-1)
y2 = f(x2)
y1 = f(x1)
…
y0 = f(x0)
h
a=x0
O
h
x1
h
h
x2
…
x3
h
xn-1 b=xn
x
Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода «левых» прямоугольников.
Если в качестве приближенного значения площади для каждого подинтервала
принять площадь прямоугольника, высота которого равна значению f(x) на правом
краю подинтервала (рис. 4), то формула численного интегрирования имеет вид (5):
b
n
a
i 1
S   f ( x)dx  h yi
(5)
и называется формулой «правых» прямоугольников.
y
y = f(x)
yn = f(xn)
y2 = f(x2)
y1 = f(x1)
…
h
O
a=x0
h
x1
h
h
x2
x3
…
h
xn-1 b=xn
x
Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников.
Существует третья модификация метода прямоугольников – метод «средних»
прямоугольников. В этом случае в качестве приближенного значения площади для
каждого подинтервала принимается площадь прямоугольника, высота которого
равна значению f(x) в средней точке подинтервала (рис. 5).
4
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
y
y = f(x)
 x  xn 1 
f n

2


x x 
f 2 1
 2 
x x 
f 1 0
 2 
…
h
O
a=x0
h
x1
h
h
x2
x3
…
h
xn-1 b=xn
x
Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода «средних» прямоугольников.
Тогда формула численного интегрирования имеет вид (6):
n
 x  xi 1 
S   f ( x)dx  h f  i

 2 
i 1
a
b
(6)
Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее
грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет
число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4)-(6).
Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда
возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более
точные результаты при том же числе точек разбиения. Заметно меньшую
погрешность дает другой метод – метод трапеций.
1.3. Метод трапеций.
В этом методе отрезок [a; b] так же разбивается на n равных частей. На каждом
отрезке [xi; xi+1] кривая y = f(x) заменяется прямой, проходящей через две известные
точки с координатами xi ; f ( xi )  и xi 1 ; f ( xi 1 )  , где i  0,1,..., n и строится
прямоугольная трапеция с высотой h 
ba
(рис. 6).
n
5
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
y
y = f(x)
yn-1 = f(xn-1)
y2 = f(x2)
y1 = f(x1)
…
y0 = f(x0)
h
a=x0
O
h
h
h
x2
x1
…
x3
h
xn-1 b=xn
x
Рис. 6. Геометрическая интерпретация метода трапеций.
В итоге искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется
суммой площадей элементарных геометрических трапеций. (Площадь трапеции с
ab
высотой h и основаниями a, b вычисляется по формуле: S  h 
). Из
2
геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще
говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь
ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.
b
Тогда S 
 f ( x)dx 
a
f ( x0 )  f ( x1 )
f ( xn2 )  f ( xn1 )
f ( xn1 )  f ( xn )
f ( x1 )  f ( x2 )
 h
 ...  h 
 h

2
2
2
2
вынесем h за скобку, получим
f ( x n 2 )  f ( x n 1 ) f ( x n 1 )  f ( xn ) 
 f ( x0 )  f ( x1 ) f ( x1 )  f ( x2 )
 h

 ... 


2
2
2
2


разобьем каждую дробь на две дроби
f ( xn 2 ) f ( xn 1 ) f ( xn 1 ) f ( xn ) 
 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 )
 h



 ... 




2
2
2
2
2
2
2 
 2
приведем подобные слагаемые, получим
f ( xn ) 
 f ( x0 )
 h
 f ( x1 )  f ( x 2 )  ...  f ( x n 1 ) 
.
2 
 2
 h
b
Итак,
S   f ( x)dx
  h   f ( x )  f ( x )  f ( x )  ...  f ( x
0
1
2
 2
Коротко полученную формулу можно записать в виде (7).
a
b
S   f ( x)dx
a
 h   f ( x )  f ( x )   f ( x ) 
n 1
)
f ( xn ) 
.
2 
n 1
0

n
2
2
6
i 1
i

(7)
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
Заметим, что в данном методе получаем ступенчатую фигуру, составленную
из трапеций, которая «плотнее» прилегает к заданной криволинейной трапеции,
нежели фигура, составленная из прямоугольников в предыдущем методе.
1.4. Метод парабол (Симпсона).
Значительное повышение точности приближенных формул численного
интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что
на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее
прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод
трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций,
ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям
площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных
сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих
y
y = f(x)
C
A
Q
P
h1
O
a
B
h1
p
c
q
b
прямолинейных трапеций.
Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода парабол.
Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она
положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис.
7).
Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c =
ab
пополам и в точке C(c, f(c))
2
проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на
три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки
пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три
прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно
приближенно посчитать по следующей формуле
I
где h1 
ba
.
3
aA  pP
pP  qQ
qQ  bB
 h1 
 h1 
 h1 ,
2
2
2
7
x
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
Откуда получаем
I
ba
 aA  2 pP  qQ   bB  .
6
Заметим, что aA = f(a), bB = f(b), а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия
трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона
I
ba
  f (a )  4 f (c)  f (b) 
6
(8)
В данном случае дуга ACB заменяется параболой, проходящей через точки A,
P, Q, B.
Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график
подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная
функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл
заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков
применить формулу (8).
Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода
парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть h 
ba
, точки деления
n
будут х0=а, x1, x2, …xn-2, xn-1, xn=b, а y0, y1, …yn – соответствующие значения
подынтегральной функции на отрезке [a, b].
Тогда, применяя малую формулу Симпсона к каждой паре получившихся
отрезков, имеем
x 2  x0
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 ) ;
6
x  x2
 f ( x2 )  4 f ( x3 )  f ( x4 ) ;
I2  4
6
...........................................................
x  xn2
 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn ) .
In  n
6
2
I1 
b
Тогда
S   f ( x)dx  I1  I 2  ...  I n .
a
(9)
2
Заметим, что во всех выражениях I 1 , I 2 , I n первый множитель равен
2
x 2  x0 2 h h

