Воросы к экзаменуx

Теоретические вопросы к экзамену по курсу
«Интегралы и дифференциальные уравнения»
Неопределенный интеграл
1. Дайте определение первообразной функции на интервале. Докажите теоремы о первообразных и
приведите примеры.
2. Дайте определение неопределенного интеграла. Сформулируйте и докажите его свойства. Приведите
примеры. Таблица неопределенных интегралов.
3. Сформулируйте и докажите теоремы об интегрировании подстановкой и заменой переменного для
неопределенного интеграла. Приведите примеры.
4. Сформулируйте и докажите теорему об интегрировании по частям для неопределенного интеграла.
Приведите примеры.
5. Интегрирование простейших дробей. Приведите примеры.
6. Интегрирование произвольной дробно-рациональной функции (опишите алгоритм и приведите
примеры).
Определенный интеграл
7. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Его геометрический и механический смысл.
Достаточные условия интегрируемости.
8. Сформулируйте определение интегрируемой на отрезке функции и докажите ее ограниченность.
9. Определенный интеграл и его свойства. Докажите линейность и аддитивность определенного
интеграла. Приведите примеры.
10. Определенный интеграл и его свойства. Докажите свойство интегрирования неравенств и теорему об
оценке. Приведите примеры.
11. Дайте определение среднего значения функции на отрезке. Докажите теорему о среднем. Объясните ее
геометрический и механический смысл. Приведите пример.
12. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его производной и формула
Ньютона-Лейбница (с доказательством). Приведите пример.
13. Сформулируйте и докажите теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в
определенном интеграле. Приведите примеры.
14. Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала
координат. Интегрирование периодических функций. Докажите формулы и приведите примеры.
Несобственные интегралы
15. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода). Сходящиеся и расходящиеся
+∞ 𝑑𝑥
интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла ∫1 𝑥 𝛼 в
зависимости от 𝛼.
16. Несобственные интегралы от неограниченной функции (2-го рода). Сходящиеся и расходящиеся
b
интегралы. Сформулируйте и докажите их свойства. Исследуйте сходимость интеграла
dx
 ( x  a) в
a
зависимости от  .
17. Сформулируйте и докажите признак сравнения для исследования сходимости несобственных
интегралов. Приведите пример.
18. Сформулируйте и докажите предельный признак сравнения несобственных интегралов. Приведите
пример.
19. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и докажите,
𝑏
𝑏
что ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 < ∞ ⟹ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < ∞.
20. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. Сформулируйте определения и свойства.
Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
21. Несобственные интегралы с несколькими особенностями, их сходимость и расходимость.
Сформулируйте определения и приведите примеры.
Приложения определенного интеграла
22. Площадь плоской фигуры. Формулы для вычисления площадей фигур, ограниченных кривыми,
заданными в декартовой и полярной системах координат (с доказательством).
23. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений. Объем тела, образованного вращением
криволинейной трапеции вокруг оси 𝑂𝑥 (с доказательством).
24. Формула для объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси 𝑂𝑦 (с
доказательством).
25. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах (с доказательством).
26. Длина дуги. Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах и параметрически. (с
доказательством).
27. Площадь поверхности вращения. Вывод формулы для декартовой системы координат (Ось вращения
Ох). Приведите пример.
Дифференциальные уравнения
28. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, определения частного решения и интегральной кривой.
Задача Коши и ее геометрическая интерпретация. Сформулируйте теорему Коши существования и
единственности решения. Приведите примеры.
29. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, его геометрическая интерпретация, изоклины, общее и
частное решения. Сформулируйте определения и приведите примеры.
30. Дифференциальное уравнение -го порядка. Задача Коши. Ее геометрическая интерпретация для n  2 .
Теорема Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения
(формулировка). Краевая задача.
31. Уравнения, допускающие понижение порядка, и методы их решения. Приведите примеры.
Линейные дифференциальные уравнения
32. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Однородные и неоднородные. Теорема Коши
существования и единственности решения (вывод из общей теоремы Коши). Приведите пример.
33. Линейный дифференциальный оператор. Докажите, что решения ОЛДУ образуют линейное
пространство. Приведите пример.
34. Линейно зависимые и независимые системы функций. Определитель Вронского. Примеры линейно
независимых систем. Теорема об определителе Вронского системы линейно зависимых функций (с
доказательством).
35. Сформулируйте и докажите теорему об определителе Вронского системы линейно независимых
решений ОЛДУ.
36. Фундаментальная система решений ОЛДУ, сформулируйте определение и докажите ее существование.
Приведите пример.
37. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n -го порядка. Сформулируйте и
докажите теорему о структуре общего решения ОЛДУ -го порядка.
38. Формула Остроградского - Лиувилля для ЛДУ (вывод для 𝑛 = 2). Приведите пример.
39. Понижение порядка ЛДУ при известном частном решении однородного уравнения(с выводом).
Приведите пример.
40. ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Сформулируйте и докажите
теорему о связи между корнями характеристического уравнения и решениями ОЛДУ (случай
различных действительных корней). Приведите примеры.
41. Построение фундаментальной системы решений ОЛДУ в случаях кратных действительных и
комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения. Приведите примеры.
42. Дайте определение общего решения дифференциального уравнения n - го порядка. Сформулируйте и
докажите теорему о структуре общего решения НЛДУ n - го порядка.
43. Метод вариации постоянных Лагранжа для НЛДУ (вывод для n  2 ). Приведите пример.
44. Сформулируйте и докажите теорему о наложении частных решений для НЛДУ. Нахождение частных
решений уравнения с правой частью специального вида. Приведите примеры.
Системы дифференциальных уравнений
45. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши и теорема Коши существования и
единственности решения нормальной системы (формулировка). Приведите пример.
46. Связь между нормальными системами ДУ и дифференциальными уравнениями высших порядков.
Опишите алгоритм сведения уравнения к системе и системы к уравнению. Приведите примеры.
47. Первые интегралы системы и понижение ее порядка. Интегрируемые комбинации. Симметричная
форма записи. Сформулируйте определения и приведите примеры.
48. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и
докажите теорему о структуре общего решения однородной системы. Фундаментальная матрица
системы. Приведите пример.
49. Формула Остроградского - Лиувилля для систем однородных ЛДУ ( вывод для 𝑛 =2). Приведите
пример.
50. Дайте определение общего решения системы дифференциальных уравнений. Сформулируйте и
докажите теорему о структуре общего решения неоднородной системы.
51. Метод вариации постоянных Лагранжа для решения неоднородных систем (вывод для n  2 ).
Приведите пример.
52. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего
решения (вывод для случая действительных и различных корней). Приведите пример.