Исследование функций - МБОУ СОШ №49 ст. Смоленской

Разработка по математике
для внеклассной работы с учащимися по теме «Исследование функций»
учителя математики МБОУ СОШ №49
ст.Смоленской Северского района Свидиной Е.Г.
Пояснительная записка.
Настоящая работа «Исследование функций» предназначена для
факультативных занятий в 10-11 классах средней школы. Работу можно
использовать как лекционный материал при углубленном изучении темы
«Исследование функций».
Отдельные параграфы (2,3,4,5,6) рекомендуется рассмотреть на уроках
математики при индивидуальной работе с сильными учащимися.
В предлагаемой работе содержится 8 параграфов, оснащенных
теоретическим материалом по свойствам функций. Каждый параграф
посвящен изучению того или иного свойства функции. Весь теоретический
материал иллюстрируется решением примеров и задач.
Предложенные задачи для самостоятельного решения могут служить
материалом для классных и домашних заданий.
Первые страницы работы посвящены начальным понятиям функции.
Формирование этого понятия осуществляется путём разбора достаточного
числа специально подобранных упражнений.
Прежде, чем перейти к изучению
$4 «Монотонность» учащиеся
должны повторить понятие производной, таблицу производных. Перед
рассмотрением $7 «Асимптоты» учащимся рекомендовано повторить
понятие предела функции и способы его вычисления.
Почти ко всем задачам для самостоятельного решения даны ответы,
которые приводятся в конце изучаемого параграфа.
В данной работе используются символы:
 - принадлежит;
 - не принадлежит;
 - существует;
 ! – существует и притом единственный;
: - такое что;
 - для любого;
 - выпукла вверх;
- выпукла вниз;
- убывает;
- возрастает.
1
Элементарные функции.
Определение: Даны два множеств X и Y. Закон соответствия f: каждому x
из X соответствует только одно значение y из Y называется функцией.
Определение: График функции – это некоторое множество точек (x, f(x)) при х из X.
Способы задания функции:
1) Аналитический (задается формулой);
2) Табличный ( используется в приложениях, можно использовать, когда
множество значений конечно и не слишком большое);
3) Графический (используется очень редко, так как дает общий вид, но
саму функцию определить почти невозможно).
Задачи:
1.Является ли функцией площадь треугольника, две вершины которого
зафиксированы, а третья лежит на некоторой кривой?
Решение:
1
ah
2
Является функцией, так как при изменении h меняется S (взаимно – однозначное
соответствие).
S
2.Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне. Угол
0
при основании равен 30 . Является ли площадь трапеции функцией
боковой стороны?
Решение:
В
а
в
А
С
2
1
S  ( a  b) h .
2
h найдем из
a
2
ABC : h  a  sin30 , h  .
0
3
.
2
Найдем b: АС= a  cos 30 = a 
0
Тогда b  2 AC  a  3a  a .
2
1
a
Итак, S  (a  3a  a)   a  (2  3) ,
2
2 4
Sa
2
(2  3) .
4
Таким образом, площадь трапеции является функцией боковой стороны.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне
основания.
Является ли:
а) объём пирамиды функцией стороны основания?
б) боковая поверхность функцией объёма?
2. Является ли площадь прямоугольника функцией его периметра?
3. Является ли площадь треугольника АВС функцией его периметра, если
0
АВ=2ед., угол B  45 ?
4. Является ли вес тела функцией его объёма, если удельный вес p= 2
(плотность)?
5. Является ли путь, пройденный телом за время t, функцией времени?
Ответы:
1. а) является; б) является;
2. не является;
3. не является;
4. является;
5. Только при равномерном движении.
Определение: Функции y= f(x) и y=g(x) называются тождественно –
равными на некотором множестве М, если они определены на М и для
любого а из М выполняется равенство f(а)=g(а).
Задачи:
1.Являются ли функции y= f(x) и y=g(x) тождественно – равными? Если
да, то указать на каком множестве.
a ) f ( x ) = x g ( x)  x
Ответ: f ( x)  g ( x) на множестве неотрицательных чисел.
б) f ( x) 
x
2
g ( x)  x
3
Ответ: f ( x)  g ( x) на множестве неотрицательных чисел.
log
При исследовании функций рассматривают следующие
свойства
функций:
1) Ограниченность;
2) Четность;
3) Периодичность;
4) Монотонность;
5) Экстремумы;
6) Наибольшее и наименьшее значения;
7) Направления выпуклости.
Каждое из свойств функции мы рассмотрим в отдельности.
§ 1.Ограниченность функции.
Определение: Функция f ( x) называется ограниченной сверху, если
существует такое число М, что x  X f ( x)  M . Число М называется
верхней границей функции f(x).
Верхних границ может быть много, наименьшая из них называется точной
верхней гранью.
Определение: число m называется нижней границей, если x  X f ( x)  m .
Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней гранью.
Определение: функция ограничена сверху и снизу, если C 0 : x  X
f ( x)  C .
Пример: f ( x)  2 x  3 при 1  X  2 .
5  f ( x)  1 .
То есть M : f ( x)  1 x  X .
Множество верхних границ 1 ;   . М=1 – точная верхняя граница.
Множество нижних границ   ;- 5 , m=-5 – точная нижняя граница.
Определение: функция f ( x) называется неограниченной сверху (снизу),
если M (m) f ( x) M ( f ( x) m) .
Пример: Доказать, что функция y  5cos 3x  2sin 3x , является ограниченной
и сверху, и снизу.
Решение:
y  5cos 3 x  2sin 3 x
Так как cos3x  1, sin3x  1 , то 5cos3x  2sin3x  5 1  2 1,
5cos3x  2sin3x  7 для всех x .
Итак, множество верхних границ  7 ;   .
5cos3x  2sin3x  7 , значит множество нижних границ   ; 7  .
4
Задачи для самостоятельного решения:
2
1.Показать, что функция y  x  x  3 ограничена снизу.
2. На каких множествах ограничены снизу и сверху функции:
1
а) y  2 x ; б) y  ln sin x ; в) y 
x 1
.
x 1
3. На каких множествах функция y 
1
ограничена сверху и неограниченна
x
снизу; ограничена снизу и не ограничена сверху; не ограничена ни сверху,
ни снизу?
§2. Четность.
Определение: Функция f ( x) называется нечетной, если её область
определения симметрична относительно начала координат и f ( x)   f ( x)
для любого x из области определения функции.
Определение: Функция f ( x) называется четной, если её область
определения симметрична относительно начала координат и f ( x)   f ( x)
для любого х из области определения функции.
График четной функции симметричен относительно оси ОУ, график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
2n
Примеры четных функций: y  x , y  x , y  cos x .
2 n 1
Примеры нечетных функций: y  sin x , y  x .
Задание 1: Доказать, что функции в выше приведенных примерах
являются четными или нечетными.
Теорема: любую функцию f ( x) , определенную на области определения
X , симметричной относительно точки О(0;0) моно представить в виде
суммы четной и нечетной функции.
