приемы устного и ускоренного счета

ПРИЕМЫ УСТНОГО И УСКОРЕННОГО СЧЕТА
Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной
механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов . Устные вычисления дают
возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать,
находить и исправлять ошибки. Кроме того ,освоение вычислительных навыков развивает память
и помогает школьникам усваивать предметы физико-математического цикла . Устный счет как
этап урока до сих пор применяется в начальной школе и в 5-6 классах, имея своей главной целью
отработку вычислительных навыков . Он всегда был актуальным . А сейчас с введением ЕГЭ и
ГИА его роль еще больше возросла. Так как на выполнение итоговых работ в 11 и 9 классах
отводится определенное время. Приемы ускоренного устного счета могут быть использованы
старшеклассниками для проверки ответа первой его части , так как в ней намного важнее ответ
, чем решение .Поэтому необходимо учить учащихся выполнять простейшие (и не очень)
преобразования устно.
Знание описанных приемов устного и ускоренного счета позволит школьникам быстро
производить арифметические действия, что будет способствовать развитию памяти учащихся и
повышению математической культуры мышления.
1. Сложение нат.чисел
а) сложение путем округления чисел
97+48 =100+48-3=145
!) округляем одно или оба числа (находим недостаток или избыток )
2) складываем числа
3) из полученной суммы вычитаем недостаток числа или к полученной сумме
прибавляем избыток
б) сложение в столбик, путем складывания сразу 2 младших разрядов
Этот прием будет полезен для детей , которые хорошо складывают двузначные числа. Он
ускорит процесс вычисления , особенно если мы имеем дело с большими числами.
489618
354896
складываем 18+96+11=125 ,25 пишем ,а 1 переносим
742811
в следующий разряд и т .д.
______________
1587325
в) сложение , производимое со старших разрядов.
Обычным способом вычисление производится с младших , путем запоминания числа
соответствующего разряда. Сделать этот в уме достаточно сложно. Этот прием позволяет
вычисление произвести в уме . В ходе вычисления приходится помнить все более
длинное число, но зато мы прибавляем к нему каждый раз только одно двузначное число.
Это существенно облегчает устное вычисление.
Алгоритм выполнения этого приема:
1) нужно сложить цифры старшего разряда;
2) к результату приписать «0»;
3)к полученному числу прибавить сумму цифр следующего разряда ;
5) к полученному результату приписать «0» и т .д. до самого младшего разряда.
Пример:
6125
6+3+2=11 ( при переходе в другой разряд приписываем 0)
3456
110+8+1+4=123
2846
1230+2+5+4=1171
_____
11710+5+6+6=11727
11727
2. Вычитание нат. чисел.
а) вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
или вычитаемог
67-48=68-48-1=19
453-316=453-(313+3)=140-3=137
б ) вычитание путем округления одного из чисел или обоих сразу
713-65= (700+13)-65 = (700-65)+13 =648
567- 305= 567- (300+5)= (567-300)-5=262
Здесь имеют место свойства :
вычитание числа из суммы
(a +b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)
вычитания суммы из числа.
a - (b + c) = a - b - c
Эти все свойства изучаются в начальной школе , но недостаточно отрабатываются. Дети,
придя в 5 класс , ими очень плохо владеют. Поэтому с помощью этих приемом устного
счета можно отладить эти свойства.
3. Умножение нат. чисел.
а) Легкий способ умножения первых десяти чисел на 9:
Положите обе руки рядом на стол и вытяните пальцы. Пусть каждый палец по порядку
означает соответствующее число: первый слева - 1, второй за ним - 2, третий - 3 и т.д. до
десятого, который означает 10. Требуется теперь умножить любое из первых десяти чисел
на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец,
который обозначает множимое. Тогда остальные пальцы, лежащие налево от поднятого
пальца, дадут в сумме число десятков, а пальцы направо - число единиц.
б) умножение двухзначных чисел на число , состоящее из одних единиц
Примеры:
27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297 здесь сумма цифр не превосходит 10
Если сумма цифр не превосходит 10 то :
1) нужно раздвинуть цифры числа ;
2)между ними поместить сумму цифр числа .
Если сумма цифр превосходит или равна 10 , то поступают следующим образом:
!0 раздвинуть цифры числа;
2) между ними поместить сумму цифр;
3) в разряде десятков записать количество единиц полученной суммы;
4) количество десятков полученной суммы прибавить к десяткам исходного числа.
Пример:
87 х 11= 8 (8+7) 7 = 8 (15) 7 = (8+1) 57 = 957.
Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа
раздвинуть , сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между
раздвинутыми числами, причем количество сумм на единицу меньше числа единиц в
множителе.
Пример:
42 х 111 = 4 (4+2) (4+2) 2 = 4662;
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Пример:
67 х 111 = 6 (6+7) (6+7) 7 = 6 (13) (13) 7 = (6+1) (3+1) 37 = 7437;
Теперь зная эти приемы можно без труда умножить быстро число на 22 ,333,4444,и т.д.
Для этого множитель состоящий из одинакового набора цифр , нужно разложить на
множители : первый множитель –это число состоящее только из единиц , второй
множитель – это цифра. Знание этих приемов очень облегчает вычисление.
Пример:
17 х 44 = 17 х 4 х 11 = 68 х 11 = 748;
в) Умножение чисел близких к 100.
