ТФКП I задание

1. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа, собственные функции, а также то значение
2
параметра , при котором интегральное уравнение  x    10 x  6 x y   y dy ,


y 1
x  1, x  x1 , x2  , y   y1 , y2  разрешимо для любых . Найти решения при этом
значении .
2.
3.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу: e 2 x  y  4 y  3 y   y , 0  x  ln 2 ,
y0  y0  0 , yln 2  0 .
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  0 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 ,
u r 1  2 sin 2   cos 2 cos 2 , u r 2  31sin 2 sin  ,
где r  x 2  y 2  z 2 , x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0.
 u   f x  x3  0
3. Найти решение задачи Дирихле:
для непрерывных и
u
 u0 x 
 x3 0
ограниченных f(x) и u0(x).
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с постоянной плотностью. Рассмотреть


случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне него.
-----------------------------------------------
2. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального
уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных  :
2
 4

ux      2 2  1u  y dy  3x 2  4 , ux C1, 2 .
x y

1
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора
свести к интегральному уравнению задачу:  x 2  1 y  2 xy  2 y  y , 0  x  1 ,
y0  0 , y1  y1  0 .

3.

Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  20 , r  3 , r  x 2  y 2  z 2 , u  u xx  u yy  u zz ,
u r
3
 15  15 cos 2 
3 sin  sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0.
y0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле 
.
u
  x  a 
 y 0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного слоя.
2. На сфере радиуса R распределены диполи с плотностью момента   cos ,
ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке
оси   0 0      .
-----------------------------------------------
3. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром.
2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального
уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных  :
1


ux     2 xy  1 u y dy 10x  9 , ux  C0,1.
0
2.
Задача Штурма-Лиувилля.


1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1  e  x y  y  y  e 2 x , 0  x  2 ,
y0  2 ln 2 y0  0 , y2  0 .
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  0 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 , u  u xx  u yy  u zz ,
5 5
 cos 2 ,
6 2
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
ur
4.
r 1
 5 sin 2  cos 2  , u r 2  
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: восьмая часть шара x<
R, x1  0 , x2  0 , x3 > 0.
 u   f x 
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
u x  R  u0 x 
5.
x R
.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого слоя.
2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью, сосредоточенный на
границе шара x  R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в
шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
4. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром
интегральному уравнению с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального
уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных  :
1
 3x 2

1 
ux      2  8 u  y dy  6 x 2  7 , u x   C  ,1 .
y
2 

1 2
2.
Задача Штурма-Лиувилля.


1. Свести к интегральному уравнению: x 2  1 y  2 xy  2 y  y  0 , 0  x  1 ,
y0  0 , y1  y1  0 .
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
1
u  4 , r  2 , r  x 2  y 2  z 2 , u  0 ,
r
u  ur  r 2  sin   cos 2   sin      ,
2
6

где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Найти функцию Грина для круга z< R.
0 y 
u  0

3. Найти решение задачи Дирихле u y 0   x 
.
u

0
 y 
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с постоянной плотностью. Рассмотреть


случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
5. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма в общем случае.
2. Найти характеристические числа и собственные функции ядра интегрального
уравнения. Решить интегральное уравнение при всех возможных  :
ln 2
2

