Практическая работа № 1 - Екатеринбургский техникум

Министерство общего и профессионального образования Свердловской
области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Свердловской области
«Екатеринбургский техникум отраслевых технологий и сервиса»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практических работ
по дисциплине Математика для студентов 1,2 курсов ,
Разработчик: преподаватель
ЕТОТС
Е.В.Костылева
Екатеринбург, 2014г.
1
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Тема практической работы
№
п/п
1 Основные свойства функции
11
12
13
Простейшие показательные уравнения
Показательные уравнения
Показательные неравенства
Свойства степени. Свойства логарифма
Логарифмические уравнения
Простейшие логарифмические неравенства
Тригонометрические преобразования
Тригонометрические уравнения
Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Построение графиков функций с помощью производных
Приложение интеграла к решению задач
Прямые и плоскости в пространстве
14
15
Вычисление площади поверхности многогранной фигуры
Цилиндр. Конус
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Решение систем линейных неравенств графическим методом
Вычисление матрицы, обратной данной
Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Решение задач линейного программирования
Формулы комбинаторики
Вычисление вероятностей события
Операции над событиями
Вычисление числовых характеристик случайных величин
Вычисление числовых характеристик выборки
Построение рядов распределения статистических данных
Графическое изображение статистических данных
28
29
Показатели вариации
Ряды динамики
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
Практическая работа № 1
Тема: Основные свойства функции
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) Закрепить умения исследования, построения и описания графиков функции,
Ход работы
I. Ответить на вопросы по вариантам.
II. Решить задачи
III. Составить вывод по работе.( в выводе указать свойства функций,
применяемые при решении задач)
Методические рекомендации
1. При решении задач на исследования ООФ следует учитывать дробные и
рациональные выражения знаменатель дроби не должен быть равен нулю,
подкоренное выражение арифметического корня четной степени не отрицательно.
2. При исследовании функции на четность (нечетность) следует помнить, что
функция общего вида не меняет и не сохраняет знак.
3. Ymax – это самое большое из всех значений функции (наибольшее значение
функции)
Ymin – самое меньшее (наименьшее значение функции)
4. Монотонность функции следует определять по графику слева на право.
5. при построении графика функции следует применять свойства соответствия
– каждому x должно соответствовать только одно y.
3
Задание к практической работе №1
Тема: Основные свойства функции
Вариант I
Дайте определение функции и приведите примеры функциональных зависимостей.
Перечислите способы задания функций и приведите примеры.
Какая функция называется монотонной?
Закончите предложение. Областью определения функции называется ___________
_______________________
5. Какие виды промежутков вы знаете. Приведите примеры.
6. Что представляет собой множество значений функции?
7. Функция называется четной, если __________________________________________
8. Запишите условие нечетной функции. ______________________________________
9. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.
10. Изобразите график линейной функции.
1.
2.
3.
4.
Решите задачи.
1. Найти область определения следующей функции:
а) y  x x  1
*г) y 
4 x  10
2x  8
б) y  x  2  x  8
*д) y 
*в) y 
9 x
x 3
x  1  2 x  3
x 2  6x  8
2. Исследуйте функцию на четность (нечетность):
а) y  3t 4  2t 3  1
г) y  x 4 
б) y 
x2  5
2x  1
*в) y 
9 x
x 3
x
3
3. Функция задана условием:
X 1 4 -1 5 6 7 8 0 -2
Y 5 0 4
2 1 0 4 5 3
-3
4
-4
0
Найти: Наибольшее и наименьшее значение на промежутке [-1;8]
Построить график.
4.
а)
5.
а)
г)
Решите графически уравнение:
x  3  x 1
б) 2x  8  6x  5
Постройте график функций:
*б) y  2 x  1
y  3x  7 x 2
*в) y  2 x 2  x  1
y  ( x  4) 2 2
4
Задание к практической работе №1
Тема: Основные свойства функции
Вариант II
1. Что называется функцией? Приведите примеры.
2. Закончите предложение. Все действительные значения аргумента. При которых
функция имеет смысл называться ________________________
3. Запишите условия четности функции.
4. Что называется постоянством знака функции?
5. Изобразите график квадратичной функции.
6. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.
7. Графиком функции называется ___________________________________
8. Что называется аргументом функции?
9. Какое значение функции называется наибольшим/наименьшим?
10. Как найти область определения дробной функции?
Решите задачи.
1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:
а) y  2 x  3
б) y  
1
x2
*в) y  x 2  2 x
*г) y  4 x  1
2. Функция задана условием:
2 x 2  2,
3x  4,
 x   
если x  1
если x  1
Найти  (0) ;  (1) ;  (4,5) ;  (6);
 (18)
Построить график.
3. Решите графически уравнение:
x 2  2x  2  x  2
4. Найдите область определения уравнения следующих функций:
а) y   2 x 2  x
г) y  3x  7 x 2
б) y 
x4
в) y 
x 2
x
д) y  x 3 
3
5. Построить график функций:
а) y  2 x 2  3x  1
б) y  2 x  1
*г) y  ( x  2)( x  3)
1
1  x  2x 2
*в) y  4 x  2
5
Оценочный лист
Практическая работа № 1
Тема: Основные свойства функции
Компетенции
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность,
выбирать типовые методы и
способы выполнения
профессиональных задач,
оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации, необходимой
для эффективного выполнения
профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Основные свойства
функций».
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
6
42
Практическая работа № 2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) Закрепить умения применения свойств степени и арифметического корня при
решении простейших показательных уравнений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы
1) Что называется степенью
2) Какую теорему применяют при решении простейшего показательного
уравнения?
3) Какие преобразования необходимо провести для решения простейшего
показательного уравнения?
4) Какие простейшие показательные уравнения не могут иметь решений?
5) Построить и описать графики: I y  (0,2) x ;
II y  (4,3) x
II. Решить уравнения
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Степень всегда положительное число
2. На выражение степени можно делить или умножать обе части уравнения
3. Любое
показательное
уравнение
следует
привести
к
виду
a f(x)  a g(x) 
f(x)  g(x)
4. Основание степеней должны быть одинаковыми (равными)
5. Если основание степени больше единицы, показательная функция y = ax
возрастает, если же основание степени больше нуля, но меньше единицы, то
функция y = ax убывает на всей области определения
7
Задание к практической работе №2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Вариант I
1. 3 128  4
5
6.  
 3
2х
х
 9
 
 25 
х 2  2 х 11
х
2
9
27
2.      
64
 3 8
7. 5 х 15  25х
2
8.  7 
3. 2 х 6 х2,5  16 2
2
3
4.  
х 1
3 х 7
7
 
7
 3
3х
1/ 3х
5. 2  512
х 2  х { 3
2
 74 7
7 х 3
9. 10 х  100
10. 2 х1  16  0,25
Вариант II
4
1
1
1.  2  
 64 
3
2.  
 4
х 1
6. 5,2х 5 х6  1
2
8
8
 4 х
9
 
 

16
 3
3. 15 х  х  2 
х4
2
1
4. 3   
 3
х 3
х
7. х 27 2 х1  9 2 х1
8. 7 х  3 343
1
 1 
 
 27 
х
9. 8 х 5 х6  1
2
10. 2 х  5 х  0,1  10 х1 
Оценочный лист
2
х
5
5. 5  625
Практическая работа № 2
Тема: Простейшие показательные уравнения
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
1.Владеет терминологией по теме « Простейшие
деятельность, выбирать типовые методы и показательные уравнения»
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
ОК 4. Осуществлять поиск и
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
использование информации, необходимой решения задачи на вычисление искомых величин
для эффективного выполнения
7. Правильно использует информацию, необходимую для
профессиональных задач,
решения задачи
профессионального и личностного
развития
8
Наличи
е
компет
енций
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
9
42
Практическая работа № 3
Тема: Показательные уравнения
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы
и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность
и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести
за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) Закрепить навыки студентов решения показательных уравнений (с
наименьшей степенью, приводимых к квадратным);
2) закрепить свойства степени и арифметического корня для решения задач;
4) Закрепить свойства показательной функции.
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1. Какова область определения показательной функции?
2. Почему при решении показательного уравнения не делают проверку и не
находят ОДЗ?
3. Описать один из методов решения показательного уравнения
соответствующего вида.
4. В каких видах показательных уравнений применяется свойство
монотонности показательной функции?
5.
Построить: I
y = 2x;
II y = (0,3) x
II. Решить задачи.
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. В показательных уравнениях наименьшую степень коэффициенты перед x в
показателе степени должны быть равны.
2. В показательных уравнениях, приводимом к квадратному коэффициенты
перед x в показателе степени отличаются в 2 раза.
3. В однородных показательных уравнениях необходимо сделать наименьшие
общие основания степеней и поделить на степень вида a2x>0.
 f(x) = g(x)
4. Любое уравнение приводится к виду: af(x) = ag(x)
Задание к практической работе №3
10
Тема: Показательные уравнения
Вариант I
1
x 1
3
4 2 9
6.      
6
 4
 3
x
x
7. 4  9  2  8  0
8. 2 x1  5 x1  0,001  10 2 x2
1. 7 x  343
2. 4 x  2  9  2 x  2  8  0
3. 10 x  10 x1  0,11
x 1
x 2  2 x 11
5
9
 5
4.     
 
 3
 25 
 3
x
x
x
x
*5. 3  3   3  3   2
9
9. 15  2 x 1  15  2 2 x  135
*10. 8 x  18 x  2  27 x
Вариант II
1.
2.
3.
4.
5.
2
5 x  625
2  4x  5  6  3 9x  0
ч 1
4  2 2 x  6 x  18  3 2 x
9x
2
2
5 x  6
x 1
1
2
x
6. 18 2 x  2 2 x  3 x 1  3 x 1
7. 2 x  2  2 2 x  15  0
8. 16  15  4 ч  4
9. 10 ч 1  101ч  99
10. 4 ч2  16  10  2 ч2
2
 12  2
x 1
11
2
2
Оценочный лист
Практическая работа № 3
Тема: Показательные уравнения
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации, необходимой
для эффективного выполнения
профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Показательные
уравнения»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
12
42
Практическая работа № 4
Тема: Показательные неравенства
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки решения показательных неравенств;
3) закрепить навыки применения свойств степени к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1.В каком случае в показателе степени может стоять сумма или разность выражений
(чисел)?
2.Как влияет возрастание функции y = ax?
3.Изменится ли знак неравенства при сравнении показателей степени, если
основание степени 0<a<1?
4.Какие показательные неравенства не имеют решений?
x
 1
5.Изобразите на координатной плоскости решение неравенства:  1   1
 3
II. Решить уравнения
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства степени, которые
применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Если основание степени больше 1, то при сравнении показателей степеней
знак неравенства необходимо сохранить.
2. Если основание степени 0<a<1, то при сравнении показательных степеней
знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
af(x)>ag(x)
af(x)>ag(x)
0<a<1
a>1
f(x)<g(x)
f(x)<g(x)
3. Степени необходимо приводить к одному основанию.
13
Задание к практической работе № 4
Тема: Показательные неравенства
Вариант I
6. 3 х1  18  3 х  29   1
7. 5 2 х 1  5 х 1  250
8. 2 2 х 1  5  6 х  32 х 1  0
*9. 4 х 6 х  9 х  0
*10. 0,22 х 3 х 2   5
1. 153 х  3375
2. 2 х 2  5  2 х 3  27648
3. 3 х 17 х 63,5  27 3
4. 0,2х 16 х37,5  5,5
5. 5 х 5 2 х  26
2
2
Вариант II
1.
2.
3.
4.
6. 5  2 х  3  2 х1  56
7. 2 х 1  4 х  80
8. 5 2 х 3  2  5 х 2  3 5
*9. 3  16 х  2  81х  5  36 х  0
7 3 х  343
3 х  2  3 х  72  0
7  5 х  5 х  2  450
5х
2
 6 х1 / 3 
 6253 25
10. 5  3 х  
3456 
7
х 
 3 
*5.10 7 х 1  6  1017 х  5  0
14
Оценочный лист
Практическая работа № 4
Тема: Показательные неравенства
Компетенции
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
ОК 2. Организовывать собственную
1.Владеет терминологией по теме « Показательные
деятельность, выбирать типовые методы и неравенства»
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
ОК 4. Осуществлять поиск и
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
использование информации, необходимой решения задачи на вычисление искомых величин
для эффективного выполнения
7. Правильно использует информацию, необходимую для
профессиональных задач,
решения задачи
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на
вычисление искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической
работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
15
42
Практическая работа № 5
Тема: Свойства степени и логарифмов
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) закрепить навыки вычисления степенных и логарифмических выражений;
3) закрепить свойства показательной и логарифмической функций;
4) закрепить навыки применения свойств степени и логарифмов к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Какие геометрические преобразования применяются для построения
графиков показательной и логарифмической функций?
2) Как преобразовать степенное выражение?
3) Какие преобразования проводят при вычислении логарифмического
выражения?
4) Запишите основное логарифмическое тождество.
5) Запишите формулу перехода от степени к логарифму.
6) Перечислите виды логарифмов.
II . Решит задачи
III. Составить вывод по работе (в выводе указать свойства логарифмов,
которые применялись при решении задач).
Методические рекомендации
1. Если число стоит около переменной x в скобках логарифмического выражения или в
показателе
степени,
то
сдвиг
нужно
производить
по
оси
Ox
(a>0 y = f(x + a) влево на а единиц, a<0 вправо на а единиц).
2. Если число записано после формулы функции, то сдвиг производят по оси Oy (а>0 y =
f(x) + a вверх на а единиц, a<0 вниз на а единиц).
3. Степени и логарифмы нужно приводить к одному основанию и применять
соответствующие свойства.
4. При решении уравнения графически необходимо построить график функции, стоящей в
левой и правой частях уравнения и найти точку их пересечения.
Абсцисса точки пересечения будет являться решением уравнения. Если графики не
пересекаются, то уравнение решений не имеет.
5. При логарифмировании выражений необходимо подставить знак логарифма в правой и
левой части выражения и произвести необходимые преобразования.
6. Для решения уравнения следует применять определение логарифма или переход от
степени к логарифму.
Задание к практической работе №5
16
Тема: Свойства степени. Свойства логарифма
Вариант I
Часть I
Часть II
Свойства степени
Решить уравнения:
Упростить:
1. 3  2 log x  2 log x  64
1
25 log 3
2. 23x  512 3x
log a b 2  log a b 4
3. 4 x  2  9  2 x  2  8  0
Построить графики:
4. 10 x  10 x1  0,11
y  log 2 x  1
5. 5 / 3x1  (9 / 25) x 2 x11  (5 \ 3) 9
y  log 0,5 ( x  4)
6. 4  2 2 x  6 x  18  3 2 x
Вычислить:
1.
2.
a)
b)
3.
a)
b)
4.
log 5( 1 ) log
2
a) 49
log 5log 4
b) 4
c) 16 0,5 log 101
5. Найти х:
5
5
5
2
2
2
2
49 64
4
4
4
4
 
log x 1  3 / 2
8
6. Решить графически уравнения:
а) 3 x  7
b) 2 x 1  5
Вариант II
Часть I
Часть II
1. Свойство логарифма
Решить уравнения:
2. Упростить:
1. 3 х 4 х 0.5  81 3
а) 21 / log 4 
2. 3 / 4х 1  4 / 31 / х  9 / 16
e / log 9 
b) 3
3. 4 х  9  2 х  8  0
3. Построить графики:
4. 2 х 2  2 х 1  12  2 х 1
а) y  log 4 x  4
5. 7 log  х / 2   5 log 0,75
b) y  2  log 1 / 3 ( х  2)
6. 2 / 32 х 1  2 26 log 3
4. Вычислить:
а) 1 / 32 2 log 5
b) 1 / 7 1 2 log 3
с) 3 log 2 log 4 16
5. Найти :
2
2
3
7
5
8
1/ 3
1/ 7
log 3 x  2
6. Решить графически уравнения:
а) 5 х 2  4
b) 2 x 1  x  1
17
Оценочный лист
Практическая работа № 5
Тема: Свойства степени и логарифмов
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме « Свойства степени и
логарифмов»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
18
42
Практическая работа № 6
Тема: Логарифмические уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки решения логарифмических уравнений;
3) закрепить навыки преобразования логарифмических выражений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Какие ограничения накладываются на выражения стоящие под знаком
логарифма?
2) По какой теореме решается простейшее логарифмическое уравнение?
3) Что называется логарифмом?
4) Перечислите виды логарифмических уравнений.
5) Какие свойства логарифмов применялись при решении уравнений?
II. Решить уравнения.
II. Составить вывод (в выводе указать основные этапы решения
логарифмического уравнения).
Методические рекомендации
1. Решение логарифмического уравнения следует начинать с ОДЗ. Для этого
необходимо составить неравенство или систему неравенств. Каждое выражение,
стоящее под знаком логарифма должно быть положительно. Общее решение
неравенства (системы неравенств) необходимо изобразить на рисунке.
2. Логарифмическое
уравнение
необходимо
привести
к
виду:
log a f(x)  log a g(x) , при этом основания всех логарифмов должны быть равны.
3. Найденные значения неизвестного x необходимо проверить по ОДЗ.
4. Если в уравнении не найдено ОДЗ, то необходимо сделать проверку, путем
подстановки найденного неизвестного в логарифмическое уравнение.
5. Необходимо помнить, что отрицательные числа и ноль логарифмов не
имеют.
Задания к практической работе №6
19
Тема: Логарифмические уравнения.
Вариант I
log 10 x  2  log 10 5
2. log 10 3x  6  2 log 10 4  log 10 3
1.