Доказательство:
Представим
f ( x)
в виде: f ( x) 
f ( x ) f ( x ) f ( x)  f (  x) f ( x)  f (  x)



2
2
2
2
f ( x)  f (  x)
 y ( x) - четная функция;
1
y1
2
f ( x)  f ( x)
  y ( x) - нечетная функция;
y2 
2
2
( x) 
f ( x) 
y ( x )  y ( x) .
1
2
Свойства четных и нечетных функций:
1. Если f ( x) и g ( x ) -четные, заданные на одной и той же области
определения (если нет, то надо рассматривать пересечение
областей) функции, то
5
f ( x)  g ( x) ; f ( x)  g ( x) ;
2. Если
f ( x)
и
g ( x)
f ( x)
. , где g ( x)  0 - тоже четные функции.
g ( x)
нечетные, заданные на одной и той же области
определения функции, то
f ( x)
- нечетная функция.
g ( x)
Задание 2: доказать выше приведенные свойства четных и нечетных
функций.
Задача 1: Является ли функция y  log 2( x  1  x ) четной или нечетной?
2
Решение:
Найдем область определения функции x  1  x
При x  0 , получим 1 0 ,
При x  0 , имеем x  x 1 
Значит,
2
D( f )  R .
( 1  x  x)( 1  x  x)
2
f ( x)  log ( x  1  x )  log
2
2
log
1
2
0,
 2 x, x 0
x x 
.
 0, x 0
1
x
2
x  1 x
2
 log
1 x  x
2
2
( x  1 x )
2
2
2
1
=
 log ( x  1  x ) .
2
2
Таким образом, f ( x)   f ( x) и область определения симметрична
относительно О(0;0), значит функция f ( x)  log 2( x  1  x ) - нечетная.
2
Задачи для самостоятельного решения:
4
1. Убедиться, что функция y  x  x является четной.
2. Убедиться, что функции y  x  2 x  1 и y  2 x не являются четными.
3. Какие из функций являются четными
2
a) y  x  x  1 ;
4
3
b) y  x  x ;
2
c) y  x  x ;
2
d) y 
e)
f)
x
2
;
x
y  (1 x)
y 5 ;

y3 3
;
x
x
x
g)
4
2
?
4. Какие из функций являются нечетными
6
a) y  2 x  1 ;
3
b) y  cos x ;
2
c) y  x  x ;
d) y  x  3x ;
3
e) y  x  3x  1 ;
3
x
;
x
x
x

g) y  3 3 ?
2
f) y 
5. Существует ли функция определенная на всей числовой оси, которая
одновременно была бы:
а)нечетной и возрастающей;
б) нечетной и убывающей;
в) четной и возрастающей?
Изобразите схематически графически.
Ответы:
3.b),c),d),f),g);
4. c),d),f),g);
5.а)да, б)да, в)нет.
§3. Периодичность.
Определение: функция f ( x) называется периодической, если существует
число Т  0 , такое что x  X (для любого x из области определения) x  T  X
и выполняется равенство f ( x  T )  f ( x) .
Область определения периодической функции должна быть
неограниченной.
Пример: y  cos x T  2 ;
y  tgx
T  .
Свойства множества периодов:
1. Если T является периодом функции f ( x) , то T тоже является
периодом f ( x) .
2. Если T 1 и T 2 - периоды функции f ( x) , то T 1  T 2 тоже период функции
f ( x) .
Доказательство:
f ( x  T 1  T 2)  f ( x  T 1)  f ( x) .
3.Если T период, то nT тоже период, где n  Z .
Это свойство следует из второго свойства.
Свойства периодических функций:
1)Если некоторая точка x 0  D( f ) , то x 0  kT  D( f ) , k  Z .
7
Это свойство следует из определения периодической функции.
Пример: f ( x)  x не периодична, так как D( f )  0 ;   .
2)Периодическая функция либо не имеет нулей, либо имеет их бесконечное
множество.
Доказательство:
Пусть f ( x 0)  0 , тогда f ( x 0  kT )  0 ,где k  Z .
Пример: f ( x) 
x(2  x)
не периодична, так как имеет только два нуля при
3
x 0 и x  2.
3)Если периодическая функция непрерывна на всей числовой оси, то она
ограничена.
Пример:
а) cos x  1 .
То есть функция y  cos x периодическая и ограничена и снизу, и сверху, и
является непрерывной.
б) y  tgx периодическая, не является непрерывной и не ограничена.
4) Всякая непрерывная монотонная функция не является периодической.
3
Пример: y  x - монотонная, непрерывная и непериодическая функция.
Доказательство:
Пусть дана непрерывная функция f ( x) , x, x  T  D( f ), T 0 .
Если f ( x) возрастает, то по определению возрастающей функции
f ( x) f ( x  T ) . А это значит , что f ( x ) не периодична.
Аналогично доказывается, что если f ( x) непрерывная и убывающая, то она
не периодична.
5)Если функция f ( x) такова, что любое число является периодом, то
f ( x)  const .
Доказательство:
Пусть T  x , так как любое число может быть периодом.
f ( x)  f ( x  0)  f (0) .А это значит, что f ( x)  const .
6) непрерывная периодическая функция, не являющаяся постоянной, имеет
наименьший положительный период.
Пример: y  cos x имеет периоды T  2 , T  4 , T  6 …
Наименьший положительный период T  2 .
7)Пусть f 1( x) непрерывная периодическая функция с периодом T 1 ;
f
2
( x) непрерывная периодическая функция с периодом
2
; тогда функция
f ( x) 
f
T
T
m
m
(соизмеримы периоды), где
- рациональное число, m и n Î Z .
n
n
1
2
=
( x) 
T
1
f
2
( x) является периодической тогда им только тогда, когда
Доказательство:
8
Пусть
T
T
1
=
2
m
, тогда T 1´ n =
n
T
2
´ m= T .
Из свойств периодов имеем, что T является периодом и
Рассмотрим
f (x + T ) = f (x + T ) +
1
f
( x) +
1
f
2
f
2
(x + T ) =
f
( x + T 1n) +
1
f
f
( x) и
1
f
2
( x) .
( x + T 2m) =
2
( x) = f ( x) .
Таким образом
f ( x + T ) = f ( x) .
Пример: выяснить периодична ли функция f ( x) = sin 2 x + cos
x
и найти в
3
случае периодичности период.
Решение:
f
T
T
( x) = sin 2 x
1
1
2
=
T 1= π ;
f
2
( x) = cos
x
3
T
2
= 6π
1
- соизмеримы. Наименьший положительный период T = 6π .
6
Пример: найти наименьший положительный период функции
y = sin(ax + b), где a ¹ 0 .
Решение:
Предположим, что данная функция периодическая, то есть существует T
такое, что выполняется равенство: sin(ax + b) = sin(a( x + T ) + b) .
Проверим справедливость нашего утверждения:
Решая уравнение sin(ax + b) = sin(a( x + T ) + b) относительно величины T ,
π + 2πk
b
получим T =
- 2 x - 2 , k Î Z (1)
a
a
2πk
T=
, k Î Z (2).
a
Величина T , определяемая (1) не удовлетворяет определению периода, так
2πn
как T зависит от x . (2) задает бесконечное множество чисел T =
,nÎ Z
a
2π
Наименьшим положительным периодом является T =
.
a
Задачи для самостоятельного решения:
1. Выяснить периодичны ли функции. Найти наименьший
положительный период:
5
a) y = x ;
b) y =
1+ cos3 x
3
;
9
c) y = sin 2 x + cos 2 x ;
d) y = 5 - tgx ;
1
2
e) y = sin x - cos 2 x ;
2
f) y = sin x + sin 2 x ;
2
g) y = sin x ;
2
h) y =
10 x - x + 1
x
2
.
