КРИТИКА «ОПЫТА НОВОГО ИСТОЛКОВАНИЯ МНИМОСТЕЙ» И

ТЕОРИЯ МНИМОСТЕЙ ПАВЛА ФЛОРЕНСКОГО
Александр Ефремов1
Трагической биографии и творческому наследию П.А.Флоренского посвящено много публикаций; сегодня он в целом характеризуется как выдающийся российский богослов, философ, инженер, математик, ученый-энциклопедист, один из замечательных представителей русской культуры «серебряного века» (см., например, [1,2] и включенные ссылки). Но
в данном сообщении будут рассмотрены и обсуждены лишь два узких аспекта его научнофилософской деятельности: математическому исследованию в области комплексных чисел и связанной с этим модели мироздания.
Но при обсуждении этих вопросов с необходимостью придется остановиться на одном из
важнейших научно-философских аспектов, связанных с понятиями абсолютной информации и информации сознания. Анализ этой проблемы в данном уникальном случае покажет
и гибкость развитого ума, и заинтересованность верующего человека в поиске истины. Но
также высветится сильнейшая зависимость хода реальных событий от правильности
«настройки» человеческой информационной антенны, воспринимающей посылаемые ей
весьма нетривиальные сигналы.
В 1922 году Флоренский опубликовал небольшую монографию, имеющую, однако, достаточно обширное название: «Мнимости в геометрии. Расширение области двухмерных образов геометрии. Опыт нового истолкования мнимостей» [1]. В этой монографии сделана
попытка дать новую интерпретацию математических мнимых величин, «не выходя при
этом из первоначальных посылок аналитической геометрии на плоскости». Интерес Флоренского, православного священника – но вместе с тем и ученого-исследователя – к алгебре и геометрии комплексных чисел, безусловно, понятен. Быстрое развитие техники,
великие физические открытия конца XIX – начала XX в.в., торжество позитивистских
идей Огюста Конта, – все это не могло оставить равнодушным передовых людей своего
времени, к которым, безусловно, относился Павел Флоренский. Но мотивы научного поиска Флоренского как верующего человека в области математики обозначаются еще четче, если вспомнить одну из самых знаменитых фраз Готфрида Лейбница: «Мнимые числа
– самое подходящее место для обитания божественного духа…» [4]. Наверное, не сложно
понять, что этот мотив оказался далеко не последним в мотивации Флоренского самым
тщательным образом исследовать математику мнимых чисел, которые вместе с действительными числами формируют один из фундаментальных математических объектов – поле комплексных чисел.
К началу XX века уже была известна данная Гауссом, Риманом, Коши и Нейманом знаменитая геометрическая трактовка комплексных чисел: их множество моделируется в виде
некоторой двумерной поверхности, в частности плоскости, образованной двумя направлениями. Одно направление изображается в виде оси действительных чисел, другое – в виде
оси мнимых чисел.
В этой классической модели, широко используемой и в современных научных приложениях, Флоренский, однако, видит целый ряд недостатков.
Первый, по его мнению, недостаток состоит в том, что комплексная плоскость обычно
представляется как образ лишь множества независимых переменных, но не функций. Это
тонкое наблюдение может быть высоко оценено современными специалистами, работающими в сфере дифференциальной геометрии и в разделах математики изучающих классы
эквивалентности. Хотя, скорее всего, основной причиной первого замечания Флоренского
1
Ефремов Александр Петрович, Институт гравитации и космологии Российского университета дружбы
народов, Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6; a.yefremov@rudn.ru.
1
послужила его глубокая неудовлетворенность «тесноты» той самой мнимой оси - одномерного пространства мнимых чисел. Об этой причине можно, конечно, только догадываться, но последующее изложение с очевидностью демонстрирует желание расширить
геометрическую «вместительность» мнимого пространства.
