Логарифмическая функция: преобразования, уравнения и неравенства. Определение. Логарифмом положительного числа х по основанию а ( a 0, a 1 ) называется показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить х: log a x b a b x . Основные свойства логарифмов a loga b b log a x a logc b b logc a logb x logb a loga xy loga x loga y log a b log a 1 log b a x log a x log a y y n log a x log a x n loga x2 2 loga x 1 log a x log ak x k log a 2 x 1 log a x 2 Определение. Уравнение (неравенство), содержащее неизвестную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнение следует начинать с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) входящей в него неизвестной величины. Для решения логарифмического уравнения можно использовать следующие приемы: приведение логарифмов к одному основанию (как правило, числовому), использование основного логарифмического тождества, замена переменной, потенцирование, использование монотонности. Решение логарифмического неравенства начинается с нахождения его ОДЗ. Равносильными преобразованиями, в основе которых лежат свойства логарифмов, исходное неравенство сводится к системам или совокупностям простейших неравенств. При решении элементарных логарифмических уравнений и неравенств удобно пользоваться соотношениями: log a f ( x) log a g ( x) log a ( x ) f ( x) log a ( x ) g ( x) log a ( x ) f ( x) log b ( x ) f ( x) log a f ( x) ()0 log a f ( x) () log a g ( x) log a ( x ) f ( x) ()0 log a ( x ) f ( x) ()0 log a ( x ) f ( x) log a ( x ) g ( x) log a ( x ) f ( x) () log a ( x ) g ( x) f ( x) 0 или g ( x) 0 f ( x) g ( x) f ( x) 0 или g ( x) 0 a( x) 0, a( x) 1 f ( x) g ( x) f ( x) 0 a ( x ) 0, a ( x ) 1 b( x ) 0, b( x ) 1 f ( x) 1 a ( x ) b( x ) f ( x) 0 (a 1) f ( x) 1 ()0 f ( x) 0, g ( x) 0 (a 1) f ( x) g ( x) ()0 f ( x) 0, a ( x) 0 (a ( x) 1) f ( x) 1 ()0 f ( x) 0, a ( x) 0, a ( x) 1 (a( x) 1) f ( x) 1 ()0 f ( x) 0, g ( x) 0, a( x) 0 (a( x) 1) f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0, g ( x) 0, a ( x) 0, a ( x) 1 (a ( x) 1) f ( x) g ( x) ()0 Преобразование логарифмов 2 log 1. Результат вычисления выражения log8 5 B) 5 3 равен 1 2 log 125 log 8 125 равен 2. Результат вычисления выражения 9 27 А) 3 B) 4 C) 8 А) 4 3 32 25 C) 1 2 log 4 7 2 3. Результат вычисления выражения (3, 5) А) 7 B) 4 C) 5 2 1 2 log 4 7 E) D) 9 E) 2 D) 2 E) 3 D) 3 3 E) равен C) 3 А) 1 B) 2 C) 3 B) –0,5 9. Результат вычисления выражения А) 0,5 E) 1 E) 3 D) 0,5 3 3 6 5 1 log 1 11 2 30 3 C) 2 2 log 2 22 log11 22 log 2 22 log11 22 B) 1 3log3 216 log81 3 4 log3 8 log 27 3 E) 1 3 равен D) –2 E) 1 равен C) 1,5 10. Результат вычисления выражения 3 1 log 1 8 log5 750 log5 3 равен 3 5 8. Результат вычисления выражения log А) 0,5 3 log2 9log316 равен 2 А) 2 B) 4 C) 6 D) 8 6. Результат вычисления выражения 1 log 4 20 log5 20 1 равен А) –2 B) –1 C) 1 D) 2 7. Результат вычисления выражения 7 3 равен А) 27 B) 9 5. Результат вычисления выражения log 1 3 log125 3 4. Результат вычисления выражения 1 5 log2 5 D) D) 2 E) 3 равен А) 27 B) 3 C) 42 D) 36 E) 18 2 4 11. Результат вычисления выражения log a 2 b a b при условии, что log a b 4 , равен А) 4 B) 2,5 12. Вычислите log33 11 log33 99 log233 3 7 13. Вычислите log5 11 1 C) 2 D) 1,25 E) 4,5 log52 77 log5 121 log5 49 3log32 45 2 log 3 45 log 3 5 log 32 5 14. Найдите значение выражения . 