ux      e 3 x y  3e y u y dy  4e 3 x  18 , ux C0, ln 2.
3

0 
2.
3.
Задача Штурма-Лиувилля.
2
1. Свести к интегральному уравнению задачу:   x  1 y   3x  1 y   y  f  x  ,
0  x  1 , y0  0 , y1  0 , где f x  - непрерывная на отрезке 0;1 функция.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
3 1
u  5 ,  r  1 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
r 2
u r  1  2 cos 2   cos 2 cos 2 ,
2
ur
r 1
 sin 2 sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: четверть шара x< R,
x2  0 , x3 > 0.
x3  0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле: 
.
u
  x2  x1 
 x3 0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного слоя.
2. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью,
сосредоточенный на
границе шара x  R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в
шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
6. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения
с вещественным симметричным ядром.
ux     5 x 2 y 3  7 x 3 y 2 u  y dy  5 x  7 x 4 ,
1
2. Решить
интегральное
уравнение:
1
uxC1,1 , где  – вещественный параметр. Найти характеристические числа и
собственные функции соответствующего интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению:  y  
0  x  1 , y0  0 , y1  y1  0 .
3.
2
y   x 3 y ,
x
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  6r 3 , 1  r  2 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
u r 1  cos 2  1sin 2   sin 2  , ur
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
r 2
 15  sin  cos  ,
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: двугранный угол x2 > 0,
x3 > 0.
 u  0
x R
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
.
u x  R  1
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого слоя.
2. На круглом диске радиуса R распределены диполи с постоянной плотностью
момента, ориентированные вдоль нормали, направленной в сторону отрицательных
x3. Найти потенциал двойного слоя в точке, лежащей на оси диска.
7. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема Гильберта-Шмидта.



2. Решить интегральное уравнение: ux     x sin y  cos 2 y u  y dy  3sin x  cos x ,

ux C  , , где  – вещественный параметр. Найти характеристические числа
и собственные функции соответствующего интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу:  x  2 y   x  2 y   y  f x  , -1 < x
< 0, y1  0 , y0  y0  0 , где   0 , f xC1;0.
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
6 1
u  ,  r  1 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
r 3
u r 1  cos 2  cos 2  2 sin 2  ,
3
u r 1  1  cos  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Пользуясь методом отражений построить функцию Грина для части пространства,
заключенного между параллельными плоскостями x3  0 и x3  1 .
u  a  const
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
 u x  R  0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с постоянной


x R
.
плотностью. Рассмотреть
случай n=2. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
8. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
1
2. Решить интегральное уравнение: ux    3 xy 2  5 x 2 y u  y dy  5 x 3  7 x 4 ,

1
uxC1,1 , где  – вещественный параметр. Найти характеристические числа и
собственные функции соответствующего интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора
1
свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y  xy  y  x 3 y  f x  ,  x  1 ,
2
3.
1
1
2 y   y    0 , y1  0 .
2
2
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  12r , 1  r  3 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
u r 1  0 , u r 3  cos 2 sin 2 + sin   2 cos  sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полушар x< R, x3 > 0.
 u   f x  x3  0
3. Найти решение задачи Дирихле:
для непрерывных и
u
 u0 x 
 x3 0
ограниченных f(x) и u0(x).
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного
слоя.
2
2. На круглом диске радиуса R распределен простой слой с плотностью   r . Найти
потенциал в точке, лежащей на оси диска.
-----------------------------------------------
9. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром.

3

2. Решить интегральное уравнение: ux      x cos y  y cos x u  y dy  x 2  2 sin x ,
2

 
ux C  , , где  – вещественный параметр. Найти характеристические числа
и собственные функции соответствующего интегрального оператора.
2.
3.
Задача Штурма-Лиувилля.
2
1. Свести к интегральному уравнению задачу:   x  1 y   3x  1 y   y  f  x  ,
0  x  1 , y0  y0 , y1  0 , где   0 , f x  - непрерывная на отрезке 0;1
функция.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
1
, r  x2  y2  z2 ;
2
1
sin 4  sin 2 ,
u r  1  cos 2   2 sin  cos  +
16
2
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
u  24 xy , r 
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: октант x1 > 0, x2 > 0, x3
> 0.
y0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле 
.
u y 0   x  a 
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого
слоя.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с плотностью   x . Рассмотреть случай
n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
10. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром.
2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x)
=
  xy3  x 2 y 2   y dy +ax2 + x3 и найдите характеристические числа, собственные
1
1
функции интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу: 
1  x  2 , y1  0 , y2  2 y2  0 .
3.
1
1
3
y   2 y   3 y   sin x y  e x ,
x
x
x
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  1 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 ;
2
,
3
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
u r 1  0 , u r 2  2 sin  sin  
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: шар x< R.
 u   f x  x  R
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
.
u
 u0 x 
 x  R
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти потенциал простого слоя, распределенный
с постоянной плотностью на
цилиндре x1  x2  R , 0  x3  H в точке лежащей на оси x3 .