3. log 7 2 x 2  5 x  31  2
4. log 10 x  9 log 10 x =40
2
5.* 4
 1  1
log x  
 3
2
 0,5


1
x  1  2 log 1 x  1  log 1 1  x 2  2
3
3
3
7. log 2 log 3 x  1
6. log


8. log 5 x  11x  43  2
2
log 2 x  3  2 log 2 x 2
10. log 4 x  12  log 4 2  1
2
9.
Вариант II
1.
2.
3.
log 10 4 x  28  2  3 log 10 3
log 10 x  log 10 x  15  2
log x 3 7  2
x 1
x
 log 3
x
2 x
4.
1
1
log
2 x  1  log  x  2   0
3
3
5.
log 3


6.
log 3 x 2  6  log 3 3x  6
7.
log x 1 x 2  3 x  1  1


x 2 log10 x 1,5 log10 x  10
0,1x log10 x 2  10 2
9.*
8.*
log 10 10 log10  x  21  log 10 x
1
10.
Оценочный лист
20
Практическая работа № 6
Тема: Логарифмические уравнения
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме « Логарифмические
уравнения»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
21
42
Практическая работа № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки решения логарифмических неравенств;
3) закрепить навыки применения свойств логарифмов к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) В каком случае сохраняют или меняют знак при сравнении выражений,
стоящих под знаком логарифма?
2) В чем заключается смысл решения логарифмического неравенства?
3) Укажите основные этапы решения логарифмического неравенства?
4) Можно ли делить или умножать обе части логарифмического неравенства
на логарифм?
5) Приведите примеры логарифмических неравенств не имеющих решения.
II. Решить логарифмические неравенства
III. Составить вывод по работе (в выводе указать основные этапы решения
логарифмическогонеравенства).
Методические рекомендации
1. В логарифмическом неравенстве сначала необходимо найти ОДЗ. Для этого
составляют систему неравенств и находят общее ее решение. Выражения, стоящие
под знаком логарифма должны быть положительны.
2. Решать неравенство необходимо с учетом свойств монотонности
логарифмической функции.
0a1
log a f(x)  log a g(x)
a1
log a f(x)  log a g(x)
f(x)  g(x)
f(x)  g(x)
3. Найденное решение логарифмического неравенства необходимо совместить
с ОДЗ. Для этого составляют систему неравенств, в которую входят ОДЗ и решение
22
самого неравенства, и найти общее решение. Решение системы лучше изображать на
рисунке.
4. При решении логарифмического неравенства в общем случае должно быть
три рисунка: один для ОДЗ, другой для решения логарифмического неравенства,
третий – общий.
Задание к практической работе № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Вариант I
1. log 0, 2 х  log 5 ( x  2)  log 0, 2  3
2. log 0, 2 ( x  5)  2
3. log 1 / 2 (2 x  1)  2
4. log 3 (5  4 x)  log 3 ( x  1)
5. log 5 ( x 2  2 x  2)  1
6. log 6 ( x  4)  log 6 ( x  1)  2
7. log 3 (8 x 2  x)  2  log 3 x 2  log 3 x
8. log 1 / 5 ( x  10)  log 1 / 5 ( x  2)  1
9. * log 1 / 3 (2 x  2  4 x )  2
10. log 6 (2  x)  log 6 (2 x  5)
Вариант II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
lg x  log 0,1 ( x  1)  log 0,1 0,5
log 3 (7  x)  1
log 1 / 2 (3  5x)  3
log 0,3 (2 x  5)  log 0,3 ( x  1)
log 3 ( x 2  7 x  5)  1
log 1 / 7 ( x  10)  log 1 / 7 ( x  4)  2
7. log 3 2 ( x  5)  log 3 2 ( x  12)  2
8. log 2 x  log 2 ( x  3)  log 2 4
9. * log 1 / 5 (6 x 1  36 x )  2
10. log 7 ( x 2  2)  1
Оценочный лист
23
Практическая работа № 7
Тема: Простейшие логарифмические неравенства
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Простейшие
логарифмические неравенства»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
24
42
Практическая работа № 8
Тема: Тригонометрические преобразования
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений;
3) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Запишите формулу основного тригонометрического тождества и его
следствие.
2) Чему равен синус двойного угла?
3) Как определить ctg(  β) ?
4) Заполните пропуски:
Sin(
π
 ) 
2
Cos(2  π  ) 
tg(
π
 ) 
2
5) Построить графики функций:
I вар. y  Sinx
II вар. y  tgx
III вар. y  Cosx
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод ( в выводе указать принципы тригонометрических
преобразований).
Методические рекомендации
1. При решении задачи следует четко определить формулу тригонометрии, которую
необходимо применить.
2. При вычислении тригонометрической функции угла  следует учитывать что:
Cos   1, Sin   1, tg   R, ctg   R , т.е. значения косинуса и синуса угла


ограничены промежутком  1; 1 , значение тангенса и котангенса не ограничены.
3. При вычислении тригонометрической функции необходимо учитывать четверть, в
которой находится угол.
4. При решении задачи на вычислении значения функции угла следует помнить, что период
функции необходимо исключить период функции и привести оставшейся угол к острому.
Например: Sin (3660 )  Sin (360  10  60 )  Sin 60 
tg (545 )  tg (180  3  45 )  tg 45  1 ,
TSin   2π  k , k  Z , k  число оборотов
TCos α  2π  k ,
k  Z,
π  180 2π  360
Ttg α  π  k ,
k  Z,
Tctg α  π  k, k  Z
25
3
2
5. Для перехода от градусной мере к радианной применяют формулы:
 рад 
π
180
 град 
 рад  180
π
Задание к практической работе №8
Тема: Тригонометрические преобразования
Вариант I
1. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно
значение: Sin  0.6 270    360
26
sin 2   tg 2
cos 2   ctg 2
2. Упростите выражение:
3. Выразить в радианах углы: 540,1260,450
4. Привести к тригонометрической функции острого угла: cos1914, sin  1560
5. Упростите выражение:
cos  90
 tg (  180)
sin 180   
6. Найдите значение выражения:
а) cos107 cos17  sin 107 sin 17 , б) sin 2  sin  ,   90
в) cos(   ) , если sin  
8
4
, cos   ,0    90,0    90
17
5
sin 2
7. Упростите выражение: а)
, б) cos 2  sin 2  , в)*
2 cos 
1  cos
1  cos

2

2
 sin
 sin

2

2
3
3
  
4
2
9. Представить в виде произведения: а) sin 20  sin 40 ; б) cos 20  cos 30



2
10.Найдите sin , cos , tg , если cos   , 270    360
2
2
5
2
8. Найдите: sin 2 , cos 2 , если tg 
Вариант II
1. Вычислите остальные тригонометрические функции, если известно:
tg  2 , 180    270
2. Упростить выражение: sin x  cos x 2  cos x  sin x 2  2
3. Выразите в радианах углы: 390,405,720
4. Приведите к тригонометрической функции острого угла: cos( 1560) , sin( 1560)
cos(  90) tg (  180)  cos(180   )

sin( 180   )
tg (270   )
6. Найдите значение выражения: а) sin 63 cos 27  cos 63 sin 27 ,
5. Упростите выражение:
б)
sin 51 cos 21  cos 51 sin 21 ,
в)
cos( x  y ) ,
если
sin x 
8
4
, cos y  ,
17
5


0  x  90 ,0  y  90
7. Упростите выражение:а)
sin 40
sin 18  cos 36 *
, б)
, в)
2 cos 20
cos 2 18
2
1  sin
1  sin
2

2
 cos
 cos
3
8. Найдите: sin 2 , cos 2 , ctg 2 , если cos   0,6    
2
9. Представьте в виде произведения: а) cos 2x  cos 3x , б) sin x  sin 3x
10.Найдите: sin

2
, cos

2
, tg

2
2

2
, если cos   0,8 0    90
Оценочный лист
Практическая работа № 8
Тема: Тригонометрические преобразования
Компетенции
Признаки компетенции
27
Наличи
е
компет
енций
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
1.Владеет терминологией по теме «Тригонометрические
преобразования»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
28
42
Практическая работа № 9
Тема: Тригонометрические уравнения
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки преобразования тригонометрических уравнений;
3) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.
Ход работы
I. Ответить на вопросы:
1) Что называется арксинусом числа а?
2) Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?
3) Перечислите частные случаи уравнения Cos x  a, a  1 .
4) Запишите общую формулу корней уравнения tg x  a, a  R .
5) Изобразите график функции y  arcctg x .
II. Решить уравнения.
III. Составить вывод( в выводе указать основные этапы решения
тригонометрического уравнения).
Методические рекомендации
1. Коэффициент перед неизвестной функцией или аргументам должен быть
равен единице.
2. Sin   1, Cos   1, поэтому уравнения вида Sin x  a, Cos x  a, где
a  1 решений не имеют.
3. При решении уравнения следует выбирать общий или частный случай.
4. В уравнениях, приводимых к квадратным должна содержаться функция в
квадрате, в первой степени и свободный коэффициент. Такие уравнения должны
содержать синус (косинус, тангенс или котангенс). Поэтому применяют замены:
29
Cos 2 x  1  Sin 2 x
Sin 2 x  1  Cos 2 x
1
tg x 
ctg x
1
ctg x 
tg x
5. При решении однородных тригонометрических уравнений применяют
замены:
Sin 2  2  Sin   Cos 
Cos 2  Cos 2   Sin 2 
A  A  1  A  Cos 2   A  Sin 2 , где A  число
1  Sin  Cos 2   Sin 2 
Задание к практической работе №9
Тема: Тригонометрические уравнения
Вариант I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 3SinxCosx  4Cos 2 x  0
8. 2Cos 2 x  3Sin 2 x  2Cosx  0
9. 4Cos 2 x  Sinx  1
10. 2Sin 2 x  Cos 2 x  5SinxCosx
11. 1  tgx  2tg 2 x
12. Sin 2 x  SinxCosx  Cos 2 x
SinxCosx  Sin2xCosx  0
1
Cos 4 xSin4 x 
2
Sin2xCos2x  2 sin 2x  0
Sin 2 2 x  3Sin 2 x
Sin 2 x  2Sinx  3  0
Cos 2 x  2Cosx  3  0
Вариант II
Sin2x  Sin10x
1.
2.
3.
Cos5x  Cos3x  0
4.
Cos(  2 x)  Cos(2 x   ) 
5.
6.
3Cos2x  7Sinx
7.
CosxCos2x  SinxSin2x  0
2Cos2x  7Cosx
2
2
3
Sin 2 x  Cos 2 x
2
Cos 2 x  4Sin 2 x  2Sin 2 x
Sin 2 x 
8.
9. Cos2x  5Sinx  3
10. Cos 2 x  3Sin 2 x  2 3SinxCosx  3
11. 22Cos 2 x  4Sin 2 x  7
12. 7tg 2 x  15
30
Оценочный лист
Практическая работа № 9
Тема: Тригонометрические уравнения
Компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Признаки компетенции
Наличи
е
компет
енций
1.Владеет терминологией по теме «Тригонометрические
уравнения»
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
31
42
Практическая работа № 10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки решения на определение уравнения касательной в заданной
точке.
Ход работы
1.Ответить на вопросы:
1) Что называется касательной к графику функции?
2) Закишите уравнение касательной к графику функции в заданной точке?
3) Каким свойством обладает угловой коэффициент касательной?
4)В чем заключен геометрический смысл производной?
2. Решить задачи.
Задание к практической работе №10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке.
Сделать чертеж.
Вариант 1
1. y = x - 7x+10 в точке x0 = 1.
2
2. y =x2 - 2x в точке x0 = 2.
3. y = x2 + 3x в точке x0 = -2.
1
4. y  x  x ; x0  .
2
2
5. y = x2 -3x, в точке x0 = 3.
6.y = x2 -x в точке x0 = 2.
Вариант 2
1.    2  7   6 в точке х0 = 2.
2. y   x 2  6 x  8 в точке x0 = -2.
3. y   x 2  4 x  3 x0  3 .
4.
y  x 2  3x  5 x0  2 .
5. y  x 2  3 в точке x0 = 1.
6. y 
32
1
, x0  1 .
x
7.y = x2 - 1 в точке x 0= 1.
.
8. y  x 2  2 x  3 в точке x0 =1.
7. y = x2 - 7x+10 в точке x0 = 1.
8. y = x2 - 3x, в точке x0 = 2.
Методические рекомендации
1.При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
1)Определение: Прямя линия y  kx  b называется касательной, если она имеет
только одну общую точку с линией, изображающей график функции.
2)Уравнение касательной: y  y 0  y ( x0 )  ( x  x0 ) ,где
x0; y0 – координаты точки касания;
y (x0 ) - значение производной в точке касания;
(х;у) – координаты любой точки, принадлежащей касательной или нормали;
Если производная в точке равна нулю y (x0 ) , то касательная имеет уравнение:
y  y 0 . В этом случае касательная параллельна оси ОХ.
Нормаль имеет уравнение x  x 0 и параллельна оси ОУ.
2.Пример: Найти уравнения касательной к графику функции y=3x2+2x+2 в
точке x0=1. Сделать чертеж.
Решение:
1) y0  y ( x0 )  3  12  2  1  2  7, координаты точки касания А(1;7)
2) y   (3x 2  2 x  2)  6 x  2
3) y ( x0 )  6  1  2  8
4) Касательная имеет уравнение y K  7  8( x  1)
y K  7  8x  8  8x  1
5) Построим
заданные и полученные линии на одной координатной
плоскости. В этой же плоскости строим график заданной функции.
y  3x 2  2 x  2 - парабола
Вершины параболы:
b
2
1


2a
23
3
1
1
1 2
1 2
1 2  6 5
2
y в  3( ) 2  2 ( )  2  3 
  2    23 
 1
3
3
9 3 3
3 3
3
3
3
Xв  
1
3
2
3
Координаты вершины параболы (  ;1 )
3x 2  2 x  2  0
Корни:
 2  2 2  4  3  2  2   20
x1,2 