 ;
6
6 3
x 4  x 2 2h h

 ;
6
6 3
.........................
h
:
3
(10)
x n  x n  2 2h h

 .
6
6 3
8
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
Сделав замену по формулам (10), вынося общий множитель
h
за скобку, в (9)
3
получаем:
b
S   f ( x)dx  I1  I 2  ...  I n 
a
2
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x 2 )  4 f ( x3 )  f ( x 4 )  ...  f ( x n  2 )  4 f ( x n 1 )  f ( x n )  
3
группируем слагаемые
h
  f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x3 )  ...  f ( xn1 )   2 f ( x2 )  f ( x4 )  ...  f ( xn2 )   f ( xn ) .
3
Таким образом, получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:
b
 f ( x)dx  3  f ( x )  4 f ( x )  f ( x )  ...  f ( x
h
0
1
3
n 1
)   2 f ( x 2 )  f ( x 4 )  ...  f ( x n  2 )   f ( x n ) (11)
a
Предлагаем для запоминания следующий вид формулы:
 f ( x)dx  3 Y
b
h
кр
 4Yнеч  2Yчет 
(11’)
a
где Yкр = y0 + yn, Yнеч = y1 + y3 + … + yn-1, Yчет = y2 + y4 + … + yn-2, а h 
ba
.
n
1.5. Правило Рунге оценки погрешности.
В каждой конкретной задаче необходимо определить число точек деления n,
необходимое для вычисления интеграла (1) с требуемой точностью ε.
Для определения n удобно следующее правило Рунге. Пусть ε – заданная
точность вычисления интеграла (1), тогда шаг h должен удовлетворять условию
h 4
(12)
По этому значению h из соотношения h 
ba
определяется n. При этом для
n
метода Симпсона в качестве n берется ближайшее четное целое число,
ba
, а для методов прямоугольников и трапеций – ближайшее
h
ba
целое, превосходящее
.
h
превосходящее
Оценку погрешности можно провести также следующим методом Рунге.
Пусть I h - приближенное значение интеграла (1), вычисленное с шагом h, а
I 2h - значение этого интеграла, вычисленное с шагом 2h. Заметим, что чем меньше
шаг h (а, следовательно, больше n), тем точнее получается приближенное значение
интеграла.
Если
9
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
I h  I 2h
15
 ,
(13)
где I h и I 2h вычислены по методу Симпсона, или
I h  I 2h
3
 ,
(14)
где I h и I 2h вычислены по методу прямоугольников или трапеций, то в качестве
приближенного значения интеграла (1) берут значение I h .
Если неравенство для соответствующего метода не выполняется, то
найденное значение интеграла не удовлетворяет заданной точности.
Тогда проводят новые вычисления с шагом
h
и вновь проверяют выполнение
2
неравенства (13) или (14). Этот прием многократного уменьшения шага применяют
до тех пор, пока соответствующее неравенство не станет истинным.
1,523
Пример. Вычислить

ecos x dx с точностью ε = 0,001 по методу Симпсона.
0,215
Решение. Оценим величину шага h по формуле (12): h 
Выберем n 
4
0, 001  0,1778 .
b  a 1,523  0, 215

 7,3566 . Так как в методе Симпсона n
h
0,1718
обязательно должно быть четным, и его следует округлять в сторону увеличения, то
берем n = 8. Для этого n определяем шаг
h
1,523  0, 215
 0,1635 . (Заметим,
8
что все промежуточные расчеты выполняем с запасной цифрой после запятой: так
как точность ε = 0,001, то в вычислениях оставляем четыре цифры после запятой).
1,523
Используя формулу метода Симпсона, получаем

ecos x dx  2, 4755 .
0,215
Проведем контроль точности вычислений по методу Рунге. Обозначим
найденное значение интеграла с шагом h  0,1635 через I h . Увеличим шаг
интегрирования в два раза и с этим новым шагом 2h = 0,327 вычисляем искомый
1,523
интеграл (при этом n = 4). Получим значение I 2h =

ecos x dx  2, 4754 .
0,215
По формуле (13) имеем
I h  I 2h
15

2, 4755  2, 4754
15

0, 0001
 0, 000007   .
15
Условие (13) выполнено, следовательно, приближенное значение интеграла с
точностью 0,001 равно I h = 2,476.
Отметим, что для того, чтобы оценить точность найденного значения
интеграла по правилу Рунге, необходимо, чтобы первоначальное значение n было
кратно четырем.
10
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
1.6. Практикум.
b
1. Вычисление интеграла
 f ( x)dx
равносильно вычислению
a
a) объёма любой фигуры;
b) площади любой фигуры;
c) объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции, у которой x
= а, x = b, y = 0, y = f(x);
d) площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = а, x = b, y = 0, y
= f(x).
2. Формула численного интегрирования метода «левых» прямоугольников имеет
вид:
в
a)