Именно этот тезис звучит во втором замечании Флоренского. Так, он считает, что, математический аппарат теории комплексных чисел представляет собой скорее аналитический
инструмент, нежели целостное описание геометрии; именно по этой причине, по мнению
исследователя, в рамках этой математики возникают неоправданные «разрывы» геометрической картины. И здесь Флоренский прямо говорит, что для исправления ситуации необходимо «расширить область двумерных образов так, чтобы в систему пространственных
представлений вошли и мнимые образы».
Поиск «плоского мнимого пространства» философ начинает со своеобразной математической аксиоматики. Он утверждает, что мерой плоскости может быть только ее часть, но
никак не точки или линии – частные образования на ней. И здесь – по сути, в самом начале исследования – возникает первая серьезная методологическая погрешность, связанная с
недостатком уже известной к тому времени математической информации. К началу XX
века для описания искривленных пространств типа Лобачевского и Римана вполне сложился метрический подход, в основе которого лежит изучение и определение (с помощью
метрики) длины именно линий, принадлежащих этим пространствам, точнее, бесконечномалых отрезков этих линий. Отсутствие этого знания у Флоренского или сознательное
пренебрежение им имело очень серьезные последствия.
Вместо метрики и линий в качестве геометрической меры плоскости Флоренский предлагает считать площадь произвольного треугольника, лежащего в этой плоскости. Но прежде чем перейти к краткому обсуждению следствий этого предложения, стоит сделать небольшое отступление.
В литературе трудно найти сведения о профессоре, который учил Флоренского геометрии
в Московском университете в 1902 году. Не исключено, что он был творческий и увлеченный человек, поскольку смог увлечь способного студента геометрическими идеями.
Но также не исключено, что часть преподаваемого материала была преподнесена не достаточно тщательно – если не сказать поверхностно. Хотя можно допустить, что и сам
студент не вполне глубоко освоил те разделы геометрии, которые затем попытался развить и научно основать на них целую философскую концепцию. Но какими бы ни были
причины, в результате возникла ситуация, более известная для физики, чем для математики. Как у человека, смотрящего на небо, возникает иллюзия, что светила обращаются вокруг земли, так в случае с Флоренским и его учителем абсолютная информация о свойствах математического объекта отобразилась как искаженная информация сознания. И
здесь мы имеет два исторических примера, когда верное и ложное представление о реальности приводит к одному результату – жесткому преследованию со стороны большинства
несогласных. Человеком, который истинно утверждал, что отнюдь не светила, а Земля
вертится, был Галилей. Человеком, который на основе не точно понятой математики развил целую мировоззренческую систему, был Флоренский.
Итак, вернемся к предположению о гипотетической мере площади – плоскому треугольнику Флоренского. В тексте его монографии на странице 12 есть две такие короткие фразы.
2
«Пусть в плоскости P дан треугольник ABC…; координаты вершин его, отнесенные к
прямоугольным декартовым осям суть: A( x1 , y1 ); B( x 2 , y 2 ); C ( x3 , y3 ) . Тогда, как известно,
x1
площадь его   x 2
x3
y1 1
y 2 1 .»
y3 1
В этой формуле, к обсуждению которой мы еще вернемся, как видно, содержится определитель (детерминант) некоторой матрицы третьего ранга; его математические свойства
хорошо известны. В частности, если поменять местами две любые строчки или два любых
столбца, то знак детерминанта изменится на противоположный. Именно этот факт и заставил задуматься студента Флоренского: обход вершин треугольника против часовой
стрелки дает вроде бы положительный знак площади, а обход вершин по часовой стрелке
приводит к отрицательному значению площади. Не сложно сообразить, что такая же ситуация имеет место и для плоского квадрата. Отсюда делается далеко идущий вывод: «сторона квадрата отрицательной площади должна быть мнимой». А поскольку обход плоскости против часовой стрелки с «нижней» ее стороны, как несложно проверить, представляется обходом по часовой стрелке, Флоренский с энтузиазмом пишет, отмечая эту фразу
жирным шрифтом: «Новая интерпретация мнимостей заключается в открытии оборотной
стороны плоскости и приурочении этой стороне – области мнимых чисел».