6
6
, корней нет.
D  0 парабола не пересекает ось ОХ. у(0)=2.
33
Дополнительные
у=8х-1
х 1 -1 2 -2
у 7 3 18 10
точки
х 0 1
у -1 7
у
y  3x 2  2 x  2
х
-1
0
-1
y K  8x  1
34
Оценочный лист
Практическая работа № 10
Тема: Решение задач на определение уравнения касательной к графику функции
в заданной точке
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Решение задач на
определение уравнения касательной к графику функции в
заданной точке»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
35
42
Практическая работа № 11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
Цель :1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) закрепить навыки построения трафиков функций с помощью производных.
Ход работы
1 Ответить на вопросы:
1) Что называется монотонностью графика функции?
2) Перечислите виды экстремумов?
3) Укажите основные этапы исследования графика функции на экстремум.
4) При каких условиях точка является стационарной?
5) Как определить промежутки выпуклости ( вогнутости )графика функции?
2.Решить задачи.
3) Сформулировать вывод ( в выводе указать основные этапы исследования и
построения графика Функции)
Задание к практической работе №11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
1. Найти экстремумы графика функции:
Вариант 1
Вариант 2
2
2
а) у = х 2 2 х  8
б) у = - х 3  х 
3
3
3
4
2
в) у = - х 3х  2
г) у = х 2 х  3
2
3
д) у = 3х  х
е) у = х 3 3х  2
2.Найти промежутки монотонности функции:
Вариант 1
Вариант 2
4
х
а) у =
б) у = х 3 5 х 2  3х  11
 8х  5
4
36
в) у = 0,25 х 4 х 2  6
г) у = -х 3 6 х 2  9 х  5
д) у = 6х – х 3
е) у = х 2 3х
3.Найти наименьшее и наибольшее значение функции на промежутке:
Вариант 1
Вариант 2
а) у = 3х 5 5 х3 , 2;3
в) у = х 4 2 х 2  4, 2;3
4.Построить графики функций:
Вариант 1
а) у = х 2 2 х  8
в) у = 0,25 х
д) у = 6х - х
4
х  6
2
3
б) у = х 3 3х 2  9 х,  4;0
г) у = 5х 3 3х5 , 0;4
Вариант 2
2
2
б) у = - х3  х 
3
3
г) у = - х 6 х  9 х  5
е) у = х 2 3 х
3
2
5.Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
Вариант 1
1) y  x 3  6 x 2  9 x  3
9  x2
2) y 
3x
3) y 
x2
x 1
x2 1
4) y 
x
5) y 
x2
x2
Вариант 2
Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график:
1) y  16 x 3  12 x 2  4
2) y 
x2 1
x
3) y 
x2
x3
x2  x  6
4) y 
x2
5) y 
x3
9  x2
Методические рекомендации
37
При исследовании и построении графика функции с помощью производных
необходимо:
1. Найти область определения функции: допустимые значению х. если
функция представлена в виде дроби, то необходимо определять при каких значениях
х знаменатель дроби не может равняться нулю.
2. Найти область значений функции, допустимые значения у. Значения у
зависят от х.
3. Определить является ли функция четной (нечетной), функцией общего
вида. y x  yx - функция четная; y x   y(x) - функция нечетная.
4. Определить точки пересечения с осями координат (если это возможно).
Заданную функцию следует приравнять к нулю, тогда получается точки
пересечения с осью ОХ (х1; 0) (х2; 0) и т.д.
В заданную функцию подставить вместо х ноль и вычислить у, тогда
получится точка пересечения с осью Оу (0; у)
5. Найти асимптоты графика функции. Чтобы определить асимптоты для
дробной функции необходимо:
Найти значения х, при которых знаменатель не может быть равен нулю. В
этих точках должны проходить вертикальные асимптоты вида х=а.
Асимптоты – это ограничительные прямые линии на плоскости ХОУ, к
которым стремится график функций при неограниченном удалении от начала
координат точки О (0;0).
Для асимптот других видов применяют вычисление пределов заданной
функции.
6. Исследовать функцию на экстремум, монотонность с помощью первой
производной у (х). Если на промежутке [а; в] у1<0, то функция убывает, если у1> 0,
то функция возрастает.
Если при переходе через точку х=а у1 меняет знак с «-» на «+», то исследуемая
точка – точка минимума (хmin).
Если при переходе через точку х=а у меняет знак с «+» на «-», то исследуемая
точка – точка максимума (хmax).
Значение функции в точках экстремума находят путем подстановки х max и хmin
в выражение функции у=f(х).
7. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с
помощью второй производной у11. Вторую производную находят от первой: у11=(у1)1
по правилам и формулам дифференцирования. Если на промежутке [а; в] у11> 0, то
на этом промежутке функция имеет вогнутость графика «вниз», если на промежутке
[а; в] у11< 0, то на этом промежутке функции имеет выпуклость графика «вверх».
Точка х=а, около которой у11 меняет знак с «-» на «+» и наоборот, называется точкой
перегиба графика функции.
8. Найденные значения точек экстремума, перегиба занести в таблицу. В
таблицу добавить точки находящиеся около точек хmax, хmin, х перегиба и рассчитать
значение у = f(x) в этих точках.
х
хmax
хmin
х перегиба
38
у
9. По полученным результатам построить график функции.
Примеры исследования и построения графика функции с помощью
производной
Пример 1: Построить график функции: у=х3 - 2х2 + х
Решение:
1. Область определения: х любое действительное число (х  R ).
2. Область значения: у- любое действительное число (х  R ).
3. y x    x 3  2 x 2   x    x 3  2 x 2  x  x 3  2 x  x 
y x   yx
y x  yx
Функция ни четная, ни нечетная
4. у=0
х3-2х2+х=0
х (х2-2х+1)=0
x  0
 2
x  2x  1  0
x  0

2
 x  1  0
 x1  0
x  1
 2
Или x 2  2 x  1  0
x1, 2 
a 1
 b  b  4ac
 (2)  4  4  1  1 2  0 2  0 2
 b  2 


 1
2a
2 1
2
2
2
c 1
2
В точках с координатами (0; 0); (1; 0) график функции у=х3-2х2+х пересекает
ось Ох.
Х=0
у(0)=03-2  0 2  0  0
В точке с координатами (0; 0) график функции пересекает ось Оу.
5. График данной функции непрерывен, поэтому асимптот не имеет.
1
1
1
6. y  x 3  2 x 2  x   ( x 3 )1  (2 x 2 )1  ( x)1  x 3   2x 2   x 1  3x 2  2  2 x  1  3x 2  4 x  1
y 1  0; 3x 2  4 x  1  0
a3
  4  (4) 2  4  3  1 4  16  12 4  4 4  2
 b  b 2  4ac
x1, 2 
 b  4 



;
2a
23
6
6
6
c 1
42 6
 1
6
6
42 2 1
x2 
 
6
6 3
x1 
Стационарные точки х1=1; x 2 
1
3
Стационарные точки – это те значения х, при которых у1=0.
У1 +
+
39
1
3
у
1
1

y 1  3 x 2  4 x  1  3 x  1 x  
3

х
Здесь применяется формула разложения квадратичного выражения на множители.
ax 2  bx  c  ax  x1  x  x 2 1 , где x1, 2 
хmax=
 b  b 2  4ac
и метод интервалов. Экстремумы:
2a
1
3
Xmin=1
Значение функции в точках экстремума:
1
 1  1 1 2 1 1 2 3  9 1 6  9 4
y max     2     
  


 0,2
3 27 9 3
27
27
27
 3
 3
y min  13  2  12  1  1  2  1  0
3
2
  
  
 
y 11  y 1  3x 2  4 x  1  3x 2  4 x   11  3 x 2  4x   0  3  2 x  4  1  6 x  4
7. 11
4 2
y 0
6x  4  0
6x  4
x 
6 3
1
У11
у
1
1
1
1
1
+
-

2
3

2
2

y 11  6  x   х  - точка перегиба
3
3

х
2 8
4 2 8 8 2 8  8  3  2  9 8  24  18 2
2 2
2
y      2   
 2  
  


 0,1
3 27
9 3 27 9 3
27
27
27
3 3
3
3
х
у
8.
-2
-18
2
-1
0
1
3
1
2
-4
0
0,2 0,1 0
2
2
3
y  x 3  2x 2  x
40
y  2    2   2 2    2   8  2  4  2  8  8  2  18
3
2
y  1   1  2 1   1  1  2  1  1  1  2  1  4
3
2
y 0   0 3  2  0 2  0  0
1 4
y    0,2
3 7
2 2
y  
 0,1
 3  27
y 1  13  2  12  1  1  2  1  0
y 2   2 3  2  2  2  8  2  4  2  8  8  2  2
41
у
9.
y  x 3  2x 2  x
2
1
1
-2
-1
-1
-4
- 10
- 18
42
2
х
Пример 2. Построить график функции y 
x2  2
x2 1
Решение:
1) Область определения функция (О.О.Ф.) D (f): х  R, x 2  1  0 . Знаменатель
дроби не может быть равен нулю.
x 2  1  0,
x 2  1,
x 2   1, x1  1, x 2  1
D f  : x  R, x  1, x  1
2) Область значения функции: (О. З. Ф.) Е (f): y  R, y 1, y 1 не существует.
3) х=1, х=-1 – вертикальные асимптоты. Х=1-прямая, параллельная оси Оу и
проходящая через точку (1; 0)
Х=-1 – прямая, параллельная, оси Оу и проходящая через точку (-1; 0).
Асимптота – это ограничительная прямая, к которой стремится график
функции при неограниченном удалении от начала координат точки О (0;0).
В точках х=1 и х=-1 функция терпит разрыв.
4) y ( x) 
 x 2  2  x 2  2  yx  - функция четная.
 x 2  1 x 2  1
5) Точки пересечения с осями координат:
1) с осью Ох:
 x 2  2  0
x2  2
y  0; 2
 0;  2
x 1
 x  1  0
 x 2  2
 2
 x  1
Уравнение х2=-2 решений не имеет в точках х=1, х=-1 – функция терпит
разрыв. Точек пересечения с осью Ох график функции не имеет.
2) с осью Оу:
x  0; y 0 
02  2
2

 2 в точке (0; 2) график функции пересекает ось Оу.
2
0 1 1
6)
 f ( x) 
f 1  x   g x   g 1  x   f ( x)
 
y  
g 2 ( x)
 g ( x) 
1
1
1




 x2  2 
2 x x 2  1  2 x x 2 2 2 x 3  2 x  2 x 3  4 x
 6x
2
1
2 1
1
y   2   f x   x  2; f  x  2  2 x  0  2 x 


2
2
2
2
2
x 1
x 1
x 2 1
 x 1 
2
1
2 1
1
g x   x  1; g x   x  1  2 x  0  2 x
 
 
1



 6 x  0
x  0
y1  0  2

2
 x  1  0  x  0, x  1


Стационарная точка х=0
Точки разрыва х=1 и х=-1.
у1 +
+
у
-1
0
1
y1 
х
43
x
 6x
2

1
2



хmax=0, хmin нет
Значение функции в точке экстремума.
y0 
х
у
02  2 2

 2
02  1  1
7) y 11 в виду сложности вычислений не находим.
8)
-4
-3
-2
-0,5
0
0,5
1,2
1,4
2
-3
-2
-3
2
2
 42  2  16  2  18  1,2
 42  1 16  1 15
y  4   y 4  т.к. функция четная.
 32  2  9  2  11  1,4; y 3  y3  1,4
y  3 
 32  1 9  1 8
2

 2  2 4  2 6
y  2  

  2; y (2)  y (2)  2
3
1,4
4
1,2
y  4  
(2) 2  1
y (1) 
y (0) 
4 1
3
(0,5) 2  2 0,25  2
2,25


 3; y  (0,5)  y (0,5)  3
2
(0,5)  1 0,25  1  0,75
02  2
2

 2
2
0 1 1
у
9)
-2
y
-1
-4
-3
-2
-1
2
- -1
. -2
Х=-1
Х=1
44
3
4
x2  2
x2 1
х
Оценочный лист
Практическая работа № 11
Тема: Построение графиков функций с помощью производных
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Построение
графиков функций с помощью производных »
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
45
42
Практическая работа № 12
Тема: Приложение интеграла к решению задач
Цель: : 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2)Закрепить: навыки вычисления определенных интегралов;
плоских фигур с помощью интервала.
площадей
Ход работы:
1. Решить задачи по вариантам.
2. Сформулировать вывод (в выводе перечислить основные формулы и
правила интегрирования, применяемые при решении задач).
1. Вычислить интеграл:
Вариант I
Вариант II
2
3
1.  3x dx
4
1.
0
1
2.

3
2.
x dx
3.
 2 x  3x
2

 4 x 3  5 x 4 dx
3.
x 2 dx
 2 x
2

 3x 4  8 x  3 dx

1
4.  e dx
x
3
4.  Sin x dx
0
0
2
х

dx
1
1
5.
1
8
3
3
1
2
0
1
 4x
3
1
dx
5.  e x dx
2
1
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
1. у = 2х + х , у=0
1. у = -х2 + 2х + 8, у = х+6
2. у =2х, х =1, х =2
2. у = х2 +1, х =-2, х = 2, у = 0
3. у = х2 - 2х + 2, х = -1, х =2, у = 0
3. у = -х2+4, у = 0
1
3
4. у = х3, х =3, х =-3
4. у = х + 2, у = - х + 6, у = 0
2
2
46
5. у = х3, х = 2, х =-2
5. у =
1
х + 1, у = -2х + 2, у = 0
3
Методические указания
1.При решении задач применяются правила и формулы:
1. Правила интегрирования:
1)   f x   g x   W x dx    f x dx   g x dx   W x dx
Чтобы найти интеграл от алгебраической суммы нескольких функций, нужно
найти интеграл от каждого слагаемого.
2)  m  f x dx, m  const
Постоянный множитель m нужно вынести за знак интеграла, найти
первообразную и умножить ее на постоянный множитель:
2
2
 3x dx  3 x dx  3 
x3
c
3
3)Интеграл от постоянной величины равен:  Adx  Ax  C , A  const
2.Формулы интегрирования:
Функция
1. Cтепенная
функция
y = xp
Первоообразная
функции
p
 x dx 
x p 1
c
p 1
Частные случаи и формулы
от (kx+b)
 xdx 
Примеры
1.
x2
c
2
1

x3
x
dx

c

3
2
 
dx
1
 x  x dx  ln x  c
ln x – натуральный логарифм
x
 dx  x  c
dx 
3
2
3
x
2
3 3
 c  * x2 
x c
3
3
2
2
 mn m n
a  a






dx
x 21
2
 x 2   x dx   2  1  c 
1
  x 1  c    c
x
 
x4
x
dx

c

4
p
1
x2
x dx  x dx 
c 
1
1
2
2.
3
 kx  b

1
2
1 (kx  b) p 1
*
c
k
p 1
 1
n 
 n a 
a

47
3.
1 3x  5
 3x  5 dx  *
7
6
3
2.
Показательная
функция
y  ax
x
 a dx 
ax
c
ln a
ln
а
–
натуральный
логарифм числа
а
3.
Тригонометр
ические
функции и
выражения
e
e
x
dx  e x  c
kx  b
dx 
1 kx b
*e
c
k

1
 Cos(kx  b)dx  k Sin(kx  b)  c
dx
1
Примеры с решением
Найти интегралы:
2)
 cos 3x 
x
 3 dx 
2.
e
3x
dx 
3x
c
ln 3
1 3x
*e  c
3
2.
  2Sinxdx  2 Sinxdx 
 (2)( Cosx)  c  2Cosx  c
dx
1
 Sin 2 x(kx  b)   k Ctg(kx  b)  c
2
3
1.
1.
 Cos x(kx  b)  k tg(kx  b)  c
 4 x
1
3x  57  c
21
c 
 Sinxdx  Cosx  c  Sin(kx  b)dx   1 Cos(kx  b)  c 3Cosxdx  3 Cosxdx 3Sinx  c
k


Cosxdx  Sinx  c
dx
 Sin 2 x  Ctgx  c
dx
 Cos 2 x  tgx  c
1)

7

 6 x 2  2 x  3 dx

x  4 x dx
Решение:
48
3.
1
 Sin(8 x  5)dx   8 * Cos(8 x  5) 
1)
 4 x
3

 6 x 2  2 x  3 dx =  4 x 3 dx   6 x 2 dx   2 xdx   3dx  4 x 3 dx  6 x 2 dx  2  xdx  3 dx 
 4 x 3 dx  6 x 2 dx  2  xdx  3 dx  4 *
 4*
x 31
x 21
x11
 6*
 2*
 3x  C 
3 1
2 1
11
x4
x3
x2
 6*  2*
 3x  c  x 4  2 x 3  x 2  3x  C
4
3
2
2)  cos 3x  x  4 x dx =
1)  Cos3 xdx 

Cos(kx  b)dx 
k  3; b  0
1
  Сos3 xdx  

1
Sin (kx  b)  C1
k
1
2
1
3
3
x2
x2
2
2
x dx   4 x dx  2)  x dx   x dx 
 c2 
 c2  * x 2  c2  * x 3  C 2 ; 
1
3
3
3
1
2
2
x
4
3)  4 x dx 
 C3
ln 4
1
2 3 4x
Sin 3 x 
x 
C
3
3
ln 4
3.Правила вычисления площади плоской фигуры:
1. По условию задачи построить графики функции на одной координатной
плоскости ХОУ.
2. Найти пределы интегрирования путем приравнивания функций друг к
другу. Найти точки пересечения функций, точки пересечения с осями координат.
3. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей
криволинейных трапеций.
4. Вычислить площадь фигуры с применением формулы Ньютона-Лейбница:
S
b
  f ( x)dx  F (b)  F (a) (ед) 2
ф a
Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0,
у = 0, х = -3, х =2.
Решение:
1) х+2у-4=0 – прямая линия.
у=0 – ось ОХ, х=-3–прямая параллельная оси ОУ, проходящая через точку (3;0).
х=2 – прямая параллельная ОУ (2;0), проходящая через точку (2;0)
х+2у-4=0;
49
1
2
х+2у=4  у=- x  2
х 0 4
у 2 0
2) Построим график функции:
у
х=2
х=-3
1
2
у=- x  2
-3
0
х
2
Рис. 1
2
1
1 x2
S   ( x  2)  
ф
2 2
3 2
x2
1
2
2
2
 4
  9

