Лекція 44

1
Лекція 44
Тема Лекції: Нелінійні кола і методи їхнього аналізу.
1. Зовнішні характеристики безінерційних нелінійних елементів.
2.Способи опису характеристик нелінійних елементів.
3.Кусочно-лінійна апроксимація. ( КЛА).
4. Статична апроксимація.
Література: Л1 с. 220-229,
Л2 с. 322-332
1.Внешние характеристики безинерционных нелинейных элементов.
Все радиотехнические цепи, рассмотренные нами ранее, относились к
классу линейных систем. Замечательной особенностью линейной цепи является
справедливость для нее принципа суперпозиции. Из этого принципа вытекает
простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную
стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь
другую амплитуду и начальную фазу.
Однако именно поэтому линейная стационарная система неспособна
обогатить спектральный состав колебаний, поданных на ее вход. Это
обстоятельство в значительной степени сужает класс полезных преобразований
сигналов, которые осуществляются линейными цепями с постоянными
параметрами.
Гораздо большими возможностями в этом отношении обладают нелинейные
системы, характерные тем, что в них связь между входным сигналом uвх (t) и
выходной реакцией uвых (t) устанавливается нелинейной функциональной
зависимостью
uвых (t) = f[uвх (t) ].
(1)
В настоящей лекции будут рассматриваться некоторые общие
закономерности, присущие нелинейным системам, приемы математического
исследования, а также важнейшие виды полезных преобразований сигналов,
которые осуществляются с помощью нелинейных цепей и устройств.
Исследование нелинейной цепи в общем случае — задача весьма сложная в
том отношении, что при математическом описании внутреннего состояния
системы мы приходим к проблеме решения нелинейных дифференциальных
уравнений. Известно, что применительно к ним оказываются несправедливыми
большинство приемов и методов, которые позволяют относительно легко
решать
линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами. Тем не менее возможны случаи, когда исследование
нелинейных систем удается довести до конца относительно простыми
способами. Для этого достаточно потребовать, чтобы нелинейная зависимость
вида (1) не содержала явно времени. Физически такое требование означает
безинерционностъ нелинейного элемента, т. е. мгновенное установление
выходной реакции вслед за изменением внешнего входного воздействия.
Безинерционных нелинейных элементов, строго говоря, не существует.
Однако эту идеализацию можно полагать точной, если характерное время
изменения входного сигнала значительно превышает время установления
процесса внутри самого нелинейного элемента.
2
Для радиотехники нелинейные элементы — это чаще всего
полупроводниковые приборы — диоды и транзисторы. Принцип их работы
основан на эффекте диффузии неосновных носителей тока в областях
полупроводникового материала, непосредственно прилегающих к p-n переходам. Современные полупроводниковые приборы весьма совершенны по
своим частотным свойствам. Равновесное (стационарное) состояние может
устанавливаться в них за время порядка 10-11 с. Поэтому предположение о
безынерционном
характере
внутренних
процессов
в
нелинейных
радиотехнических элементах часто бывает оправданным.
Функциональная зависимость вида (1) может рассматриваться как
простейшая математическая модель нелинейного элемента. Особенность ее
состоит в том, что здесь никак не фигурируют процессы, происходящие внутри
элемента. Принято говорить, что здесь мы имеем дело с внешней характеристикой системы.
В последующем для конкретности будут рассматриваться внешние
характеристики нелинейных двухполюсников, когда входным сигналом служит
напряжение и, а выходным сигналом — ток i, протекающий в двухполюснике.
Зависимость i(u) обычно принято называть вольт-амперной характеристикой
нелинейного элемента. Все методы и результаты можно перенести на случай
нелинейного четырехполюсника, например транзистора, работающего в
нелинейном режиме при больших амплитудах входного сигнала. Здесь
выходная цепь представляется источником тока, управляемым выходным
напряжением; связь между мгновенными значениями напряжения и тока
оказывается существенно нелинейной.
Используемые на практике нелинейные элементы имеют весьма
разнообразные внешние характеристики. Так, можно выделить класс элементов
с однозначными вольт-амперными характеристиками (рис. 1, а) и класс
элементов, характеристики которых содержат участки многозначности
(рис.1,6).
Рис. 11.1. Типичные вольт-амперные характеристики
