2. Учитывая эти ограничения и выполняя необходимые

МАТЕМАТИКА
Рациональные уравнения. Системы уравнений.
Уравнения, содержащие модуль.
Задания №1 для 10-х классов
2013-2014 учебный год
Составила: к.п.н., доцент Храмова Н.Н.
Пенза, 2013
10 класс
Тема 1: ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ
I Теоретическая часть
1.
Тождество. Тождественное преобразование выражений
Определение 1. Если соответственные значения двух выражений,
содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях
переменных, то выражения называются тождественно равными.
Определение 2. Тождеством называется равенство, верное при всех
допустимых значениях входящих в него переменных.
Примеры тождественно равных выражений:
Примеры тождеств:
- тождество при всех значениях а, кроме а = 1, поскольку при а
= 1 знаменатели дробей обращаются в 0, т.е. дроби не будут иметь смысла.
Определение 3. Замена одного выражения другим, тождественно равным
ему, называется тождественным преобразованием выражения.
2.
Степень с целым показателем и её свойства
Определение 4. Пусть а – действительное число, а п – натуральное число,
большее 1, п-й степенью числа а называют произведение п множителей, каждый из
которых равен а.
Число а – основание степени, п- показатель степени.
Если п=1, то полагают
п раз
Пример:
Определение 5. Если
Определение 6.
.
.
Пример:
.
Справедливо равенство
Свойства степеней с целым показателем.
1.
2.
3.
4.
5.
Пример: Вычислить значение выражения
при а= 0,5
Формулы сокращённого умножения
3.
Модуль действительного числа
Определение 7. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а
называется само это число, если а ≥ 0, и противоположное ему число – а, если а < 0.
Модуль числа обозначается
.
Пример: 1)
2)
4. Корень п-степени
показателем.
и
его
свойства.
Степень
с
рациональным
Определение 8. Арифметическим корнем п-ой (п≠1) степени из
неотрицательного числа а, называется неотрицательное число в такое, что
.
Свойства арифметического корня п-степени (
1.
3.
2.
4.
5.
Пример. Упростить а)
; б)
;
Определение 9. Корнем нечётной степени п из отрицательного числа а
(п=3,5,…) называют такое отрицательное число, при возведении которого в степень
п получается число а.
Определение 10. Если а ≥ 0 и п и т – натуральные числа, п ≥ 2, то
Пример.1)
II Решение типовых заданий
Преобразование степенных выражений
1)Упростите
2)Вычислите
Действия с многочленами
1)Упростите
2)Найти наименьшее значение выражения
значениях а и b оно достигается?
Решение:
. При каких
Ответ: 1 при
3)Докажите, что при всех значениях переменных выражение
принимает неотрицательные значения
Решение: Введём новую переменную t = x – y, тогда
, так как
.
Разложение многочленов на множители
Разложите на множители
- способ группировки и вынесения общего множителя
1)
- применение формул сокращённого умножения
2)
- нахождение корней многочлена
3)
Решение:
относительно х.
Решим
уравнение
как
квадратное
,
Преобразования дробно-рациональных выражений
1)Упростите
1.
.
2.
3.
.
.
Ответ:
2)Известно, что
. Найдите значение выражения
Преобразование выражений, содержащих модуль
1)Упростите выражение
Решение:
При
При
.
Ответ:
Преобразования, содержащие иррациональные выражения
Представление подкоренного выражения в виде полного квадрата или куба
1)Вычислите
Решение:
, поскольку
Ответ: 10.
Умножение числителя и знаменателя дроби на число, сопряжённое знаменателю
2)Вычислите
Возведение всего выражения в квадрат
3)Выражение
является целым числом. Найдите его.
Пусть А =
Так как А<0, то А= -
. Рассмотрим
= - 2. Ответ: -2.
Введение новой переменной
4)Найдите значение выражения
Решение: Пусть
при х = 2013.
. Исходное выражение имеет вид
При х = 2013 получим
.
Ответ: -2
Тема 2: ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ
Рассмотрим уравнение f(а,х)=0. Если стоит задача для каждого значения а
решить это уравнение относительно х, то а называется параметром, а все эти
значения параметра, при которых f(а,х) определены допустимыми значениями а.
При решении уравнения с параметром выделяют три основных этапа.
1. Находим систему допустимых значений а и х (иначе говоря, из условия
задачи выясняем, какие значения не могут принимать параметр а и неизвестная х).
2. Выполняя необходимые преобразования, проводим
решение
уравнения с учетом наложенных на параметр ограничений. Если при решении
возникают контрольные значения параметра, то их нанести на числовую ось Оа. Эти
значения разобьют область допустимых значений параметра на подмножества. На
каждом из получившихся подмножеств решить заданное уравнение.
3. Проверяем, удовлетворяют ли полученные корни условиям из (1)
(иначе говоря, выясняем, нет ли "запрещенных" значений корней, и если таковые
есть, то при каких значениях параметра они получаются).
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров, в которых требуется
решить соответствующее уравнение.
Линейные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним
Пример 1.
а2х14=(7х)а+2х.
Решение.
1.Здесь параметр а и переменная х могут принимать любые значения.
2.Выполнив необходимые преобразования,
относительно х: (а2+а2)х=7а+14.
а) Если а2+а20,т.е. а1 и а2,
решение
х
получаем
линейное
уравнение
то уравнение имеет единственное
7 а  14
7

.
2
а  а  2 а 1
б) Если а=-2,то уравнение принимает вид: 0х=0 и его решением является
любое число.
в) Если а=1, то уравнение имеет вид: 0.х=21,т.е не имеет решений.
Ответ: при а1, а 2 х 
7
;
а 1
при а=2 х – любое число;
при а=1 решений нет.
Пример 2.
1 а
а2 1