+ x+ 1
Ответы:1. a) нет; b) да T = 2π ; c) да T = π ; d) да T = π e) да ;
T = 2π ; f) да T = 2π ;g) нет; h)нет.
§4. Монотонность функции.
Определение: Функция f ( x) называется возрастающей на некотором
множестве М из области определения, если " x1, x 2 Î M
xpx
1
2
и f ( x1) p f ( x 2) .
Определение: Функция f ( x) называется убывающей на некотором
множестве М из области определения, если " x1, x 2 Î M
xpx
1
2
и f ( x1) f f ( x 2) .
Определение: Функция f ( x) называется монотонной на множестве М, если
она убывает или возрастает.
Пример1: Проверить монотонность функции f ( x) = 1 + x .
Решение:
D( f ) = [- 1; + ¥ ).
Возьмем x 1, x 2 Î D( f ) и пусть x1 p x 2 .
Исследуем знак разности:
f ( x1) - f ( x 2) = 1 +
x1 -
1+
x2 =
x- x
1+ x - 1+ x
1
1
2
.
2
Знаменатель дроби всегда больше нуля, числитель меньше нуля. Таким
образом, f ( x1) p f ( x 2) и функция f ( x) = 1 + x является возрастающей.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Проверить монотонность функции:
3
a) y = x ;
b) y =
2
c)
3
x;
y = x + x;
10
d) y = sin x ; x Î éë0,2π ];
e) y = tgx ; x Î éë0, π ];
f) y =
x
.
2
1+ x
Теорема: Для того, чтобы функция f ( x) возрастала (убывала) на данном
интервале, достаточно чтобы производная f ¢( x ) была положительной
(отрицательной) в каждой точке этого интервала. Если при этом функция
f ( x) непрерывна в каком – либо из концов промежутка возрастания
(убывания), то этот конец можно присоединить к упомянутому промежутку.
Замечание: Подчеркнем, что требование положительности
(отрицательности) производной f ¢( x) на данном промежутке не является
необходимым возрастания (убывания) функции на этом промежутке, но
является достаточным.
3
Так, функция f ( x) = x возрастает на R , но производная этой функции
2
f ¢( x) = 3 x не является положительной в каждой точке числовой прямой
(она обращается в нуль при x = 0 ).
3
2
Пример: Исследовать функцию f ( x) = x - 2 x + 3x - 1 на монотонность.
Решение:
D( f ) = R .
2
Найдем производную: f ¢( x) = 3 x - 4 x + 3 .
2
Так как дискриминант квадратного трехчлена 3 x - 4 x + 3 отрицателен, а
2
старший коэффициент положителен, то 3 x - 4 x + 3 f 0 для любого x Î R .
Следовательно, функция f ( x) является возрастающей на всей числовой оси.
Теорема 2: Функция f ( x) возрастает (убывает) на промежутке, если
производная этой функции положительна (отрицательна) всюду на этом
промежутке, за исключением конечного числа точек, в которых функция
непрерывна (в этих точках производная может и не существовать).
Пример 2: Найти промежутки монотонности функции
3
2
f ( x) = x - 3 x + 3 x + 2 .
Решение:
D( f ) = R .
2
Найдем производную: f ¢( x) = 3 x - 6 x + 3 = 3( x-
1)
2
.
Так как f ¢( x) ³ 0 при всех x Î R и f ¢( x) = 0 при x = 1 , то f ( x) возрастает
на R .
5
Пример 3: Исследовать на монотонность функцию f ( x) = x - 5 x - 1 .
11
Решение:
Функция f ( x) непрерывна на R .
ìï 5 + 5 x - 5, x p 1
Представив функцию в виде f ( x) = ïí x 5
; находим
ïï
5
x
+
5,
x
³
1
îx
ìï 5 4 + 5, x p 1
ìï 5( 4 + 1), x p 1
ï
x
f ¢( x) = í
или f ¢( x) = ïí x 4
.
4
ïï 5 - 5, x f 1
ïï 5( - 1), x f 1
î x
î x
Очевидно, что f ¢( x) f 0 для всех x Î R , за исключением одной точки x = 1
(В этой точке производная не существует), в которой функция непрерывна.
Следовательно, функция возрастает на R .
3
Пример 4: Найти промежутки монотонности функции f ( x) = x - 3 x .
Решение:
ìï 3 - 3x, x ³ 0
Представив функцию в виде f ( x) = ïí x 3
,
ïï
+
3
x
,
x
p
0
îx
2
ìï 3 - 3, x ³ 0
ìï 3( 2 - 1), x ³ 0
ï
находим f ¢( x) = í x 2
, или f ¢( x) = ïí x 2
.
ïï 3 + 3, x p 0
ïï 3( + 1), x p 0
î x
î x
f ¢( x) = 0 при x = 1 ; f ¢( x) не существует при x = 0 .
Точки 0 и 1 разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из
которых производная сохраняет постоянный знак: f ¢( x) f 0 при x p 0 и
x f 1; f ¢( x) p 0 при 0 p x p 1 .
Учитывая непрерывность функции f ( x) в точках 0 и 1, заключаем, что
функция возрастает на промежутках (- ¥ ,0]È éë1, + ¥ ) и убывает на 0,1].
Задачи для самостоятельного решения:
2.Исследуйте на монотонность функции:
2
3
а) éêy = 3x - 8 x ;
г) y =
ë
2
5;
x - 4x x + 1;
x-1
2
б) y =
x
3
2
- 6 x + 15 x - 1 ;
в) y = x ( x - 3) ;
д) y =
е) y =
2
3
3
2
4x - 9x + 6x
.
3. Указать какие из функций являются возрастающими или убывающими
на всей числовой прямой
3
2
а) y = - x + 9 x - 30 x - 2 ;
б) y =
x
5
3
- 5 x + 20 x - 3 ;
12
в) y = 3 x - 1 9
x
3
;
6
3
2
г) y = 2 x - 3x + 6 x - 9 x + 18x - 3 .
Свойства монотонных функций:
Пусть f ( x) и g ( x) некоторые функции на множестве M .
1) Если функция f ( x) убывает (возрастает) на множестве M , то функция
f ( x) + C , где C - const , убывает (возрастает) на M ;
cf ( x) убывает (возрастает) при C f 0 ;
Cf ( x) возрастает (убывает) при C p 0 .
2) Если функции f ( x) и g ( x) возрастают (убывают), то функции
f ( x) ± g ( x) возрастают (убывают).
3) Если f ( x) ³ 0, g ( x) ³ 0 и функции возрастающие, то функция
f ( x) ´ g ( x) возрастающая.
é πù
Пример 5: y = x ´ sin x . Функция является возрастающей на ê0, ú.