2
2
2

-----------------------------------------------
11. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром
интегральному уравнению с вырожденным ядром.
2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) =


 x sin y  cos y cos x  y dy +ax
+cos x и найдите характеристические числа,

собственные функции интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу:  x  2 y   x  2 y   y  f x  ,
0  x  1 , y1  0 , y0  0 , где f xC1;0.
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:


u  12 x 2  y 2 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 ;
u
r 1
 2 sin 2 sin   sin
4
 cos 2 ,
u r 2  4 sin 2 cos 2 ,
2
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0.
0 y 
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле u y 0   x 
.
u y   0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного слоя.
2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью,
сосредоточенный на
границе шара x  R . Рассмотреть случай n=2. Определить потенциал не только в
шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
12. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма в общем случае.
2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) =   x 2 y 2  xy  y dy
1
1
+ x + a и найдите характеристические числа, собственные функции интегрального
оператора.
3
2.
3.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу: e 2 x  y  4 y  3 y   y , 0  x  ln 2 ,
y0  y0  0 , yln 2  0 .
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  6 z , r  1 , r  x 2  y 2  z 2 ;
u r 1  2 sin 2  sin 2   cos3  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0.
x3  0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле: 
.
u
  x2  x1 
 x3 0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого слоя.
2. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плотностью,
сосредоточенный на
границе шара x  R . Рассмотреть случай n=2. Определить потенциал не только в
шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
13. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения
с вещественным симметричным ядром.
2. Решите при всех допустимых значениях λ и a уравнение (x) =


x
2

cos y  y sin x   y dy +cos x +asinx и найдите характеристические числа,

собственные функции интегрального оператора.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора
свести к интегральному уравнению задачу:  x 2  1 y  2 xy  2 y  y , 0  x  1 ,
y0  0 , y1  y1  0 .

3.

Сферические функции.
1. Решить задачу:


u  12 x 2  y 2 ,
ur
r
1
2
 4
1
 r  1;
2
1
sin 4  cos 2 , u r
2
r 1
 1  2 sin  cos 2

2
sin   4 sin 4  cos 2 ,
где r  x 2  y 2  z 2 , x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: восьмая часть шара x<
R, x1  0 , x2  0 , x3 > 0.
 u  0
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
u
1
 x  R
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с плотностью  
x
x R
.
. Рассмотреть случай
n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
14. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема Гильберта-Шмидта.
1
2 

sh y
 x ch x y 2  2e y   y dy + f(x), -1 <
2. Найти решение уравнения (x) =    sin 3 x 
y

1
x < 1. При каких f(x)  C([-1,1]) и  решение существует? Каково множество
характеристических чисел сопряженного оператора?
2.
Задача Штурма-Лиувилля.


1. Свести к интегральному уравнению задачу: 1  e  x y  y  y  e 2 x , 0  x  2 ,
y0  2 ln 2 y0  0 , y2  0 .
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  0 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 ,
u r 1  2 sin 2   cos 2 cos 2 ,
u r 2  31sin 2 sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R с центром в
нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение (обязательно указывать условия на
гладкость всех участвующих в постановке задачи функций).
2. Найти функцию Грина для круга z< R.
3.
5.
u  a  const
Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
 u x  R  0
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного слоя.
2. Для сферического слоя R1  x  R2 вычислить объемный потенциал
x R
.
масс,
распределенных с постоянной плотностью.
-----------------------------------------------
15. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и

решить при всех допустимых значениях  уравнение (x) = 
 cos y  x   y dy + 2
2
3

2
cosx .
2.
Задача Штурма-Лиувилля.


