198 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ГЕНЕРАЛЬНОГО МНОЖЕСТВА ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СЦЕНЫ 1 Я.А. Фурман2 2 Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола, пл. Ленина 3. Тел. (8362) 455412. E-mail: rts@marstu.mari.ru С позиции кватернионного анализа рассмотрен подход к сегментации трехмерной сцены, заданной отсчетами координат точек, расположенных на поверхности пространственных объектов. Поверхности изображений сегментированных объектов аппроксимированы плоскими участками. Информативным признаком для сегментации является значение нормали к элементарной плоскости, образованной тремя произвольными точками. z 0,7 Описание проблемы и постановки задачи 0,6 0,5 Одной из основных форм представления информации о сцене с изображениями трехмерных объектов является точечная сцена (пунктсцена, точечное поле). Она формируется с помощью датчиков, измеряющих расстояние. Множество всех s точек такой сцены назовем генеральным множеством и обозначим через A a 0, s 1 . Точка a расположена на поверхности пространственного объекта и имеет координаты x , y , z . На рис.1 показана точечная сцена, состоящая из изображения пирамиды, вписанной в трехгранный угол, образованный координатными плоскостями XOY , XOZ и YOZ . Одной из первоначальных задач обработки точечной сцены является её визуализация. Эта процедура обычно направлена на представление сцены в таком виде, в каком она обычно воспринимается человеком. Примером визуализации являются радио и гидролокационные изображения. Визуализация тесно связана с сегментацией и описанием изображений трехмерных объектов. Для реализации всех этих процедур необходимо разбить генеральное множество A на подмножества An , n 0,1,..., L 1, точки которых расположены на разных поверхностях объекта. Например, генеральное множество 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,3 0,5 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 x 0,2 0,4 y Рис.1. Генеральное множество точек изображения пирамиды точек A в сцене на рис.1 необходимо разбить на четыре подмножества: A0 – точки расположенные в горизонтальной плоскости, A1 и A2 – точки в вертикальных плоскостях и A3 – точки в наклонной плоскости. Поверхности объектов более сложной формы – цилиндрической, конической, сферической и т.п., разбиваются на небольшие плоские участки с последующим их объединением в более крупные элементы в соответствии с некоторым критерием. Как отмечается в [1], такой подход удобен для многогранных объектов, поверхности которых достаточно гладкие относительно разрешающей способности датчика. _____________________________________________ 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 07-01-00058а 199 Описанная выше процедура является кусочно-ломанной аппроксимацией поверхности сложной формы плоскими участками. В работе [2] предложен метод реализации такой аппроксимации, основанный на вычислении трехмерного градиента точечной сцены по результатам её фильтрации. Фильтр содержит трехмерное окно с 3 3 3 элементами и при своем перемещении в пределах анализируемой сцены вычисляет компоненты G x , G y и G z градиента яркости в каждом её пикселе (вокселе). Вектор градиента к G Gx , G y , Gz axb ycz 0 плоскости имеет G y b и Gz c . компоненты Gx a, Поэтому компоненты вектора градиента определяют направление плоского участка поверхности объекта в каждой окрестности точечной сцены. Если окно фильтра движется в направлении, при котором вектор градиента G сохраняет свои параметры a, b, с , то этот вектор располагается в плоскости a x b y c z 0. В данной работе рассматривается преобразование КТМ (кластеризации точек множества) генерального множества точек трехмерной сцены. Оно позволяет разбить генеральное множество A a 0, s 1 точечной сцены на подмножества An 0,L 1 по типу поверхности, на которой располагаются точки подмножества An . Преобразование КТМ сегментирует точечную сцену так же, как и рассмотренный выше градиентный фильтр, но за счет кватернионной модели сцены реализуется проще, отсутствует эффект сглаживания на стыке между выделенными плоскостями и попутно является основой для получения аналитического описания визуализированной сцены. Кватернионная модель точечной сцены Одним из способов задания точки a в трехмерном пространстве и связанного с ней вектора является представление её векторным кватернионом a1 i a2 j a3 k , где a1, a2 , a3 - координаты точки a . Заданное в кватернионном виде генеральное подмножество точек сцены образует кватернионный сигнал A av,1 i av,2 j av,3 k 0, s 1 . Мерой схожести векторов в кватернионном пространстве H служит их скалярное