êë 2 úû
4) Если f ( x) £ 0, g ( x) £ 0 и возрастают, то функция f ( x) ´ g ( x)
убывающая.
é- π
Пример 6: Функция y = x ´ sin x является убывающей на ê ,0].
êë 2
Следствие из свойства 3) и 4):
 Если f ( x) ³ 0 и возрастает, то
 Если f ( x) £ 0 и возрастает, то
Пример 7: y = y=
x
f
f
2
2
(x ) тоже возрастает.
( x) убывает.
x
2
4
убывает на (- ¥ ,0).
£ 0 и возрастает на (- ¥ ,0);
5) Функция f ( x) возрастает и f ( x) f 0 , тогда
1
убывает, если f ( x)
f ( x)
1
возрастает.
f ( x)
Пример 8: f ( x) = x и f ( x) f 0 на (0,+ ¥ ),
1
f ( x) = убывает на (0,+ ¥ ).
x
6)Если f ( x) возрастает и неотрицательна, то f ( x) тоже возрастает.
возрастает и отрицательна, то
7) если f ( x) возрастает, тогда
0 p a p 1.
a
f ( x)
возрастает при a f 1 и убывает при
13
Пример 9: Используя свойства найти промежутки убывания и возрастания
1
функции f ( x) =
.
2
1+ x
Решение:
2
y = x на
(0,+ ¥ ) возрастает. Значит
(свойство 1), кроме того y = 1 +
Следовательно, y =
Итак, f ( x) =
y=
x
2
1
1+
x
2
1
1+
x
2
x
2
y = 1+
x
2
тоже возрастает
неотрицательна на (0,+ ¥ ).
функция убывающая (свойство 4).
убывает на (0,+ ¥ ).
на (- ¥ ,0) убывает. Значит, y = 1 +
x
2
убывает на (- ¥ ,0)
2
(свойство 1). Кроме того, y = 1 + x положительна.
1
Значит, y =
функция возрастает на (- ¥ ,0).
2
1+ x
Ответ: убывает на (0,+ ¥ ); возрастает на (- ¥ ,0).
Задачи для самостоятельного решения:
4.Найти промежутки убывания и возрастания функции, используя свойства
монотонных функций:
1
а) f ( x) = x + ;
г) f ( x) = ( x + 1)( x - 2) ;
x
б) f ( x) =
x
в) f ( x) =
3
x
2
+ 1;
x
+
x
5
- 1;
д) f ( x) =
2
( x- 1) ( x + 1)
е) f ( x) = 3
x2 - 1
2
;
;
1
1+ x 2
ж) f ( x) = (- 2)
.
Ответы:
1.а) возрастает на R ; б) убывает на (- ¥ ,0), возрастает на éë0, + ¥ ); в)
é π ù é3π
æπ 3π ö
возрастает на R ; г) возрастает на ê0, úU ê ,2π ] и убывает на ççç , ÷÷÷;
êë 2 û
è2 2 ø
ú ëê 2
д) возрастает; е) убывает на (- ¥ ,- 1]U éë1, + ¥ ) и возрастает
на - 1,1).
æ 1ö
é1
2.а) убывает на (- ¥ ,0]U ê , + ¥ ) и возрастает на çç0, ÷
; б) возрастает на R ;
÷
çè 4 ÷
êë4
ø
14
в) убывает на (0,1] и возрастает на (1,+ ¥ ); г) убывает на (- ¥ , - 1] и
возрастает на éë5, + ¥ ); д) возрастает на (- ¥ ,- 1)U (- 1,0] и убывает на
æ 1ö
é1
(0,1)U(1,+ ¥ ); е) убывает на (- ¥ ,0)Uççç0, ÷÷ø÷ U éë1, + ¥ ) и возрастает на êê ,1].
è 2
ë2
3. а) убывает; б) возрастает; в) убывает.
4.а) возрастает на (- ¥ ,- 1]U éë1, + ¥ )и убывает на (- 1,1), x ¹ 0 ;
б) убывает на (- ¥ ,0] и возрастает на [0,+ ¥ ); в) возрастает на R ;
æ
æ1
ö
1ù
г) убывает на çç- ¥ , ú и возрастает на çç , + ¥ ÷
;
÷
çè 2
èç
ø÷
2 úû
д) убывает на (- ¥ ,- 1]U[0,1] и возрастает на (- 1,0)U(1, + ¥ );
е) возрастает на [1,+ ¥ ).
§5. Экстремумы.
Говорят, что функция f ( x) имеет в точке
найдется такая s –окрестность точки
x
определения функции, что для всех x ¹
0
x
0
максимум (или минимум), если
, принадлежащая области
x
(x 0 - s, x 0 + s) выполняется неравенство
0
, принадлежащих промежутку
f ( x) p f ( x 0) (соответственно
f ( x) f f ( x 0) ).
y
На рис.
Изображена
a
функция, определенная
на промежутке [a, b ],
имеющая в точках x 1 и
x
3
x1
x2
максимумы, а в точках
x3
x
2
и
x
4
x4
b
минимумы.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции, а
значения функции в этих точках называются экстремальными значениями
функции.
Для функции, график которой изображен на рисунке точки a и b не являются
точками экстремума функции, так как в любой сколь угодно малой
окрестности этих точек найдутся точки, не принадлежащие области
определения функции.
15
Теорема: Необходимое условие существования экстремума
функции:
Пусть функция f ( x) дифференцируема в промежутке (a, b). Если в
некоторой точке
x
0
Î (a, b) функция f ( x) имеет экстремум, то в этой точке
производная равна нулю, то есть f ¢( x) = 0 .
Обратное утверждение , вообще говоря , неверно – если в точке
производная f ¢( x) = 0 , то функция f ( x) в точке может не иметь
экстремума.
3
Пример 1: f ( x) = x .
В точке
x
0
x
0
f ¢( x) = 0 , но функция не имеет экстремума в данной точке.
Определение: Критическими точками функции в промежутке (a, b)
называются точки, в которых производная либо равна нулю, либо не
существует.
Достаточное условие существования экстремума функции:
Пусть функция f ( x) определена и непрерывна в промежутке (a, b) и на
всем этом промежутке (за исключением, быть может, конечного числа
точек) дифференцируема.
Пусть x 0 Î (a, b) - критическая точка функции f ( x) и в некоторой
s- окрестности этой точки, по крайне мере для x ¹
производная f ¢( x) , которая слева и справа от
x
x
0
сохраняет знак (возможно,
0
с разных сторон разный).
Тогда возможны следующие три случая:
f ¢( x) f 0 при x p x 0 и f ¢( x) p 0 при x f
1)
производная f ¢( x) при переходе через точку
x
0
существует конечная
x
0
, то есть
меняет знак с плюса на
минус.
В этом случае в промежутке (x 0 - s, x 0) функция f ( x) возрастает, а в
промежутке (x 0, x 0 + s) убывает, так что значение f ( x 0) будет наибольшим
на (x 0 - s, x 0 + s) , то есть функция в точке
2) f ¢( x) p 0 при x p
x
0
3) f ¢( x) f 0 при x f
x
0
0
и f ¢( x) f 0 при x f
f ¢( x) при переходе через точку
В этом случае в точке
x
x
0
x
0
имеет максимум;
x
0
, то есть производная
меняет знак с минуса на плюс.
