Ядерная физика. Часть 2 - Физический факультет КемГУ

ГОУ ВПО “Кемеровский
государственный университет”
Кафедра экспериментальной физики
Колесников Л.В., Козяк Л.А.
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЧАСТИЦ
Конспекты семинаров 5 - 8
Учебно-методическое пособие
ЧАСТЬ 2
Кемерово 2007
Составители: Колесников Л.В., Козяк Л.А.
«Физика атомного ядра и частиц»:
Учебно-методическое пособие / сост. Колесников Л.В., Козяк Л.А.
ГОУ ВПО Кемеровский госуниверситет. - Кемерово: Кузбассвузиздат,
2007. - 50 с.
Учебно-методическое пособие является конспектом семинаров по курсу «Физика атомного ядра и частиц» и служит дополнением к лекционному курсу профессора Колесникова Л.В.
Одобрено
Утверждено
методической комиссией
на заседании кафедры
физического факультета
экспериментальной физики
«13» ноября 2006 г.
«9» ноября 2006 г.
Председатель методической ко-
Зав. кафедрой
миссии
Оглавление
1. Семинар 5. Модели атомных ядер. Модель Ферми - газа. Модель
ядерных оболочек. Потенциал трехмерного гармонического осцилятора
и Вудса – Саксона. Учет спин орбитального взаимодействия. Спины и
четность ядерных состояний. Расчет спина, чётности и магнитного момента ядер в рамках оболочечной модели…………………………… 17
2. Cеминар 6. Радиоактивность. Законы радиоактивного распада. Вероятность распада ядра. Период полураспада. Среднее время жизни.
Активность. Единицы измерения активности. Последова-тельные превращения ядер и вековое равновесие. Методы опреде-ления возраста в
археологии………………………………………………………………23
3. Семинар 7. Радиоактивность: Закономерности  - распадов. Законы сохранения. Кулоновский и центробежные барьеры …………..24
 - распад………………………………………………………………..30
4. Семинар 8.  - распад. Эффект Мессбауэра………………34
Cеминар 5
Модели атомных ядер. Модель Ферми - газа. Модель ядерных оболочек. Потенциал трехмерного гармонического осцилятора и Вудса
– Саксона. Учет спин орбитального взаимодействия. Спины и четность ядерных состояний. Расчет спина, чётности и магнитного
момента ядер в рамках оболочечной модели.
Модель Ферми – газа.
Нуклоны в ядре рассматриваются как вырожденный Ферми – газ. Распределение Ферми :
f (E,T ) 
1
p2
; где ЕF 
 энергия Ферми.
E  EF
2
m
1  exp(
)
kT
Рассчитаем значение ЕF. Для этого введем понятие фазового пространства dГ и
рассчитаем число состояний в этом пространстве от 0 до РF:
d  dVr dV p  4 r 2 dr  4 p 2 dp  Vr  4 p 2 dp
Объем элементарной ячейки в фазовом пространстве равен:
∆x . ∆p = h (∆x . ∆p)3 = h3
Число ячеек – состояний, в которых могут находится две частицы со спином ½
будет равно:
d  2
PF
Vr 4 p 2 dp
N  2
0
h3
Vr 4 p 2 dp
h3
; а общее число нуклонов

8  V p F3
3h
; отсюда
3Nh3 13
3 2 N 13
pF  (
)  (
)
8 V
V
Теперь найдем значение энергии Ферми :
2
p F2  2  3 2 N  3
4

 ; V Я   R 3 
EF 

2m 2m  V 
3
4
 2  3 2 N ( Z ) 
3


  r0 A; E F (n, ( p )) 
3
2m 
V

2
3
2
если
 2  9  3
N  Z  A / 2, то E F (n)  E F ( p)  E F 
 37МэВ
 
2mr 2  8 
0
Таким образом, в рамках модели Ферми –газа удается оценить глубину потенциальной ямы в ядре. С учетом значения удельной энергии связи нуклонов, ε =
8 МэВ, глубина потенциальной ямы для нуклонов в ядре будет равна: ЕF + ε =
- 37 +(- 8) = - 45 МэВ.
Оценим полную кинетическую энергию нуклонов в ядре:
p 2  V  4 p 2 
3
 2
dp  NEF (n);
T ( N )   T  
3
2M 

5


0
отсюда на один нуклон получим
3
3
T ( A) / A  AEF / A  EF  22 МэВ
5
5

PF ( n )
Рис. 1. Нейтронные и протонные одночастичные уровни энергии
в модели ферми-газа.
Протонная потенциальная яма мельче, чем нейтронная яма,
из-за действия кулоновских сил (EС - кулоновская энергия
протона). Эти же силы обуславливают возникновение кулоновского барьера для протонов, которые стремятся вылететь
из ядра или проникнуть в него снаружи. BN - энергия отделения нейтрона.
Модель оболочек.
Модель оболочек является в настоящее время наиболее развитой и
успешной из ядерных моделей. С её помощью удаётся понять, почему
для некоторых ядер удельные энергии связи, энергии отделения нуклонов превышают эти величины для ядер с близкими значениями Z и A.
Ядра, для которых этот эффект проявляется особенно резко - то есть
ядра, значительно более устойчивы, чем их «соседи», - называются магическими ядрами. У этих ядер число протонов Z, либо число нейтронов N равно одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 28, 50 82, 126. Эти
числа называются магическими. Ядра, у которых и число протонов,
и число нейтронов - магические числа, обладают особой устойчивостью
и называются дважды магическими. Отметим основные экспериментальные факты, указывающие на существование магических чисел: повышенная распространенность ядер с магическими числами; относительное
уменьшение массы магических ядер; увеличение энергии отделения
нейтрона в ядрах с N = 50; 82; 126; увеличение энергии первого возбужденного состояния в ядрах с магическим числом нейтронов и протонов.
В модели оболочек нуклоны рассматриваются как независимые частицы в самосогласованном потенциале, создаваемом всей совокупностью нуклонов в ядре. Уровни энергии Еi нуклонов определяются
собственными значениями решений уравнения Шредингера




H  i  Ei i , H  T  V ,

где  i - волновая функция нуклона с энергией Ei, H - оператор га

мильтониана; T и V - операторы кинетической и потенциальной энергии. Форма потенциала самосогласованного поля зависит от выбора
модельного приближения. В одночастичной модели оболочек потенциал сферически симметричного самосогласованного поля имеет
вид:
V1(r ) 
 V0 , для r  R  прямоугольная
 , для r  R
яма
1
V2  V0    2 r 2  потенциал гармоничес кого осцилятора
2
V3  
V0
rR
1  exp
a
 потенциал Вудса  Саксона
Решение уравнения Шредингера с потенциалом V1 приведено в учебнике: Давыдов А.С. Квантовая механика. Доказано, что для всех сферически симметричных потенциалов зависимость  от угловых переменных имеет вид:

(r )  (r, , )  R(r )lm (, )
Здесь индексы l и m означают, что сферические функции lm (,) так
же как и полная волновая функция (r), являются собственными функциями операторов квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента на выделенную ось:
2
2
L lm (,  )   l lm (,  )  l (l  1)lm