произведение, являющееся разновидностью клиффордова произведения векторов [3]: av , am H av am av , am E hyp av , am . (1) Реальная часть этого произведения есть скалярное произведение векторов av и am в пространстве E . В нормированном виде оно равно косинусу угла между векторами. Гиперкомплексная часть (1) представляет собой векторное произведение перемножаемых векторов, взятое с обратным знаком (рис.2): i j hyp a v , a m a v , a m a v,1 a m,1 a v, 2 a m,1 k a v ,3 . a m,1 (2) В нормированном виде гиперкомплексная часть скалярного произведения векторов равна нормали r v,m к плоскости m , натянутой на эти векторы. q -p arccos q, p q p 0 p r * q, p hypq, p Рис.2 Геометрическая интерпретация скалярного произведения кватернионов q и p Преобразование КТМ В качестве общего признака подмножеств информативного An an, h 0, s 1 , n n 0,1,..., L 1 , на которые разбивается генеральное множество A , примем степень 200 взаимной близости значений нормалей rn, h к локальным плоскостям, образованными тремя, не лежащими на одной прямой, точками этого подмножества (рис. 3). свойством. На рис.4 представлена кластеризованная точечная сцена пирамиды (см. рис.1). Она содержит всего четыре точки: i, j , k и 0,63 i 0,63 j 0,45 k . Z 1,0 k 0,8 0,6 0,4 0,63 i 0,63 j 0,4 k Gn 0,2 i 0, 2 0,4 0,6 0,8 1,0 X 0,4 Рис.3. Вектор нормали к локальному участку плоскости, задаваемому тремя точками как информационный признак всей плоскости Пусть, например, сцена содержит изображение объекта в виде шестигранника с идеально плоскими гранями и 4 представлено 10 отсчетами, взятыми на его поверхности. Генеральное множество для сцены состоит из s 10 4 точек. Они могут быть разбиты на шесть подмножеств. Точки каждого из подмножеств имеют один и тот же информативный признак – нормаль rn к плоскости грани. Таким образом, десяти тысячам пространственно расположенных точкек можно поставить в соответствии всего шесть точек, задающих концы нормалей r0 , r1 ,...r5 . Поскольку реально грани шестигранника не являются идеально плоскими, то точки каждого из шести подмножеств не будут иметь совпадающие значения нормалей. В результате вместо точки, соответствующей нормали в идеальном случае, появится окрестность (кластер), в которой компактно расположены точки нормалей отдельной грани. Таким образом, преобразования кластеризации вместо исходной сцены с более-менее равномерно расположенными точками формирует новую трехмерную сцену, в которой точки генерального множества концентрируются в небольшом количестве областей (кластеров) по принципу обладания некоторым общим j 0,8 1,0 Y Рис. 4. Результат кластеризации сцены, представленной на рис. 1 В том случае, когда форма поверхности отлична от плоской, кластеры по-прежнему объединяют точки с близкими значениями к локальным плоскостям, но количество кластеров увеличивается. Аналитическое представление преобразования КТМ Выразим аналитически свойства точек, лежащих в плоскости, проходящей через грань Gn , n 0,1,..., L 1 , состоящую из точек подмножества An . В основе преобразования КТМ лежит операция задания векторными кватернионами собственной плоскости, натянутой на векторы, задаваемыми этими кватернионами. На рис.5 представлены фрагменты грани с точками a0 , a1, a2 и a3 . Точку a0 примем в качестве полюса, построим пучок векторов 10 a1 a0 , 20 a2 a0 , 30 a3 a0 и зададим соответствующие им кватернионы: 10 a11 a 01 i a12 a 02 j a13 a 03 k , 20 a21 a01 i a22 a02 j a23 a03 k , 30 a31 a 01 i a32 a 02 j a33 a 03 k . 201 2. Казанова Г. Векторная алгебра. М.: Мир, 1979 3. Zucker S.W., Hummel R.A. Three Dimensional Enqe Operator, Intell, PAMI-3, N.3, pp.324-331, 1981. z a1 r* a10 a20 a0 a2 a30 a3 0 x y Рис. 5. Формирование нормали r к плоскости, проходящей через точки a 0 , a1 , a 2 и a3 В отличие от векторов, задаваемых исходными точками, разностные векторы 10 , 20 и 30 являются компланарными. Пусть подмножество An an,m 0,l 1 n содержит l n точек, расположенных на грани Gn , и точка a n ,0 выбрана в качестве полюса. Тогда все разностные векторы будут компланарными. n an, m,0 0,ln 1 Один из разностных векторов, например, an, m,1 an,1 an,0 выберем в качестве опорного. Тогда каждый текущий разностный вектор an,m,0 , m 1, вместе с опорным разностным вектором an,m,1 задает некоторую плоскость, нормаль к которой имеет вид rn rn,1 i rn,2 j rn,3 k . Поскольку все точки подмножества An задаются разностными компланарными векторами an,m,0 , m 1,2,..., ln 1 , то преобразование КТМ будет иметь вид An hyp a n ,m , 0 , a n ,1, 0 rn rn 1, m 2,3,..., l n 1. , (3) Список литературы 1. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. - 624 с.