функция имеет минимум;
и f ¢( x) f 0 при x p
x
0
; либо
16
f ¢( x) p 0 при x f
через точку
x
0
x
0
и f ¢( x) p 0 при x p
x
0
, то есть при переходе
производная f ¢( x) не меняет знака;
Тогда функция либо возрастает, либо убывает на промежутке
(x 0 - s, x 0 + s) и в точке x 0 - экстремума нет.
Итак , первое правило для проверки критической точки
x
0
на экстремум
заключается в том, что подставляя в производную f ¢( x) сначала x p
0
затем x f
0
x
x , устанавливают знак производной в окрестности точки x
0
,
слева и справа от неё. Если при этом её производная f ¢( x) меняет знак с
плюса на минус, то в точке x 0 - максимум; если с минуса на плюс – то
минимум; если же знак не меняется, то экстремума нет.
17
На рис.2 производная функции f1 ( x ) при переходе через точку
x
0
меняет
знак с минуса на плюс и функция f1 ( x ) в точке x0 имеет минимум, а функция
f 2 ( x) , производная которой при переходе через точку x0 меняет знак с
плюса на минус, - максимум.
На рис.3 как функция f1 ( x ) , так и функция f 2 ( x) имеют в точке x0
производную, равную нулю: при переходе через точку x0 производный той и
другой функции знака не меняют и экстремумов у функций f1 ( x ) и f 2 ( x) в
точке x0 нет.
На рис.4 и 5 изображены графики функций, которые не имеют производных
в точке x0 . В согласии с правилами смены знака производных для этих
функций, они имеют соответственно минимум, максимум и не имеют
экстремумов в точке x0 .
Еще раз подчеркнем, что сформированное выше достаточное условие
существования экстремума функции в точке x0 пригодно как в случаях, когда
производная в точке x0 обращается в нуль, так и в случаях, когда в этой
точке производная не существует, и применимо к непрерывным функциям,
имеющим непрерывную производную f ¢( x) на (a, b), за исключением,
быть может, конечного числа точек.
Пример 2: Найти экстремумы функции y = 0.15 x5 - x3 .
Решение:
Найдем производную данной функции: y ¢= 0.75 x 4 - 3x 2 .
Для того, чтобы найти критические точки функции, приравняем производную
к нулю
y¢= 0 ,
0.75x4 - 3x2 = 0 ,
x 2 (0.75 x 2 - 3) = 0 ,
x 2 = 0 или 0.75 x 2 - 3 = 0 ,
x= 0
x2 = 4
x = m2 .
Итак, x = - 2;0;2 критические точки функции.
Точек, в которых производная не существует нет, так как D( f ¢) = R .
Построим таблицу:
-2
0
2
x
(- ¥ ,- 2)
(- 2,0)
(0,2)
(2,+ ¥ )
+
0
0
0
+
f ¢( x)
f ( x)
Z
]
]
3,2
0
-3,2 Z
extr
max
-
min
18
Значит, x = - 2 точка максимума, f (- 2) =3,2 максимум функции;
x = 2 точка минимума, f (2) = -3,2 минимум функции.
x2 + 3
Пример 3: Найдите экстремумы функции y =
.
x- 1
Решение:
Найдем производную данной функции:
( x 2 + 3)¢( x - 1) - ( x 2 + 3)( x - 1)¢ 2 x( x - 1) - ( x 2 + 3)
¢
y =
=
=
( x - 1) 2
( x - 1) 2
2 x2 - 2 x - x2 - 3 x2 - 2 x - 3
=
.
( x - 1) 2
( x - 1) 2
x2 - 2x - 3
Итак, y ¢=
.
( x - 1) 2
Чтобы найти критические точки, решим уравнение: y ¢= 0 .
Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю. Значит,
x2 - 2 x - 3 = 0
x1 = - 1 ; x2 = 3 .
Производная не существует в точке x = 1 .
Значит, x = -1;1;3 – критические точки функции.
Построим таблицу:
-1
1
3
x
(- ¥ ,- 1)
(- 1,1)
(1,3)
(3,+ ¥ )
+
0
нет
0
+
f ¢( x)
f ( x)
Z
]
]
Z
-2
нет
6
max
нет
min
extr
Значит, x = - 1 - точка максимума, f (- 1) = - 2 - максимум функции;
x = 3 - точка минимума, f (3) = 6 - минимум функции.
Определение: Точку x0 называют стационарной точкой функции f ( x) ,
если в этой точке функция f ( x) дифференцируема и её производная равна
нулю.
Сформулируем еще одно достаточное условие существования
экстремума функции в точке.
Достаточное условие существования экстремума функции в точке:
Пусть x0 стационарная точка функции f ( x) и в некоторой окрестности
точки x0 , включая саму эту точку, функция имеет производную, а в точке x0
существует и вторая производная f ¢¢( x0 ) . Если вторая производная f ¢¢( x)
положительна, то функция f ( x) в точке x0 имеет минимум; если вторая
производная в точке x0 отрицательна, то - максимум.
Сформулированное правило имеет, вообще говоря, более узкий круг
применения пор сравнению с первым правилом; оно, например, явно
19
неприменимо к точкам, в которых не существует первая производная. В тех
случаях, когда вторая производная в точке x0 обращается в нуль, правило
также ничего не дает и решение вопроса о существовании в этой точке
экстремума зависит от поведения высших производных.
Пример 4: Найти экстремумы функции y = x 2 .
Решение:
Найдем первую производную функции:
y¢= 2 x , x = 0 стационарная точка функции.
Найдем вторую производную функции:
y¢¢( x) = (2 x)¢= 2 .
Так как вторая производная функции в стационарной точке положительна,
то функция в точке x = 0 имеет минимум.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти стационарные точки функции:
а) f ( x) = ( x + 3)( x 2 - 1) ;
б) f ( x) = ( x + x 2 ) + ( x 2 - 1)2 ;
x+ 3
в) f ( x) = 2
.
x - 1
2.Найти критические точки функции:
x 2 - 3x + 1
2
а) y = ;
д) y = 2
;
x
x + x+ 1
1
x
б) y =
;
е) y = ( x - 2)2 +
;
x- 2
2
2
1 1
в) y = x - ;
ж) y = ( x + + 2 )( x 2 + x + 1) ;
x
x x
1
1
г) y = 4 ;
з) y = ( x + - x )2 .
x
x
3.Найти экстремумы функции:
x2 - 2
2
а) y = 3 - x ;
з) y = 2
;
x +3
1
x
б) y = x + ;
и) y =
;
x
sin x
1 - sin x
в) y = x 2 + 4 x ;
к) y =
;
1 + sin x
x sin x
г) y = 2 x3 - 9 x 2 - 60 x + 1 ;
л) y =
;
1+ x
x
24 x - 2- 4 x
д) y = 2
;
м) y =
;
2
x +5
20
е) y = x x -
x;
2x
н) y =
.
ln( x + 2)
x 2 - 3x + 2
Ж) y =
;
x2
Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака
второй и высших производных:
Для решения той же самой задачи, которую мы только что разобрали,
можно указать ещё другой, довольно удобны признак. Этот признак основан
на исследовании знака тех численных значений, которые принимают высшие
производные при x = x1 .