2

LZ lm (,  )   2 l Z lm  mlm ; m  l ,l  1,...l  1, l
Вид радиальной функции R(r) и значения энергии частиц определяются
радиальной зависимостью потенциала V1:
Enl  (  3 2), где   2n  l ,
где n – число узлов радиальной функции при r >0. Спектр энергий Еnl
эквидистантный, т.е. между состояниями с разными значениями квантового числа Λ одинаковые разности энергий. Эквидистантность уровней энергий – это общая закономерность решения задач с потенциалом
осциллятора V1. Решения полученные со сферическими симметричны-
ми потенциалами V1 ,V2 ,V3 не зависят от собственных значений проекции m орбитального момента на ось z. Каждому значению энергии Еnl
соответствует 2l+1 разных по проекции момента волновых функций, т.
е. имеет место вырождение по проекции орбитального момента. Для
учета спина нуклона в волновых функциях необходимо учесть функции, являющиеся собственными функциями оператора квадрата спина и его проекции на ось – спиноры:
1 2, ms  1 2, ms ; ms  1 2,1 2
Таким образом, волновая функция нуклона в потенциале трехмерного
осциллятора запишется как:

(r )  (r , ,  )  R(r )lm (,  ) 1 2, ms
При фиксированном l энергия нуклона тем выше, чем больше число n.
Для l используют обычные буквенные обозначения
l = 0;
1;
2;
3;
4;
5;
6;
7;
S 2 ; P 6 ; d 10 ; f 14 ; g 18 ; h 22 ; i 26 ; j 30 ;
где число число нуклонов на оболочке равно 2(2 j  1)
В таблице приведены последовательность одночастичных уровней для
потенциалов V1 и V3 . Ядерные оболочки обычно обозначаются по
уровням гармонического потенциала: 1s; 1p; 1d2s; 1f2p; 1g2d3s. Одночастичные уровни, входящие в состав оболочек, называют подоболочками.
Потенциал
0
гарм. осциля-
1s
тора
1ħ 2ħ 3ħ
1p
4ħ
1d2s 1f2p 1g2d3s
5ħ
6ħ
1h2f3p
1i2g3d4s
числа запол-
2
8
20
1s
1p
2
8
40
70
112
168
1h2f3p
1i2g3d4s
92
138
нения нуклонами:
N=Z=2l+1
Потенциал
1d2s 1f2p 1g2d3s
ВудсаСаксона.
числа запол-
20
40
70
нения нуклонами:
N=Z=2l+1
Заполнение энергетических уровней для потенциала гармонического
осциллятора проводится следующим образом: для  = 0, n=0, l = 0, 1s,
E00 =3/2ħ;  = 1, n=0, l = 1, 1p;  = 2, n=0, l = 2, 1d, n=1, l = 0, 2 s;
 = 3, n=0, l = 3, 1f, n=1, l = 1, 2p; и т. д.
3s, 2d,1g
=4
l=0,2,4
 
1f, 2p
=3
l=1,3
 
1d,2s
=2
l=0,2
 
=1
1p
l =1
 
1s
=0
l =0
3
 
2
-----------------------------Как следует из таблицы, лишь первые три числа совпадают с реальными магическими числами. Причина в том, что в предыдущих расчетах
не было учтено спин-орбитальное взаимодействие. Для выяснения роли этого взаимодействия в потенциале:


 


 
1
V1  V (r )  a( l s )   2 r 2  a( l s )
2
рассмотрим, какие значения может принимать полный момент нуклона
j:





1
1
j  ls  l 1 ; j l ; j l .
2
2
2
Видим, что j может принимать два значения, которым соответствуют
разные вклады в энергию состояния от спин-орбитального взаимодействия:
Enlj   (  3 )  Elsj , где   2n  l ,
2
Оценим вклад спин-орбитального члена в потенциале V1 . Для этого
найдем величину матричного элемента:


Elsj  jlsm j  ( l s ) jlsm j ;
1  2 2  2
( l s)  ( j  l  s )
2


2


2


2
j  ( l  s )  l  2( l s ) s
2
Выразили оператор спин-орбитального взаимодействия через собственные операторы волновой функции нуклона. Подставляя собственные значения этих операторов, получим:
Elsj 
a
 j ( j  1)  l (l  1)  s(s  1)
2
В результате происходит расщепление уровня с заданными l и s на два
подуровня с разными j= l  ½. Из эксперимента известно, что величина
а в потенциале V1 отрицательна, поэтому:
a
a
E j l 1 2  l  0; E j l 1 2   (l  1)  0
2
2
Таким образом, уровни с большим значением полного момента сдвигаются вниз относительно энергии:
Enl   (2n  l  3 2) ,
а уровни с меньшим значением j (но с теми же l,s) сдвигаются вверх по
энергии.
Например : nLj 
nL  1 ;   2 j  1
2
nL  1 ;   2 j  1
2
В итоге, порядок заполнения оболочек нуклонами одного сорта будет
следующим:
1S1 / 2 ; 2 1P3 / 2 ;1P1 / 2 ; 8 1d 5 / 2 ;2 s1 / 2 ;1d 3 / 2 ; 20
1 f 7 / 2 ;2 p3 / 2 ;1 f 5 / 2 ;2 p1 / 2 ;1g 9 / 2 50
1g 7 / 2 ;2d 5 / 2 ;2d 3 / 2 ;3s1 / 2 ;1h11 / 2 82
1h3 / 2 ;2 f 7 / 2 ;2 f 5 / 2 ;3 p3 / 2 ;3 p1 / 2 ;1i13 / 2 126
 i  2 j  1 число нуклонов одного сорта на подоболочк е.
Учет спин  орбитального расщепления приводит к
смещению уровней 1g 9 / 2 ; 1h11 / 2 ; 1i13 / 2 ; 1 j15 / 2 в нижнюю оболочку .
Изложенная модель дает согласующиеся с экспериментом результаты
для легких ядер с А  40. Для более тяжелых ядер необходимо учитывать энергию отталкивания протонов. Это приводит к тому, что последовательность уровней для ядер с А  40 в протонной и нейтроной
ямах различно.
Спин и четность в модели оболочек ядра.
Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, полностью заполняющих любую подоболочку, равен нулю независимо от квантовых чисел подоболочки и числа 2(j+1) заполняющих ее нуклонов. Это правило
является следствием принципа Паули, поэтому на любой заполненной
подоболочке всегда будут находится два нуклона с равными по абсолютной величине, но с разными по знаку проекции полного момента на
выделенную ось. По этой причине спины основных состояний всех
ядер с заполненными оболочками (подоболочками) равны нулю. Согласно (3.7) четность ядра равна:
A
 li
P  (1) i
Учитывая, что показатель степени в формуле для четно-четных ядер
величина четная, четность для этих ядер в основном состоянии положительна. В итоге, спин и четность для Ч-Ч ядер будет: JP =0+.
Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки ( подоболочки) определяется четностью (-1)l неспаренного нуклона, например, пусть нуклон находится в состоянии nLj:
3
l
P
3
nL j  2 P3 ; J  j 
; p  (1)  1; J 
2
2
2
5
l
P
5
nL j  2d 5 ; J  j 
; p  (1)  1; J 
2
2
2
Для нечетно – нечетного ядра спин и четность определятся согласно:
jP  jn  J  jP  jn ; P  (1) Ln  LP
Схема ядерных уровней с учетом спин-орбитальной связи приведена на
рис. 1.
Ограниченность одночастичной модели оболочек:
Модель оболочек в варианте ОМО дает заниженные значения возбужденных состояний ядра Е*, магнитных моментов , квадрупольных
моментов Q. Для деформированных ядер получаются неверные результаты по значениям спина и четности, например, с А=19, 21, 23. Так для
19
F в основном состоянии:
Рис. 1 Схема ядерных уровней в рамках одночастичной модели: слева
—
без спин-орбитальной связи, справа — при наличии спин-орбитальной связи.
 (199F )   (168O)  (1d 5 2 ) 2n (1d 5 2 )1p
Спин должен быть равен JP = 5/2+, экспериментальное значение
равно JP = 1/2+.
Оказывается для деформированных ядер состояние нуклона нельзя характеризовать квантовыми числами 1 и j, В этом случае момент количества движения, создаваемый нуклоном, следует характеризовать
модулем проекции ĵ на ось симметрии ядра  jz (рассматриваются аксиально-симметричные ядра). Квантовое число этой проекции k будет
принимать полуцелые значения
k = j, j-1, j-2,..., -j+2, -j+1, -j.
Деформация частично снимает вырождение, присущее одночастичным уровням сферически-симметричного потенциала, расщепляя по
энергии состояния с различными значениями модуля k. В силу аксиальной симметрии состояния с k и -k остаются вырожденными. Для одночастичных уровней таких ядер используется обозначение k Р , где Р —
четность.
На схеме показана зависимость энергии одночастичных уровней
для аксиально-симметричного потенциала (потенциала Нильссона) в
зависимости от параметра деформации ядра . Уровень 3d5/2 расщепляется на подуровни 1/2+, 3/2+, 5/2+ , что приводит к частичному снятию
вырождения. Неспаренный протон в ядре фтора заполняет уровень 1/2+,
поэтому JP(19F) = 1/2+.
Вращательные уровни Ч-Ч несферических ядер, Jgs=0:
Классическая энергия вращения ядра в форме вытянутого эллипсоида
дается выражением
G 2 L2
EВР 