1. Свести к интегральному уравнению: x 2  1 y  2 xy  2 y  y  0 , 0  x  1 ,
y0  0 , y1  y1  0 .
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  20 , r  3 , r  x 2  y 2  z 2 , u  u xx  u yy  u zz ,
u r
3
 15  15 cos 2 
3 sin  sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: четверть шара x< R,
x2  0 , x3 > 0.
 u   f x  x3  0
3. Найти решение задачи Дирихле:
для непрерывных и
u
 u0 x 
 x3 0
ограниченных f(x) и u0(x).
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого слоя.
2. С помощью потенциалов решить задачу Дирихле для
уравнения Лапласа внутри и
вне шара x  R в R .
3
-----------------------------------------------
16. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и
решить
при
всех
допустимых
значениях

уравнение
(x) =
1


  24 x 3 y 2  14 x  3   y dy - 12 x3 + 1, 0  x  1 .
0
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу:   x  1 y   3x  1 y   y  f  x  ,
0  x  1 , y0  0 , y1  0 , где f x  - непрерывная на отрезке 0;1 функция.
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  0 , 1  r  2 , r  x 2  y 2  z 2 , u  u xx  u yy  u zz ,
 5 sin 2  cos 2  ,
5 5
u r 2    cos 2 ,
6 2
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
ur
4.
r 1
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: двугранный угол x2 > 0,
x3 > 0.
y0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле 
.
u
  x  a 
 y 0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного
слоя.
2. На круглом диске радиуса R распределен простой слой с плотностью      непрерывная 2-периодическая функция. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска.
-----------------------------------------------
17. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема о разрешимости уравнения Фредгольма с малым непрерывным ядром.


2. Найти решение уравнения (x) =   xex sh 4 y  sin x y 2  y 4 cos y   y dy + f(x), -1 <
1
2
1
x < 1. При каких f(x)  C([-1,1]) и  решение существует? Каково множество
характеристических чисел сопряженного оператора?
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению:  y  
0  x  1 , y0  0 , y1  y1  0 .
3.
2
y   x 3 y ,
x
Сферические функции.
1. Решить задачу:
1
u  4 , r  2 , r  x 2  y 2  z 2 , u  0 ,
r
u  ur  r 2  sin   cos 2   sin      , где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
2
6

4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Пользуясь методом отражений построить функцию Грина для части пространства,
заключенного между параллельными плоскостями x3  0 и x3  1 .
 u   f x 
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
u
 u0 x 
 x  R
5.
x R
.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.


2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с плотностью   e
x
. Рассмотреть
случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
18. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Лемма об эквивалентности интегрального уравнения с непрерывным ядром
интегральному уравнению с вырожденным ядром.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и
решить при всех допустимых значениях  уравнение (x) =   sh x  x 2 y 2   y dy 1
1
3.
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу:  x  2 y   x  2 y   y  f x  , -1 < x
< 0, y1  0 , y0  y0  0 , где   0 , f xC1;0.
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
3 1
u  5 ,  r  1 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
r 2
u r  1  2 cos 2   cos 2 cos 2 ,
2
ur
r 1
 sin 2 sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полушар x< R, x3 > 0.
0 y 
u  0

3. Найти решение задачи Дирихле u y 0   x 
.
u y   0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого слоя.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с плотностью    x . Рассмотреть


 
случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
19. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теоремы Фредгольма в общем случае.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и
решить
при
всех
допустимых
значениях