Таким образом, оказывается, что любая плоскость (ранее – до Флоренского – считавшаяся
строго двумерным объектом) имеет две стороны и «толщину». На одной стороне плоскости действительные длины, на другой – мнимые, внутри – «комплексные длины», описываемые комплексными числами. Окрыленный этим открытием молодой исследователь детально классифицирует геометрические точки и линии различной природы, рассматривает
кривые, уходящие «вглубь» плоскости, и их поведение в особых точках. И почти через 20
лет, возвращаясь к этой теме, пытается показать, что и односторонние поверхности – неориентируемые пространства типа листа Мебиуса или бутылки Клейна – также имеют
«комплексную» структуру.
Последний 9-й параграф монографии написан в 1922 году, и, по сути, он не имеет отношения к теории мнимостей. Но, если воспринимать его содержание как искреннюю позицию автора, а не как едкую иронию по отношению к науке, то тезис об искаженной информации сознания, к сожалению, придется подтвердить. Хотя сам Флоренский, нужно
отдать ему должное, пишет, что изложил в этом параграфе всего лишь «несколько мыслей, по широте своего охвата и по ответственности не притязающих … на полную обоснованность». Действительно, заявления о приверженности геоцентрической парадигме,
абсолютной неподвижности Земли, и о существовании в районе планеты Нептун некой
демаркационной сферы, разделяющей земное и небесное бытие, уже в те достаточно передовые времена звучали, мягко говоря, гротескно. Но опять-таки цель понятна: Флоренскому, с одной стороны священнику и богослову, а с другой – ученому нужно найти то
«место», о котором за четверть тысячелетия до него говорил Лейбниц. И вооруженный
собственной теорией мнимостей Флоренский такое место находит за гипотетической демаркационной сферой. Он уверен и пишет: «Область мнимостей реальна, постижима, а на
языке Данта называется Эмпиреем». Современники не захотели понять идей Флоренского.
Есть сведения, что церковь к его научным изысканиям отнеслась более чем прохладно, а
власть светская от него просто избавилась: сначала изолировав от общества, а потом – физически.
Известно, что официальной причиной преследования Флоренского послужила именно эта
книга о мнимостях. Автор был обвинен в мистицизме, и финал научной работы оказался
трагическим. Но эту трагедию усугубляет то обстоятельство, что не только последние заявления 9-го параграфа оказались ошибочными: за орбитой Нептуна обнаружена еще пла3
нета Солнечной системы, а космический зонд Пионер передавал сигналы далеко из-за
пределов демаркационной сферы Флоренского, и Земля принимала их почти 20 лет. Самым неприятным в этой истории является тот факт, что и исходную позицию всей теории
мнимостей можно идентифицировать как математическую неточность, если не ошибку.
Вспомним вышеприведенную формулу площади треугольника: она требует коррекции,
поскольку площадь треугольника может быть лишь пропорциональна указанному детерминанту, но никак не равна ему. Во-первых, здесь должен быть скалярный коэффициент,
равный ½ (что проверяется прямым вычислением). Но, во-вторых, – и это главное – представление Флоренского о площади плоской фигуры неточно. В представлении через определитель площадь является не скалярной, а векторной величиной, что должно быть отражено наличием единичного вектора, направленного ортогонально плоскости. Именно таким образом определено понятие векторного произведения двух векторов: его результатом является также вектор, численно равный площади параллелограмма, построенного на
векторах-сомножителях как на сторонах:
x1
y1 1
x  y  n   e z x 2 y 2 1 , где n – единичный вектор, ортогональный плоскости (X-Y) и
x3 y 3 1
учитывающий порядок умножения векторов (или, что то же самое, – направление обхода
вершин треугольника); e z – постоянный направляющий вектор координатной оси (оси Z),
ортогональной плоскости. И если направление обхода вершин меняется на противоположное, то изменяется на противоположное и направление этого единичного вектора. Тогда знак минус при определителе будет компенсироваться знаком минус проекции единичного вектора на ось, ортогональную плоскости:
y1
x1 1
x1
y1 1
y  x  n   e z y 2 x 2 1  e z x 2 y 2 1 . Таким образом, не возникает никаких отрицаy 3 x3 1
x3 y 3 1
тельных площадей – и необходимости в представлении об «обратной стороне» плоскости.