3  2 x 3   4  2 x (3)    4  4     4  6   11 4

 

(ед2).
Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
х - 2у + 4=0, х + у -5= 0, у = 0
Решение:
1) Преобразуем прямые:
1
2
х-2у+4 =0 к виду у = x  2
х + у-5 = 0 к виду у =-х+5.
2) Построим графики функций:
1
y  x2
2
у
у=-х+5
х у
0 2
2 3
у=
5
S1
у=-х+5
х у
0 5
5 0
1
x25
2
S2
х
0
-4
2
Рис. 2
5
3) Найдем точку пересечения прямых между собой и с осями координат.
-х+5=0
х=5
1
x20
2
х=-4
50
1
2
-х+5= x  2 2
-2х+10=х+4
-3х=-6
х=2
Разбиваем фигуру на две части
S
ф
 S1  S 2

 22
   42
2 1
x2
2


S1    x  2 dx 
 2 x 4 
 2  2  
 8   1  4  4  8  9 (ед 2 )

 4
  4
4

4  2

 

Пример 3: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
S ; y  4x  x 2 ; x  5 .
ф
Решение:
b
4
 2; y 0  4  2  4  4
1)Вершина параболы: x 0    
2a
2
2) Ветви вниз, корни 4х-х2=0 х(4-х)=0
х1=0, х2=4
3) х=5 – прямая, параллельная оси ОУ ,проходящая через точку (5; 0).
Если фигура располагается ниже оси ОХ, то ее площадь вычисляется по
абсолютной величине (модулю):
у
b
S   f ( x)dx
a
х=5
S1
х
0
4
5
S2
у=-х2+4х
Рис. 3
Разбиваем фигуру на две части :
S
ф
 S1  S 2
2 4 x 2 x 3
4
S1   (4 x  x 2 )dx 

2
3
0
2 16 
3
4
2x

x
0
3
64 32

(ед 2 )
3
3
51
4  2 4 3   2 0 3 
0   4  3    0  3  

 

5
x3
S 2   (4 x  x 2 )dx  x 2 
3
4
32 7 39
S 
 
 13 (ед 2 )
ф
3 3 3
5  2 5 3   2 4 3  7
2
4   5  3    4  3   3 (ед )

 

Пример 4: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией y  x 2  1 .
Решение:
Построим графики заданных функций:
1) у=х2 – парабола.
у=2х2-1 – парабола у=х2, сжатая в два раза и сдвинутая по оси ОУ на 1 ед.
вниз.
у=х2
Sф=2S1
для симметричной фигуры
S2
у=2х2-1
S1
Рис. 4
2) Найдем точки пересечения графиков функций:
x 2  2 x 2  1; x 2  2 x 2  1;  x 2  1, x 2  1, x
 1
1, 2
3) Вычислим площадь фигуры ,применив ее симметрию:
 

 x3
 1
1 2
1
2 4
 13 
2
2
S  2   x  2 x  1 dx  2   ( x  1)dx  2   
 x  0  2     1  2   (ед 2 )
ф
 3

3 3
 3

0
0


Если два графика расположены один над другим, то при вычислении
площади фигуры из верхнего графика вычитают нижний.
52
Оценочный лист
Практическая работа № 12
Приложение интеграла к решению задач
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые
методы и способы выполнения
профессиональных задач, оценивать их
эффективность и качество.
1.Владеет терминологией по теме «Приложение интеграла к
решению задач»
ОК 4. Осуществлять поиск и
использование информации,
необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач,
профессионального и личностного
развития
ОК 3. Принимать решения в
стандартных и нестандартных
ситуациях и нести за них
ответственность.
Наличи
е
компет
енций
2.Владеет символикой по теме практической работы
3.Владеет навыками анализа условия задачи
4. Владеет навыками выражения и вычисления искомых
величин
5. Оценивает результаты вычисления искомых величин
6. Осуществлять поиск информации, необходимой для
решения задачи на вычисление искомых величин
7. Правильно использует информацию, необходимую для
решения задачи
8. Правильно решает задачу
9.Разарабатывает свой план решения задачи. на вычисление
искомых величин
10.Решает
задачу
в
логически
завершенной
последовательности
11.Решает задачу по алгоритму.
12.. Формулирует вывод по задаче
13. Формулирует вывод по работе
14.Анализирует полученные результаты.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи
профессионального
и
личностного развития,
15. Самостоятельно решает задачу по теме работы
16. Владеет грамотной письменной и устной речью.
17 Понимает значимость выполняемой работы
18. Оценивает результаты выполнения практической работы.
19..Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
Максимальное количество баллов
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 42 балла
91%-100% - «5» 38 -42 балла
75%-90% - «4» 32 - 37баллов
61%-74% - «3» 26 – 31 балл
0%-60% - «2» 0 - 25 баллов
53
42
Практическая работа №13
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Цель:
1) сформулировать у студентов представление о взаимном
расположении прямых и плоскостей в пространстве;
2) сформулировать навыки логического мышления студентов при
решении пространственных задач;
3) сформулировать навыки построения элементов стереометрии;
4) выявить склонности к дедуктивному мышлению.
Ход работы
I. .Ответить на вопросы (по вариантам).
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод.
Методические рекомендации
1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
об основных аксиомах стереометрии, объектах стереометрии и их свойствам, о
взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве.
2. Задача разбивается на три основных этапа:
1) Построение;
2) Выработка хода решения;
3) Решение задачи.
3. Задачи требуют знаний о планиметрических фигурах и их свойствах. В
частности, свойств подобия треугольников, свойств трапеции, параллельных
прямых.
54
Задания к практической работе №13
Тема: Прямые и плоскости в пространстве
Вариант I
Ответьте на вопрос или закончите предложение.
1. Что изучает стереометрия?
2. Через любые три точки не лежащие на одной прямой ________________
3. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?
4. Если две плоскости имеют одну общую точку ______________________
5. Какие прямые в пространстве называются параллельными?
6. Через точку, лежащую на прямой, проходит ________________________
7. Признак параллельности прямой и плоскости:______________________
8. Если одна параллельная прямая пересекает плоскость, то ____________
9. Лежат ли в одной плоскости скрещивающиеся прямые? (ответ обоснуйте)
10.Теорема о скрещивающихся прямых:______________________________
11.Изобразите следующее: а) а  , б) а ||  , в) а   A.
12.Если две точки прямой лежат в плоскости, то ______________________
13.Можно ли через прямую и не лежащую на ней точку провести плоскость?
(ответ обоснуйте)
14.Равны ли два угла с соноправленными сторонами? (ответ обоснуйте)
15.Известно, что одна из параллельных прямых пересекают плоскость, как
расположена и пространстве другая прямая?
Решите задачи
1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую в, параллельную
прямой а. Докажите, что прямые в и с скрещиваются.
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е
так, что DЕ=5см. BD: DA = 2:3. Плоскость  проходит через точки В и С и
параллельна отрезку DE. Найти длину ВС.
3. Докажите, что если прямая а параллельна прямой по которой пересекаются
две плоскости, и не лежат в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
4. Средняя линия трапеции АВСЕ лежит в плоскости  . Докажите, что
основания трапеции параллельны плоскости.
5. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСЕ. Докажите, что
прямая СЕ параллельна плоскости АВМ.
Вариант II
55
Ответьте на вопрос или закончите предложение.
1. Перечислите объекты стереометрии.
2. В каком случае прямая лежит на плоскости?_______________________
3. Через прямую и не лежащую на ней точку_________________________
4. Какие лучи называются соноправленными?
5. Если две прямые параллельны третьей прямой, то____________________
6. Существует ли плоскость, в которой лежали бы скрещенные прямые? (ответ
обоснуйте).
7.
Как
могут
располагаться
прямые
в пространстве?
(ответ
проиллюстрируйте).
8. Углы с соноправленными сторонами_______________________________
9. Сформулируйте третью аксиому стереометрии.
10. Второе следствие из признака параллельности прямой и
плоскости:___________________________
11. Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то _________
.
12. Изобразите следующее: а) АВ //  , б) АВ а , в) АВ    А
13. Прямая и плоскость называются параллельными____________________
14. Через каждую из двух скрещивающихся прямых____________________
15. В каком случае через три точки проходит единственная плоскость?
Решите задачи
1. На скрещивающихся прямых а и в отмечены точки М и Р. Через прямую а
и точку Р проходит плоскость  , а через прямую в и точку М проходит плоскость
 . Лежит ли прямая в в плоскости  ? По какой прямой пересекаются плоскости 
и ?
2. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна
третьей прямой?
3. Прямая р параллельна диагонали ВЕ ромба АВСЕ и не лежит в его
плоскости, <АВС= 128  . Докажите, что прямые р и АЕ скрещиваются. Найдите угол
между прямыми р и АЕ.
4. Точка Е не лежит в плоскости треугольника АВС. Точки М, Р, Н, К –
середины отрезков ВЕ, СЕ, АС, АВ. Найдите периметр четырехугольника МРНК,
если АЕ=12см, ВС=16см.
5. Плоскости  и  пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна
прямой АВ. Докажите, что прямые а и  параллельны.
56
Практическая работа №14
Тема: Вычисление площади поверхности многогранной фигуры
Цель: 1) систематизировать и обобщить знания студентов о площадях
геометрических фигур;
2) сформулировать у студентов практические навыки вычисления
площади поверхности многогранной фигуры на примере модели
многогранника.
Ход работы
I. .Определить многогранную фигуру.
II. Изобразить многогранную фигуру.
III. Определить число оснований многогранника, число боковых граней, число
ребер основания и боковых граней.
IV. Выделить элементы фигуры, которые необходимы для вычисления площади
основания, боковой и полной поверхности и измерить их.
V. Результаты исследования занести в таблицу.
Вид
Число
Число
Элемент
S осн.
S бок.
S поверхн
многогранной оснований боковых
для
Формула Результат, Формула Результат, Формула Ре
фигуры
граней вычисления
см2
см2
площади,
см.
hосн=
hбок=
аосн=
восн=
VI. Сделать выводы.
VII. Ответить на вопрос или закончить предложение:
1. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
2. Будет ли пирамида правильной, если ее боковые грани правильные
треугольники?
3. Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь
пирамида?
4. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными
треугольниками?
5. Призма называется правильной, если.………………………………….……
6. Грани усеченной пирамиды – ………………………………………………..
7. Усеченной пирамидой называется……………………………………………
8. Площадь боковой поверхности правильной призмы………………………..
9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды……………………..
10. Площадь боковой поверхности правильной поверхности правильной
усеченной пирамиды……………………………………………………………..
Методические рекомендации
1. При решении выполнения работы необходимо четко определить вид
многогранной фигуры.
2. Измерить величины высоты, длины сторон основания, данные занести в
таблицу. Вычислить площадь поверхности модели многогранной фигуры.
3. при ответе на вопросы следует руководствоваться теоретическими
сведениями о свойствах многогранников (пирамиды, призмы, параллепипеда).
57
4. Вычисление следует производить в одних единицах (см. или мм.).
Задания к практической работе № 12
На практической работе преподаватель выдает модели геометрических тел,
представляющие собой многогранные фигуры. Студенты делают необходимые
измерения и выполняют этапы хода работы.
58
Практическая работа № 15
Тема: Цилиндр. Конус
Цель: 1) закрепить навыки применения свойств цилиндра и конуса для
решения задач;
2) сформулировать практические навыки вычисления площади
поверхности цилиндра и конуса, площадей сечений цилиндра и конуса.
Ход работы
I. Ответить на вопросы (по вариантам).
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод.
Методические рекомендации
1. При решении задач следует руководствоваться теоретическими сведениями
о свойствах цилиндра и конуса, вычислении площадей сечений, площадей
поверхности цилиндра и конуса.
2. Задача разбивается на три основных этапа:
1) Построение.
2) Выработка хода решения.
3) Решение задачи.
3. Задачи требуют теоретических знаний о планиметрических фигурах и их
свойств,
в
частности,
четырехугольников
(квадрата,
прямоугольника,
параллелограмма), кругового сектора, центрального угла.
59
Задание к практической работе № 15
Тема: «Цилиндр, конус»
Вариант I
Выберите правильный ответ:
1. Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью,
проходящей через образующую цилиндра? а) 30 , б) 90 , в) 45
2. Чему равен угол между осевым сечением конуса и плоскостью основания
конуса? а) 90 , б) 70 , в) 30 .
3. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его
основанию? а) круг, б) квадрат, в) треугольник.
4. Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его
образующей? а) квадрат, б) прямоугольник, в) параллелограмм.
5. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные между собой хорды. Что
можно сказать о расстоянии от одной хорды до другой: а) оно может быть больше
высоты цилиндра, б) оно может быть равным высоте цилиндра, в) оно может быть
меньше высоты цилиндра.
6. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и плоскостью
основания? а) да, б) нет. Ответ обосновать.
7. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и его осью?
а) да, б) нет (ответ обоснуйте)
8. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его
вершину? а) квадрат, б) равнобедренный треугольник, в) круг
9. Что представляет собой развёртка цилиндра? а) прямоугольник, б) трапецию,
в) треугольник
10. Что представляет собой развертка конуса? а) трапецию, б) круговой сектор,
в) параллелограмм
11. Высота цилиндра равна H, а его радиус R. Вычислите: площадь осевого
сечения, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности тела.
12. высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите: длину образующей,
площади осевого сечения, площадь боковой и полной поверхности тела. Изобразите
развертку усеченного конуса на плоскость.
Решите задачи
1.Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади
боковой поверхности, если осевое сечение цилиндра: а) квадрат АВСД, б)
прямоугольник АВСД, в котором АВ:АД=1:2.
2. Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно 7/8.
Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
3. через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу 120  , проведено
сечение, составляющее с плоскостью основания угол 45 . Найдите площадь сечения,
если радиус основания равен 4см.
60
4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из
оснований осевого сечения равно 40см, а его площадь 36 2 дм. Вычислите площади
полной и боковой поверхностей усеченного конуса.
Вариант II
Выбрать правильный ответ:
1. Какая фигура получится в сечении плоскостью, параллельной его оси? а)
квадрат, б) прямоугольник, в) круг.
2. Чему равен угол между плоскостью осевого сечения цилиндра и
плоскостью основания? а) 30  , б) 90  , в) 60  .
3. Какая фигура получится в сечении конуса и плоскостью, параллельной его
оси? а) равнобедренный треугольник, б) квадрат, в) трапеция.
4. Чему равен угол между плоскостью кругового сечения конуса и
плоскостью основания? а) 800, б) 1800, в) 00.
5. Равны ли друг другу углы между образующими цилиндра и плоскостью
основания? а) да, б) нет. (ответ обосновать).
6. Сколько плоскостей, параллельных основания конуса можно провести
внутри тела? а) ни одной, б) бесконечное множество, в) две.
7. Сечение конуса проходит через его вершину и хорду основания. Какая
фигура получается в сечении? а) трапеция, б) равнобедренный треугольник, в)
квадрат.
8. Сечение проходит через две хорды оснований цилиндра, лежащие в
разных основаниях. Какая фигура может получится в сечении? а) прямоугольник, б)
параллелограмм.
9. Что представляет собой развертка цилиндра? а) прямоугольник, б) квадрат,
в) трапеция.
10. Что представляет собой развертка конуса? а) ромб, б) круговой сектор, в)
круг.
11. Высота цилиндра равна Н, а его радиус R. Вычислите образующую,
площадь боковой и полной поверхностей, площадь осевого сечения цилиндра.
12. Высота конуса равна Н, а его радиус R. Вычислите площади: осевого
сечения, боковой поверхности, площадь полной поверхности. Изобразите развертку
усеченного конуса на плоскость.
Решите задачи
1. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если его развертка
сектор с дугой 2700.
2. Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения
цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания
перпендикулярно ему.
3. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 10 см острым углом 60 0
вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности
полученного те__(?)__.
61
4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из
оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь 36 дм 2. вычислите площадь
боковой и полной поверхности тела.
Практическая работа № 16
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и
личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного
развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение
квалификации.
2) Закрепить умения решения систем двух линейных уравнений методом
подстановки, алгебраического сложения, графическим методом.
Ход работы:
I. Решить задачи
1. Решить системы уравнений методом подстановки, алгебраического сложения,
графическим методом:
Вариант I
Вариант II
5 х  2 у  7
3 х  4 у  25
1) 
8 х  4 у  7
4 х  2 у  9
2 х  3 у  3
 6 х  9 у  9
2) 
2 х  4 у  14
4 х  3 у  27
3) 
1) 
2 х  3 у  17
5 х  у  7
2) 
3 х  5 у  14
2 х  4 у  20
3) 
62
2. Построить графики функций
Вариант I
1) у  2 х  4
2) у  
3)
Вариант II
1) 2 х  4 у  0
1
х8
2
2) 3 х  4 у  8  0
х у
 1
2 3
х
4
y
2
3)   1
II. Сформулировать вывод (в выводе изложить суть метода подстановки,
алгебраического сложения, графического метода) решения систем двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
Методические рекомендации к практической работе № 16
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
1) При решении системы уравнений методом подстановки необходимо из
одного уравнения выразить переменную х или у и подставить это выражение в
другое уравнение, решить систему и сделать проверку. Проверка делается путем
подстановки полученных данных в исходную систему уравнений.
2) При решении системы уравнений методом алгебраического сложения
необходимо уравнять коэффициенты перед неизвестными путем домножения или
деления, сложить или вычесть уравнения, решить полученное уравнение, затем
найти все переменные системы.
3) Для решения системы уравнений графическим методом необходимо
построить графики заданных прямых и найти координаты точки их пересечения,
согласно выбранному масштабу, и записать их в ответ. Для получения более точных
результатов решения, систему уравнений необходимо решить одним из
алгебраических методов (подстановки или сложения).
4) Чтобы построить графики прямых линий, необходимо задать числовые
значения х и вычислить значение у, результаты записать в виде таблицы и построить
графики. Для построения прямой достаточно двух точек.
63
Оценочный лист
Практическая работа № 16
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1. Владеет терминологией по теме.
2. Владеет символикой по теме работы.
3. Владеет
навыками
построения
графика
линейной функции в общем виде.
4. Владеет методом алгебраического сложения.
5. Владеет методам подстановки.
6. Владеет
графическим
методом
решения
системы линейных уравнений.
7. Умеет определять взаимное расположение
прямых на плоскости.
8. Умеет определять количество решений системы.
9. Владеет вычислительными навыками.
10.
Владеет методом решения линейного
уравнения.
1. Решает задачи по плану.
2. Предлагает свои методы решения задач.
3. Правильно применяет метод алгебраического
сложения при решении системы.
4. Правильно применяет метод подстановки.
5. Правильно строит графики линейных функций.
6. Определяет координаты точки пересечения
прямых по масштабу чертежа.
7. Проверяет решение системы дополнительными
операциями.
8. Полностью решает решение задач.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
64
Наличие
компетенций
качество.
9. Разрабатывает свой план решения задачи.
10. Применяет оптимальные решения системы.
11. Формулирует вывод по задаче.
12. Формулирует вывод по практической работе.
ОК 3. Принимать
1. Самостоятельно формулирует проблему.
решения
в2. 2.Самостоятельно решает проблему поиска
стандартных
и
решения системы.
нестандартных
3.
3.Понимает значимость выполняемой работы.
ситуациях и нести4.
4.Оценивает результаты своего труда.
за
1.
них 5.
Оформляет работу, согласно требованиям.
ответственность.2. 6.Оформляет задачи, согласно требованиям.
ОК
3. 8 7.Адекватно реагирует на замечания.
Самостоятельно 4. 8.Самостоятельно решает задачи.
определять задачи 9.Использует источники информации.
профессионального
и
личностного
развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно
планировать
повышение
квалификации.
ИТОГО:
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 62 баллов
91%-100% - «5» 56-62баллов
75%-90% - «4» 46-55 баллов
61%-74% - «3» 37-45 баллов
0%-60% - «2» 36 баллов
65
Практическая работа № 17
Тема: Решение систем линейных неравенств графическим методом.
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Закрепить умения решения системы линейных неравенств графическим методом.
Ход работы:
I. Решить задачи
Найти область решения системы
Вариант I
1)
Вариант II
2 х  у  1

