Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ЯРОСЛАВА МУДРОГО» Кафедра «Прикладная математика и информатика» УТВЕРЖДАЮ Ректор ИЭИС _____________ Б.И. Селезнев «____» ______________2006 г. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Дисциплина для направления 010500 и специальности 010501 – прикладная математика и информатика Рабочая программа СОГЛАСОВАНО Принято на заседании кафедры Начальник учебно-методического Отдела «____»______________ 2006 г. _______________ Е.И.Грошев Разработал «____» ______________2006 г ___________ М.С. Токмачев «____» ______________2006 г. Введение Дисциплина «Теория случайных процессов» входит в блок дисциплин национальнорегионального компонента и читается в 6-семестре. Дисциплина «Теория случайных процессов» является одним из разделов теории вероятностей и читается как логическое продолжение классического курса «Теория вероятностей и математическая статистика», связана с курсом «Цепи Маркова» и многими прикладными дисциплинами, использующими понятия случайной величины и случайной функции. Дисциплина следует обязательно после изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», которая формирует базу для изучения теории случайных процессов, ибо понятия курса «Теория случайных процессов» (случайных функций) обобщают классические понятия теории вероятностей (случайных величин). В курсе также используются элементы математической статистики. Перестановка местами этих курсов, а также их параллельное изучение, недопустимы. Целями преподавания дисциплины являются: изучение студентами теоретических основ дисциплины; приобретение студентами практических навыков по изучаемой дисциплине; создание базиса для дальнейшего самостоятельного изучения предмета. 1 Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля Таблица 1.1 – Дневная форма обучения Вид учебной работы Аудиторные занятия - лекции - практические занятия - семинары - лабораторные работы Самостоятельная работа - курсовой проект - расчетно-графическая работа - реферат - контрольная работа - прочие Всего Вид итогового контроля Всего 34 17 17 26 - Часов по семестрам 6 семестр 34 17 17 26 - 9 17 60 зачет 9 17 60 зачет 2 2 Содержание дисциплины Таблица 2.1 – Содержание теоретических занятий Тема 1 Случайный процесс. Основные понятия. Трудоемкость в часах Очная форма Ауд. СРС 4 3 Случайная функция, случайный процесс, случайная последовательность. Сечения и реализации (траектории). Математическое ожидание. Дисперсия. Корреляционная и нормированная корреляционная функции. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции. 2 Типы случайных процессов 1 1 4 5 2 2 4 4 Нормальный процесс. Винеровский процесс. Марковский процесс. Пуассоновский процесс. 3 Стохастический анализ Сходимость в среднем порядка r и сходимость в среднеквадратическом. Непрерывность случайного процесса. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия). Теоремы о математическом ожидании и корреляционной функции производной. Теорема о взаимной корре ляционной функции X(t) и X (t ) . Интегрируемость случайного процесса. Теоремы о математическом ожидании, корреляционной и взаимной корреляционной функции интегралов. Эргодические случайные процессы. 4 Стационарные случайные процессы Основные понятия. Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле. Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная корреляционная функции. Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и для интегралов стационарных случайных процессов. 5 Спектральная теория стационарных случайных процессов Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные процессы с дискретным спектром. Случайные процессы с непрерывным спектром. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина. Импульсная дельта-функция Дирака. 3 Стационарный белый шум. Cпектральная плотность линейной комбинации стационарного процесса и его производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 6 Потоки событий 2 1 17 16 Основные понятия. Свойства. Классификация. Потоки Пальма. Пуассоновские потоки. Потоки Эрланга. ВСЕГО 4 Таблица 2.2 – Содержание практических работ Тема 1 Случайный процесс. Основные понятия Трудоемкость в часах Очная форма Ауд. СРС 4 2 2 Типы случайных процессов 1 - 3 Стохастический анализ 3 2 4 Стационарные случайные процессы 5 Спектральная теория стационарных случайных процессов 3 3 2 2 6 Потоки событий 1 - 7 Контрольные мероприятия 2 2 ВСЕГО 17 10 5 3 Учебно-методическое обеспечение 3.1 Список рекомендуемой литературы 3.1.1 Основная литература 1. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968. 2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1999. 3. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. 4. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука, 1973. 5. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1999. 6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. А. А. Свешникова. - М.: Наука, 1970. 7. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984. 8. Медик В. А., Токмачев М. С., Фишман Б. Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая статистика. – М.: Медицина, 2000. 3.1.2 Дополнительная литература 1. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. - М.: Наука, 1975 2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. 