а
в
b)

а
в
c)

а
в
d)

а
n 1
f ( x)dx  b  a  yi .
n
i 0
n
f ( x)dx   y i .
i 1
n
f ( x)dx  h   y i
i 1
n 1
f ( x)dx   y i .
i 0
3. Сущность метода Симпсона заключается в том, что через три последовательные
ординаты разбиения проводится
a) квадратичная парабола;
b) любая кривая;
c) синусоида;
d) гипербола.
b
4. Методы численного интегрирования для вычисления
 f ( x)dx
применимы тогда,
a
когда
a)
b)
c)
d)
невозможно определить первообразную F(x);
невозможно определить производную f(x);
неизвестен интервал интегрирования [а,b];
функция y = f(x) задана графически.
5. Наиболее грубым методом численного интегрирования является метод
a) прямоугольников;
b) трапеций;
c) парабол;
d) Симпсона.
b
6. Формула численного интегрирования метода трапеций имеет вид:
 f ( x)dx 
a
11
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
n 1
a) h   ( y i  y i 1 )
i 0
n 1
b) h / 2   ( y i  y i 1 )
i 0
n 1
c) h / 2   ( y i 1  y i )
i 0
n 1
d) h / 2   ( y i  y i 1 )
i 0
1.5
7. Вычислить интеграл
точностью
a) 4,10
b) 2,05
c) 1,34
d) 2,84
f ( x)  sin x dx
по методу «левых» прямоугольников с
0.6
 =0,1
8. Необходимым условием применения формул Симпсона является: число точек
разбиения должно быть
a) четным числом;
b) целым числом;
c) нечетным числом;
d) кратным «4».
9. Формула численного интегрирования метода Симпсона имеет вид
b
a)
 f ( x)dx  3 y
0
 y n  2( y1  y3  ...  y n1 )  4( y 2  y 4  ...  y n2 ) ;
0
 y n  4( y1  y3  ...  y n1 )  2( y 2  y 4  ...  y n2 ) ;
h
a
b
b)
 f ( x)dx  3 y
h
a
b
c)
 f ( x)dx  hy
0
 yn  4( y1  y3  ...  yn1 )  2( y2  y4  ...  yn2 );
a
b
d)
 f ( x)dx  2 y
h
0
 y n  4( y1  y3  ...  y n1 )  2( y 2  y 4  ...  y n2 ) .
a
10. Если h - шаг интегрирования то, чем больше h тем
a) точнее получатся приближенное значение интеграла;
b) выше погрешность вычислений приближенного значение интеграла;
c) больше объем вычислений;
d) больше число точек разбиения.
11. Известно, что интегрируемая функция – линейная, область интегрирования [-1,
1], требуемая точность не менее 0,01, интегрирование производится методом
трапеций. Какое минимальное количество шагов необходимо для достижения
заданной точности?
12
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
a)
b)
c)
d)
1
200
100
400
12. Заранее известно, что функция описывается полиномом второй степени
(квадратным уравнением). Укажите метод (из числа рассмотренных), который
позволит вычислить определенный интеграл без погрешности (погрешность
округления не учитывать).
a) метод Симпсона;
b) метод трапеций;
c) метод «левых» прямоугольников;метод «средних» прямоугольников.
Ответы.
1
d
2
a
3
a
4
a
5
a
6
d
7
b
13
8
a
9
b
10
b
11
a
12
a
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
2.1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
понятие, определения.
Системы линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ) используются
во многих областях прикладной математики.
В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными
записывается так:
a11 x1  a12 x 2  ...  a1 j x j  ...  a1n x n  b1


a 21 x1  a 22 x 2  ...  a 2 j x j  ...  a 2 n x n  b2

..................................................................

(1)

ai1 x1  ai 2 x 2  ...  aij x j  ...  ain x n  bi


..................................................................

a
m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mj x j  ...  a mn x n  bm