Пусть f ¢( x1 ) = 0 . Рассмотрим f ¢¢( x1 ) .
Если и f ¢¢( x1 ) = 0 , то рассматриваем f ¢¢¢( x1 ) и.т.д. до тех пор, пока не
дойдем до неравного нулю числа.
Именно: пусть первым неравным нулю числом будет f ( n ) ( x1 ) , тогда
1) Если n-четное и f ( n ) ( x1 ) f 0 , то функция f ( x) имеет минимум при
x = x1 ;
2) Если n-четное и f ( n ) ( x1 ) p 0 , то функция f ( x) имеет максимум при
x = x1 ;
3) Если n- нечетное, то при x = x1 f ( x) имеет точку перегиба.
Пример 5: Исследовать на экстремум функцию f ( x) = x3 - 3x 2 + 3x - 4 .
Решение:
f ¢( x) = 3x 2 - 6 x + 3 , f ¢(1) = 0 ;
f ¢¢( x) = 6 x - 6 , f ¢¢(1) = 0 ;
f ¢¢¢( x) = 6 ,
f ¢¢¢(1) = 6 .
f ¢¢¢(1) = 6 f 0 , значит, n=3 нечетно и при x = 1 имеем точку перегиба.
Пример 6: исследовать на экстремум функцию f ( x) = 4 x3 - 6 x 2 .
Решение:
f ¢( x) = 12 x 2 - 12 x ,
f ¢( x) = 0 при x = 0 и x = 1 .
f ¢¢( x) = 24 x - 12
f ¢¢(0) = - 12 p 0 и n – четно, значит, x = 0 - точка максимума.
f ¢¢(1) = 12 f 0 и n-четно, значит, x = 1 - точка минимума.
Задачи для самостоятельного решения:
4 .Исследовать на экстремум функции:
21
4
2
а) y = x - 16 x + 5 ;
б) y = 5 x5 - 27 x3 ;
в) y = x3 - 2 x 2 + 11x - 4 ;
x3
- x 2 + 10 ;
г) y =
3
д) y = x 4 - 32 x 2 + 5 ;
е) y = (2 x - 3)3 .
§6.Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция f ( x) определена и непрерывна на конечном замкнутом
промежутке[a, b ]. Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения
функции необходимо найти все максимальные (минимальные) значения
функции в промежутке [a, b ], выбрать из них наибольшее (наименьшее) и
сравнить его со значениями функции в точках a ,b. Наибольшее
(наименьшее) из этих чисел и будет наибольшим (наименьшим) значением
функции f ( x) на промежутке [a, b ].
При нахождении наибольшего или наименьшего значении функции может
оказаться, что на промежутке éë(a, b)ù
ûфункция не имеет критических точек.
Это говорит о том, что в рассматриваемом промежутке функция возрастает
или убывает и, следовательно, достигает своего наибольшего и наименьшего
значения на концах промежутка.
Пример 1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции
4
f ( x) = x 3 - 4 x на [0,2].
3
Решение:
Вычислим производную данной функции: f ¢( x) = 4 x 2 - 4 .
При всех x Î (0,2) производная существует и f ¢( x) = 0 при x = ± 1 .
В промежутке (0,2) лежит лишь x = 1 .
8
2
f (1) = - = - 2 .
3
3
При переходе через точку x = 1 производная меняет знак с минуса на плюс,
а потому в точке x = 1 минимум функции f ( x) .
Найдем значения функции на концах промежутка:
f (0) = 0 ;
8
2
f (2) = = 2 .
3
3
Следовательно, наибольшее значение функции f ( x) достигается на правом
конце промежутка в точке x = 2 , а наименьшее – внутри промежутка в точке
x = 1.
Пример 2: Из квадратного листа со стороной a, вырезая по углам равные
квадраты и сгибая края, составляют прямоугольную открытую коробку. Чему
22
должна быть равна сторона вырезаемого квадрата, чтобы получившаяся
коробка имела наибольший объём?
Решение:
x
X
Обозначим сторону вырезаемого квадрата через х.
Тогда объём коробки V будет равен:
é aù
V = x(a - 2 x)2 , где x Î ê0, ú.
êë 2 úû
Найдем производную данной функции:
V ¢( x) = (a - 2 x)2 + 2 x(a - 2 x)(- 2) =
(a - 2 x)2 - 4 x(a - 2 x) = (a - 2 x)(a - 2 x - 4 x) = (a - 2 x)(a - 6 x) ,
V ¢( x) = (a - 2 x)(a - 6 x) .
Найдем стационарные точки функции V ( x) .
Для этого решим уравнение: V ¢( x) = 0 .
(a - 2 x)(a - 6 x) = 0 ,
a - 2 x = 0 или a - 6 x = 0 ,
a
a
x= .
x=
6
2
a
a
Итак, x = , x = стационарные точки функции.
2
6
Найдем вторую производную функции V ( x) :
V ¢¢( x) = - 2(a - 6x) + (a - 2 x)(- 6) = - 2a + 12 x - 6a + 12 x = - 8a + 24 x ,
V ¢¢( x) = - 8a + 24 x .
a
a
V ¢¢( ) = - 8a + 24´ = - 4a p 0 ,
6
6
a
V ¢¢( ) = 4a f 0 .
2
a
Значит, в точке x = функция имеет максимум.
6
é aù
На концах промежутка ê0, ú функция обращается в нуль.
êë 2 ú
û
a
Таким образом, объём коробки при x = будет наибольшим.
6
23
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y =
x- 1
;
x - 3x + 3
2
x5 + 16
,x f 0;
2. Найти наименьшее значение функции y =
x
3x 2
y
=
, a f 0, b f 0, c f 0 ;
3. Найти наибольшее значение функции
ax 4 - bx 2 + c
4 1- x + x
,0 p x p 1 ;
4. Найти наименьшее значение функции y =
x(1 - x)
5. найти наименьшее и наибольшее значения функции
x3 3 2
y=
- x + 2 x - 2, x Î [- 1,4];
3 2
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
x- 2
а) y = e , x Î [- 1,2];
2
б) y = e( x- 2) + 1 , x Î [0,3];
в) y = ln( x 2 + 1), x Î [- 2,2];
г) y = - cos 2 x + cos x, x Î [0, π ];
д) y = - sin 2 x + cos x, x Î [0, π ].
7. Найти положительное число, сумма которого с обратным ему числом
имеет наименьшее значение.
8. Убедиться, что если произведение двух положительных чисел постоянно,
то их сумма будет наименьшей, когда эти числа равны между собой.
9. Число а разложить на два слагаемых так, чтобы произведение этих
слагаемых было наибольшим.
10. Число 7 представить в виде слагаемых так, чтобы сумма их третьих
степеней была наименьшей.
11. Разложить число а на два слагаемых так, чтобы сумма квадратов их была
наименьшей.
12.Какой прямоугольник имеет при заданном периметре наибольшую
площадь?
13. Остроугольный треугольник основания а и высотой h описан около
прямоугольника, стоящего на а. как надо выбрать высоту прямоугольника,
чтобы его площадь была наибольшей?