1)  у  х  1
 х  0; у  0

2 х  14 у  14

2) 4 х  3 у  27
 х  0; у  0

у  x

y  2  x
х  у  1  0

2)  х  у  3  0
х  3 у  1  0

66
3)
4)
х  2 у  1
2 х  у  1


х  у  0
 х  0; у  0
 х  у  10

x  y  8
y  0

3 х  2 у  1

3) 6 х  4 у  2
 х  0; у  0

х  у  7

4)  3 х  у  9
 х  0; у  0

II. Сформулировать вывод (в выводе указать суть графического метода решения систем
линейных неравенств).
Методические рекомендации к практической работе № 17
Тема: Решение систем линейных неравенств графическим методом
1) При решении системы линейных неравенств графическим методом необходимо найти на
плоскости ХОУ множество переменных Х и У, удовлетворяющее условно системы. Для этого
надо построить графики линейных функций и найти точки их пересечения.
Следует выполнить алгоритм:
1. Решить систему неравенств относительно у, применяя правила решения числовых
неравенств.
2. Записать вместо знака неравенства знак «=».
3. Построить графики линейных функций.
4. Определить точки пересечения графиков, путем решения системы уравнений.
5. Заштриховать часть плоскости выше или ниже графика функции цветными ручками или
карандашами,
соответственно
знаку
полученного
в
п. 1 неравенства. Если знак неравенства «>» или «  », то плоскость заштриховывают выше
прямой линии, если же знак неравенства «<» или «  », то плоскость заштриховывают ниже
прямой линии около точек пересечения построенных прямых.
6. Часть плоскости, где пересекаются области решения всех неравенств, определяет
множество решений всей системы.
Границу этой области выделяют и указывают точки пересечения графиков функций с
помощью заглавных букв А, В, С и т.д.
Оценочный лист
Практическая работа № 17
«Решение систем линейных неравенств, графическим методом»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет
навыками
построения
линейной
функции.
4.Владеет навыками нахождения общего решения
системы координатной плоскости ХОУ.
5.Владеет навыками определения критериев
переменных Х и У.
6.Владеет алгебраическими методами решения
67
Наличие
компетенций
ОК 2. Организовывать
собственную
деятельность, выбирать
типовые методы и
способы выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести за
них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять
задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно планировать
повышение
квалификации
линейных уравнений.
7.Решает задачи по плану.
8.Предлагает свои методы решения.
9.Применяет графический метод решения задач.
10.Проверяет решение задач.
11.Находит общую область решения системы.
12.Определяет критерии переменных Х и У.
13. Записывает результаты решения в виде
промежутков.
14. Делает выводы по решению задач.
15. Формулирует вывод по работе.
16.Самостоятельно формулирует достижение цели.
17.Самостоятельно формирует проблему.
18.Самостоятельно решает технологию поиска
общего решения системы.
19.Понимает значимость выполняемых действий.
20.Оценивает результаты своего труда.
21.Оформляет практическую работу, согласно
требованиям.
22.Применяет, при выполнении работы, источники
информации.
23.Адекватно реагирует на замечания.
24.Самостоятельно решает задачи.
25.Владеет грамотной письменной речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 50 баллов
91%-100% - «5» 46 - 50баллов
75%-90% - «4» 38 - 45 баллов
61%-74% - «3» 31-37 баллов
0%-60% - «2» 0- 30баллов
68
Практическая работа № 18
Тема: Вычисление матрицы, обратной данной
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Закрепить умения вычисления определителей матриц второго и третьего порядка;
3) Закрепить умения вычисления матрицы, обратной данной.
Ход работы:
I. Найти определители матриц:
Вариант I
1
0

1) А = 
4  8 
 1 8

2) В =  7 6
 1 3

Вариант II
1 2 

1) А = 
 3  4
 5

4
2 
9

2) В =  6
4

1
3
8
2

1
17 
II. Вычислить матрицы, обратные данной. Сделать проверку:
Вариант I
Вариант II
0
1 2 
 8


1) А = 
1) А = 
5 
 6
3  4 
 3 1 8 


8
2) В =  6 4 5 
 7 0 9
4


8
1  8 0 
1 1




3 1 
3) С =  2 3  1 
3) С =   2
 4 6  10 
0 4
5 



Методические рекомендации к практической работе № 18
Тема: Вычисление матрицы, обратной данной. Определитель второго порядка (матрица 2×2)
1) Вычисляется по формуле:
а а
 А  11 12  а11  а22  а 21  а12 , результат вычисления – любое действительное число.
а21 а22
2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют правило
треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную формуле пункта 1.
 0

2) В =   2
 5

1
3

6
9 
69
«+»
«-»
Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс», элементы
побочной
диагонали
и
ее
параллелей
–
со
знаком
«минус»,
тогда:
а11 а12 а13
 А  а21 а22
а23  а11  а22  а33  а 21  а32  а13  а12  а23  а31  а31  а22  а13  а32  а23  а11  а21  а12  а33
а31 а32 а33
3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:
1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.
2. Найти алгебраические дополнения по формулам:
а23
11 а22 а23
1 2 а21
А11   1
,
А12   1
а32 а33
а31
а33
А13   1
а21
а22
а31
а32
А21   1
а12 а13
А23   1
а11
а12
а31
а32
А31   1
а12
А33   1
а11
1 3
2 1
23
3 1
3 3
а32
а33
а13
а22 а23
,
,
А22   1
2 2
А32   1
3 2
а11
а13
а31
а33
а11
а13
а21
а23
а12
а21 а22
А12
А13 
 А11


3. Составить матрицу:  А21 А22
А23 


А33 
 А31 А32
Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)
А31 
 А11 А21


Т
А   А12 А22
А32  и найти обратную матрицу по формуле:
А
А33 
 13 А23
70
А21
А31 
 А11



 
 
А
А22
А23 
А1   12


 
 
А33 
 А13 А23



 
 
4. Проверка производится по формуле:
1 0 0 


А  А1  Е   0 1 0  .
0 0 1 


71
Практическая работа № 19
Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Закрепить умения вычисления определителей матриц по правилу треугольника.
3) Закрепить умения решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными по
формулам Крамера, методом Гаусса, матричным способом..
Ход работы:
I. Решить системы уравнений тремя методами (по формулам Крамера, методом Гаусса,
матричным способом).
Вариант I
3 х  2 у  z  10

1)  x  5 y  2 z  15
2 x  2 y  z  3

5 x  3 y  4 z  11

2) 2 x  y  2 z  6
3 x  2 y  z  2

5 x  3 y  4 z  6

3) 2 x  y  z  0
x  2 y  z  0

5 x  3 y  3 z  48

4) 2 x  6 y  3 z  18
8 x  3 y  2 z  21

Вариант II
 x  4 y  2 z  11

1) 3 x  5 y  6 z  21
3 x  y  z  4

3)
x  2 y  3z  6

2) 2 x  3 y  4 z  20
3 x  2 y  5 z  6

4)
x  y  z  5

1) 2 x  y  3 z  3
x  4 y  6 z  7

Вариант III
72

4 x  5( y  1 )  1

1
5
 y  x  1
2
12
1
3
5
x

y

z  1
6
3
2
5 x  y  3 z  2

4 x  3 y  2 z  16
2 x  3 y  z  17

x  2 y  3z  2

3) 2 x  3 y  4  5
3 x  y  z  3

x  3 y  z  7

2) 3 x  y  2 z  3
x  7 y  4 z  0

5 x  5 y  4 z  3

4)  x  y  5 z  11
4 x  3 y  6 z  9

II. Сформулировать вывод (в выводе указать суть методов решения, систем трех линейных
уравнений с тремя неизвестными).
Методические рекомендации к практической работе № 19
Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
1. При решении системы уравнений по формулам Крамера необходимо:
1) Найти определитель  матрицы системы, которая состоит из коэффициентов при
неизвестных x, y, z по правилу треугольника.
2) Составить матрицу-столбец свободных коэффициентов.
3) Найти определитель при первом неизвестном (х). Для этого нужно вместо первого
столбец матрицы системы подставить столбец свободных коэффициентов и найти  х .
4) Аналогично определить  y и z .
x
y
z
, y
, z
. Сделать проверку.
5) Найти x, y, z по формулам x 
А
А
А
6) Если   0 , то система решений не имеет.
2. При решении системы методом Гаусса необходимо: на первое место поставить
уравнение, в котором коэффициент перед первым неизвестным самый наименьший, и затем
исключить переменные методом алгебраического сложения.
3. Произвести обратный ход метода и определить значение переменных x, y, z . Сделать
проверку.
4. При решении системы уравнений матричным способом применяют следующую запись:
а11 х  а12 у  а13 z  b1 (1)
 a11 a12 a13 
x


 

A   a21 a22 a23  X   y 
a21 x  a22 y  a23 z  b2 (2) , где
a

a x  a y  a z  b (3)
z 
 
32
33
3
 31
 31 a32 a33 
 b1 
 
В   b2  и А·Х = В, тогда Х=А-1 · В, А-1 – матрица, обратная матрице А.
b 
 3
Находят значения x, y, z , делают проверку.
Оценочный лист
Практическая работа № 18,19
«Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
1 Владеет терминологией по теме.
2 Владеет символикой по теме работы.
3 Владеет навыками вычисления определителя 3го
порядка.
4 Владеет методом решения системы уравнений по
формулам Крамера.
5.Владеет методам Гаусса.
73
Наличие
компетенций
задач,
профессионального и
личностного развития
ОК 2. Организовывать
собственную
деятельность, выбирать
типовые методы и
способы выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество.
6.Умеет оценивать решения системы уравнений.
7.Владеет вычислительными навыками.
8.Владеет
методами
решений
линейных
уравнений.
9.Решает системы уравнений по схеме.
10 Предлагает другие методы решения задач.
11 Правильно вычисляет определитель системы.
12 Правильно применяет формулы Крамера при
решении системы.
13 Правильно применяет метод Гаусса.
14 Правильно производит вычислительные
операции.
15Выбирает оптимальные методы нахождения
неизвестных величин (x; y; z).
16. Проверяет решение системы.
17. Полностью реализует решение задачи.
18. Формулирует вывод по решению системы.
19. Формулирует вывод по практической работе.
20 Самостоятельно формулирует проблему
решения задач.
21 Самостоятельно решает проблему поиска
неизвестных (x; y; z).
22 Понимает значимость выполняемой работы.
23 Оценивает результаты своего труда.
24 Оформляет работу, согласно требованииям.
25 Оформляет задачи, согласно требованииям.
26 Адекватно реагирует на замечания.
27 Самостоятельно решает задачи.
28 Использует источники информации.
29 Владеет грамотной письменной речью.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести за
них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять
задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно планировать
повышение
квалификации
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 58 баллов
91%-100% - «5» 53 - 58 баллов
75%-90% - «4» 44 - 52 баллов
61%-74% - «3» 35 - 42 баллов
0%-60% - «2» 0 - 34 баллов
74
Практическая работа № 20
Тема: Решение задач линейного программирования
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Формирование умений составления сводных таблиц по данным задачи.
3)Формирование умений : создания математических моделей экономических процессов;
нахождения оптимальных решений.
4) Закрепить умения решения задач линейного программирования графическим методом.
5) Формирования умений составления аналитического вывода по задаче.
Ход работы:
1.Решить задачи.
2.Сформулировать вывод (в выводе указать смысл постановки
программирования).
1.
Вариант I:
Решить задачи линейного программирования:
Задача 1. Найти множество решения системы на плоскости Х1ОХ2
х2  0

 х1  х 2  1
 х  4 х  2
2
 1
Задача 2. F  3x1  6 x2  max
при ограничениях:
75
задачи
линейного
 х1  х 2  2
 х  2 х  4
 1
2