Уравнения системы считаются пронумерованными: первое, второе, …, m-ое.
x1 , x2 ,..., x n называются неизвестными системы; a11 , a12 ,..., a mn Числа
коэффициентами при неизвестных системы.
Коэффициент при неизвестном x j в i-ом уравнении обозначается через
a ij .
коэффициент
ai j
j – номер
неизвестного
(столбца)
i – номер
уравнения
(строки)
Например, коэффициент a23 находится во втором уравнении системы при
неизвестном x3.
Числа b1 , b2 ,..., bm называются свободными членами системы.
Решением СЛАУ (1) называется любая совокупность чисел d1 , d 2 ,..., d n ,
которая, при подстановке на место неизвестных x1 , x 2 ,..., x n в уравнения данной
системы, обращает все эти уравнения в тождества.
СЛАУ (1) называется совместной, если она имеет решение. Если СЛАУ не
имеет решения, то она называется несовместной (или противоречивой).
Совместная СЛАУ может иметь одно или несколько решений и называется
определенной, если имеет одно единственное решение, и неопределенной, если
имеет больше одного решения.
Всюду далее будем рассматривать СЛАУ, имеющие единственное решение.
Две СЛАУ с одним и тем же числом неизвестных называются
эквивалентными, если они или обе несовместны, или обе совместны и имеют
одни и те же решения.
Элементарными преобразованиями СЛАУ, переводящими ее в
эквивалентную СЛАУ, являются:
1) перестановка двух уравнений системы;
14
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
2) умножение обеих частей уравнения системы на любое отличное от нуля
число;
3) прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения
соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое
число.
2.2. Характеристика методов решения СЛАУ.
Все методы решения СЛАУ делятся на две группы – прямые и итерационные
(повторяющиеся).
Прямые методы
Итерационные методы
Дают решение после выполнения
конечного числа операций.
Используют последовательные
приближения (итерации) к искомому
результату.
«+» Позволяют получить решение с
любой заданной точностью.
«+» Достаточно универсальны,
всегда дают результат, причем
за конечное, заранее известное,
число шагов.
«-» Нет сведений о точности
полученного решения.
«-»
При их использовании заранее
неизвестно количество
предстоящих итераций.
В некоторых случаях вообще
не дают решения.
2.3. Прямые методы решения СЛАУ: метод Гаусса.
Рассмотрим СЛАУ (2), состоящую из n уравнений с n неизвестными:
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2
2n n

 ....................
a n1 x1  an 2 x 2  ...  ann xn  bn
(2)
Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных
наиболее распространенный из точных (прямых) методов решения СЛАУ.
Прямой ход приводит систему (2) к эквивалентной ей системе вида (2’).
~
 x1  a~12 x 2  ...  a~1n x n  b1

~
x 2  ...  a~2 n x n  b2


....................
~

a~nn x n  bn

15
( 2 )
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих
уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и
последующих уравнений и так далее. Таким образом, в последнем уравнении
остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют
следующие известные правила:
- любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;
- можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо
одного из этих уравнений.
Переход от системы (2) к системе ( 2 ) возможен при выполнении следующих
преобразований. Пусть a11  0 (если это не так, то можно поменять местами два
уравнения системы). Разделим все члены первого уравнения системы (2) на a11 , все
члены второго уравнения на a 21 , третьего – на a31 , и так далее. Если какой-то из
этих коэффициентов равен нулю, то соответствующее уравнение не
преобразовывается. Затем вычтем из второго, третьего , …, n-ого уравнения
соответствующие части первого, получим
 x 2  ...  a1n xn  b1
 x1  a12

 x 2  ...  a 2 n xn  b2
a 22


..............


 xn  bn
a n 2 x 2  ...  a nn
Первое уравнение оставим без изменений, а оставшиеся преобразуем
аналогично. Так последовательно систему (2) приводим к виду ( 2 ).
Обратный ход: последовательно вычисляют значения всех неизвестных,
начиная с последнего.
8 x1  x 2  x3  26

Пример. Решить СЛАУ  x1  5 x 2  x3  7 методом Гаусса.
x  x  5x  7
2
3
 1
Решение. Прямой ход.
1
1
1

 x1  8 x 2  8 x3  3 4

Разделим все члены первого уравнения на 8, получим:  x1  5 x 2  x3  7
.
x  x  5x  7
2
3
 1

1
1
1

 x1  8 x 2  8 x3  3 4

7
1
3

4 x 2  1 x3  3
Вычтем из второго и третьего уравнений первое: 
.
8
8
4

1
7
3

 1 x 2  4 x3  3

8
8
4

7
1
Разделим все члены второго уравнения на 4 , а третьего – на  1 , получим
8
8
16
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
1
1
1

 x1  8 x 2  8 x3  3 4

3
10

x 2  x3 
.

13
13

1
1

x 2  4 x 3  3

3
3

1
1
1

 x1  8 x2  8 x3  3 4

3
10

x2  x3 
Вычтем из третьего уравнения второе: 
13
13

4
4

 4 x3  4

39
39

Прямой ход завершен.
Обратный ход: выразим из последнего уравнения системы x3 .
x3  4
4 
4
:  4   1.
39 
39 
10 3
10 3
 x3 
 1  1 .
13 13
13 13
1 1
1
1 1
1
Из первого уравнения выразим x1  3  x3  x 2  3   1   1  3 .
4 8
8
4 8
8
 x1  3

Получаем следующее решение системы:  x 2  1 .
x  1
 3
Убедимся, что найдено верное решение системы, подставив его в исходную
систему уравнений:
8  3  1  1  26