3log3 45 log 3 5 Логарифмические уравнения 1. Сумма корней уравнения log 4 5 x1 9 2 равна А) –2 B) 3 C) 2 D) –3 E) 4 2 2. Если x0 – положительный корень уравнения log3 log 2 x x 4 1 , то значение выражения x0 x0 3 равно А) 4 B) 18 C) –2 D) 10 E) 28 3. Какому интервалу принадлежит корень уравнения log 4 x 2 2 log 1 x 2 8 2 А) B) 5; 7 C) 7; 9 9; 11 D) 4 11; 13 E) 4. Сумма корней уравнения log 4 x 1 log 4 6 x x 2 3x 4 0 равна 13; 15 А) 11 B) 10 C) 7 D) 8 E) 9 2 5. Если k – число корней уравнения log3 x 5 10 x 29 x 19 2 , а x0 – его положительный корень, 3k равно x0 1 B) 3 то значение выражения А) 2 C) 3 D) 1 E) 2 3 6. Произведение корней уравнения log3 x 1 2 lg 4 x 0 равно 2 А) –6 B) –24 C) 12 D) –8 7. Найдите сумму корней или корень, если он единственный, уравнения log x 3 x 2 log 2 x 3 log 2 2 x 9 x 22 А) 9 2 2 E) 15 B) 8 C) 3 D) 4 E) 5 1 log x 2 3 1 , то 8. Если k – количество корней, а p – произведение корней уравнения log x 3 x 3 значение выражения p 2 k 2 равно А) 0 B) 5 C) 8 D) 4 2 3 9. Найдите произведение корней уравнения log3 x log3 (81x ) А) –3 B) 36 C) 0 D) E) 1 1 9 10. Найдите произведение корней уравнения lg 2 (10 x) 2 lg(100 x) 1 0 А) –4 B) –3 C) 0,1 D) 1 2 11. Произведение корней уравнения log0,2 А) 1 125 B) E) 27 E) 10 x 2 x log0,2 1 равно: 25 5 1 25 C) 125 D) 25 E) 5 12. Найдите среднее арифметическое корней уравнения x 2 lg x 100 А) 0 B) 1 C) 10 D) 101 20 E) 101 10 log x y 125 3 13. Если x0 ; y0 – решение системы уравнений , то произведение x0 y0 равно log y (6 2 x) 1 А) 15 B) 6 C) 4 D) 8 E) 12 4 x 11 0 равна 14. Сумма корней уравнения x 2 6 x 7 log 3 1 x А) 1 B) –2 C) –3 D) 4 E) 5 log32 x log3 x x 162 равно 15. Произведение корней уравнения 3 1 А) B) 81 C) 9 D) 1 E) 3 9 16. Если x0 – наибольший корень уравнения 4lg x 32 xlg 4 0 , то значение выражения А) –1 B) –7 C) 0,1 D) 1 2 3 17. Сумма квадратов корней уравнения log x x 14log16 x x 40log 4 x x 0 равна x0 5 x0 5 E) 3 2 А) 1,5 B) 16,5 C) 17,5 D) 17 E) 1 равно 18. Укажите корень уравнения log8 x2 x 10 log8 x2 2 x 8 не единственный. 19. Решите уравнение log 22 x 4 4 log 2 x 2 8 20. Решите уравнение 11 7 log x2 2 8 9 log 2 1 или сумму корней, если корень 3 x 6 2 x 2 2 xy 8 x 16 y 0 21. Решите систему уравнений 2 xy 2 2 log3 (1 y x) log3 2 4 2 x 4 y 2x y x 2 10 22. Если x0 – корень уравнения 2 lg x , то чему равно значение выражения 3 0 ? x0 2 x Логарифмические неравенства 1. Найдите наименьшее целое решение неравенства log 0,5 2 2 x 4 А) –4 B) 3 C) 10 D) –6 1 2. Множество решений неравенства 0 имеет вид 2 log5 4 2x А) ; 10, 5 B) 10, 5; 1, 5 C) 10, 5; 2 D) ; 2 3. Найдите область определения функции y log0,1 А) 0, 5; 2 B) 0, 5; 2 E) ; 10, 5 10, 5; 2 9 3x 1 D) 2; 3 E) 3; 2 4. Найдите область определения функции y log 6 x 2 log 6 2 x 8 А) 2; 10 B) 2; 4 C) 2x 1 C) 2; 3 E) 7 2; 4 10 D) 5. Найдите сумму целых решений неравенства log 3 ( x 2 x 2) log 1 3 А) 3 B) 4 C) 5 6. Решение неравенства log 1 log 4 ( x 2) 0 имеет вид 4; 10 E) 10; 1 x6 D) 6 E) 7 А) x 2 B) 2 x 3 C) 2 x 4 D) 3 x 6 E) x 6 7. Сколько целых решений имеет неравенство log x 6 x 1 log x 5 x 4 А) 0 B) 4 C) 3 D) 1 E) 2 2 8. Сколько целых чисел является решениями неравенства log0,5 (2 x 3x 1) 2 А) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) бесконечно много 9. Решение неравенства log0,5 x log0,5 2 А) решений нет B) x 2, x 0, 25 x имеет вид 4 C) 0, 75 x 2, 5 D) 0, 25 x 2 E) x 2, 0 x 0, 25 10. Сколько целых чисел является решениями неравенства log3 (2 9 x 1) 4 x 2 А) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) бесконечно много 11. Найдите количество целых решений неравенства А) 6 B) 7 C) 8 log 1 x 2 3 x 4 12. Найдите число целых решений неравенства 5 x2 5 log3 ( x 2) 9 E) бесконечно много D) 9 1 11 2 13. Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству sin 3 1 14. Найдите число целых решений неравенства log0,6 ( x 3) log x 2 15. Найдите число целых решений неравенства x 2 1 log 1 x 6 3 16. Найдите сумму целых решений неравенства log0,2 ( x 7) log0,2 17. Найдите сумму целых решений неравенства log 18. Найдите число целых решений неравенства 27 x 1 5 3 log 1 ( x 2 4 x 5) 3 4 3 log 0,6 25 2x 0 log x 6 3 27 5 x 2 3 x 1 log 0,5 x 2 2 x 8 0 . 19. Найдите сумму целых решений неравенства log3 x 4 log3 x 2 2 x 2 , удовлетворяющих условию x 5 20. Найдите наименьшее целое решение неравенства 6log2 x 6 xlog4 36 7 xlog x 36 . 21. Найдите число целых решений неравенства log 2 x log x 2 1, 5 . log 2 x 3 5 log 2 x . 22. Решите неравенство Ответы «Преобразование логарифмов» 1 B 2 B 3 D 4 E 5 C 6 B 7 C 8 C 9 D 10 D 11 E 12 1 13 –1 14 2 Ответы «Логарифмические уравнения» 1 C 2 A 3 E 19 ±2, 4 A 5 D 20 ±2 1 2 6 A 7 E 21 (–4;–2) 22 2 8 B 9 E 10 D 11 C 12 D 13 C 14 C 15 D 16 Е 17 С 18 –6 Ответы «Логарифмические неравенства» 1 D 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 E 10 B 11 D 12 2 13 –6 14 3 15 1 16 –6 17 4 18 0 19 6 20 5 21 3 22 16; Комментарии к задачам. 7 13. Решение. log5 7 log5 11 1 11 log52 77 log 121 log 5 49 log 5 5 log5 7 log5 11 log5 2 15. 3log3 x 3log3 x 2 1 log3 x 7 11 1 log 5 7 11 1 7 7 log5 11 11 1 log 5 7 log 5 11 2 4 log 5 11 log 5 7 7 log 5 1 11 x log3 x . Поэтому имеем x log3 x 81 log 32 x log 3 81 log 3 x 2 x1 9 , x2 1 . 9 16. Использовать формулу a lg b blg a , получить 2 4lg x 32 , откуда х = 100. 1 1 , x , x 2. В исходном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2. 16 4 2y 42 y 20 y Имеем 0 , где y log 2 x . Отсюда получим y1 0, y2 0,5; y3 2, затем x1 1, y 1 y 4 y 2 1 x2 ; x3 4. 2 17. ОДЗ: x 0, x 9 20. ОДЗ данного уравнения x 2 0, x 2 1 Преобразуем данное уравнение 11 7 log 2 x 2 8 log 2 x 2 . 6 8 y 0 y 8 3 14 2 Введем замену y log 2 x , тогда 11 y 8 y 14 2 2 2 3 3 y 62 y 159 0 11 3 y 64 16 y y y 8 3 y 3 . log 2 x 2 3, log 2 x 2 2, x 2 4, x 2 . 53 2 y1 3 , y2 3 21. Сгруппировав слагаемые в первом уравнении системы: x 8 x 2 y 0 , получим x 8 x 2 y или 2 xy 2 xy 2 2 log (1 y x ) log log3 (1 y 2 x) log 32 2 3 2 3 4 2 4 2 x 4 y 2x y x 4 y 2x y Первая система решений не имеет, т.к. при х = 8 не определен log3 (1 y 2 x) . Подставляя x 2 y во второе уравнение системы, получаем с учетом y 0 4 y2 1 , log3 (1 y 2 2 y) log32 log3 (1 y 2 2 y) log32 2 , 4 3 2 1 y 2y 4y 4y 8y log3 (1 y 2 2 y) log3 1 y 2 2 y . Пусть t log (1 y 2 3 2 2 y) , тогда t t , t 1 или t 0 . 2 Если t 1, то log3 (1 y 2 2 y) 1, 1 y 2 2 y 3, y 2 2 y 2 0, D 0, решений нет. Если t 0 , то log3 (1 y 2 2 y) 0, 1 y 2 2 y 1, y 2 2 y 0, y 0 или y 2. Т. к. по ОДЗ y 0 , то y 2 и x 4 . 22. В левой части стоит убывающая функция y 2 lg x , а в правой части возрастающая y уравнение имеет корень, то он единственный, подбором находим его: х = 10. 10 . Если x 20. Используя свойство логарифмов a logc b blogc a , преобразуем второе слагаемое xlog4 36 xlog2 6 6log2 x . Тогда неравенство примет вид: 7 6log2 x 7 36 6log2 x 62 log 2 x 2 и х>4.