 х1  2 х 2  8
 х1  0; х 2  0
Найти оптимизацию целевой функции F=3x1-6x2→max
Задача 3. Рацион питания животных на ферме состоит из двух видов кормов: I и II. 1 кг корма
I-го вида стоит 70 д.е., 1 кг корма II-го вида стоит 10 д.е. Содержание питательных веществ: 1 кг I
вида – жиров 1 ед., белков 3 ед., 1 кг II вида – жиров 2 ед., белков 1 ед. Составить наиболее
дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 8 ед.
Задача 4. необходимо распилить 30 бревен длиной по 7 м каждое на бруски 2 м и 4 м, при
этом должно получиться равное количество брусков каждого размера.
Составить план распила такой, чтобы получилось наибольшее число комплектов и все бревна
будут распилены.
Вариант II:
Решить задачи линейного программирования:
Задача 1. Найти множество решения системы на плоскости Х1ОХ2
х2  0

 х1  х 2  1
 х  4 х  2
2
 1
Задача 2. С предприятия на склад перевозят продукцию автомашинами грузоподъемностью
по 5 т и 10 т. За 1 час склад может принять не более 10 машин, при этом не более 8 машин по 5 т и
не более 6 машин по 10 т. Сколько машин по 5 т и 10 т нужно отправить с предприятия на склад за
1 час, чтобы перевезти наибольшее количество продукции.
Задача 3.
Вид сырья
Запас сырья, кг
Нормы расхода на одно изделие, кг
А
В
I
30
12
14
II
12
4
4
III
25
3
12
Прибыль от реализации одного изделия, д.е.
30
45
Количество изделий В не менее, чем изделий А.
Составить план достижения максимальной прибыли от реализации изделий видов А и В.
Задача 4. Минимизировать целевую функцию F  3x1  2 x2  4 при условиях:
2 x1  x 2  13

 3x1  x 2  9
 x  0; х  0
2
 1
Методические рекомендации к практической работе № 20
76
Тема: Решение задач линейного программирования
1) Задачи линейного программирования (ЗЛП) решаются графическим методом.
2) Решение задачи разбивается на три этапа
I этап – выделение объекта исследования.
II этап – создание экономико-математической модели.
III этап – выбор метода решения, решения ЗЛП и формулировка вывода.
В выводе указывается при каких параметрах производительности, сбыта и т.п. достигает
оптимальное значение исследуемой целевой линейной функции F(x) при заданных условиях.
3) Условие задач записывают в виде сводной таблицы.
4) Математическая модель представляет собой систему неравенств, составленных по условию
задачи.
Оценочный лист
Практическая работа № 20
«Решение задач линейного программирования»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет графическим методом решения задачи
линейного программирования.
4.Владеет навыками формулировки целей и задач
исследования.
5.Владеет
навыками
построения линейных
функций.
6.Владеет навыками определения экстремума
линейной функции.
7.Владеет вычислительными навыками.
8.Владеет
навыками
решения
линейных
уравнений.
9.Решает ЗЛП по схеме.
10.Реализует этапы решения ЗЛП.
11.Правильно применяет графический
метод
решения ЗЛП.
12.Правильно производит вычисления.
13.Исследует линейную функцию на экстремумы.
14Формирует экономико-математическую модель.
15Полностью реализует решение ЗЛП.
16.Формулирует вывод по решению задачи.
17.Формулирует вывод по работе.
18.Самостоятельно формулирует цели задачи
исследования .
19.Самостоятельно реализует решение ЗЛП.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
21.Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет работу, согласно требованииям.
23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
24.Адекватно реагирует на замечания.
ОК 2. Организовывать
собственную
деятельность, выбирать
типовые методы и
способы выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
ОК 3. Принимать
решения в стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести за
них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять задачи
профессионального и
77
Наличие
компетенций
личностного развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно планировать
повышение
квалификации
25.Самостоятельно решает ЗЛП.
26.Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной
и устной
речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
78
Практическая работа № 21
Тема: Формулы комбинаторики
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) закрепить умения вычисления факториалов;
2) закрепить умения применения формул комбинаторики к решению задач.
Ход работы:
I. Ответить на вопросы.
1) Перечислите соединения комбинаторики.
2) Чем размещения отличаются от сочетаний?
3) Какими свойствами обладают сочетания?
4) По какой формуле вычисляется количество перестановок с повторениями?
5) Какие значения может принимать факториал n! .
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать виды соединений комбинаторики и формулы
расчета, количества комбинаций)
Методические рекомендации к практической работе № 21
Тема: Формулы комбинаторики
1. При выполнении работы следует применять формулы для перестановок, размещений и
сочетаний элементов.
2. Следует помнить, что внутри размещения элементы отличаются друг от друга.
3. В задачах на вычисление могут получаться результаты, принадлежащие множеству всех
действительных чисел.
4. В комбинаторных задачах результаты должны быть положительными и целыми.
5. При решении задачи можно применять схему:
1) анализ условия задачи;
2) выбор соединения элементов;
3) вычисление количества способов для данного соединения;
4) запись ответа.
6. При решении уравнения, содержащего соединения комбинаторики, необходимо найти
область допустимых значений переменной x или проверить найденные значения x по смыслу.
Значения x должно быть целое и положительное.
7. Количество всех элементов не может быть отрицательным или равным нулю. Количество
элементов в подгруппе не может быть отрицательным.
8. В задаче 3 варианта I и II-го применяется правило умножения.
79
Задание к практической работе № 21
Тема: Формулы комбинаторики
Вариант I
1. Вычислить:
7!4!  8!
9! 



10!  3!5! 2!7! 
2. Сколькими способами можно выбрать 4 марки для конвертов?
3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7? Сколько среди них
четных?
4. Сколькими способами из 10-ти различных книг можно выбрать 4?
5. Найти х:
а) С хх12  6 х  1
б) 12С хх31  55 Ах21
6. Упростить:
А 2  А42
А 5  С 42
а) 3
б) 6
Р2
Р4
Вариант II
1. Вычислить:
 6!5! 5!4!  5!4!