; где G  момент инерции;
2
2G
L  G  орбитальный момент;
J  L; спин Ч  Ч ядра возникает вследствии
вращения; J 2   2 J ( J  1); L2   2 L( L  1)
EВР
L2
2


J ( J  1); J  0;2;4...; P  1
2G 2G
Вследствии симметрии J = 0,2,4…., т.е. четность вращающихся состояний равна +1. Отношение ЕВР для уровней ядра будет пропорциональна
J(J+1).
Примеры решения задач.
1. Объяснить особую устойчивость ядер 4He и 16О. Найти спины и четности основных состояний этих ядер.
Решение: Согласно модели оболочек основные состояния этих ядер
представляют собой замкнутые оболочки — (1S1/2)4 для 4Не и (1S1/2)4
(1Р3/2)8 (lP1/2)4 для
О. Четности состояний равны P=(-l)∑l, где l - орби-
16
тальные моменты нуклонов в оболочках. Спины замкнутых оболочек
равны нулю, таким образом, основным состоянием обоих ядер является
состояние 0+.
2. На основании одночастичной модели оболочек найти спин и четность основного состояния трития.
Решение: С точки зрения одночастичной модели оболочек ядро 3Н в
основном состоянии соответствует конфигурации (1S1/2)3, т. е. представляет собой протонную «дырку» в замкнутой оболочке (1S1/2)4. Следовательно, спин и четность основного состояния ядра трития определяются спином и четностью «дырочного» состояния 1S1/2, т. е.
JP=(1/2)+.
3. На основании одночастичной модели оболочек определить магнитный момент ядра трития в основном состоянии. Сравнить результат
теоретического расчета с экспериментальным μ = 2,98μ0 ( μ0 - ядерный
магнетон).
Решение: Магнитный момент равен магнитному моменту «дырочного»
состояния 1S1/2, т. е. μ = μp = 2,79μ0, так как магнитный орбитальный
момент равен нулю. Расхождение с экспериментом указывает на приближенный характер модели.
4. Определить спин, четность и магнитный момент основного состояния ядра 3Hе.
Решение: Квантовые числа основного состояния ядра соответствуют
квантовым числам нейтронной «дырки» в замкнутой оболочке (1S1/2)4.
Поэтому
JP =(1/2)+,что совпадает с экспериментальным значением.
Магнитный момент
μ = μn = -1,91μ0. Экспериментальное значение
магнитного момента μ = - 2,13μ0.
5. Доказать, что спектр ядра
180
Hf (см. 32) представляет собой враща-
тельную «полосу». Указать наиболее вероятные переходы из состояния 8+.
Решение. Для четно-четных ядер энергия вращательного движения
E= 
2
J ( J  1)
,
2I
где J - спин состояния, I—момент инерции ядра. Таким
образом, для вращательной полосы должно выполняться соотношение
Е(8+) : Е(6+) : Е(4+) : E(2+) = 36 : 21 : 10 : 3. Значения энергий возбужденных состояний, рассчитанные по энергии состояния 2+, должны составлять Е(4+)=310 кэВ, Е(6+)=651 кэВ, Е(8+)=1116 кэВ. Совпадение с
экспериментом в пределах 1% для 4+, 2% для 6+ и 11% для 8+ состояния.
Рост расхождения с энергией связан с дополнительной деформацией
ядра в высоковозбужденных состояниях, т. е. с изменением момента
инерции I. Наиболее вероятный переход из возбужденного состояния
8+→ 6+→ 4+→2+→0+— каскад электрических
8 +:
квадрупольных переходов Е2.
6. Показать, что возбужденные состояния ядра
107
Ag (рис. 3) представ-
ляют собой результат взаимодействия внешнего протона в состоянии
(1/2) - с квадрупольными возбуждениями четно-четного осто-
ва.
Решение. Момент возбужденных состояний равен векторной сумме
моментов остова и внешнего нуклона, т. е. J = 1/2+2, отсюда Jmin =
3/2, Jmax=5/2. Четности возбужденных состояний равны произведению четности основного состояния на четность возбуждения остова,
(-1)×(+1) = -1, что соответствует эксперименту.
424 --------------------- 5/2-
Рис. к задаче 6
325 ----------------------3/20
----------------------- 1/2Задачи для самостоятельного решения.
1. Суммарный момент количества движения всех нуклонов, полностью заполняющих уровень с квантовым числом , равен 0. Чему равен
момент количества движения ядра, находящегося в "дырочном" состоянии, т.е. в состоянии, когда недостает одного нуклона до полностью заполненной оболочки?
2. В каком ядре протоны заполняют все состояния оболочечной модели до 2р3/2 включительно, а нейтроны — до 2p1/2?
3. Изобразить схему заполнения оболочек в ядрах 11В и 17О.
4. Чему равен магнитный момент четно-четного ядра?
5. Определить спины и четности основных состояний следующих
ядер: 3Нe, 5Не, 11В, 13С, 15N, 17О.
6. Найти возможные значения магнитного момента нейтрона в состоянии 1=1.
7. В рамках одночастичной оболочечной модели вычислить магнитные
моменты следующих ядер и сравнить их с экспериментальными значениями в единицах ядерного магнетона:
ЯДРО
JP

½-
+0,510
75
Ge
87
Sr
9/2+ -1,093
91
Zr
5/2+ -1,304
47
Sc
7/2-
147
+5,34
Eu 11/2- +6,0б
8. С помощью модели ядерных оболочек написать конфигурации основных состояний ядер 7Li,13C и 25Mg.
9. Определить с помощью модели ядерных оболочек спины и четности
основных состояний ядер: 16O,29Si,39K,45Sc и 63Cu
10. Провести заполнение оболочек с  = 0, 1 и 2 в потенциале гармонического осциллятора.
11. Сравнить схемы заполнения оболочек для основных состояний
ядер 14C и 14N. Каковы спины четности и изоспины этих состояний?
12. На основании одночастичной модели оболочек определить спины
и четности основных состояний изотопов кислорода -
15
О, 16О, 17О, 18О.
13. Определить магнитные моменты ядер 3Нe и ЗH. Сравнить с экспериментом (μ(3Не) = - 2,13 μN, μ (3Н) = 2,98 μN).
14.В рамках одночастичной модели ядра вычислить магнитные моменты ядер: 15N, 17О, 23Na, 27Al, 39К, 40Са, 41Са.
15. Определить с помощью модели ядерных оболочек магнитные моменты ядер : а) 3H и 3He; б) 17O и 39K в основном состоянии.
16. Показать, что в рамках модели ферми-газа и в пренебрежении кулоновским взаимодействием для симметричных ядер N и Z энергия
Ферми не зависит от числа нуклонов в ядре.
17. Известно, что средняя удельная энергия связи в ядре ε  8 МэВ.
Оценить в рамках модели ферми-газа глубину ядерного потенциала.
18. В рамках модели ферми-газа получить выражение для полной кинетической энергии нуклонов ядра в основном состоянии.
19. Для ядра с Z  N оценить среднюю кинетическую энергию на нуклон.
20. Показать, что суммарная кинетическая энергия нуклонов ядра минимальна при N == Z.
21. Показать, что плотность ядерной материи ρ связана с импульсом
Ферми pf соотношением
 3 2  