Пример:
98*97=(98-3)*100+2*3=9500+6=9506
Алгоритм выполнения этого приема:
1) найти недостатки сомножителей до сотни;
2) вычесть из одного сомножителя недостаток второго до сотни и умножить на 100;
3) прибавить к полученному результату произведение недостатков до сотни обоих
сомножителей
Откуда это получается : х=100-а , у=100-в
Х*у= (100-а)*(100-в)=1000-(а+в)*100+а*в= (100-(а+в))*100+а*в=(100-а-в)*100+ ав=(х-в)*100+ав
Можно поступить другим способом
1) найти недостатки сомножителей до сотни;
2) вычесть из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
3) к результату приписать двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.
Вот ещё пример:
1
92 х 85 = 7720 = 7820;
8
15
г) Умножение двузначных чисел , у которых цифры десятков одинаковые , а сумма
единиц равна 10
Пример :
24*26=(20*30)+4*6
В этом случае поступаем так :
1) округлить числа до десятков;
2) найти их произведение ;
3) к полученному результату прибавить произведение их единиц
Откуда это видно. х=а+в у=а+с ,тогда ху=(а+в)(а+с)=аа+(в+с)а+вс ( так как в+с=10 имеем)
а(а+10)+вс
д) изменение сомножителей
Здесь необходимо помнить
50*2=100
125*8=1000
37*3=111
25*4=100
75*4=300
Произведение не изменится , если увеличить один из сомножителей в «м» раз, а другой
уменьшить в это же количество раз .
Примеры: 24*25= (24:4)*(25*4)
57*37=(57:3)*(37*3)=19*111=1(10)(10)9=2109
Где этот прием можно встретить?
На знании этого приема можно отрабатывать нахождение неизвестного элемента по
известным формулам , таких как
S=v*t s=a*b
A=p*t
Cт=ц*к , где S ,А, Ст постоянные величины
Рассмотрим такую задачу:
Во сколько раз изменится время при неизменном пути , если скорость увеличилась в 4
раза( уменьшится в 4 раза).
С подобными задачами мы встречаемся и на ЕГЭ
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд,
диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Формула объема цилиндра 𝑉 = 𝜋𝑑 2 ℎ/4
Так как диаметр в формулу входит в квадрате , то при увеличении диаметра в 2 раза ,
высота уменьшится в 4 раза.
4) Деление нат. чисел
Оно основано на знании основного свойства дроби :
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то получится равная ей дробь.
Примеры: 120:25=(120*4):(25*4)
224:28=(224:4):(28:4)=56:7=8
И еще несколько интересных , занимательных и красивых приемов умножения нат.
чисел
1) Умножение , где число представлено линиями .
Этот способ вызывает восторг у детей .С этим приемом можно знакомить и маленьких
детей, так как он не требует знания таблицы умножения.
Пример:
243*142
Чтобы выполнить умножение, нужно каждое число представить в виде наклонных
,параллельных линий , при чем количество линий равно количеству цифр,
соответствующего разряда. Затем нужно посчитать число пересечений в «узлах»
(выделены красным цветом) .А потом поступаем обычным образом: единицы
записываем в соответствующий разряд ,десятки переносим в следующий.
В ответе получаем 34506.Таким способом можно умножать
любые числа.
3
14
25
20
6
Если число разрядов у чисел разное ,то картина представления чисел в виде линий будет
такая же.
Пример: 123*32 =3936
3
2)
13
9
6
Умножение крестиком .
Еще один из интересных способов умножения натуральных чисел.
Пример: 23*48
Вычисляем сначала произведение нулевого порядка (3*8 = 24); затем произведение
первого порядка ((2*8 + 3*4)*101 = 280) и складываем его, с учетом порядка, с
предыдущим (280 + 24= 304); затем дополняем текущую сумму произведением 2-го
порядка (2*4*102 = 800) и получаем окончательный итог: 800 + 304 = 1104. Графически это
можно изобразить так:
2
3
3*8=24
( 4 пишем , 2 переносим в следующий разряд)
3*4 + 2*8 +2= 28+2=30 (0 пишем ,3 переносим в следующий разряд)
4
8
2*4+3=11
11 30 24
черточки " | ", "X" и т.д. связывают перемножаемые цифры.
Для трехзначных чисел схема аналогична:
Пример :234*175
2
3
4
4*5=20, 3*5+4*7+2=45
3*7+2*5+4*1+4=39
3*1+2*7+3=20
1
4
7
2
0
3
5
4
9
5
2
2*1+2=4
0
Зачем это нужно? Оказывается знание этого приема намного облегчает умножение
многочленов, с которыми дети начинают знакомиться в 7 классе . Работа по умножению
многочленов уже второй степени очень громоздкая, и ребята допускают много ошибок.
И вот чтобы этого избежать, им можно предложить этот способ.
Пример:
Выписываем коэффициенты и в отличие от самого умножения , здесь не нужно
перекидывать десятки в следующий разряд.
(2х2+3х+5)*(4х2+6х-4)
2
3
5
4
6
-4
8
24
30
18
-20
-
коэффициенты многочлена
Таким образом получаем многочлен : 8х4+24х3+30х2+18х-20
Вот это лишь часть приемов устного и ускоренного счета ,с которыми можно познакомить
школьников как на уроках, так и на внеурочных занятиях.
Знание описанных приемов позволит учащимся быстро производить арифметические действия,
что будет способствовать развитию памяти детей и повышению математической культуры
мышления.
Приемы устного и
ускоренного счета
Летняя школа для учителей начальной школы и
учителей математики ,организованная
факультетом вычислительной математики и
кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова
(23 – 24 августа 2012 г.)
подготовила : Ваганова И.Г.
учитель математики НОУ СОШ «ИНЕСНЭК»