0
а( х  1)
а
Решение:
1.Уравнение имеет смысл при а0, x1.
2.Учитывая эти ограничения и выполнив необходимые преобразования, получаем
уравнение: (а21)х=а2+а2
(*)
а). Если а210, т.е. а1, уравнение (*) имеет единственное решение
х
а2
;
а 1
б). Если а=1, то уравнение (*) принимает вид: 0х=0 и его решением
является любое число;
в). Если а=1, то уравнение (*) принимает вид 0х=2,т.е. не имеет решений.
3. Среди корней уравнения (*) х=1 получается только при а=1 (т.к.
а2
не
а 1
может равняться 1 ни при каких значениях а). Поэтому записывая ответ для
исходного уравнения в случае а=1, мы должны исключить х=1.
Замечание. Так как при а=0 исходное уравнение не имеет смысла, то разумеется,
при этом значении параметра оно и не имеет решений. Поэтому при записи ответа
а=0 можно отнести именно к этому случаю.
Ответ: при а0, а1 х 
а2
;
а 1
при а=1 х – любое число, кроме х=1;
при а=0, а=1 решений нет.
Пример 3
2
1
х3


а  1 (1  а)( х  2) х  2
Решение.
1.Уравнение имеет смысл при а 1, х2.
2.Выполнив преобразование, получаем уравнение (а3)х=3а
а). Если а3, то уравнение (*) имеет решение х 
(*)
3а
.
а3
б). Если а=3, то уравнение (*) решений не имеет.
3.Подставив х=2 в (*), получаем а 
Ответ:
6
.
5
6
3а
.
,а3 х 
5
а3
6
при а=1, а  , а=3 решений нет.
5
при а1, а
Пример 4.
х
12а 2  4ах  х 2

.
2а  х
4а 2  х 2
Решение.
1.
2.
х2а.
Выполнив преобразования, получаем уравнение: ах=2а2.
а). Если а0, то уравнение (*) имеет решение: х=2а.
(*)
б). Если а=0, то решением уравнения (*) является любое число.
3. х=2а не может быть корнем исходного уравнения. Следовательно, при а0 данное
уравнение не имеет решений. Если же а=0, то из решений следует исключить х=2.0,
т.е. х=0.
Ответ: при а=0 х – любое число, кроме х=0;
при а0 решений нет.
Квадратные уравнения с параметром и уравнения, сводящиеся к ним
Пример 1.
ах2+(2а).х+а1=0
Решение.
1.
2.
Здесь а и х могут принимать любые значения.
Прежде всего обращаем внимание на коэффициент при х2.
а). Если а=0, то получаем линейное уравнение: 2х-1=0, которое имеет
единственное решение х=
1
.
2
б). Если а0, то имеем квадратное уравнение, наличие и количество решений
которого зависит от дискриминанта:
D=(2-а)2-4(а-1)а=4-3а2.
2 2 
;
.
 3 3
а) 4-3а20, т.е. а 
При этих значениях а (исключая а=0) уравнение имеет два различных
корня
х1, 2 
а  2  4  3а 2
.
2а
б) а=
Если а=
2
3
. При этих значениях а уравнение имеет единственный корень.
2
3
, то х=

2
1 3
1 3
. , то х=
; если а=
.
2
2
3
в). При а   ,


2   2
  
,  уравнение корней не имеет.
3  3

Ответ:
а  2  4  3а
 2   2 
при а   
;
,0    0,
 х1,2=
3  
3
2а

2
при а=
при а=
2
3
2
3
х=
1 3
;
2
х=
1 3
;
2
при а=0 х=
1
;
2

при а   ,


2   2
  
,  решений нет.
3  3

Пример 2.
4  3а
х
2х


(а  1)( х  2) а  1 2  х
Решение:
1. а1, х2.
2. Учитывая эти ограничения и выполняя необходимые преобразования, получаем
уравнение: х2+2ах+4-3а=0 (*). Это уравнение является квадратным независимо от
значений а.
D=4а2-4(4-3а)=4(а2+3а-4).
а) а2+3а-40,т.е. а
 ,4  1, .
При этих значениях а уравнение (*) имеет два корня:
х1, 2  а  а 2  3а  4 .
б). Если а=4, то х=4.
Если а=1, то х=1.
в) Если а(-4,1), то уравнение (*) решений не имеет.
3. Пусть один из корней уравнения (*) равен 2.
Тогда 22+2а.2+4-3а=0, т.е. а=8. Однако при этом значении а уравнение (*) имеет
еще один корень х=14, который удовлетворяет исходному уравнению.
Замечание: а=1 (4,1).
Ответ: при а
 ,8   8,4  1,
при а=4 х=4;
при а=1 х=1;
при а=8 х=14;
при а (4,1) решений нет.
х  а  а 2  3а  4 ;
Контрольная работа № 1
(Тождественные преобразования. Простейшие уравнения с параметром)
1. Найдите значения числовых выражений а)
б)
в)
.
2. Упростите а)
;
б)
в)
б)
3. Разложите на множители а)
4.Сократите дробь
5.Упростите
б)
;
;
а)
;
б)
;
в)
6.Найдите значение выражения
а)
в)
;
б)
;
; г)
7.Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких
значениях x и y оно достигается
8. Положительные числа а и в связаны соотношением
Найдите значение выражения
.
.
9.Для каждого значения параметра а решите уравнение
а)
в)
;
г)
10. Для каждого значения параметра а решите уравнение
а)
в)
;
2х  1 2х
ах  2
.

 2
ха
а
а  ах