14. Найти наибольший объём правильной четырехугольной пирамиды, если
её боковая поверхность равна a 2 .
15. В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм вписан цилиндр наибольшего
объёма. Найти этот объём.
16. Какой из описанных около шара конусов имеет наименьший объём?
24
17. Выбрать из всех квадратов, которые можно вписать в заданный квадрат,
квадрат наименьшей площади.
18. Каким должно быть основание равнобедренного треугольника с
заданной площадью, чтобы его периметр был наибольшим?
Ответы:
1
1. ymax (2) = 1, ymin (0) = - ;
3
2. ymin ( 5 4) = 5 5 44 ;
2
4. ymin ( ) = 9 ;
3
5. наибольшее y (4) , наименьшее y (- 1) ;
6. а) наибольшее y (- 1) , наименьшее y (2) ;
б) наибольшее y(0) , наименьшее y (2) ;
в) наибольшее y(- 2) = y(2) , наименьшее y(0) ;
π
г) наибольшее y ( ) , наименьшее y (π ) ;
3
2π
д) наибольшее y(0) , наименьшее y ( ) .
3
9. Слагаемые равны;
10. Слагаемые равны;
11. Слагаемые равны;
12. Квадрат;
13. Высота прямоугольника должна равняться половине высоты
треугольника;
a3 4 12
14. V =
;
18
2
15. V = 14 π куб.дм. Высота цилиндра равна одной трети высоты конуса;
9
16. Высота конуса равна учетверенному радиусу шара;
17. сторона вписанного квадрата должна равняться половине стороны
данного квадрата;
2 S
18. 4 .
3
25
§7. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба.
Пусть функция f ( x) определена и непрерывна на промежутке (a, b), а
в точке x0 Î (a, b) имеет конечную производную. Тогда к графику данной
функции в точке M 0 ( x0 , f ( x0 )) можно провести касательную, уравнение
которой имеет вид: y - y0 = f ¢( x0 )( x - x0 ) .
Говорят, что в точке M 0 кривая (график функции f ( x) ) направлена
вогнутостью в определенную сторону (вверх или вниз) от касательной, если в
достаточно малой окрестности точки M 0 все точки кривой лежат по одну
сторону от касательной (рис.1 и 2).
Точку M 0 называют точкой перегиба, если в достаточно малой её
окрестности точки кривой с абсциссами x p x0 лежат по одну сторону от
касательной, а точки с абсциссами x f x0 - по другую, то есть в точке M 0
кривая переходит с одной стороны касательной на другую (рис.3).
Выпуклая вверх – участок кривой АВ, выпуклая вниз – участок кривой
ВС.
26
27
Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку М по
участку АВ кривой, выпуклому вверх, то угол а будет уменьшаться.
Одновременно с убыванием а будет убывать и tga , то есть y ¢.
Итак, участки графика, выпуклые вверх отвечают интервалам убывания
y¢= f ¢( x) .
Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку
М по участку ВС кривой, выпуклому вниз, то угол а будет увеличиваться.
Одновременно с возрастанием а будет увеличиваться и tga , т.е. y ¢.
Итак, участки графика выпуклые вниз, отвечают интервалам
возрастания y¢= f ¢( x) .
Нетрудно видеть, что если до точки перегиба В был участок выпуклый
вниз, а потом стал участок, выпуклый вверх, то такая точка соответствует
минимуму y ¢, потому что здесь y ¢ переходит от убывания к возрастанию.
А значит, ( y¢( x0 ))¢= 0, y¢¢( x0 ) = 0 .
Таким образом имеем: направление выпуклости кривой y = f ( x) в
некоторой точке x0 выполняется по следующему правилу:
1) На участках графика, выпуклых вверх, имеем y¢¢p 0 ;
2) На участках графика, выпуклых вниз, имеем y¢¢f 0 ;
3) В точках перегиба y¢¢= 0 .
28
Сформулированное правило – достаточное (но не необходимое)
условие перегиба кривой.
Так, функция y = x 4 в точке x = 0 имеет вторую производную,
равную нулю, но тем не менее в этой точке кривая направлена выпуклостью
вверх (рис.5)
Пример 1: найти промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз функции
y = ax 2 .
Решение:
Найдем первую производную функции y¢= 2ax .
Найдем вторую производную функции y¢¢= 2a .
Таким образом, если a f 0 , то y¢¢f 0 и функция на R выпукла вниз.
Если a p 0 , то y¢¢p 0 и функция на R выпукла вверх.
Пример 2: Найти промежутки выпуклости функции y = sin x .
Решение:
y¢( x) = cos x , y¢¢( x) = - sin x .
Решая уравнение - sin x = 0 , получим x = πk , k Î Z .
В промежутках (2πk , π + 2πk ), k Î Z функция sin x сохраняет знак плюс;
f ¢¢( x) = - sin x p 0 и синусоида направлена выпуклостью вверх.
29
В промежутках (π + 2πk ,2π + 2πk ), k Î Z , sin x p 0 и следовательно,
синусоида направлена выпуклостью вниз.
x = πk , k Î Z - точки перегиба функции y = sin x .
Пример 3: найти промежутки выпуклости вверх и вниз у функции
1
y = x3 - x 2 - 3x + 1
3
Решение:
y¢= x 2 - 2 x - 3 , y¢¢= 2 x - 2 .
Приравняем вторую производную к нулю и получим уравнение
2 x - 2 = 0 , откуда x = 1 .
Построим таблицу:
1
x
(- ¥ ,1)
(1,+ ¥ )
0
+
f ¢¢( x)
Ç
Точка перегиба
È
На (- ¥ ,1) кривая выпукла вверх; на (1,+ ¥ ) - выпукла вниз.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Найти промежутки выпуклости вверх и выпуклости вниз у функций:
x3
- x 2 + 10 ;
а) y =
г) y = x3 - 2 x 2 - 4 x + 3 ;
3
x4
4
2
- 32 x 2 + 5 .
б) y = x - 16 x + 5 ;
д) y =
3
5
3
в) y = 5 x - 27 x ;
ответы:
1 . а) на (- ¥ ,1) выпукла вверх, на (1,+ ¥ ) выпукла вниз, x = 1 точка
перегиба;
æ
ö÷
æ 8 8ö
8 ö÷ æ
8
ç
ç
÷
÷
÷
U çç , + ¥ ÷ выпукла вниз, на ççç, ÷
б) на çç- ¥ ,выпукла вверх,
÷
÷
÷
÷
çè
ç
3 ø÷ èç 3
3
3
ø
è
ø
x= m
(
8
точки перегиба;
3
) (
)
(
) (
в) на - ¥ ,- 1,62 U 0, 1,62 выпукла вверх, на - 1,62,0 U
1,62, + ¥
)
выпукла вниз, x = 0, ± 1,62 точки перегиба;
æ
æ2
ö
2ö
2
çç , + ¥ ÷
г) на çç- ¥ , ÷
выпукла
вверх,
на
выпукла вниз, x = точка
÷
÷
÷
÷
çè
ç
è3
ø
3ø
3
перегиба;
д) на (- ¥ ,- 4)U(4, + ¥ )выпукла вниз, на (- 4,4)выпукла вверх,
x = ± 4 точки перегиба.