3  5  1  1  7 .
3  1  5  1  7

Из второго уравнения выразим x 2 
2.4. Итерационные методы решения СЛАУ.
2.4.1. Метод итераций (метод последовательных приближений).
Приближенные методы решения СЛАУ позволяют получать значения корней
системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых
векторов. Процесс построения такой последовательности называется итерационным
(повторяющимся).
Эффективность применения приближенных методов зависит от выбора
начального приближения и быстроты сходимости процесса.
Рассмотрим СЛАУ (2), состоящую из n уравнений с n неизвестными:
17
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2
2n n

 ....................
a n1 x1  an 2 x 2  ...  ann xn  bn
(2)
Предполагаем, что диагональные коэффициенты aii  0 (i = 1, 2,…, n), выразим
x1 через первое уравнение системы, x2 - через второе уравнение и т. д. В результате
получим систему ( 3 ), эквивалентную системе (2).
a
a
b
a

x1  1  12 x 2  13 x3  ...  1n xn

a11 a11
a11
a11

a
a
b
a

x 2  2  21 x1  23 x3  ...  2 n xn
( 3 )
a 22 a 22
a 22
a 22


....................

a n ,n 1
bn a n1
a

xn 

x1  n 2 x 2  ... 
x

a nn a nn
a nn
a nn n1
Обозначим
aij
bi
  ij , где i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n. Тогда система
 i ; 
aii
aii
( 3 ) запишется таким образом:
x1   1   12 x 2   13 x3  ...   1n x n


x 2   2   21 x1   23 x3  ...   2 n x n


....................


x n   n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 x n1

(3)
Система (3) называется системой, приведенной к нормальному виду.
За начальное (нулевое) приближение к точному решению СЛАУ примем
столбец свободных членов:
 x1( 0)    1 

  
( 0)

  
x
x ( 0)   2    2  - нулевое приближение.
   
 x ( 0)    n 
 n 
(i )
Пояснение к обозначению: x j
- верхний индекс (i) обозначает номер
итерации (приближения), нижний j – номер неизвестного в уравнении.
Далее находим последовательные приближения к точному решению СЛАУ.
1-я итерация.
(1)
(0)
(0)
(0)

 x1(1) 
x1   1   12 x 2   13 x3  ...   1n xn



(1)
(0)
(0)
(0)
(1)


x




x


x

...


x
x

2
2
21 1
23 3
2n n
x (1)   2 

....................

 
(1)
(0)
(0)
(0)
 x (1) 

x n   n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 xn1
 n 

2-я итерация.
18
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования







x1   1   12 x 2   13 x3  ...   1n xn
( 2)
(1)
(1)
(1)
x 2   2   21 x1   23 x3  ...   2 n xn
....................
( 2)
(1)
(1)
(1)
x n   n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 xn1
( 2)
(1)
(1)
(1)
И т.д.
(k+1)-я итерация.
( k 1)
(k )
(k )
(k )

x1
  1   12 x 2   13 x3  ...   1n xn

( k 1)
(k )
(k )
(k )
x2
  2   21 x1   23 x3  ...   2 n xn


....................

( k 1)
(k )
(k )
(k )

xn
  n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 xn1

x ( 2)
x ( k 1)
 x1( 2 ) 


 x 2( 2 ) 


 
 x ( 2) 
 n 
 x1( k 1) 


 x 2( k 1) 


 
 x ( k 1) 
 n 
Если выполнены условия сходимости итерационного процесса (см. п. 2.4.3), то
(0)
(1)
(k )
можно доказать, что последовательность x , x ..., x ,... сходится к точному
решению системы (2).
2.4.2. Метод Зейделя.
Метод Зейделя представляет собой модификацию метода последовательных
приближений. Процесс Зейделя сходится к точному решению СЛАУ быстрее метода
итераций.
Пусть система (2) приведена к нормальному виду (3).
x1   1   12 x 2   13 x3  ...   1n x n


x 2   2   21 x1   23 x3  ...   2 n x n


(3)
....................


x n   n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 x n1

Начальное приближение выбираем аналогично методу итераций:
 x1( 0)    1 

  
( 0)

  
x
x ( 0)   2    2  .
   
 x ( 0)    n 
 n 
В методе Зейделя при вычислении (k+1)-го приближения неизвестного xi (i>1)
учитываются уже найденные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x1 , x2 ..., xi 1 .
1 итерация.
(1)
(0)
(0)
(0)

 x1(1) 
x1   1   12 x 2   13 x3  ...   1n xn



(1)
(1)
(0)
(0)
(1)


x




x


x

...


x
x

2
2
21 1
23 3
2n n
x (1)   2 

....................

 
(1)
(1)
(1)
(1)
 x (1) 

x n   n   n1 x1   n 2 x 2  ...   n ,n 1 xn1
 n 

19
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
x2(1) уже найдено x1(1) , его и используем при
(1)
(0)
(1)
(1)
(1)
вычислении, а не x1 . К моменту нахождения xn уже найдены x1 , x 2 ,..., x n 1 , их и
К моменту нахождения
(0)
( 0)
(0)
используем вместо x1 , x 2 ,..., x n 1 .
И т.д.
(k+1)-я итерация.
( k 1)
(k )
(k )
(k )

x1
  1   12 x 2   13 x3  ...   1n xn

( k 1)
( k 1)
(k )
(k )
x2
  2   21 x1
  23 x3  ...   2 n xn


....................