нелинейных двухполюсников:
а—однозначная характеристика полупроводникового диода;
б — характеристика туннельного диода, отличающаяся тем, что одному и тому
же току могут отвечать три различных значения напряжения.
Сопротивление нелинейного двухполюсника. Понятие сопротивления для
нелинейного двухполюсника можно определить по-разному. Пусть i(u) —
вольт-амперная характеристика. Приложив постоянное напряжение u=U0,
имеем в цепи ток I0 =i(U0). Отношение
3
R= =Uo /Io
(2)
называют сопротивлением данного элемента постоянному току. В отличие от
обычного сопротивления линейного резистора величина R= не постоянна, а
зависит от приложенного напряжения.
Часто приходится иметь дело с одновременным воздействием на
нелинейный элемент двух источников э. д. с.: U0 и Δu, причем | Δu |/|U0|<< 1.
Разложив вольт - амперную характеристику в ряд Тейлора в окрестности точки
U0, находим ток
i ≈ Io + i'(Uo) Δu,
Отношение приращения напряжения к приращению тока в выбранной рабочей
точке (U0, I0) называют дифференциальным сопротивлением нелинейного
двухполюсника:
Rдиф = Δu / Δi = 1/i'(Uo ).
(3)
Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной характеристики
Sдиф = 1/ Rдиф = di/du‫ ׀‬u=Uo,
(4)
которая является тангенсом угла наклона касательной вольт-амперной
характеристики в данной рабочей точке.
Подчеркнем, что введение понятий дифференциального сопротивления или
дифференциальной крутизны, по сути дела, — линеаризация реальной вольтамперной характеристики. Такая линеаризация справедлива лишь для малых
приращений сигнала относительно рабочей точки.
Отличительной чертой линейных цепей является для них выполнение
принципа суперпозиции, стационарности, которые дают важное следствие:
Гармонический сигнал, проходя через такую систему, остается неизменным по
форме, приобретая лишь другие значения амплитуд и фаз. Данная особенность
сужает круг задач, в которых могут применяться линейные стационарные
системы, т.к. данная система не может обогатить спектр выходного сигнала
гармониками, которых не было во входном.
Большими возможностями в этом смысле обладают нелинейные системы.
Связь между входным сигналом U ВХ (t ) и реакцией цепи
устанавливается нелинейной функциональной зависимостью.
U ВЫХ (t )
U ВЫХ (t )  f (U ВХ (t ), t )
Исследование нелинейной стационарной системы связано с решением
системы нелинейных дифференциальных уравнений. Методика решения
данных систем достаточно разработана, однако даже при описании достаточно
простых нелинейных систем решение данной задачи является достаточно
трудоемким процессом.
Для описания нелинейных систем в основном используется методика, при
которой находится функция, которая ставит в соответствие входные и
выходные сигналы, однако в данной функции зависимость от времени в явном
виде на проявляется. Физически такая система требует без инерционной
системы. Однако идеальная безинерционная система на практике невозможна,
и данный вид описания зависимости между входным и выходным сигналами
считается идеализированным. Однако тип элементной базы в данное время
4
стремится к безинерционному характеру внутренних процессов. Таким
образом, описание связи между входным и выходным сигналами
безинерционной нелинейной характеристикой достаточно приемлемо.
Любая система, которая содержит хоть один нелинейный элемент, является
нелинейной цепью.
Нелинейными элементами являются такие элементы, для которых
характеристика, описывающая взаимную связь входных и выходных
параметров нелинейная.
Для таких характеристик определение соответствующих комплексных
функций теряет смысл из-за несоответствия спектральных составляющих
входного сигнала и отклика. Однако для малых входных воздействий в
окрестностях данной точки нелинейная характеристика может быть
линеаризована. И соответственно линейная цепь может характеризоваться
соответствующими
постоянными
параметрами,
называемыми
малосигнальными или дифференциальными.
Режимом малого сигнала называется такой режим, при котором переменные
составляющие напряжений и токов нелинейного элемента значительно меньше
постоянных составляющих.
Ниже для описания нелинейных цепей будут рассматриваться нелинейные
характеристики нелинейных двухполюсников.
Зависимость тока от
напряжения обычно принято называть вольтамперной характеристикой
нелинейного элемента (ВАХ).
2. Способы описания характеристик нелинейных элементов.
Как правило, вольт-амперные характеристики нелинейных элементов
получают экспериментально; гораздо реже удается найти их теоретически. Для