2! 
3!
 3!
2. Сколько перестановок можно сделать в слове: «ЗАДАНИЕ»?
3. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0. 2, 4, 6, 7, 8? Сколько их них
четных?
4. В цехе 8 рабочих. Сколькими способами можно поручить им изготовление 3-[ различных
деталей?
5. Найти х:
а) С хx12  x 2  13
б) Aх23  С х2 2  126
6. Упростить:
С 3  С 53
С 4  А32
а) 5
б) 6
Р3
Р4
Практическая работа № 22
Тема: Вычисление вероятности события
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2)Закрепить умения определения вероятности события.
80
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1) Что называется относительной частотой события?
2) Перечислите основные понятия теории вероятностей?
3) Какие виды событий вы знаете?
4) Что такое полная система событий?
5) Запишите свойства противоположных событий.
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать основные понятия теории вероятностей,
применяемые в данной работе).
Методические рекомендации к практической работе № 22
Тема: Вычисление вероятности события
Вероятность события определяется по формуле
p
m
, где n – число всех исходов; m – число
n
благоприятных исходов.
1. При вычислении вероятности события следует помнить, что искомая величина
вероятности обладает свойствами:
1) 0  p  1; p выражают в %
2) p(N)  0  вероятность невозможного события
3) p(D)  1  вероятность достоверного события
2. Чтобы число выразить в процентах, его нужно поделить на 100%.
3. Чтобы проценты выразить в числах, количество процентов нужно умножить на 100.
4. Если величина вероятности события получается равной дроби, то необходимо числитель
дроби поделить на знаменатель, значение округлить и выразить в процентах, оставив два знака
после запятой.
Например:
5
 0,8(3)  0,8333  83,33%
6
4
 0,57142...  57,14%
7
1
 0,(3)  0,3333  33,33%
3
Задание к практической работе № 22
Тема: Вычисление вероятности событий.
Вариант I
1. Среди 120 ламп 15 испорченных. Наугад выбирают 3 лампы. Какова вероятность того,
что среди них 2 испорченные?
2. Набирая номер телефона абонент забыл 3 последние цифры. Помня о том, что они
различные, он набрал номер наугад. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
3. В коробке 3 белых шара, 4 черных шара, 5 красных шаров. Наугад берут 1 шар. Найти
вероятность того, что он: а) белый, б) черный, в) красный.
81
4. Бросают две игральных кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших
шаров равно 8?
5. В лотерее 50 билетов, из них 8 выигрышных. Наугад выбирают 5 билетов. Найти
вероятность того. что среди них: а) два выигрышных; б) два проигрышных; в) все выигрышные.
6. На полку ставят четырехтомное издание М.Ю. Лермонтова. Какова вероятность того, что
вначале I-ый том, а в конце II-ой.
7. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без
повторений?
8. Решить уравнение: АX5  18 Ах4 2
Вариант II
1. В лотерее 60 билетов, из них 10 выигрышных. Наудачу покупают 15 билетов. Найти Р –
вероятность того, что среди них: а) 5проигрышных. б) 3 выигрышных. в) все проигрышные.
2. В ящике 10 белых и 15 черных шаров. На удачу вынимают два шара: найти Р –
вероятность того, что:
а) Они оба белые. б) Оба черные. в) 1белый.
3. Найти Р – вероятность того, что наугад выбранные 4 цифры образуют четырехзначное
число.
4. Завод получает 30% изделий из города Харькова. Найти вероятность того, что: а) Взятое
наугад изделие из г. Харькова. б) Сделано не в г. Харькове.
5. В ящике в пять раз больше белых шаров, чем черных. Наугад вынимают один шар. Найти
Р – вероятность того, что он красный
6. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна
9.
7. Сколько перестановок букв можно сделать в слове: «водород», «зебра»
8. Решить уравнение: Ах4  Р х  4  42  Р х  2
Оценочный лист
Практическая работа № 22
«Вычисление вероятности события»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления величин в
процентах.
4.Владеет навыками решения задач на вычисление
вероятности событий.
5.Владеет навыками применения свойств событий
при решении задач.
82
Наличие
компетенций
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК 8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и личностного
развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно
планировать
повышение
квалификации
6.Решает задачи, применяя типовую схему.
7.Предлагает свои пути решения задачи.
8.Правильно рассуждает при решении задачи.
9.Правильно
производит
вычислительные
операции.
10.Оценивает значение вероятности события
11.Формулирует вывод по решению задачи.
12.Формулирует вывод по работе.
13.Самостоятельно
формулирует
проблему
решения задачи.
14.Самостоятельно решает проблему вычисления
вероятности события.
15.Логически рассуждает при решении задачи.
16.Применяет свойства событий при решении
задачи.
17.Понимает значимость выполняемой работы.
18.Оценивает результаты своего труда.
19.Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
22.Самостоятельно решает задачу
23.Использует источники информации.
24.Владеет грамотной письменной и устной
речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 48 баллов
91%-100% - «5» 44-48 баллов
75%-90% - «4» 36-43 баллов
61%-74% - «3» 29-35 баллов
0%-60% - «2» 0-28 баллов
Практическая работа № 23
Тема: Операции над событиями
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
83
2) Закрепить умения применять понятия математической логики.
и основные теоремы теории вероятностей при решении задач ;
Ход работы:
I. Ответить на вопросы.
1) Что называется суммой событий?
2) По какой теореме можно определить вероятность произведения двух несовместных
событий?
3) Какие значения может принимать вероятность суммы и произведения событий?
4) Запишите формулу полной вероятности события.
5) В каких случаях применяют формулу Байеса?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать операции, производимые над событиями при
решении задач).
Методические рекомендации к практической работе № 23
Тема: Операции над событиями
1. При определении операции над событиями в рассуждениях следует применять
смысловые связки «и», «или». «И» для произведения событий; «или» - для суммы.
2. Обязательно нужно рассматривать все прямые и обратные варианты событий.
Например: I-й прибор работает A1 .
I-й прибор не работает
A1 и их системы.
A1  A 2  A3  A1  A2  A3  ....
Вероятность прямого события обозначают буквой «p», обратного – «q».
3. Применяют формулы:
Сумма вероятностей прямого и обратного событий;
p  q 1
Вероятность суммы двух несовместных событий;
P ( A  B)  P ( A)  P ( B)
Вероятность произведения двух независимых событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)
Вероятность суммы двух совместных событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)  P  ( A  B)
4. В задачах на полную вероятность и формулу Байеса необходимо сначала задать
гипотезы, определить условную вероятность события при каждой гипотезе и полную вероятность
события.
84
Задание к практической работе № 23
Тема: Операции над событиями
Вариант № I
1. В чем заключается сумма и произведение событий:
1) производится два выстрела по мишени А – попадание 1-выстрелом;
2) бросается игральная кость; А-появление единицы, В-появление двойки.
2. Сделано три выстрела по мишени А1, А2, А3. Считая исходы равновозможными,
найдите вероятность события А, если:
1) произошло три попадания
2) не было ни одного попадания
3) было хотя бы одно попадание
3. Завод выпускает 27% продукции высшего сорта, 70% - первого сорта. Найти
вероятность того, что взятое наугад изделие будет или высшего или первого сорта.
4. В группе 25 студентов, из них отлично учится 5 человек, хорошо – 12,
удовлетворительно – 6, слабо -2. Вызывается один по списку. Найдите вероятность того, что он –
отличник или хорошист.
5. В ящике 15 красных и 5 синих шаров. Выбирают 4 шара. Найти вероятность того, что
среди выбранных шаров:
1) не более 1 синего;
2) не менее 3 красных;
3) не менее половины красных;
6. Прибор состоит из 2-х элементов q1=0.05, q2=0.08. Найти вероятность того, что:
1) выйдет из строя только первый элемент
2) оба выйдут из строя
3) откажет только второй
4) оба работают
7. Выбирают одну деталь. Найти вероятность того, что она:
1) бракованная
2) стандартная
Данные приведены в таблице:
№ станка
I
II
III
Объём продукции
40%
30%
30%
Брак
0.01
0.03
0.05
Вариант II
1. Мяч бросают трижды Аi, i=1,2,3. Выразить через А1, А2 и А3 события:
1) В – Мяч не попал ни разу;
2) С – Мяч попал один раз;
3) Н – Мяч попал три раза;
4) D – Только при первом бросании мяч попал в корзину.
2. Игральная кость бросается дважды: А – Сумма выпавших очков – четная, В – выпадает хотя
бы одна единица. Найти вероятность (Р) событий:
А  В, А  В, А  В
3. Станок – автомат производит изделия трёх сортов, изделия первого сорта составляют 5 %,
второго сорта – 80%, третьего – 15%. Наугад берут одно изделие. Найти вероятность того, что оно
будет первого, второго или третьего сорта.
4. Из чисел 1,2…20 наудачу выбирается число. Найти вероятность того, что это число делится
на 2 или 3.
5. Стрелок стреляет в мишень, разделенную на три непересекающиеся части. Вероятность
попадания в первую часть – 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что:
85
1) Попал в первую или во вторую части
2) Попал в третью часть
6. При каждом включении двигатель работает с p=0.8. Какова вероятность того, что для
запуска потребуется не более двух включений.
7. Найти вероятность того, что взятое наугад бракованное изделие изготовлено машиной В.
Данные приведены в таблице:
Машина
А
В
Объём продукции
40%
60%
Брак
0,009
0,004
Оценочный лист
Практическая работа № 23
«Операции над событиями»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками применения теорем теории
вероятности при решении задач.
4.Владеет вычислительными навыками.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК 8
Самостоятельно
определять задачи
5.Решает задачи с применением теорем теории
вероятности.
6.Правильно рассуждает при решении задачи.
7.Решает задачу в логически завершенной
последовательности.
8.Оценивает значения полученных величин.
9.Формулирует вывод по решению задачи.
10.Формулирует вывод по работе.
11.Правильно
применяет
теоремы
теории
вероятности при решении задач.
12.Самостоятельно
формулирует
проблему
решения задачи.
13.Самостоятельно решает проблему.
14.Логически рассуждает при решении задачи.
15.Понимает значимость выполняемой работы.
16.Оценивает результаты своего труда.
17.Оформляет работу, согласно требованиям.
18.Оформляет задачи, согласно требованиям.
19.Адекватно реагирует на замечания.
20.Самостоятельно решает ЗЛП.
86
Наличие
компетенций
профессионального
и личностного
развития,
заниматься
самообразованием,
осознанно
планировать
повышение
квалификации
21.Использует источники информации.
22.Владеет грамотной письменной и
речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 44 балла
91%-100% - «5» 40-44 баллов
75%-90% - «4» 33-39 баллов
61%-74% - «3» 29-32 баллов
0%-60% - «2» 0-31 баллов
87
устной
Практическая работа № 24
Тема: Вычисления числовых характеристик случайных величин
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2)Закрепить умения применения числовых характеристик случайных величин при решении
задач;
3) Закрепить умения анализа процессов с помощью графических изображений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1) Какие величины являются случайными?
2) С помощью каких линий изображают законы распределения случайных величин?
3) Что называется математическим ожиданием и дисперсией случайной величины?
4) Когда распределение случайной величины называется биномиальным?
5) Что характеризует математическое ожидание случайной величины?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе основные понятия, применяемые при решении задач).
Методические рекомендации к практической работе № 24
Тема: Вычисления числовых характеристик случайных величин
1. При составлении закона распределения случайной величины сначала необходимо
определить числовое значение случайных величин и вероятность их появления, затем данные
занести в таблицу:
xi
pi
2. При построении графика закона распределения случайной величины для наглядности по
координатным осям задают соответствующие масштабы. График изображают в системе координат
xi О p i
3. Математическое ожидание случайной величины вычисляют по
формуле:
k
MX   x  p  x  p  x  p  ... x  pk
i i
1 1
2 2
k
i 1
n – количество случайных величин.
4. Дисперсию случайной величины вычисляют по формуле:
k
ДX   (x  MX)2  p (x  MX)2  p (x  MX)2  p  ...(x  MX)2
i
i
1
1
2
2
k
E 1
k – количество случайных величин.
5. Для случайных величин сопоставляют закон распределения и изображают его на графике
для оценки характера процесса.
88
6. Для биномиального распределения вероятность вычисляют по формуле Бернулли
Pn (k )  C nk  p k  q n  k , p – вероятность прямого события
С nk 
q – вероятность обратного события.
n!
(n  k)!  k!
7. При решении задачи всегда делают проверку по формуле
n
 pi
i 1
 p 1  p 2  ...  p n  1
Задание к практической работе № 24
Тема: Вычисление числовых характеристик случайных величин
Вариант I
1. Составить закон распределения числа попаданий мяча в корзину при одном броске, если р=0,7 и
постоянна (р – вероятность при каждом попадании). Построить график закона распределения.
2. Выпущено 100 билетов. Выигрыш: 6 билетов - 20 рублей, 8 билетов – 10 рублей, 10 билетов – 30
рублей. Составить закон распределения выигрышей. Найти МХ, DX. Построить график закона
распределения.
3. Всхожесть ржи 90%. Чему равна вероятность того, что их пяти семян взойдет не более 3?
4. Что вероятнее выиграть 6 партий из 10, или 5 партий из 8, если противники равносильны
(вероятность выигрыша или проигрыша 50 %)?
5. Случайная величина задана законом распределения:
Xi
Pi
8
0,4
9
0,1
10
0,5
Найти: математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график закона
распределения.
Вариант II
1. Составить закон распределения числа выпавших гербов при трех бросаниях монеты. Построить
график закона распределения.
2. В коробке 5 черных и 10 красных мячей. На удачу берут два мяча. Найти закон распределения
извлечения черных мячей. Определить МХ, DX. Построить график закона распределения.
3. В команде 16 человек из них 6 перворазрядников. На удачу выбирают 2 человека. Составить
закон распределения среди выбранных перворазрядников. Построить график закона
распределения.
4. Что вероятнее выиграть 7 партий из 9 или 3 партии из 4, если противники равносильны
(вероятность выигрыша или проигрыша 50 %)?
5. Случайная величина задана законом распределения:
Xi
Pi
1
0,7
2
0,1
3
0,2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график закона
распределения.
Оценочный лист
Практическая работа № 24
89
«Вычисление числовых характеристик случайных величин»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления вероятности,
появления случайной величины.
4.Владеет навыками определения значений
случайной величины.
5.Владеет навыками построения графика, закона
распределения случайной величины.
6.Владеет навыками вычисления математического
ожидания случайной величины.
7.Владеет навыками вычисления дисперсии
случайной величины.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
8. Правильно определяет значение случайных
величин.
9.Правильно вычисляет вероятность появления
случайной величины.
10.Правильно составляет закон распределения
случайной величины.
11.Правильно строит график распределения.
12.Правильно
вычисляет
математическое
ожидание и дисперсию.
13.Применяет таблицу при вычислении МХ и DX.
14.Применяет формулы МХ и DX.
15.Формулирует вывод по задаче и работе.
ОК 3. Принимать
16.Самостоятельно
формулирует
проблему
решения
в исследования.
стандартных
и 17.Самостоятельно
решает
проблему
нестандартных
исследования.
ситуациях и нести 18.Решает задачу в логически завершенной
за
них последовательности.
ответственность.
19.Понимает значимость выполняемой работы.
ОК
8 20.Оценивает результаты своего труда.
Самостоятельно
22.Оформляет работу, согласно требованиям.
определять задачи 23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
профессионального 24.Адекватно реагирует на замечания.
и
личностного
25.Самостоятельно решает задачу
развития,
25.Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной и устной речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
90
Наличие
компетенций
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
91
Практическая работа № 25
Тема: Вычисление числовых характеристик выборки
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Закрепить умения определения числовых и выборочных характеристик выборки;
3) Закрепить умения построения полигона частот и полигона относительных частот.
Ход работы:
I.Ответить на вопросы.
1) Что называется выборкой?
2) Какие характеристики выборки относятся к числовым, а какие к выборочным?
3) Укажите вид выборочного распределения?
4) Что необходимо вычислить для построения полигона частот и полигона относительных
частот?
5) Как определить среднее выборочное?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать количественные и качественные характеристики
выборки)
Методические рекомендации к практической работе № 25
Тема: Вычисления числовых характеристик выборки
1. Для определения характеристик выборки нужно четко разделить количественные и
качественные характеристики выборки.
2. При построении полигонов по координатным осям задают соответствующие масштабы для
наглядного изображения.
Полигон – это ломаная линия.
3. Выборочное распределение, статистический ряд должны быть в виде таблиц.
Качественные характеристики выборки вычисляются по формулам:
Среднее выборочное
1 k
x    xi
n i 1
1 k
x    xi  ni
n i 1
Выборочная дисперсия
1 k
S 0    ( x i  x )  ni
n i 1
Несмещенная выборочная дисперсия
92
S
n
 S0
n 1
Задание к практической работе № 25
Тема: Вычисление числовых характеристик выборки
Вариант I
1. 5; 2; 8; -2.5; -2; 0; 0; 8; 5; найти объем, размах, статистический ряд, выборочные
распределения Х , SO, S. Построить полигон частот и полигон относительных частот.
2. Четыре измерения длинны стержня дали результаты: 19;18;21;22см. найти Х , S 0 , S
длинны стержня. Построить полигон частот.
3. Найти: Х и S 0 :
Xi
Ni
125
2
127
4
130
3
140
1
Построить полигон частот.
4. 1; 3; -5; -5; 3; 1; 1. Найти S. Построить полигон относительных частот.
5. Построить полигон частот: 2; 5; -2; 5; -2; 0; 0; 8; 5. Найти Х .
Вариант II
1. -1; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0. Найти объем, размах, статистический ряд, выборочное
распределение Х , S 0 , S. Построить полигон частот и полигон относительных частот.
2. Измерение длинны трубы 48; 50; 51; 46см. Найти Х , S 0 длины. построить полигон частот.
3.
-60
-20
0
30
80
Хi
0.1
3/20
1/2
1/5
1/20
Ni/n
Найти. S 0 , Х . построить полигон относительных частот.
4. -20; -20; 0; 0; 0; 0; 0; 10; 10. Найти S. Построить полигон частот.
5. Построить полигон относительных частот. 6; 6; 8; 8; 4; 0; 4; 0; 7; 1.
Оценочный лист
Практическая работа № 25
«Вычисление числовых характеристик выборки»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления количественных
характеристик выборки.
4.Владеет навыками вычисления качественных
характеристик выборки.
5.владеет навыками составления статистического
ряда.
6.Владеет навыками составления выборочного
распределения.
7.Владеет навыками графического изображения
93
Наличие
компетенций
развития
выборки.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
8.Правильно
вычисляет
количественные
характеристики выборки.
9.Правильно
вычисляет
качественные
характеристики выборки.
10.Правильно составляет статистический ряд.
11.Правильно
составляет
выборочное
распределение.
12.Правильно строит полигон частот (частностей)
данных выборки.
13.Правильно
строит
гистограмму
данных
выборки.
14.Анализирует полученные результаты.
15.Формулирует вывод по задаче.
16.Формулирует вывод по работе.
17.Самостоятельно
формулирует
проблему
исследования.
18.Самостоятельно
решает
проблему
исследования.
19.Решает задачу в логически завершенной
последовательности.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
21.Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет работу, согласно требованиям.
23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
24.Адекватно реагирует на замечания.
25.Самостоятельно решает задачу
26Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной
и устной
речью.
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК
8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
Практическая работа № 26
Тема: Построение рядов распределения статистических данных
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
94
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
3) Закрепить основные способы построения рядов распределения.
4) Закрепить умения расчета частот, интервалов признака при построении рядов
распределения.
5)Формирование умений построения атрибутивных, дискретных и интервальных рядов
распределения.
6) Формирование умений анализа статистической информации.
Ход работы
1. Ответить на вопросы:
1)
Дайте характеристику видам рядов распределения.
2)
Опишите построение дискретного вариационного ряда.
3)
Опишите построение интервального вариационного ряда.
4)
Что представляет собой ранжированный ряд.
5)
Что называется вариантом, частотой и частностью вариационного ряда.
2. Решить задачи по вариантам.
3. Составить аналитическую справку по исследованию.
Вариант I
Задача: Имеются данные успеваемости 20 студентов группы по дисциплине «Статистика» за
ноябрь месяц 2003/2004 учебного года: 5, 3, 5, 5, 5, 4, 5, 2, 5, 3, 4, 2, 5, 3, 2, 5, 4, 4, 5, 4.
Задание:
Построить:
1. Ранжированный ряд данных.
2. Атрибутный ряд распределения успеваемости студентов, выделив в нем группы: 1.
успевающие студенты (3 балла и выше); 2. неуспевающие студенты. Данные занести в таблицу:
Таблица 1.- Распределение студентов по уровню успеваемости за ноябрь месяц 2009/2010 учебный
год
Из них
Успевающие
Неуспевающие
студенты, чел.
студенты, чел.
Всего
Количество студентов, чел.
Удельный вес,
% к итогу.
3. Дискретный и интервальный ряд распределения студентов по успеваемости. Для
дискретного и интервального рядов построить таблицы:
Пример таблицы дискретного ряда:
Таблица 2 - Дискретный ряд распределения студентов по уровню успеваемости за ноябрь
2009/2010 учебного года.
Баллы
Количество студентов, чел.
Всего
95
Удельный вес, % к итогу
Пример таблицы интервального ряда:
Таблица - 3. Интервальный ряд распределения студентов по баллам успеваемости за ноябрь месяц
2009/2010 учебного года.
№
п/р
1
2
…
Баллы
Количество студентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
…
итого
…
…
Вариант II
Задача: известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами вступительных
экзаменов на I курс колледжа в 2009/2010 учебном году:
Аттестационные баллы:
10
8
7
8
8
5
9
6
7
10
6
9
10
9
5
7
7
8
10
9
9
5
10
7
10
9
8
9
Задание:
Построить:
1. ранжированный ряд данных.
2. атрибутивный ряд распределения поступивших и не поступивших абитуриентов,
считая проходной балл 7-10 включительно.
Данные занести в таблицу.
Таблица 4.- Распределение абитуриентов по проходному баллу в 2009/2010 учебном году
Всего
Поступили
в колледж
Из них
Не поступили
в колледж
Количество абитуриентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
3. Дискретный и интервальные ряды распределения абитуриентов по результатам сдачи
вступительных экзаменов в 2009/2010 учебном году. Для дискретного и интервального рядов
построить таблицы.
Пример таблицы дискретного ряда:
Таблица 5- Дискретный ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи вступительных
экзаменов в 2009/2010 учебном году.
Баллы
Количество студентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
Всего
96
Пример таблицы интервального ряда:
Таблица 6- Интервальный ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи вступительных
экзаменов в 2009/2010 учебном году.
№
п/р
1
2
…
баллы
Количество студентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
…
итого
…
…
Методические рекомендации к практической работе № 26
1. Таблица должна содержать:
 текущий номер и название.
 номер по порядку.
 наименование строк и столбцов.
 итоговую строку.
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Расчет удельного веса производится по формуле:
n
  i 100% , где n i - количество единиц совокупности для i -го интервала ( i  1,2,3 …), N
N
- объем исследуемой совокупности.
3. Ранжированный ряд строится по убыванию (возрастанию) единиц совокупности.
4. Для построения дискретного ряда необходимо определить варианты (количество баллов),
частоту их повторения и удельный вес единиц совокупности.
5. Для построения интервального ряда необходимо вычислить: число интервалов по формуле
Старджесса: n  1 3,322 lg N , где N - объем исследуемой совокупности; величину интервала
x  xmin
(пределы изменения варианта) по формуле: h  max
, где xmax - наибольшее значение
n
варианта; xmin - наименьшее значение варианта; n - число интервалов.
Оценочный лист
Практическая работа № 26
«Сводка и группировка статистических данных»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет навыками расчета количества групп по
формуле Стерджесса.
4.Владеет навыками расчета показателя удельного
веса.
5.Владеет навыками построения сводной таблицы.
6.Владеет навыками анализа информации.
97
Наличие
компетенций
задач,
профессионального
и личностного
развития
7.Владеет навыками наглядного представления
информации.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
8.Рассчитывает количество групп по формуле
Стерджесса.
9.Рассчитывает величину интервала группы.
10.Составляет сводную таблицу.
11.Производит группировку данных.
12.Рассчитывает показатель удельного веса.
13.Обрабатывает и систематизирует информацию.
14.Анализирует информацию.
15.Составляет аналитическую справку.
16.Наглядно представляет статистические данные.
17.Составляет вывод по работе.
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК
8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
18.Самостоятельно
составляет
сводку
и
группировку данных.
19.Самостоятельно представляет данные в сводной
таблице.
20.Самостоятельно анализирует данные.
21.Самостоятельно аргументирует полученные
данные.
22.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи.
23.Применяет знания из других дисциплин.
24.Оформляет
сводную
таблицу,
согласно
требованиям.
25.Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
26.Адекватно реагирует на замечания.
27.Оформляет практическую работу, согласно
требованиям.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
98
Практическая работа № 27
Тема: Графическое изображение статистических данных
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Формирование умений построения статических таблиц.
3)Формирование умений построения полигона и гистограммы для обработки и представления
статических данных.
Ход работы
1. Ответить на вопросы:
1.С какой целью строиться статическая таблица?
2.С какой целью стояться график в экономико-статических исследованиях?
3.Что такое полигон, как он стоиться и применяется для анализа статических данных?
4.Что представляет собой гистограмма и как она применяется при анализе статических данных?
5.Опишите построение гистограммы данных.
6.Перечислите элементы графика.
2.Решить задачи:
I вариант
Задача № 1. Имеются данные продаж мужской обуви в магазине «Центробувь» за 1 октября
2011 года.
39
44
45
40
40
37
40
41
40
40
37
42
44
39
45
42
42
39
38
38
40
40
44
43
43
36
35
35
35
36
36
38
40
42
42
42
43
39
39
44
43
40
40
39
40
39
40
42
43
40
Построить таблицу. Построить полигон и гистограмму распределений.
Задача № 2. Имеются данные:
Таблица 1 - Объем продаж телевизоров в магазине «Витязь» в период с 2009-2010 гг. .
Год
2002
2003
2004
2005
Объем продаж, шт.
4717
3672
3987
134
II вариант
Задача № 1. Имеются данные таблицы уставного капитала в банках региона за 2010 год.
2351
20218
17469
17469
6110
17469
2351
10700
2351
13354
2950
13354
3315
12092
3315
10700
2950
12092
Построить полигон и гистограмму распределений.
99
13354
6110
10700
2950
12092
18465
2351
17469
18465
3315
6110
6110
Задача № 2. Имеются данные:
Таблица 2 - Распределение семей города по количеству детей .
Число семей
20
35
10
5
Количество детей
1
2
3
4
2.Построить полигон распределения.
3.Сформулировать вывод в виде указать основные виды представления статистических
данных.
Методические рекомендации к практической работе № 27
Тема: Графическое изображение статистических данных
1. Таблица статических данных должна содержать:
 номер;
 название;
 столбец: номера по порядку;
 содержание строк и столбцов;
 итоговую строку (столбцов);
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для такого ряда
строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий номер и название.
3. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному ряду. Для такого
ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов и пределов изменения варианта
по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
x  x min
 величина интервала: h  max
; n - количество интервалов. Данные заносятся в
n
таблицу. Таблице присваивается текущий номер и название.
Таблица 3 - Дискретный ряд распределения .
Наименование варианта
Частота
Хi
Fi
Таблица 4 - Интервальный ряд распределений…
.
Интервал варианта
Х1-Х2
F1
Х2-Х3
F2
Оценочный лист
Практическая работа № 27
«Графическое изображение статистических данных»
Компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
Признаки компетенции
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
11.
Владеет навыками построения полигона.
3.Владеет навыками построения гистограммы.
100
Наличие
компетенций
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
4.Владеет навыками анализа данных по графику.
5.Владеет навыками расчета показателя удельного
веса.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
6.Рассчитывает масштаб по осям координат.
7.Строит группировку данных.
8.Строит ряд распределения данных.
9.Представляет данные в таблице.
10.Строит полигон данных, согласно требованиям.
11.Строит гистограмму, согласно требованиям.
12.Анализирует полученные результаты.
13.Формирует вывод по задаче.
14.Формирует вывод по работе.
15.Правильно рассчитывает показатели.
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК
8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
16.Самостоятельно определяет вид графика,
необходимый для решения задачи.
17.Самостоятельно строит ряд распределения.
18.Самостоятельно строит статистический график,
согласно условиям.
19.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи при анализе данных.
20.Понимает значимость работы.
21Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет график, согласно требованиям.
23Оформляет работу, согласно требованиям.
24.Представляет данные в виде статистического
ряда.
25Применяет источники информации.
26..Адекватно реагирует на замечания.
27. Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
101
Практическая работа № 28
Тема: Показатели вариации
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
102
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2)Закрепить умения вычисления абсолютных показателей вариации.
Ход работы
1.Ответить на вопросы:
1) Что называется вариацией признака
2) Чем обусловлено изучение вариации признака для практического применения?
3) Какие показатели вариации являются относительными?
4) Какие показатели вариации являются абсолютными?
5)Что характеризует дисперсия и среднее квадратическое отклонение?
2. Решить задачи по вариантам.
Вариант I
Задача 1. Распределение студентов по возрасту одного из факультетов следующее:
Возраст, лет
17
18
19
20
21
22
23
24
всего
Число студентов, чел.
20
80
90
110
130
170
90
60
Вычислить средний возраст студентов факультета и показатели вариации возраста. Данные
занести в расчерченную таблицу.
Задача 2. Имеются следующие данные пробега автофургона торговой фирмы: «Родник» за 2011
год.
№
Длина пробега за один рейс,
Число рейсов за квартал
п./р.
км.
1
30-50
20
2
50-70
25
3
70-90
14
4
90-110
18
5
110-130
9
6
130-150
6
7
150-170
8
8
170-190
3
9
190-210
5
10
210-230
2
Итого
Вычислить средний пробег автофургона и показатели вариации пробега. Данные занести в
расчетную таблицу.
Задача 3. При изучении количественного состава семей г. Алапаевск в 2002 году получены
данные.
Число членов семьи, чел.
2
3
4
5
6
7
Всего
Число семей % к итогу
15
34
25
16
8
2
Определить средний состав семьи и показатели вариации состава семьи. Данные занести в
расчетную таблицу.
Вариант II
103
Задача 1. Имеется распределение телеграмм, принятых в отделениях связи, по числу слов:
Количество слов в
всего
12
13
14
15
16
17
18
19
20
телеграмме, шт.
Число телеграмм, шт.
18
22
34
26
20
13
7
10
4
Вычислить среднее количество слов в телеграмме и показатели вариации количества слов.
Данные занести в расчетную таблицу.
Задача 2. Распределение акционерных обществ Свердловской области на 1 января 2012 по
числу работающих следующее:
№ п.п.
Число работающих, чел.
Число АО, шт.
1
ДО 40
11
2
40-60
23
3
60-80
36
4
80-100
42
5
100-120
28
6
120-140
17
7
140-160
9
8
160-180
4
9
180-200
5
10
200-220
3
Итого
Найти среднее число работающих в АО и показатели вариаций работающих. Данные занести в
расчетную таблицу.
Задача 3. При изучении количества семян пшеницы.
Процент всхожести, %
70
75
80
85
90
92
Итого
Число проб, % к итогу
2
4
7
29
46
8
Найти средний процент всхожести пшеницы и показатели вариации всхожести. Данные занести
в расчетную таблицу.
3. Сформулировать вывод (в выводе указать какие показатели вариации признаков вычислялись
при решении задач и применяются при анализе экономических процессов).
Методические рекомендации к практической работе № 28
Тема: Показатели вариации
1. Расчетная таблица имеет следующую структуру в зависимости от формул вычисления
показателя и вида ряда распределения.
Сере
№
Вари- дина ин- X  F
X  X i f2
Xi  X
Xi  X
X i  X 2 X i  X 2 f i
i
i
п/п ант Х
тервала xi
1
2
Итого
Таблице присваивается текущий номер и название. Показатели вариации рассчитываются после
таблицы. При вычислениях указывают виды показателей, формулы расчета показателей,
результаты, единицы измерения. После расчета составляется вывод по условию задачи. В название
таблицы указывают место и время исследования.
Абсолютные показатели вариации
104
Рассчитываются по формулам.
k
1) Объем (N) – количество данных. N   f i  f1  f 2  ...
i 0
2) Размах (R): R=X max  X min где X max , X min - наибольшее и наименьшее значение варианта,
соответственно.
3) Линейное отклонение d :
 