( k 1)
( k 1)
( k 1)
( k 1)

xn
  n   n1 x1
  n 2 x2
 ...   n ,n 1 xn1

x ( k 1)
 x1( k 1) 


 x 2( k 1) 


 
 x ( k 1) 
 n 
И т.д.
Таким образом, на каждой итерации используется самая свежая информация,
только что полученная на этой же итерации.
2.4.3. Условия сходимости и окончания итерационного
процесса.
Рассмотрим СЛАУ (2).
 a11 x1  a12 x 2  ...  a1n xn  b1
 a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2
2n n

 ....................
a n1 x1  an 2 x 2  ...  ann xn  bn
(2)
Условие сходимости итерационного процесса.
Доказано, что для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы
модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения были не меньше (  )
суммы модулей всех остальных коэффициентов этого уравнения, т.е.
a11  a12  a13  ...  a1n
a 22  a 21  a 23  ...  a 2 n
(4)
..........................................
a nn  a n1  a n 2  ...  a n,n 1
При этом хотя бы для одного уравнения неравенства (4) должны выполняться
строго.
Если условие сходимости (4) не выполнено, то мы получаем расходящийся
(0)
(1)
(k )
процесс, при котором последовательные приближения x , x ..., x ,... все дальше
«уходят» от точного решению СЛАУ.
Условие окончания итерационного процесса.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значение x(k), не станет
 x1( k ) 
 x1( k 1) 




( k 1)
(k )




x
x
достаточно близким к x(k+1). Близость двух векторов x ( k )   2  и x ( k 1)   2 
 
 
 x ( k 1) 
 x (k ) 
 n 
 n 
20
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
характеризуется
  max x
1i  n
(k )
i
x
( k 1)
i
максимальной
абсолютной
величиной
их
разности
. Тогда при заданной точности вычислений  > 0 критерием
окончания итерационного процесса является:    , т.е.
(5)
  max | xi( k )  xi( k 1) |  .
i
Запишем условие (5) более подробно
| x1( k )  x1( k 1) | 
| x 2( k )  x 2( k 1) | 
.........................
| x n( k )  x n( k 1) | 
При выполнении этого условия итерационный процесс называется
сходящимся. В этом случае максимальные разности между значениями
соответствующих неизвестных в двух последовательных итерациях убывают, а сами
значения стремятся к решению системы.
Таким образом, при выполнении условия (5), приближенным решением СЛАУ
 x1( k 1) 


( k 1)


x
(2) с точностью  считается x ( k 1)   2  .
 
 x ( k 1) 
 n 
2.4.4. Пример применения метода итераций и метода Зейделя.
8 x1  x 2  x3  26

Решим ту же систему, которую решали методом Гаусса  x1  5 x 2  x3  7 ,
x  x  5x  7
2
3
 1
2
методом итераций и методом Зейделя с точностью   10 .
 x1  3

Напомним, что точное решение системы нами уже получено:  x 2  1 .
x  1
 3
Решение.
8  1  1 верно
1. Проверим условие сходимости: 5  1   1 верно
5   1  1 верно
выполнено (иначе можно
Условие сходимости
уравнения в системе).
2. Приводим систему к нормальному виду.
8 x1  26  x 2  x3
 x1  3,25  0,125 x 2  0,125 x3


5 x 2  7  x1  x3   x 2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
5 x  7  x  x
 x  1,4  0,2 x  0,2 x
1
2
1
2
 3
 3
3. Выбираем начальное приближение.
21
было
бы
переставить
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
 x1( 0)   3,25 

 

x ( 0)   x 2( 0)   1,4 
 (0)  
 x 2  1,4 


4. Итерационный процесс.
Метод итераций
1 итерация
Метод Зейделя
1 итерация
 x1(1)  3,25  0,125 x 2 ( 0 )  0,125 x3 ( 0)
 (1)
(0)
(0)
 x 2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 (1)
(0)
(0)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x 2
 x1(1)  3,25  0,125  1,4  0,125  1,4  2,9
 (1)
 x2  1,4  0,2  3,25  0,2  1,4  1,03
 (1)
 x3  1,4  0,2  3,25  0,2  1,4  1,03
x (1)
 x1(1)  3,25  0,125 x 2 ( 0 )  0,125 x3 ( 0)
 (1)
(1)
(0)
 x 2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 (1)
(1)
(1)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x 2
 x1(1)  3,25  0,125  1,4  0,125  1,4  2,9
 (1)
 x2  1,4  0,2  2,9  0,2  1,4  1,1
 (1)
 x3  1,4  0,2  2,9  0,2  1,1  1,04
 x1(1)   2,9 

 

(1)

 x2   1,03
 (1)  
 x2  1,03


x (1)
 x1(1)   2,9 

 