3. Яглом А. М. Корреляционная теория стационарных случайных функций. – Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 4. Розанов Ю. А. Случайные процессы. - М.: Наука, 1971. 5. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. - М.: Наука, 1972. 6. Лавренченко А. С. Лекции по математической статистике и теории случайных процессов. – М.: Изд-во МАИ, 1974. 3.2 Список методических рекомендаций и указаний 1. Токмачев М.С. Рабочая программа дисциплины «Теория случайных процессов» для специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ, 2006. 10 с. 6 3.3 Педагогические контрольные (испытательные) материалы 3.3.1 Задания для проверки в контрольных работах Вариант контрольной работы №1 1. Случайные величины U и V имеют распределения uj -2 1 3 pj 0.2 0.3 0.5 vj -1 2 pj 0.4 0.6 Найти: а) возможные реализации случайного процесса X(t) = =( U + V ) t2 и их вероятности; б) mx(t) . 2. Пусть случайный процесс задан выражением X(t) = (U – 2) sin t , где случайная величина U равномерно распределена на отрезке [2; 5]. Найти: а) дисперсию случайного процесса Y(t) = X(t) + U ln t; б) нормированную взаимную корреляционную функцию rxy (t1, t2) . Вариант контрольной работы №2 1. Заданы случайные процессы X(t) = e t sin U , Случайная величина U имеет распределение Y(t) = t cos U . um 0 2 pm 0.1 0.4 0.5 Найти взаимную корреляционную функцию случайных процессов X(t) и Y(t). 2. Случайный процесс X(t) = V2 t e t, где случайная величина V N (0; 1) . Случайный процесс Z(t) = 2 X(t) + X(t). Найти: а) K x ; б) Kz. 3. Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию kx () = 5 e - . Найти нормированную корреляционную функцию для X(t). 7 4. Известна спектральная плотность стационарного случайного процесса 20 sx () = . 2 ( 2 ) Вычислить корреляционную функцию kx(). 3.3.2 Контрольные вопросы к зачету 1. Основные понятия теории случайных процессов: случайная функция; случайный процесс; случайная последовательность; сечения и реализации (траектории); математическое ожидание; дисперсия. 2. Корреляционная и нормированная корреляционная функции. 3. Взаимная корреляционная и нормированная взаимная корреляционная функции. 4. Типы случайных процессов 5. Сходимость в среднем порядка r и сходимость в среднеквадратическом. Непрерывность случайного процесса. 6. Дифференцируемость случайного процесса (необходимые и достаточные условия). 7. Теоремы о математическом ожидании и корреляционной функции производной. Тео рема о взаимной корреляционной функции X(t) и X (t ) . 8. Интегрируемость случайного процесса. Теоремы о математическом ожидании, корреляционной и взаимной корреляционной функции интегралов. 9. Эргодические случайные процессы. 10. Случайные процессы, стационарные в узком и широком смысле. 11. Корреляционная, нормированная корреляционная и взаимная корреляционная функции стационарных случайных процессов. 12. Корреляционная и взаимная корреляционная функции для производных и для интегралов стационарных случайных процессов. 13. Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Случайные процессы с дискретным спектром. 14. Случайные процессы с непрерывным спектром. Спектральная плотность. Формулы Винера-Хинчина. 15. Импульсная дельта-функция Дирака. 16. Стационарный белый шум. 17. Cпектральная плотность линейной комбинации стационарного процесса и его производных. Стационарное решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 18. Определение и классификация потоков событий. 8 Карта учебно-методического обеспечения Дисциплина – Теория случайных процессов Направление 010500 и специальность 010501 – Прикладная математика и информатика Форма обучения – дневная Часов: всего - всего часов 34, лекций 17, практ. занятий 17, лаб. раб. -. Институт – ИЭИС Кафедра – ПМИ Таблица 1 – обеспечение дисциплины учебными изданиями Библиографическое описание издания (автор, наименование, вид, место и год издания,кол.стр.) Вид занятия, в котором используется Число часов, обеспечиваемых изданием Кол. экз. в библ. НовГУ (на каф.) Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. – М.: Наука, 1968.-463с. Лекции, практ. занятия 12 6 7 Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.- 480с. Лекции, практ. занятия 12 4 100 Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.- 448с. Лекции, практ. занятия. 10 4 12 Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей (задачи и упражнения). - М.: Наука, 1973.-368с. Лекции, практ. занятия 10 38 Медик В. А., Токмачев М. С., Фишман Б. Б. Статистика в медицине и биологии: Руководство. В 2-х томах. Т.1. Теоретическая статистика. – М.: Медицина, 2000.- 456с. Лекции, практ. занятия 5 3 50 Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2004. -400с. Лекции, практ. занятия 12 100 Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. / Под общей ред. А. А. Свешникова. - М.: Наука, 1970. – 632с. Лекции, практ. занятия 6 20 Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984.- 608с. Лекции, практ. занятия 6 101 Прим. 9 Таблица 2. Обеспечение дисциплины учебно-методическими изданиями. Библиографическое описание издания (автор, наименование, вид, место и год издания,кол.стр.) Токмачев М.С. Рабочая программа дисциплины «Теория случайных процессов» для специальности 010500 – «Прикладная математика и информатика», НовГУ, 2006. 10 с. Вид занятия, в котором используется Число часов, обеспечиваемых изданием Кол.экз.в библ. НовГУ (на каф.) Лекции, практ. занятия 34 5 Прим. электронная версия 10