к

d взв 
i 1
к
Xi  X
=
к
f
i 1
X 1  X  X 2  X  ...  X к  X
или d взв 
f1  f 2  f 3  ...  f k
X
i 1
i
X
N
k
, гдеN   f i
i 1
i
4) Дисперсия
 X
к
(
2
взв
): 
2
в зв
=
i 1
 X  fi
2
i
k
f
i 1
или 
2
взв
X

 X 2 f1  X 2  X  f 2  ...  X k  X  f k
f1  f 2  ...  f k
2
1
2
i
k
Z ik1 ( X i  X ) f i

, гдеN   f i  f1  f 2  ...  f k
N
i 1
5) Средне квадратическое отношение (  взв ): 
3.Относительные показатели вариации (%)
Вычисляются по формулам:
R
1) Относительный размах (К р ): К р =  100%
X
взв
= 2
2) Относительные линейные отклонение (Кf): K d 
d
 100%
x
F
 100%
X
4) Коэффициент равномерности (Р): Р=100-V.
Оценочный лист
Практическая работа № 28
«Показатели вариации»
3) Коэффициент вариации (V): V 
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет навыками расчета средних показателей
(среднего уровня признака)
4.Владеет навыками расчета дисперсии.
5.Владеет
навыками
расчета
среднего
квадратичного отклонения.
6.Владеет навыками составления расчётных
таблиц.
7.Владеет навыки анализа полученных данных.
ОК 2.
Организовывать
8.Заносит данные в таблицу.
9.Рассчитывает показатели вариации по формулам.
105
Наличие
компетенций
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
10.Применяет расчётную таблицу при решении
задач.
11.Анализирует полученные результаты.
12.Определяет фактическое значение среднего
показателя.
13.Формирует вывод по задаче.
14.Формирует вывод по работе.
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК
8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
15.Самостоятельно строить таблицу для решения
задач.
16.Самостоятельно делает расчеты показателей.
17.Самостоятельно заносит данные в таблицу.
18.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи при анализе данных.
19.Понимает значимость выполняемой работы.
20.Оценивает результаты своего труда.
21Оформляет график, согласно требованиям.
22Оформляет работу, согласно требованиям.
23.Адекватно реагирует на замечания.
24.Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 48 баллов
91%-100% - «5» 44-48 баллов
75%-90% - «4» 36-43 баллов
61%-74% - «3» 29-35баллов
0%-60% - «2» 0-34 баллов
106
Практическая работа № 29
Тема: Ряды динамики
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного
выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься
самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2)Закрепить умения расчета показателей, характеризующих тенденцию динамики; закрепить
навыки проведения тренда статистических данных.
Ход работы
1. Ответить на вопросы
1) Какой ряд статистических данных называется динамическим?
2) Укажите элементы ряда динамики.
3) Какой ряд динамики называется моментальным?
4) Какой ряд динамики называется периодическим?
5) Какие показатели применяются при расчете и анализе тенденции динамики?
2. Решить задачу.
Задание к решению задачи:
1) Провести тренд по предприятиям машиностроительной отрасли.
Вариант 1 принимает к распространению данные о предприятии №1.
Вариант 2 - предприятия №2 (данные расчета, свести в таблицу)
2) Графически изобразить темпы роста (в %) отгруженных материалов по дням, пользуясь
базовыми и цепными показателями.
3) Сделать сравнительный анализ построенных графиков, определив средний уровень
отгруженных материалов.
Задача. Имеются следующие данные о плане поставок материалов товара на месяц по
предприятиям: по предприятию №1 план 4200 т. По предприятию №2 план 8800 т.
Машиностроительной отрасли. За базисный уровень принять 1-й день отгрузки (Дата 1)
Данные о фактической поставке материалов товара этим предприятиям показаны в следующей
таблице:
Дата
Отгружено материалов
Дата
Отгружено материалов
отгрузки
отгрузки
Предприятие
Предприятие
Предприятие
Предприятие
№1
№2
№1
№2
1
112
315
16
160
406
2
112
225
17
190
410
3
100
200
18
183
280
4
120
230
19
185
260
5
112
300
20
130
320
6
110
320
21
180
310
7
110
360
22
140
360
8
146
280
23
130
350
107
9
160
270
24
140
370
10
150
260
25
170
200
11
140
270
26
180
280
12
160
380
27
130
255
13
159
360
28
160
320
14
164
250
29
170
330
3.Сформулировать вывод по работе (в выводе указать какие показатели характеризуют
тенденцию динамики)
Методические рекомендации к практической работе № 29
Тема: Ряды динамики
1) При проведении тренд, рассчитав основные показатели.
Абсолютный прирост, темпы роста, темпы прироста, применив формулы:
У
Аб  У i  У 0 ; Ацеп  У i  У i 1 ; Т р.б .  i  100% ;
У0
У
Т р.ц  i  100% ; Т пр.б .  Т р.б .  100% ; Т пр.ц .  Т р.ц .  100% ,
У i 1
где Аб – базисный абсолютный прирост выражается в тоннах; Ацеп – цепной абсолютный
прирост (тонны); У0 – базисный уровень, т; Уi - текущий уровень, т; Уi-1 – предыдущий уровень, т;
Тр.б. – базисный темп роста, %; Тр.ц. – цепной темп роста, %; Тпр.б. - базисный темп прироста, %;
Тпр.ц. – цепной темп прироста, %;
2) Графики базисных и цепных темпов роста строят на одном чертеже разными цветами в виде
полигона. В вершине звена указываются величина темпа роста. При этом применяются оси
координат вида
Темпы роста, %
30
20
10
дни
1 2 3
2) Пример расчетной таблицы показателей динамики. (Таблице присваиваются
название и текущий номер, в конце должна быть итоговая срока.) Расчет
остальных показателей динамики заменяются расчетом удельного веса единиц
совокупности. В названии таблицы указывают место и время исследования:
3)
Таблица 1- Основные показатели динамики отгруженных материалов завода …. за …. месяц….
года.
№
п/п
1
2
Дата
01…
02…
Итого:
Отгружено
материалов, т
Абсолютный
прирост, т
БазисЦепный
ной
Темп роста, %
Базисные
112
112
108
Цепные
Темпы
прироста, %
БазисЦепные
ные
Удельный
вес, % к
итогу
4) Средний уровень отгруженных материалов вычисляется как средняя арифметическая
n
простая величина по формуле: У 
количество уровней в совокупности.
У
i 1
n
i

y1  y2  y3 ...  yn
, где уi – текущий уровень (т), n –
n
Оценочный лист
Практическая работа № 29
«Ряды динамики»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и
использование
информации,
необходимой для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального
и личностного
развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет
навыками
расчета
показателя
абсолютного прироста (базисного и цельного).
4.Владеет навыками расчета показателей типов
роста (базисных и цельных).
5.Владеет навыками расчета показателей темпов
прироста (базисных и цельных).
6.Владеет навыками расчета удельного веса.
7.Владеет навыки расчета среднего уровня.
8.Владеет навыками построения графика динамики
развития процесса.
ОК 2.
Организовывать
собственную
деятельность,
выбирать типовые
методы и способы
выполнения
профессиональных
задач, оценивать их
эффективность
и
качество
9.Заносит данные в таблицу.
11Рассчитывает показатели, характеризующих
тенденцию динамики по формулам.
11.Применяет расчётную таблицу при решении
задач.
12.Анализирует полученные результаты.
13.Определяет средний уровень признака.
14.Формирует вывод по задаче.
15.Формирует вывод по работе.
ОК 3. Принимать
решения
в
стандартных
и
нестандартных
ситуациях и нести
за
них
ответственность.
ОК
8
Самостоятельно
определять задачи
профессионального
и
личностного
развития,
16.Самостоятельно строить таблицу для решения
задач.
17.Самостоятельно делает расчеты показателей
динамики, удельного веса.
18.Самостоятельно заполняет таблицу.
19.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи при анализе данных.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
22.Оценивает результаты своего труда.
23.Оформляет график, согласно требованиям.
24.Оформляет работу, согласно требованиям.
25.Представляет график динамики процесса.
26.Адекватно реагирует на замечания.
27.Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
109
Наличие
компетенций
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика,
2006 г.
2. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА, 2008г.
3. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. – М.: Финансы и
статистика, 2006 г.
4. Л.И. Кожухарь. Основы общей теории статистики. М.: Финансы и статистика, 2009г.
5. Теория статистики: Учебник/Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2008г.
110
6.. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука,
1991.
7. Башмаков М.И. Математика. – М.: Высшая школа,2005.
8. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.
– М.: Высшая школа,2007.
9. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса, учебное пособие
для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: просвещение, 2005.
10. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА, 2002.
11. Замков О., Толстопятко А., Черемных Ю. Математические методы в экономике. – М.:
ДИС,2007.
12. Исследование операций в экономике/ учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремера). – М.: Банки и биржи ЮНИТИ, 2009.
13. Исследование операций в экономике/ Учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путько, И.М. Тришин и др.). – М.: ЮНИТИ, 2005.
14. Красс М.С., Чупрыков Б.Н. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. Учебник. – М.: Дело, 2005.
Интернет-ресурсы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://www.dowjones.com/
http://www.nasdaq.com/
http://finance.yahoo.com/
http://www.rbc.ru/
http://www.quicken.com/
http://www.interstock.ru/
111
112
Приложение 1
Свойства степени и логарифмов
Свойства степени с действительным показателем
а п  а  а  а....а , а  0 , п  N
1.
2.
3.
4.
п множителей
а  1
а1  а , п  Z , а  0
1
а п  п
а
п
n
а m  m an ,  Q , а  0
m
1
2
1
3
5. а  а , а  а , а  0
6.  а 2 к  а 2 к , 2к - четное число
7.  а 2 к 1  а 2 к 1 , 2к  1 - нечетное число
8. а п  а m  а п  m
9. а п  а m  а пm
m
10. а п   a пm
11. а  в п  а п  в п
3
п
а
ап
12.    п , п , m  R , а  0 , в  0
в
в
Свойства логарифмов
log а в  п  a n  в, а  0 , а  0 , в  0 , п  R
1. а log 2  в
2. log a вс  log a в  log a c
в
3. log a с log a в  log a c , в, с  0
4. log a в r  r log a в , r  R
1
r
log в
1
6. log a в  c , log a в 
log в а
log c a
5. log a rв  log a в , r  0
7. log a 1  0
8. log a a  1
1
r
9. log a r в  log a в
113
Приложение 2
Таблица углов
градусы
00
300 450 600
900
1200 1350 1500
1800
2700
3600
радианы
0
/6 /4 /3
/2
2/3 3/4 5/6

3/2
2
Sin 
0
1
2
2
2
3
2
1
2
0
-1
0
Cos 
1
3
3
2
2
1
2
3
2
-1
0
1
Tg 
0
3
3
1
3
Ctg 
Неопр.
3
1
3
3
1
3
2
0
1
2
2
2
2
2
-
Неопр. - 3
-1
3
3
0
-
0
3
3
-1
- 3
Неопр.
0
Неопр.
0
114