(1)

 x 2   1,1 
 (1)  
 x 2  1,04 


| x1( 0)  x1(1) | 3,25  2,9  0,35
| x1( 0)  x1(1) | 3,25  2,9  0,35
| x2( 0)  x2(1) | 1,4  1,03  0,37
| x2( 0)  x2(1) | 1,4  1,1  0,3
| x3( 0)  x3(1) | 1,4  1,03  0,37
| x3( 0)  x3(1) | 1,4  1,04  0,36
  max | xi(0)  xi(1) | 0,37  
  max | xi(0)  xi(1) | 0,36  
Требуемая точность не достигнута
2 итерация
Требуемая точность не достигнута
2 итерация
 x1( 2)  3,25  0,125 x2 (1)  0,125 x3 (1)
 ( 2)
(1)
(1)
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 ( 2)
(1)
(1)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x1( 2)  3,25  0,125  1,03  0,125  1,03  2,993
 ( 2)
 x2  1,4  0,2  2,9  0,2  1,03  1,026
 ( 2)
 x3  1,4  0,2  2,9  0,2  1,03  1,026
 x1( 2)  3,25  0,125 x2 (1)  0,125 x3 (1)
 ( 2)
( 2)
(1)
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 ( 2)
( 2)
( 2)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x1( 2)  3,25  0,125  1,03  0,125  1,03  2,983
 ( 2)
 x2  1,4  0,2  2,993  0,2  1,04  1,011
 ( 2)
 x3  1,4  0,2  2,983  0,2  1,011  1,006
1i 3
x ( 2)
1i 3
 x1( 2)   2,993 

 

  x 2( 2)   1,026 
 ( 2)  
 x 2  1,026 


x ( 2)
22
 x1( 2)   2,983 

 

  x 2( 2)   1,011 
 ( 2)  
 x 2  1,006 


Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
| x1(1)  x1( 2) | 2,9  2,993  0,093
| x1(1)  x1( 2) | 2,9  2,983  0,083
| x2(1)  x2( 2) | 1,03  1,026  0,004
| x2(1)  x2( 2) | 1,1  1,011  0,089
| x3(1)  x3( 2) | 1,03  1,026  0,004
| x3(1)  x3( 2) | 1,04  1,006  0,034
  max | xi(1)  xi( 2) | 0,093  
  max | xi(1)  xi( 2) | 0,089  
Требуемая точность не достигнута
3 итерация
Требуемая точность не достигнута
3 итерация
1i 3
1i 3
 x1(3)  3,25  0,125 x2 ( 2)  0,125 x3 ( 2)
 x1(3)  3,25  0,125 x2 ( 2)  0,125 x3 ( 2)
 (3)
 (3)
( 2)
( 2)
( 3)
( 2)
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 ( 3)
 ( 3)
( 2)
( 2)
( 3)
( 3)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x1(3)  3,25  0,125  1,026  0,125  1,026  2,994 x1(3)  3,25  0,125  1,011  0,125  1,006  2,998
 (3)
 (3)
 x2  1,4  0,2  2,993  0,2  1,026  1,007
 x2  1,4  0,2  2,998  0,2  1,006  1,002
 ( 3)
 ( 3)
 x3  1,4  0,2  2,993  0,2  1,026  1,007
 x3  1,4  0,2  2,998  0,2  1,002  1,001
x ( 3)
 x1(3)   2,994 

 

  x 2(3)   1,007 
 ( 3)  
 x 2  1,007 


x ( 3)
 x1(3)   2,998 

 

  x 2(3)   1,002 
 ( 3)  
 x 2  1,001 


| x1( 2)  x1(3) | 2,993  2,994  0,001
| x1( 2)  x1(3) | 2,983  2,998  0,015
| x2( 2)  x2(3) | 1,026  1,007  0,019
| x2( 2)  x2(3) | 1,011  1,002  0,009
| x3( 2)  x3(3) | 1,026  1,007  0,019
| x3( 2)  x3(3) | 1,006  1,001  0,005
  max | xi( 2)  xi(3) | 0,019  
  max | xi( 2)  xi(3) | 0,015  
Требуемая точность не достигнута
4 итерация
Требуемая точность не достигнута
4 итерация
1i 3
1i 3
 x1( 4)  3,25  0,125 x2 (3)  0,125 x3 (3)
 x1( 4)  3,25  0,125 x2 (3)  0,125 x3 (3)
 ( 4)
 ( 4)
( 3)
( 3)
( 4)
( 3)
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 x2  1,4  0,2 x1  0,2 x3
 ( 4)
 ( 4)
( 3)
( 3)
( 4)
( 4)
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x3  1,4  0,2 x1  0,2 x2
 x1( 4)  3,25  0,125  1,007  0,125  1,007  2,998 x1( 4)  3,25  0,125  1,003  0,125  1,003  2,999
 ( 4)
 ( 4)
 x2  1,4  0,2  2,994  0,2  1,007  1,003
 x2  1,4  0,2  2,999  0,2  1,003  1,001
 ( 4)
 ( 4)
 x3  1,4  0,2  2,994  0,2  1,007  1,003
 x3  1,4  0,2  2,999  0,2  1,001  1,000
23
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
x ( 4)
 x1( 4)   2,998 