p r  
2


1/ 3

22. Из экспериментов по рассеянию на ядрах электронов и протонов
установлено, что для ядер с А > 60 среднее значение плотности
ядерной материи составляет 0,17Фм-3 . Определить импульс и энергию Ферми для этих ядер.
23. Если считать энергию связи дейтрона равной нулю, можно получить следующее соотношение, характеризующее глубину Vo и ширину r0 прямоугольной потенциальной ямы дейтрона:
V0 r02
 2 (c) 2

4 mc 2
где m — масса нуклона. Оценить глубину потенциальной ямы дейтрона
Vo, если r0 = 1,6 Фм.
24. Какие факты свидетельствуют в пользу справедливости модели
ядерных оболочек?
25. Какую роль играет принцип Паули в обосновании, модели ядерных
оболочек?
26. Что такое уровень и энергия Ферми?
27. Суммарный момент количества движения всех нуклонов, полностью заполняющих уровень с квантовым числом , равен 0. Чему
равен момент количества движения ядра, находящегося в "дыроч-
ном" состоянии, т.е. в состоянии, когда недостает одного нуклона до
полностью заполненной оболочки?
28. Найти максимальное значение магнитного момента протона в состоянии 1=1.
29. Указать на плоскости N,Z области, где должны располагаться сферически симметричные ядра, деформированные ядра.
30. Пользуясь диаграммой Нильссона, найти квантовые числа основных
состояний ядер
19
F,
21
Ne,
21
Na. Параметр деформации принять рав-
ным 0,1 (значение, полученное из экспериментальных данных для
21
Ne).
31. Пользуясь схемой Нильссона, оценить, при каких деформациях
происходит перекрывание уровней, соответствующих различным
оболочкам.
32. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного
ядра
180
Hf представляет собой «вращательную полосу».
8+
МэВ, 1079
637
6+
307
4+
93
2+
0
0+
33. Последовательность вращательных уровней четно-четных ядер имеет характеристики (в порядке возрастания энергии уровней): 0+, 2+,
4+, 6+ и т.д. Объяснить эту последовательность квантовых чисел.
34. Рассчитать параметр деформации ядра
180
Hf, если известно, что
энергия первого вращательного Е(2+) = 93 кэВ ( см. 32).
Cеминар 6
Радиоактивность. Законы радиоактивного распада. Вероятность
распада ядра. Период полураспада. Среднее время жизни. Активность. Единицы измерения активности. Последовательные превращения ядер и вековое равновесие. Методы определения возраста в археологии.
Закон радиоактивного распада
N (t )  N (0)e t ,
где N(0) - количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный
начальный момент времени t=0, N(t) - количество радиоактивных ядер,
к моменту времени t,  - постоянная распада (вероятность распада ядра
в единицу времени).
Активность (интенсивность излучения радиоактивного препарата)
А(t )  
dN (t )
 N (t )
dt
Для измерения активности используется единица Беккерель (1Бк = 1
распад/с). Также применяется Единица Кюри (1 Ки = 3,7∙1010 распа-
дов/с). Пусть в момент времени t осталось половина исходных ядер
N(0), тогда:
1
ln 2
N (0)  N (0) exp t ; t  T1/ 2 
  ln 2
2

Здесь T1/2 - период полураспада (время, в течение которого количество
радиоактивных ядер уменьшается в два раза); -среднее время жизни
(время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в e раз). Период полураспада, среднее время жизни и постоянная
распада связаны между собой соотношениями:
T1 
ln 2
2

;
1
T   ln 
 ; 12
Если получающиеся в результате распада исходного ядра новые (вторичные) ядра также являются радиоактивными, возникает цепочка радиоактивных превращений
A1

1
A2

2
Аз

3
... .
Процесс последовательных превращений ядер A1 а А2 описывается соотношениями
N 1 (t )  N 1 (0)e  1t ,
N 2 (t )  N 2 (0)e 2t 
1 N 1 (0)  t

e  e  t ,
2  1
1
2
где N1 и N2- количество первичных и вторичных радиоактивных ядер
соответственно.
В случае, когда 1 много меньше постоянных распада вторичных ядер
2 , через время t = T1/2 (максимальный период полураспада вторичных
ядер) устанавливается "вековое" равновесие
1 N 1  2 N 2  3 N 3  ...
Последнее соотношение означает, что число распадов первичных ядер
в единицу времени, равно числу распадов образующихся при этом вторичных ядер.
Процессы распада ядер могут быть использованы для определения интервалов времени или возраста различных материалов. С этой целью
разработаны следующие методы.
Урановая датировка событий: пусть порода вулканического происхождения содержит в начальный момент некоторое количество урана
238
U, который постоянно распадается с образованием стабильного изо-
топа свинца
206
Pb:
NU (t )  NU (0) exp( t ); N Pb (t )  ( NU (0)  NU (t ))  NU (t )[exp( t )  1]
N Pb (t )
0.69
0.69
 exp( t )  1; здесь  

; T1 2  4.5 109 лет.
9
NU (t )
T1 2 4.5 10
Измеряя отношение количеств урана и свинца в образце, можно точно
определить время (t) образования геологического пласта.
Датировка событий по калий – аргоновому методу: в этом случае
используется реакция:
40
19
40
K 18
Ar     ; здесь Т1 2  1.3 109 лет
Датировка событий радиоуглеродным методом:
В атмосфере в результате ядерной реакции 14N(n,p)14C постоянно образуется радиоактивный изотоп углерода
14
С. Растения поглощают угле-
кислый газ из воздуха, с которым в них попадает и радиоактивный углерод:
6CO2  6 H 2 O  C6 H 12O16  O2 
причем относительное количество радиоактивного углерода в живых
растениях, как правило, такое же, как и в воздухе. После гибели растения углерод 14С в него не поступает, а накопленный углерод
14
С начи-
нает распадаться с Т1/2 =5730 лет, что позволяет проводить датировку
событий.
Примеры решения задач.
1
1.Показать, что среднее время жизни радиоактивных ядер   , где

 - их постоянная распада. Решение:

t

 tN t dt
0

(1) ;
 N t dt
N t   N 0et
(2)
0
Вычислим интеграл по частям:
N 0 t
N 0 t
 t  t 








tN
t
dt

tN
0
e
dt

N
0
te
dt

N
0
e

e
dt

0
0
0
0
0 e dt
 



0



 t
u  t ; du  dt ;
1

 t
   e  t ; d  e  t dt



(3)
Вычислим интеграл:


 N t dt  N 0 e
0
 t
0
Подставим (3) и (4) в (1):
dt ;
(4)


t
N 0 /   e  t dt

0
N 0 e  t dt

1


0
2. Какая доля первоначального количества ядер
90
Sr : а) останется
через 10 и 100 лет; б) распадется за одни сутки; за 15 лет?
Дано:
T 12  90 Sr   28,5 лет.
Решение:
90
38