уравнение
(x) =
  15 x 3  3x 2 y  4  y dy + 9 x + 1, -1  x  1 .
1
1
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. С помощью функции Грина для соответствующего дифференциального оператора
1
свести к интегральному уравнению задачу: x 2 y  xy  y  x 3 y  f x  ,  x  1 ,
2
1
1
2 y   y    0 , y1  0 .
2
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  6r 3 ,
ur
4.
r 2
1 r  2;
r  x2  y2  z2 ;
u r 1  cos 2  1sin 2   sin 2  ,
 15  sin  cos  , где x  r sin  cos  , y  r sin  sin  .
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: октант x1 > 0, x2 > 0, x3
> 0.
x3  0
u  0
3. Найти решение задачи Дирихле: 
.
u
  x2  x1 
 x3 0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала двойного слоя.
2. На сфере радиуса R распределены диполи с плотностью
момента   cos ,
ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потенциал двойного слоя в точке
оси   0 0      .
-----------------------------------------------
20. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Свойства собственных значений и собственных функций интегрального уравнения
с вещественным симметричным ядром.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и
решить при всех допустимых значениях  уравнение (x) =    y 2  x   y dy + 1.
2
2
2.
3.
Задача Штурма-Лиувилля.
2
1. Свести к интегральному уравнению задачу:   x  1 y   3x  1 y   y  f  x  ,
0  x  1 , y0  y0 , y1  0 , где   0 , f x  - непрерывная на отрезке 0;1
функция.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
6 1
u  ,  r  1 ; r  x 2  y 2  z 2 ; u r 1  cos 2  cos 2  2 sin 2  ,
r 3
3
u r 1  1  cos  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: шар x< R.
 u  0
x R
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
.
u
1
 x  R
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного потенциала.
2. Найти потенциал простого слоя с постоянной плотностью,
сосредоточенный на
границе шара x  R . Рассмотреть случай n=3. Определить потенциал не только в
шаре x  R, но и вне его.
21. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Теорема Гильберта-Шмидта.
2. Найти характеристические числа, собственные функции интегрального оператора и
1


решить при всех допустимых значениях  уравнение (x) =   3x 2  6 xy  1   y dy +
0
4 x - 1, 0  x  1 .
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу: 
1  x  2 , y1  0 , y2  2 y2  0 .
3.
1
1
3
y   2 y   3 y   sin x y  e x ,
x
x
x
Сферические функции.
1. Решить задачу:
u  12r , 1  r  3 ; r  x 2  y 2  z 2 ;
u r 1  0 ,
u r 3  cos 2 sin 2 + sin   2 cos  sin  ,
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: полупространство x3 > 0.
u  a  const x  R
3. Найти решение задачи Дирихле для шара x< R: 
.
 u x  R  0
5.
Потенциалы.
1. Дать определение потенциала простого
слоя.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с постоянной плотностью. Рассмотреть
случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.
-----------------------------------------------
22. УМФ
1.
3курс 6 семестр
2 задание
Интегральные уравнения.
1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
1


sin 3 y
2. Найти решение уравнения (x) =    x sh 2 x 
 sin 3 x  y 2 ch y   y dy + f(x), -1 <
y

1
x < 1. При каких f(x)  C([-1,1]) и  решение существует? Каково множество
характеристических чисел сопряженного оператора?
2.
Задача Штурма-Лиувилля.
1. Свести к интегральному уравнению задачу:  x  2 y   x  2 y   y  f x  ,
0  x  1 , y1  0 , y0  0 , где f xC1;0.
2
3.
Сферические функции.
1. Решить задачу:
1
, r  x2  y2  z2 ;
2
1
sin 4  sin 2 ,
u r  1  cos 2   2 sin  cos  +
16
2
где x  r sin  cos , y  r sin  sin  .
u  24 xy , r 
4.
Функция Грина задачи Дирихле.
1. Поставить внутреннюю задачу Неймана для уравнения Лапласа для шара радиуса R
с центром в нуле для R3 и указать, при каких условиях она имеет решение
(обязательно указывать условия на гладкость всех участвующих в постановке
задачи функций).
2. Найти функцию Грина для полуплоскости Im z > 0.
 u   f x  x3  0
3. Найти решение задачи Дирихле: 
для непрерывных и
u
 u0 x 
 x3 0
ограниченных f(x) и u0(x).
5.
Потенциалы.
1. Дать определение объемного
потенциала.
2. Найти ньютонов потенциал шара x  R с постоянной плотностью. Рассмотреть
случай n=3. Определить потенциал не только в шаре x  R, но и вне его.