Но Флоренский считает возможным довериться знанию, полученному в университете, и
лично не проводит проверки используемой формулы. Вместо этого в вышеприведенной
цитате он просто делает ссылку на чей-то авторитет и пишет: «как известно». По сути дела, этот факт являет собой яркий пример опоры в научных исследованиях на «научную
веру», – социальное явление, когда некие результаты, полученные ограниченным кругом
специалистов, становятся широко известными, а сами специалисты – авторитетами. Эти
результаты попадают в учебники, и тем, кто учится, нужно выбирать: или поверить тому,
что написано, или не поверить и повторить исследование. Конечно, в подавляющем большинстве случаев выбирается первое, и в социуме формируется значительная группа людей, убежденная в верности «освоенного материала»2. Руководствуясь такой верой, Флоренский использует неточную формулу векторного умножения, в результате появляется
странная с математической точки зрения, теория мнимостей.
Однако, замечая эти неточности и делая критические замечания, следует, тем не менее,
отметить высочайший уровень изощренности мысли Флоренского и его способность к
высококлассной научной систематике. Поиск месторасположения божественных сил он
сосредоточил не в изобретенные им самим эфемерные пространства, а в объективно нужДругой – кроме Флоренского – пример возникновения философской концепции, основанной на научной
вере, представлен вышедшей сравнительно недавно книгой историка Владимира Никитина: В.Н.Никитин,
Философия вечности: смысл жизни, смысл истории», М., изд. РУДН, 2004. В этой монографии излагается
достаточно целостная мировоззренческая позиция, базой для которой служат данные научных исследований
в физике и биологии конца XX века.
2
4
ную и надежную сферу – математику мнимых величин. Можно сожалеть о вкравшихся
математических неточностях, приведших исследователя уже на первом этапе к искаженному представлению о модели, но все дальнейшее исследование развиваемой им теории
комплексных плоскостей проведено аккуратно и системно. Боле того, интуиция Флоренского оказалась настолько сильной, что привлекла его к той формуле и к тому разделу
фундаментальной математики, где оказывается возможным существование пространств,
которые Флоренский безуспешно пытался построить.
Речь идет о математике кватернионных чисел, открытой Уильямом Гамильтоном в 1843
году. Одна из частей правила умножения этих чисел, по существу, и является той самой
формулой, которая так подробно обсуждалась выше, и в которой Флоренским была допущена методическая и смысловая ошибка. В целом ряде докладов на Рождественских чтениях и публикаций автор данного сообщения достаточно подробно демонстрировал, что в
среди базовых соотношений алгебры кватернионов с легкостью узнаются формулы многих физических законов механики, квантовой механики, электродинамики и теории некоторых калибровочных полей. Но один из самых сильных результатов – открытие в недрах
математики этих гиперкомплексных чисел теории практически полного, но особого изложения теории относительности. Одним из главных следствий этой теории является симметричная модель вселенной, состоящей из двух «параллельных» трехмерных миров,
один из которых есть наш физический мир, а второй – невидимый, но тоже трехмерный
мир, все размерности которого, с точки зрения земного наблюдателя, являются мнимыми.
Эти два мира разделены световым барьером, непреодолимым для тел с ненулевой массой
покоя. Но это обстоятельство не отрицает возможности связи между ними средствами,
пока не описанными точными математическими формулами. Однако религиозный и иной
опыт человечества свидетельствует о том, что такое физическое взаимодействие, скорее
всего, возможно.
Не останавливаясь более на свойствах парной вселенной, полезно на обобщенной схеме
развития теоретической показать, в каком направлении работала мысль Флоренского. Источниками этой работы были два направления: физическое и математическое. Физика
представлена, в основном, Максвеллом, объединившим разрозненные уравнения электричества и магнетизма в систему уравнений электродинамики, Лоренцем, определившим
группу инвариантности этих уравнений и Эйнштейном, заметившим, что преобразования
той же группы оставляют инвариантным интервал пространства-времени.