30
§8. Асимптоты графика функции.
Очень часто ветвь кривой, удаляясь в бесконечность, неограниченно
приближается к некоторой прямой линии. Эту прямую называют асимптотой
по отношению к данной ветви.
Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные ( в частности
горизонтальные).
Прямая , задаваемая уравнением x = a , вертикальная асимптота, если
lim f ( x) = + ¥ (или - ¥ ) .
x® a
Пример 1: график функции y =
1
имеет вертикальную асимптоту x = 0 ,
x
так как
1
1
lim = + ¥ , lim = - ¥
x® 0- x
x® 0+ x
Пример 2: График функции y = tgx имеет вертикальные асимптоты
x = πk.k Î Z . Так как lim tgx = ¥ .
x® πk
Для существования наклонной асимптоты, задаваемой уравнением
y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы:
f ( x)
k = lim
, b = lim( f ( x) - kx) при x , стремящемся к + ¥ (или - ¥ ).
x
1
Пример 3: Найти асимптоты графика функции y = 2 x - .
x
31
Решение:
Вертикальной асимптотой является прямая x = 0 .
Коэффициенты наклонной асимптоты y = kx + b найдем из равенств:
1
2x f ( x)
x = lim(2 - 1 ) = 2 ;
k = lim
= lim
x® ¥
x® ¥
x® ¥
x
x
x2
1
1
b = lim( f ( x) - kx) = lim(2 x - - 2 x) = lim(- ) = 0 .
x® ¥
x® ¥
x® ¥
x
x
Итак, k = 2, b = 0 .
Значит, данная функция имеет наклонную асимптоту y = 2 x .
Задачи для самостоятельного решения:
1.Найти асимптоты у следующих функций:
x+ 5
4
а) y = x + ;
в) y =
;
x
( x - 3)2
x2
2x + 1
б) y =
;
г) y =
.
x- 1
x+ 1
32
Ответы:
1. а) x = 0 вертикальная асимптота; y = x наклонная асимптота;
б) x = 1 вертикальная асимптота; y = 2 наклонная асимптота;
в) x = 3 вертикальная асимптота; y = 0 наклонная асимптота;
г) x = - 1 вертикальная асимптота; y = x - 1 наклонная асимптота.
§9. Полное исследование функции и построение её
графика.
Исследование функции и построение её графика обычно состоит в
следующем:
1. Находят область определений: область значений.
2. Выясняют, будет ли данная функция периодической.
3. Выясняют, будет ли данная функция четной (нечетной).
4.В случае, если область определения функции представляет собой всю
числовую прямую, либо содержит лучи [a, + ¥ ) или (- ¥ ,b ], выясняют
поведение функции в бесконечности, вычисляя соответствующие пределы:
lim f ( x) .
x® ± ¥
5. Находят точки пересечения графика с осями координат;
6. Находят точки максимума и минимума, устанавливая промежутки
убывания и возрастания функции.
7. Находят точки перегиба функции, устанавливая промежутки, где
кривая обращена выпуклостью вверх или вниз, причем в точках перегиба
вычисляют угол наклона касательной.
8. Находят асимптоты графика функции.
При исследовании конкретных функций не обязательно
придерживаться указанной последовательности исследования функции.
Можно даже опускать выяснение тех или иных свойств, если они достаточно
очевидны. Так, при исследовании рациональных функций обычно опускают
исследование их периодичности по той причине, что из всех элементарных
функций лишь тригонометрические функции обладают свойством
периодичности.
2 x 2 + 3x - 4
Пример 1: исследовать функцию y =
и построить её график.
x2
Решение:
1. D( y) = (- ¥ ,0)U(0, + ¥ );
2. Не периодична, так как f ( x + T ) ¹ f ( x) ;
33
3. Функция не является четной и нечетной, т.е. функция общего вида;
4. Выясним поведение функции в бесконечности. Для этого вычислим
пределы:
2 x 2 + 3x - 4
3 4
2 x 2 + 3x - 4
lim
= lim (2 + - 2 ) = 2 , lim
= 2.
x® + ¥
x® + ¥
x® - ¥
x2
x x
x2
5. Точки пересечения с осями координат:
а) ось OY не пересекает, так как x = 0 Ï D ( y ) ;
б) с осью OX ,
2 x 2 + 3x - 4
= 0,
x2
- 3 + 41
- 3 - 41
.
x1 =
, x2 =
4
4
6. Найдем точки максимума и минимума.
Вычислим производную f ¢( x) :
- 3x 2 + 8 x - 3x + 8
,
f ¢( x) =
=
x4
x3
2
f ¢( x) = 0 , - 3x + 8 = 0 , x = 2 .
3
2
и не существует при x = 0 .
3
2
Так как x = 0 Ï D ( y ) , то критическими точками является x = 2 .
3
Построим таблицу:
æ 2ö
æ 2
ö
2
x
(- ¥ ,0)
çç0,2 ÷
çç2 , + ¥ ÷
2
÷
÷
÷
çè 3 ÷
çè 3
3
ø
ø
+
0
f ¢( x)
f ( x)
]
Z
]
41
16
extr
max
7. Найдем точки перегиба; установим направление выпуклости функции.
Найдем вторую производную:
- 3x + 8
,
f ¢( x) =
x3
- 3x3 - (- 3x + 8)3x 2 6 x3 - 24 x 2
,
f ¢¢( x) =
=
x6
x6
6 x - 24
f ¢¢( x) =
.
x4
Решим уравнение f ¢¢( x) = 0 :
Производная обращается в нуль при x = 2
34
6 x - 24
= 0,
x4
x= 4.
Построим таблицу:
x
(- ¥ ,0)
f ¢¢( x)
f ( x)
(0,4)
4
(4,+ ¥ )
-
-
+
Ç
Ç
0
1
2
2
È
перегиб
8. Найдем асимптоты:
Прямая x = 0 вертикальная асимптота, так как
2 x 2 + 3x - 4
3 4
lim(
)
=
lim(2
+
)= - ¥ .
x® 0
x® 0
x2
x x2
Найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим пределы:
f ( x)
2 x 2 + 3x - 4
k = lim
= lim
= 0,
x® ¥
x® ¥
x
x3
2 x 2 + 3x - 4
b = lim( f ( x) - kx) = lim
= 2.
x® ¥
x® ¥
x2
Значит, уравнение наклонной асимптоты y = 2 .
На основании проведенного исследования можно построить график
данной функции:
35
36
Задачи для самостоятельного решения:
В следующих задачах провести полное исследование функций и
построить их графики:
( x - 4)2
1. y =
;
8
2. y = 4 - x 2 ;
3. y = x3 - 2 x 2 ;
4. y = x3 + 3x 2 + 3x - 7 ;
x4 4 3
5. y =
- x + 2x2 ;
4 3
2
x +2
6. y =
;
2x
7. y = x 4 - 3x 2 + 4 ;
8. y = ( x - 1)( x + 2)( x - 3) ;
2x
9. y =
;
1 + x2
10. y = ln( x 2 + 1) .
37