Sr 90
39Y  e   e
Число ядер к моменту времени t :
N t   N 0exp  t 
Доля ядер, оставшихся к моменту t :
N t  N 0exp  t 

 exp  t 
N 0
N 0
Доля ядер, распавшихся к моменту t :
N 0  N t  N 0  N 0exp  t 

 1  exp  t 
N 0
N 0

а)
ln 2
T12
N 10 лет 
ln 2


 exp  
 10 лет   e 0, 24  0,79
N 0
 28,5 лет

N 100 лет
ln 2


 exp  
 100 лет   e 2, 4  0,091
N 0
 28,5 лет

б)
 1

N 0  N 
лет 
 365
  1  exp   ln 2  1 лет   1  e  0,0000666  1  0,99993  6,64  10 5
N 0
 28,5 лет 365

N 0  N 15 лет
ln 2


 1  exp  
 15 лет   1  e 0,36  1  0,698  0,302
N 0
 28,5 лет

Ответ: а) 0,79; 0,091; б)
6,64  105 ;
0,302.
3. Определить число радиактивных ядер в свежеприготовленном препарате
82
Br , если известно, что через сутки его активность стала рав-
ной 0,20 Ки.
82
Дано: T 12  Br   35,34часа  127224с , A(1день)  0,20 Ки ,
t =1 день = 86400 с. Найти: N(0).
Решение:
A(t )  
82
35
82
Br 36
Kr  e  ~ e
dN
 N (0)e  t
dt
(1);
A(1день)  0,2 Ки  3,7  1010 с

1
N ( 0) 
A(t )
 e  t
(2)
ln 2
 0,74  1010 с 1 ;  
Ки
T1
(3)
2
0,69
 5,45  10  6 с 1
127224с
0,74 10 10 с 1
0,74 1010 c 1
N (0) 

 2,2 1015
 6 1
 6 1
 6 1
 0, 471
5,45 10 с exp  5,45 10 c  86400c  5,45 10 c  e
15
Ответ: N (0)  2,2  10 шт
4. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ: 1) останется через интервал времени, равный 10τ? 2) распадется за интервал времени между t1 = τ и t2 =
2τ?
Решение. Число ядер препарата к моменту t: N(t) = N(0)exp(—t/τ).
1) Доля ядер, оставшихся к моменту t = 10τ, N(10τ)/N(0)=exp(- 10).
2) Доля ядер, распавшихся за интервал времени Δt = t2 – t1,
N 
N t1   N t 2  1 
1
 1   .
N 0 
e
e
5. Во сколько раз вероятность распада ядра радиоактивного иода 128I в
течение первых суток больше вероятности распада ядра в течение вторых суток?
Решение. Вероятность распада ядра к моменту t равна

t

1 – W(t) = 1 - e = 1 – е-λt ,
λ=
ln 2 1
 .
1 2 
Отношение вероятностей распада за первые и вторые сутки
1  W1
 e   1,3 .
W1  W2 
6. Какая доля ядер радиоактивного фосфора 32P распадается в течение
второй недели с момента изготовления препарата?
Решение (см. 2.2).
xe
t

 1 



e

t


  0,2


 14,5 дн 
 t 
 .
ln
2


7. Определить вероятность распада ядра радиоактивного золота 198Аu
1) в течение четырех суток; 2) за четвертые сутки.
Решение (см. 2.2). 1) х = 1 – е-λt t =0,63; 2) x = W(3) - W(4) = e-3λ – e-4λ =
0,ll.
8. Определить активность, наведенную при облучении 1 мг золота в
изотропном потоке тепловых нейтронов интенсивностью 1012 нейтронов/см2· с в течение 1 ч. Учесть, что изотропный поток наводит вдвое
большую активность, чем такой же параллельный.
Решение.
197
Au + п→198Аu + γ;
Au→ 198Hg + е- + ~e .
198
Число активных ядер растет при облучении по закону
N (t) = Nнас (1 – е-λt) = νnστ(1 — е-λt ),
где ν — поток нейтронов, σ — эффективное сечение активации, п —
число ядер активируемого препарата,

1

. Активность получившегося
препарата
J (t) = λN(t) = νnσ (1 — е-λt).
Поскольку в данном случае λt<< 1, J(t) = vnσλt. Число атомов в образце
n=
m
A
L, где L — число атомов в грамм-атоме.
J  2
mL t ln 2
= 17 мкКu (эффективные сечения активации приведеA1 2
ны в приложении).
9. Показать, что в процессе последовательных распадов
238
U → …→ 226Ra → …→ 208Pb
устанавливается вековое равновесие.
Решение. Рассмотрим два последовательных распада 1 → 2 → 3;
dN1 = - λ1N1dt—изменение числа ядер 1 происходит за счет распада;
dN2 = - λ2N2dt + λ1N1dt —изменение числа ядер 2 происходит как за счет
их распада, так и образования из ядер 1. После интегрирования этих
уравнений при условии N2(0) = 0 получим:
N1(t) = N1(0) e 1t ; N2(t) = N1(0)


1
e 1t  e  2 t .
 2  1
Период полураспада 238U значительно больше периодов полураспада
его продуктов распада λ1<< λ2, λ3 и т. д. Отсюда
λ2N2(t)  λ1 N1(0) e 1t = λ1N1(t),
что и является условием векового равновесия.
10. В одном грамме природного урана содержится 3,4·10-7 г 226Ra, имеющего период полураспада Т1/2 = 1,62·103 лет. Определить период полураспада 238U, считая, что T1/2(238U) >> T1/2(226Ra).
Решение (см. 2.12).
λUNU = λRaNRa; T1/2(238U) = T1/2(226Ra) NU = 4,7·109 лет.
N Ra
11. Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь присутствующий на Земле аргон произошел из калия 40 путем Е - захвата.
В настоящее время да каждые 300 атомов аргона приходится один атом
40
К.
Решение. 11 % ядер 40К испытывают Е – захват: 4019 K + e- → 40Ar + νe;
89% атомов испытывают β--распад: 4019 K → 4020 Ca + е- + ~e . Число атомов
калия через время t после образования Земли
NK(t) = NK(0) e-λt, где λ — постоянная распада 40K. Число атомов 40Аr
NAr(t) = 0,11[MK(0) – NK(t)];
N Ar t 
= 0,11(eλt - 1) = 300;
N K t 
λ t  8; t  1,4·1010 лет.
12. Определить возраст древней деревянной кладки, обнаруженной при
раскопках, если удельная активность изотопа 14С в золе составляет 0,5
удельной активности золы свежевырубленных деревьев.
Решение. Активность свежевырубленной древесины I (0) связана с активностью такого же веса древесины, в которой обмен углеродом с атмосферой прекратился t лет назад, I (t) следующим соотношением:

t

J (t) = J(0) e = 0,5 J(0); следовательно, t = T1/2 = 5570 лет.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Определить период полураспада 226Ra., если активность 1 г 226Ra составляет 1 Ки.
2. Какое количество распадов происходит за 1 с в 1 г 238U?
3. Определить вероятность распада ядер радиоактивного золота
198
Au
за четвертые сутки.
4. Определить вероятность распада ядер радиоактивного золота
198
Au
в течение четырех суток.
5. При ядерных испытаниях некоторое количество изотопа 90Sr попало
в окружающую среду. Через какое время активность рассеянных радионуклидов снизится в 10 раз?
6. Определить возраст деревянного предмета, если активность на единицу массы 14С составляет 0,7 активности свежесрубленного дерева.
7. Во сколько раз вероятность распада ядер радиоактивного иода
Iв
131
течение первых суток больше вероятности их распада в течение вторых
суток?
6.4.8. Начальная активность препарата
32
P равна 2 мкКи. Сколько ве-
сит такой препарат?
9. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ распадется за интервал времени
между t1 = τ и t2 = 2τ?
10. Оценить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле 40Аr образовался из 40К в результате е-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов 40Аr приходится один атом 40К.
11. Какая доля первоначального количества ядер
90
Sr: а) останется че-
рез 10 и 100 лет; б) распадется за одни сутки; за 15 лет?
12. Определить возраст древних деревянных предметов, у которых
удельная активность
С составляет 3/5 удельной активности этого же
14
изотопа в только что срубленных деревьях.
13. Определить число радиоактивных ядер в свежеприготовленном
препарате
82
Вг, если известно, что через сутки его активность стала
равной 0,20 кюри.
14. Вычислить удельную активность чистого 239Рu.
15. Какая доля первоначального количества ядер радиоактивного препарата со средним временем жизни τ останется по прошествии времени
10τ?
16. Определить активность препарата 83Sr через 60 часов после приготовления, если первоначальная активность составляла 0,05 мкКи.
17. Радиоактивный изотоп
90
Sr распадается по схеме
90
Sr →
Y →
90
90
Zr. Считая, что в начальный момент препарат содержал только ядра
90
Sr, определить, какая часть ядер
90
Sr превратится через месяц в ста-
бильные ядра 90Zr и насколько при этом изменится первоначальная активность препарата.
Семинар 7
Радиоактивность. Закономерности  - распадов. Законы сохранения. Кулоновский и центробежные барьеры.
Основные формулы и определения.
Самопроизвольное испускание  - частиц атомными ядрами называется  - радиоактивностью
Для того чтобы ядро
A
Z
A
Z
X ZA24X   .
X было  - радиоактивным, необходимо, что-
бы выполнялось следующее условие для масс ядер
M яд. ( ZAX )  M яд. ( ZA24X )  M ( ) ,
(7.1)
A
A 4
где M яд. ( Z X ) - масса исходного (материнского) ядра, M яд. ( Z  2 X ) - масса
ядра-продукта (дочернего ядра), М() - масса  - частицы.
При использовании масс атомов условие (7.1) запишется следующим
образом
M ат. ( ZAX )  M ат. ( ZA24X )  M ат. ( 24He ) .
(7.2)
Энергия  - распада Q (энергия, которая выделяется при переходе из
основного состояния начального ядра в основное состояние конечного
ядра) определяется соотношениями


Q  M яд. ( ZAX )  M яд. ( ZA24 X )  M ( ) c 2
(7.3)
с использованием масс ядер, или


Q  M ат. ( ZAX )  M ат. ( ZA24X )  M ат. ( 42 Не ) c 2
(7.4)
с использованием масс атомов.
Энергия, выделяющаяся в процессе  - распада, распределяется
между - частицей и дочерним ядром. Если начальное ядро покоится,
то для кинетических энергий продуктов распада справедливы соотношения
T  T f  Q  E i  E f , (7.5)
T 
(Q  E i  E f ) M ( ZA24 X )
M ( ZA24 X )  M ( )
,
(7.6)
где T u Tf - кинетические энергии  - частицы и конечного ядра, Ei и
Ef - энергии возбуждения начального и конечного ядер.
Характерной особенностью распадов тяжелых ядер является распад
по «цепочке». Образовавшиеся при синтезе элементов более 10 миллиардов лет тому назад тяжелые ядра распадаются, образуя снова нестабильные ядра. Распады продолжаются вплоть до образования стабиль-
ных элементов. В  - распадах число нуклонов А в ядрах изменяется на
4, поэтому существует всего 4 ряда (семейства) радиоактивных распадов тяжелых ядер с массовыми числами A  4n , A  4n  1 , A  4n  2 ,
A  4n  3.
А
Исходное ядро
Т1
Конечное ядро
2
1,4  1010 лет
208
Pb
2,1  106 лет , 1,6  105 лет
209
Bi
238
4,5  10 9 лет
206
Pb
235
7,0  108 лет
207
Pb
4n
232
4n+1
237
4n+2
4n+3
Th
Np ,
233
U
U
U
 -частица с зарядом Z1, вылетающая из ядра с орбитальным моментом l, преодолевает потенциальный барьер, определяемый соотношением (см. рис.)
V(r)
Vц
H
Hk
В
V
Q
Vk
Hц
0
r
-V0
V  V к  Vц ,
Где VK, VЦ - кулоновский и центробежный барьеры,
(7.7)
Z1Z 2 e 2
Vк ( r ) 
,
r
 2 l (l  1)
Vц ( r ) 
,
2 r 2
(7.8)
(7.9)
Z2 - заряд конечного ядра,  - приведенная масса вылетающей частицы.
На схеме Н — суммарная высота барьера, Нк и Нц — высоты кулоновского и центробежного барьеров соответственно, Q — энергия распада.
Для вероятности  - распада в единицу времени можно записать:
 = fD,
где  — вероятность образования (кластеризации)  -частицы в исходном ядре (для четно-четных ядер порядка единицы), f — частота появления частицы на границе ядра, D — вероятность прохождения частицы через барьер
D = e-2G,
где G — фактор Гамова. Для чисто кулоновского барьера
G=
2
Q
zZe2[arccos
2
Hk
 Q
Q
Q
(1 
) ];
Hk
Hk
Hk = zZe2 / B,
где В = [ a  (А11/3 + А21/3)], A1 u A2 — массовые числа конечного ядра и
вылетающей частицы, r0  1,36 Фм, а  0,5 Фм — параметр, характеризующий диффузность поверхности ядра, f можно оценить из следующего соотношения:
f=
V
2R
=
1
2R
2(Q  V0 )
,

где v — скорость частицы в ядре, R — радиус ядра, Vo — глубина
ядерного потенциала (Vo  35 МэВ).
В этих приближениях для случая Нк >> Q
Т1/2 =
c 2
2c 2
Q
2 
exp {
zZe
(

2
)}
2
Hk
2(Q  V0 )
(c) 2 Q
2 ln 2 R
c
Если - частица вылетает из ядра с ненулевым орбитальным моментом, то спин и четность начального ( J i , Pi ) и конечного ( J f , Pf ) состояний ядра связаны с орбитальным моментом 1, уносимым  - частицей,
соотношениями
Pi
 (1) l ,
Ji  J f  l  Ji  J f ,
Pf
(7.10)
Примеры решения задач.
1. Покоившееся ядро
213
Pо испустило - частицу с кинетической
энергией T  8,34МэВ . При этом дочернее ядро, оказалось в основном
состоянии. Найти полную энергию, освобождаемую в этом процессе.
Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего
ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра?
Дано: T м  0 , T  8,34МэВ , А  213 .
Найти: E ,
Tд
,
E
д
Решение:
1.
m 2 P 2
T

2
2m
Eα = Tα + Tд
Pд = Pα
P2
P2

Eα=
= Tα(1+ m )
2m 2mд
mд
Eα=8,34МэВ(1+
2.
4
)=8,5МэВ
209
Tд
E  T
 
;
E
E
Tд 8,5МэВ  8,34МэВ

 0,019
E
8,5МэВ
mαυα= mдυд ;
3.
υд=
υд =
m
m
  
mд
mд
2T

m
2m T
mд
2  4  1,66  10 27 кг  8,34  10 6 эВ  1,6  10 19 Дж / эВ
177,2  10 40 Дж  кг