Гамильтон
математика кватернионов
Последователи
векторы
электродинамика
Максвелл
Гиббс
Хэвисайд
родственные
группы
четырехмерный мир
Лоренц
векторное
произведение
Лейбниц
Гаусс, Коши, Риман
2 трехмерных мира
Эйнштейн
c = max
комплексные
числа
Флоренский
теория мнимостей
демаркационная сфера
5
Математика же переплелась достаточно сложно. Кроме приведенного выше мистического
высказывания Лейбница, в работе Флоренского существенную роль сыграли исследования
создателей алгебры комплексных чисел Гаусс, Коши и Риман, а также авторы вульгаризации гамильтонова кватернионного представления векторов Гиббс и Хэвисайд. Именно последним принадлежит заслуга более простой записи векторных операций, принятой и в
современной науке. Эта запись помогла упростить вид уравнений Максвелла и вывести
преобразования Лоренца. И она же дала вид записи векторного произведения, которым
воспользовался Флоренский. Наконец, работы Эйнштейна привели к мысли о возможности существования демаркационной сферы. И хотя на представленной схеме прослеживается прямая связь между кватернионной математикой Гамильтона и источником теории
мнимостей, там также показано, что по сравнению с развивающимися моделями четырехмерной и парной 6-мерной вселенной, исследования Флоренского являют собой завершенную тупиковую ветвь.
Завершить это небольшое сообщение хотелось бы конструктивными выводами.
Во-первых, несмотря на все высказанные здесь замечания, стоит все же еще раз отметить
чрезвычайную незаурядность Павла Флоренского – в данном случае как ученого и мыслителя. В сложнейший период истории России он не остался равнодушным к научным изысканиям и настойчиво пытался доказать самому себе – и всем, что расширение геометрии
мнимых чисел – это путь к познанию того пространства, где, не исключено, обитает божественный дух.
Во-вторых, необходимо еще раз подчеркнуть – для всех тех, кто посвятил свою жизнь
научному или духовному познанию мира: информация сознания далеко не всегда близка
по содержанию абсолютной информации о любом объекте. Усложнение человеческой
информационной системы, то есть постоянное обучение, постижение нового, совершенствование аналитического аппарата – все это позволяет более точно воспринимать сигналы окружающего мира и, что совсем не исключено, настраивать свою антенну на восприятие сигналов из второго мира. Так делаются научные открытия, так возникают великие
произведения искусства, так сохраняется и приумножается духовность человека.
И, в-третьих, нельзя полезно сказать об известной осторожности. Искаженная информация сознания, необоснованная научная вера, переходящие от учителя к ученику, представляют серьезную опасность и могут нанести прямой вред. В сегодняшнем быстро меняющемся мире обучению людей придается огромное значение. Число желающих получить хорошее образование в России за последние годы увеличилось в несколько раз. Но
выросло и число учителей. К сожалению, практика показывает, что далеко не каждому из
них можно доверить ювелирное дело образования и воспитания. Искажение истины, примитивизм, отсутствие адекватных современности знаний наблюдаются в сфере обучения
уже сегодня, и не исключено, что останутся завтра. Все это может стать причиной многих
бед и неурядиц для молодого поколения нашей страны и человеческой цивилизации в целом.
Литература:
1. http://alexandrmen.libfl.ru/books/mdc/mdc4_09.html
2. http://www.hronos.km.ru/biograf/floren.html
3. П.А.Флоренский. «Мнимости в геометрии…», Изд. 2-е, М., Едиториал УРСС, 2004.
4. F.Klien. “Arithmetic, Algebra, Analysis (Trans. from 3-d 1924-German ed.) N.Y., Dover
Publ., 1957.
5. А.П.Ефремов. Христианство и наука. М. Сборники докладов конференции «Рождественские чтения», 2001, С. 249-266; 2002, С. 289-302; 2004, С. 259-273; 2005, С. 164173.
6