 

  x 2( 4)   1,003 
 ( 4)  
 x 2  1,003 


x ( 4)
 x1( 4)   2,999 

 

  x 2( 4)   1,001 
 ( 4)  
 x 2  1,000 


| x1(3)  x1( 4) | 2,994  2,998  0,004
| x1(3)  x1( 4) | 2,998  2,999  0,001
| x2(3)  x2( 4) | 1,007  1,003  0,004
| x2(3)  x2( 4) | 1,002  1,001  0,001
| x3(3)  x3( 4) | 1,007  1,003  0,004
| x3(3)  x3( 4) | 1,001  1,000  0,001
  max | xi(3)  xi( 4) | 0,004  
  max | xi(3)  xi( 4) | 0,001  
Требуемая точность достигнута
Ответ
 x1   3,00 
  

2
x   x 2   1,00  с точностью   10 .
 x  1,00 

 4 
Требуемая точность достигнута
Ответ
 x1   3,00 
  

2
x   x 2   1,00  с точностью   10 .
 x  1,00 

 4 
1i 3
1i 3
2.5. Практикум.
1. Если две системы с одинаковым количеством неизвестных имеют одинаковые
решения, то они называются
a) несовместными;
b) эквивалентными;
c) однозначными;
d) однородными.
2. При решении СЛАУ методом Гаусса допустимо
a) умножение обеих частей уравнения на любое число;
b) перестановка двух уравнений системы;
c) умножение правой части уравнения на любое, отличное от 0 число;
d) умножение коэффициентов при одном неизвестном во всех уравнениях
системы на любое, отличное от 0 число.
 x1  5 x2  4 x3  2

  x2  4 x3  10
 x  9 x  17 x  33
2
3
3. Решением системы уравнений  1
методом Гаусса является:
2 2
 1
 33 ;10 ; 5  ;
3 3  b)
a)  3
 2; 0; 3 ;
c)
 0; 2; 3 ;
d)
112,84; 20,14; 2,535 .
4. Для какой из систем сразу выполняется условие сходимости итерационного
процесса?
24
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
a)
35, 4 x1  17 ,5 x2  17 ,9 x3  82 ,1

 15,3x1  25,4 x2  7 ,5 x3  89 ,2
 14,6 x  13,5 x  38,7 x  32 ,1
1
2
3

c)
7 ,5 x1  3,8 x2  4, 25 x3  24

 4,7 x1  10,3x2  6,1x3  6
 3,9 x  5,3x  7 ,5 x  1
1
2
3

b)
 2 x1  x2  3x3  9

 x1  2 x2  x3  2
3x  2 x  2 x  7
2
3
 1
d)
 11x1  5 x2  6 x3  8

10 x1  11x2  x3  20
4 x  7 x  11x  50
2
3
 1
5. Чем характеризуются итерационные методы решения СЛАУ?
a) Всегда дают результат за конечное число шагов;
b) заранее неизвестно количество предстоящих итераций;
c) полученные решения иногда не являются достаточно точными;
d) нет сведений о степени точности.
6. Как выглядит система, приведенная к нормальному виду?
a)
 24,1x1  23,7 x2  6 ,3 x3  13,7

x1  x2  3x3  13,5

3,65 x  5,13 x  4 ,67 x  35,3
1
2
3

 x1  13,5  9, 4 x2  15,7 x3

 x1  3,8  6, 2 x2  2,9 x3
 x  1,67  5, 23 x  3,45 x
2
3
b)  1
12 ,6 5,8
6 ,2

 x1  14 ,6  14 ,6 x2  14 ,6 x3

24 ,7 4 ,1
2 ,9


x1 
x3
 x2 
6
,
3
6
,
3
6
,
3


14 ,9 13,5
14 ,3

x1 
x2
 x3 
17 ,8 17 ,8
17 ,8
c) 
1

 x1  35,8  23,8  13,9 x2  24 ,6 x3 

1

16,8  17 ,3x1  15, 2 x3 
 x2 
24
,
9


1
 25,7  20, 4 x1  28, 4 x2 
 x3 
19 ,9
d) 
x  5 y  z  1

7. Дана система 3x  y  z  0 , задано начальное приближение (0, 0, 0). Один шаг
 x  y  4 z  1

метода Зейделя дает первое приближение.
a)
(0, 0, 0)
1 1
b)
(0, 5 , 4 )
1 1
c)
(0, 5 , 5 )
1
d)
(1, 0, 4 )
1
1
e)
(1, -3, 4 )
25
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования
8. Для сходимости метода Зейделя уравнения в системе
 0,23x1  12,8 x2  2,3x3  7,31 (1)

2,35 x1  2,87 x2  15 x3  5,73 (2) надо записать в следующем порядке:
17,5 x  4,1x  1,7 x  6,8 (3)
1
2
3

a)
2, 1, 3
b)
1, 2, 3
c)
3, 1, 2
d)
3, 2, 1
e)
1, 3, 2
x  y  z  1

9. Решить систему  x  z  0 методом Гаусса.
y  z  2

X = __________,
Y = __________,
Z = __________.
Ответы.
1
b
9.
2
b
3
c
4
a
5
b
6
c
7
c
8
c
1
3
2
Y= 1
3
1
Z=
3
X= 
26