аналитического изучения процессов в радио- технических цепях, содержащих
такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольт-амперные
характеристики в математической форме, пригодной для расчетов.
Простым и весьма точным способом может явиться представление
характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен для анализа
процессов с помощью ЭВМ; аргумент и функция хранятся в памяти машины в
виде двумерного массива чисел. Можно получить любую заданную точность,
выбирая шаг таблицы достаточно малым, а также используя интерполяцию.
Если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими
методами, то возникает задача подбора такой аппроксимирующей функции,
которая, будучи достаточно простой, отражала бы все важнейшие особенности
экспериментально снятой характеристики.
В радиотехнике чаще всего используют следующие приемы аппроксимации
нелинейных характеристик.
Получение математической модели нелинейной функции описывающей ВАХ
элемента на основании анализа внутренних процессов - задача достаточно
трудоемкая. Традиционно ВАХ получают в результате исследования
зависимости тока на выходе элемента, при подаче определенного напряжения
на вход. Данная зависимость снимается экспериментально и представляется в
виде таблицы тока на выходе от напряжения на входе.
5
i ВЫХ
i1
i2
i3
U ВХ
U1
U2
U3
Если дальнейший расчет цепи будет оцениваться аналитически, а не численно,
то на основании данной характеристики необходимо получить функцию
аппроксимирующую работу нелинейного элемента. В дальнейшем
будем использовать для расчета нелинейной цепи.
f (U ВХ )
3. Кусочно-линейная аппроксимация. ( КЛА)
Способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками
прямых линий с различными наклонами. КЛА используется обычно в случаях,
когда в работе нелинейного элемента четко различаются два режима.
- Режим отсечки, характеризующийся отсутствием тока.
- Активный режим, когда i ВЫХ  0 . В этом случае реальную ВАХ
нелинейного элемента представляют двумя отрезками прямых , один из
которых совпадает с осью ОХ и характеризует режим отсечки, а другой имеет
некоторый наклон и совпадает с реальной ВАХ в некоторых точках.
Аппроксимация определяется двумя параметрами- напряжением запирания
(начала) нелинейного элемента U 3 и крутизной
проводимости.
S,
имеющей размерность
i ВЫХ
U3
U ВХ
Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с характеристикой
на который подано напряжение u = U0 + Um cos ωt, видна из построения на
рис. 5. Рис. 5. Ток в цепи, содержащей элемент с кусочно-линейной характеристикой.
График тока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с
отсечкой. Спектральный состав такого периодического процесса подробно
изучался в гл. 2.
6
Угол отсечки импульсов тока определится из равенства.
Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока вычисляются по
формулам
U o + U m cosθ= U н
Откуда
cosθ = (U н - U o )/ U m .
Рис. 3
4. Степенная аппроксимация.
Аппроксимация в виде линейного полинома первой степени достаточно
груба и используется только при решении определенных задач. Традиционный,
получивший широкое распространение метод
- метод степенной
аппроксимации нелинейной ВАХ.
Он основан на том, что любую функцию y ( x ) на конечном отрезке в
окрестностях точки ( x 0 , y 0 ) можно представить в виде степенного ряда.
N
y   a K ( x  x 0 ) K  a 0  a1 ( x  x 0 )  a 2 ( x  x 0 ) 2  ...  a N ( x  x 0 ) N
K 0
Количество
N 1
членов ряда теоретически может быть бесконечным.
Практически выбор N
является компромиссом между точностью
аппроксимации и количеством вычислений,
используемых при этом.
Сложность, возникающая при представлении нелинейной ВАХ степенным
полиномом, заключается в определении коэффициентов
без применения ЭВМ становятся трудоемкими уже при
a 0 ...a N , вычисления
N  3.
Наиболее распространенным способом определения коэффициентов a K ряда
является способ “выбранных” точек, в основе которого лежит совпадение
аппроксимируемой и аппроксимирующей функций в этих точках. Для каждой
из выбранных точек определяются ее координаты
записывается выше указанный ряд.
xK , y K .
И
7
iN
…
UN
U3
U ВХ
U1
U2
…
На основании экспериментально полученной таблицы, устанавливается
взаимосвязь между входом и выходом нелинейного элемента. Необходимо
составить систему нелинейных уравнений с целью нахождения коэффициентов
аппроксимирующего полинома.
i ВЫХ
i1
i2
i3
i(U )  a 0  a1U  a 2U 2  a 3U 3  ...  a N U N
 i 0  a 0  a1U  a 2U 2  a 3U 3  ...  a N U N

2
3
N
i

a

a
U

a
U

a
U

...

a
U
1
0
1
2
3
N

 .......... .......... .......... .......... .......... ..........

2
3
N
i

a

a
U

a
U

a
U

...

a
U
0
1
2
3
N
K
 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .

i N  a 0  a1U  a 2U 2  a 3U 3  ...  a N U N
Тем самым составлена система из N уравнений, в которых N
неизвестных.
Показательная аппроксимация. Теория работы p-n-перехода устанавливает
вид вольт-амперной характеристики полупроводникового диода в области U>0
вблизи начала координат:
i(u) = io[ехр(u/uТ) -1].
(7)
Здесь i0 — начальный ток перехода, uТ — тепловой потенциал, равный 25 мВ
для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.
Показательная зависимость вида (7) часто используется при изучении
нелинейных
явлений
в
радиотехнических
цепях,
содержащих
полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях
тока, не превышающих нескольких миллиампер. При больших токах
экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за
влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.
Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной источником
гармонической э. д. с. сигнала
uc(t) = Umcos ωt ,
которая вместе с источником постоянной э. д. с. смещения U0 действует на
входных зажимах безинерционного нелинейного элемента. Найдем форму тока
в цепи, воспользовавшись несложными графическими построениями,
приведенными на рис. 4.
Рис. 4. Графическое построение кривой, отображающей
изменение тока в безынерционной нелинейной цепи
8
Легко видеть, что формы тока и напряжения оказываются здесь
различными. Причина искажения кривой тока очень проста: одинаковым
приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока,
поскольку
Δi = Sдиф(и) Δu,
а дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на различных
участках также различна.
Основной принцип. Подойдя к описанной задаче аналитически, заметим, что
функция
i(t)=i(Uo + Um cos ωt),
описывающая мгновенные значения тока, является периодической с периодом
T=2/ и поэтому всегда может быть представлена рядом Фурье
Физически это означает, что ток в безынерционном нелинейном элементе есть
сумма постоянной составляющей и, вообще говоря, бесконечного набора
гармоник с частотами ω, 2 ω, З ω , ...
При технических расчетах важнейшая задача — нахождение амплитуд
спектральных составляющих тока (I0, I1 , I2, ...) в зависимости от напряжения
смещения и амплитуды возбуждающего напряжения Um. Решение проводится
по-разному в зависимости от вида аппроксимирующей функции.