209  1,66  10 27 кг
346  10 27 кг
=
1,33  10 20
м / с  3,847  10 5 м / с
=
 27
346  10
Tд
5
 0,019 ; υд  3,847  10 м / с .
E
Ответ: Eα=8,5МэВ;
2. Рассчитать кинетические энергии - частиц, образующихся при
распаде ядра
8
4
Be .
Дано: М ат 48 Be   8,0053 а. е. м..; M ат  24 Не   4,0026 а. е. м.
Найти: T  ?
Решение: Схема распада
8
4
8
4
Be :
Be 24 Не 
4
2
Не
Энергия, выделяющаяся при распаде:

Q  M ат

8
4

Be  2 M ат

4
2

Не с 2
Q  8,0053а.е. м.  2  4,0026а.е. м. 931,5
МэВ
 0,093МэВ
а.е. м.
Эта энергия поровну распределяется между двумя  - частицами.
Т 
Q
;
2
T 
0,093МэВ
 0,0466 МэВ
2
Ответ: T  0,0466 МэВ .
3. Рассчитать кинетические энергии α-частицы и дочернего ядра α распада 212Bi.
Решение.
212
Bi → 208Tl + 4Не; Eα + Eядра = ΔМс2 = [M(Bi) – M(Tl) - Mα]c2
= 6,2 МэВ.
Из закона сохранения импульса | pα | = | pядра | = p
и
Еα/Еядра = М(Т1)/Мα.
Здесь М(Bi) — масса материнского ядра, М(Tl) — масса дочернего ядра. Поскольку выделяемая в реакции энергия ΔМс2 гораздо меньше
энергий покоя всех частиц, участвующих в реакции, в расчете используется нерелятивистское приближение.
Еα = ΔМc2 A  4 = 6,08 МэВ; Еядра = Δ Мс2 4 = 0,117 МэВ.
A
A
4. Оценить высоту кулоновского барьера для α - частиц в ядре 238Рu.
Решение. 238Рu → 234U + 4Не; R(A) = r0∙A⅓, r0  1,3∙10-13см.
Высота барьера
E=
ZU Z e 2
=
R  RU 
27 МэВ.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Рассчитать кинетические энергии - частицы и конечного ядра, об212
разующихся при  - распаде
Bi .
2. Кинетическая энергия  - частиц, испускаемых
226
Ra (атомная мас-
са 226,02536 а.е.м.), равна 4,78 МэВ, а энергия отдачи конечного ядра
222
Rn - 0,09 МэВ. Чему равна атомная масса
3. В результате - распада
226
222
Rn ?
Ra превращается в радон
222
Rn . Какой
объем газа радона при нормальных условиях будет находится в равновесии
с
1
г
радия?
Период
полураспада
T 1 ( 222Rn )  3,82дня . Ответ: V  6,5  10 7 л .
2
T 1 ( 226Ra )  1600 лет ,
2
4. Определить энергию, выделяемую 1 мг препарата
210
Po за время
равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия Е  5,4 МэВ . Ответ: W  1.6  10 6 Дж .
5. Рассчитать количество тепла, выделившееся при распаде 1 кг плу239
тония
Ри
в
течение
месяца.
Период
полураспада
T 1 ( 239Ри)  24000 лет .
2
7.4.
6. Определить кинетическую энергию  - частицу в - распаде полония
210
Po .
7. Определить к какому семейству радиоактивных распадов относятся
следующие радиоактивные ядра
226
Ra ,
222
Rn ,
218
Po .
8. Оценить высоту кулоновского барьера для  - частиц в ядре
238
Pu .
Ответ: E  27МэВ .
9. Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте
кулоновского барьера для  - частиц, испускаемых ядрами
209
Po , с ор-
битальным моментом l = 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.
10. Рассчитать кинетические энергии α - частиц, образующихся при
распаде ядра 8Be.
11. Рассчитать кинетические энергии α - частицы и конечного ядра, образующихся при α - распаде 212Bi.
12. Оценить среднее время жизни следующих α - радиоактивных ядер:
1)
Rn (Тα = 6,2 МэВ); 2)
212
216
Rn (Тα = 8,0 МэВ); 3)
220
МэВ); 4) 226Th (Tα = 6,3 МэВ); 5) 228Th (Тα = 5,4 МэВ).
Ra (Tα = 7,46
 - распад.
Основные формулы и определения.
 - распадом называется самопроизвольное превращение ядер
A
Z
X в
ядро-изобар с изменением заряда Z  1 в результате испускания лептонов (электрон и антинейтрино, позитрон и нейтрино), либо поглощения электрона с испусканием нейтрино ( e - захват):
~
X  e  e ,

A
Z
X
A
Z
X  Z 1A X  e    e ,
A
Z
X  e   Z A1 X   e .
A
Z 1
(8.1)
(8.2)
(8.3)
Энергетические условия для  - распада и е - захвата для масс атомных ядер:
М яд. ( ZA X )  М яд. ( Z A1 X )  m e
М яд. ( ZA X )  М яд. ( Z A1 X )  m e
М яд. ( ZA X )  m e  М яд. ( Z A1 X )
Энергетические условия для
для  - - распада
для
+ - распада
для е- захвата.

- распада и
e
(8.4)
(8.5)
(8.6)
- захвата для масс ато-
мов
М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )
М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )  2m e
для  - - распада
для
М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )
+ - распада
для
е- захват.
(8.7)
(8.8)
(8.9)
Энергия, выделяющаяся в процессе -  - распада
Q  ( М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )) c 2
Q  ( М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )  2m e )c 2
для
для
-
распада
-
распада
(8.10)
(8.11)
Q  ( М ат. ( ZA X )  М ат. ( Z A1 X )) c 2
для е- захвата
(8.12)
 - переходы подразделяются на разрешенные и запрещенные, различающиеся вероятностями переходов. К разрешенным переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный момент, уносимый электроном и нейтрино, равен нулю. Разрешенные переходы в
свою очередь делятся на переходы типа Ферми, при которых спины
электрона и нейтрино антипараллельны, и типа Гамова-Теллера, при
которых спины электрона и нейтрино параллельны. Для разрешенных 
- переходов справедливы соотношения
J i  J f  0 , Pi  P f
J i  J f  l  J i  J f , Pi  P f
для переходов Ферми
(8.13)
для переходов Гамова-Теллера
(8.14)
i и f обозначают начальное и конечное ядро.
Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который
определяется орбитальным моментом 1, уносимым электроном и
нейтрино. Если l  1 , то это запрещенный переход первого порядка,
l  2 - второго порядка и т.д. При этом справедливы следующие соот-
ношения:
l  J  1 при Pi  ( 1)
J 1
Pf ,
l  J при Pi  ( 1) J Pf .
(8.15)
(8.16)
Если энергия возбуждения состояния, образующегося после  - распада ядра, больше энергии отделения частицы или фрагмента ядра,  распад может сопровождаться испусканием запаздывающих нейтронов,
протонов, трития, - частиц или запаздывающим делением.
Примеры решения задач.
1.
36
Определить
порядок
запрета
следующих

-
распадов:
Cl(2  ) 36 Ar(0  ) .
Решение: Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета,
который определяется суммарным орбитальным моментом l, уносимым электроном и нейтрино. Если l  1 , то это запрещенный переход
первого порядка, l  2 - второго порядка и так далее. Справедливы следующие соотношения:
l  J  1 при Pi  ( 1)
l  J при Pi  ( 1)
J
J 1
Pf ,
Pf .
В данном случае возможен один вариант: J  2 , l  2 , Pi  (1) 2 Pf . Это
 -переход второго порядка запрета.
2. Определить верхнюю границу  -спектра при распаде нейтрона.
Дано: M 01n c 2  939,57 МэВ ; М ат.  11 H с 2  938,79 МэВ ; найти E e max .
1
0
Решение: схема распада нейтрона

n11p  e~ e , закон сохранения
1
2
1
2
2
энергии: M 0 n c  M 1 p c  me c  Ee  E~  E яд , где Ee , E~ , E яд - киe
e
нетические энергии электрона, антинейтрина и ядра (в данном случае
протона). Масса покоя антинейтрино равна нулю. Пренебрегая кинетической энергией ядра  E яд  E e  E  , получаем:

E e max

e

 E e  E   М  01 n c 2  М 11 p c 2  m e c 2  M  01 n c 2  M 11 p   m e c 2 
e
 M  01 n c 2  M ат.  11 H c 2 ;
E e max
 939,57 МэВ  938,79МэВ  0,78 МэВ
Ответ:
E e max
 0,78 МэВ .
3. Рассчитать максимальную энергию электронов β-распада ядра 32Р.
Решение. 3215 P → 3216 S + e- + ~e .
Закон сохранения энергии для реакции распада
M(P)c2 = M(S)c2 + mc2 + Ee +
E~ +
Eя, где Ee,
E~ и
Eя - кинетические энер-
гии электрона, антинейтрино и ядра. Поскольку Ея<< Еe +
E~ ,
Ee +
E~
=
(Ee)max = [M(P) – M(S) – m ]c2, где М – массы ядер. Приводимые в таблицах массы нейтральных атомов Mат = М + Zm (энергией связи электронов в атоме в данной задаче можно пренебречь).
(Ее)max= Maт(Р)с2 - Maт(S)с2 = 1,71 МэВ.
4. Определить верхнюю границу β – спектра электронов β – распада
нейтрона.
Решение. (см. 2.21). n → p + e- + ~e ;
(Ee)max = (mn – mp – m)c2 = 0,78 МэВ.
5. Найти кинетическую энергию протона, возникающего при β - распаде нейтрона.
Решение (см. 2.22). Из закона сохранения импульса |pe|max = |pp| = p.
Кинетическая энергия протона
Ep =
p2
2m p
<< Ee =
p2  m2
- m.
Здесь массы выражены в МэВ, импульсы частиц - МэВ/с. Поскольку
Еe+ т = mn - mp = 1,293 МэВ, р = Ee  m2  m 2 = 1,19 МэВ/с и Ep = 1,5
кэB.
6. Построить спектр антинейтрино, излученных в β-распаде. Форму
β -спектра считать известной.
1
Решение. Поскольку сумма кинетических энергий электрона и антинейтрино, излученных в одном акте β - распада, есть величина постоянная
(Еmax), то спектр антинейтрино
W~ (Е)
1
= We(Emax - E),
где We - спектр электронов, не искаженный взаимодействием, с кулоновским полем ядра.
7. Определить верхнюю границу β - спектра распада μ - мезона.
Решение.
μ+ → е+ + νе + ~ ; μ- → e- + ~e + νμ.
В системе центра инерции суммарный импульс частиц равен нулю:
pe +
p e
+
p  =
0.
Энергия позитрона (электрона) максимальна в случае, когда pe = p +

1
p  = E e  E 
c
Отсюда
e
.
E  mc 
2 2
 m 2 c 4  E e  E  =
(mμ - m)c2 – E.
Здесь Е—кинетическая энергия позитрона (электрона) Е =
m
 m c 2
2

2m 
.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Построить спектр антинейтрино, излученных в  - распаде. Форму
 - спектра считать известной.
2. Рассчитать верхнюю границу спектра электронов при распаде ядра
трития.
3. Используя значения масс атомов, определить верхнюю границу
спектра электронов, испускаемых при  - распаде ядра
32
P . (1,71МэВ).
4. Используя значения масс атомов, определить верхнюю границу
спектра позитронов, испускаемых при 
+
- распаде ядра
27
Si .
(3,789МэВ).
5. Даны избытки масс атомов - ( 114Cd )  90,021МэВ ,
( 114In )  88,379 МэВ , ( 114Sn)  90,558МэВ . Определить возможные
виды  - распада ядра
6.
137
Определить
Cs( 7

2
)137Ba ( 3
114
In .
порядок

2
),
89
Sr( 5
запрета

2
)89 Y ( 1
следующих

2

-
распадов:
).
7
7. Определить энергию отдачи ядра Li , образующегося при е - захвате в ядре
7
Be . Даны энергии связи ядер - E св . ( 7 Be )  37,6 МэВ ,
E св . ( 7 Li )  39,3МэВ . (60эВ).
8. Показать, что  - распад нейтрона соответствует комбинации переходов типа Ферми и Гамова-Теллера.
9. Определить кинетическую энергию конечного ядра при -- - распаде ядра
64
Си , когда энергия антинейтрино T ~  0 , энергия электрона

Tе  0 . (7,8эВ, 2,8эВ).
10.
17
Ne распадается на возбужденное состояние ядра
17
F , находяще-
еся выше энергии связи протона. Определить максимальную энергию
позитронов распада 17 Ne , если известно, что после  - распада
пускает протон с энергией 10,597МэВ, а ядро
ном состоянии.
Семинар 8
16
17
F ис-
O образуется в основ-
Радиоактивность:  - распад.
Изменения состояний атомных ядер, сопровождающиеся испусканием или поглощением квантов электромагнитного поля, называются
 - переходами.
E
Законы сохранения энергии, момента количества движения, четности
при  - переходах в атомных ядрах требуют выполнения следующих соотношений
Е i  E f  E  T ,

 
J f  Ji  J ,
 

 
Ji  J f  J  Ji  J f
Pf  Pi  P ,
P  Pi  Pf
где Ei , Ef , Ji , Jf , Pi , Pf, - энергия, спин и четность начального и конечного состояний ядер, E J , P - энергия, спин, четность фотона ( кванта), T - кинетическая энергия ядра отдачи
E2
T  ER 
,
2Mc 2
где E  Ei  E f - энергия  - перехода, M - масса ядра отдачи.

Полный момент количества движения фотона J называется его
мультипольностью. Полный момент J может принимать только целочисленные значения (кроме нуля). Спин фотона равен
  
s  1  ( J  ) min
Полный момент количества движения фотона принимает значения:
 
 
 
J  1(дипольный ); J  2(квадрупольный); J  3(октупольный)
Полный момент количества движения фотона с учетом орбитального
момента



J   S   L , и при фиксирован ном J
L  J  1; P    (1) L  (1)( 1) L  (1) L 1
Для фотонов с одним значением J, получаем разные четности:
L  J , P  (1) J 1  магнитные фотоны ( MJ );
L  J  1, P  (1) J  электрические фотоны( ЕJ ).
Таким образом, правила отбора по четности будет
Pi Pf  (-1) J  для ( ЕJ ) фотонов
Pi Pf  (-1) J 1  для ( МJ ) фотонов
и различают переходы электрические (EJ) u магнитные (MJ).
Период полураспада Т 1 2  - nepеxoдoв зависит от мулътиполъности
перехода J и длины волны излучения . Для электрических переходов
(EJ)
1
T1
~ 1 (R ) 2J ,
2


для магнитных переходов (MJ)
1
T1
~ 1 ( R ) 2( J 1) ,
2


где R - радиус ядра.
Тепловое движение ядра оказывает влияние на энергию испускаемых
 - квантов ΔЕ вследствие эффекта Доплера. Изменение энергии гамма кванта при этом равно
E  
v
E  cos  ,
c
где v - скорость теплового движения ядра, Θ - угол между векторами
импульсов  - кванта и исходного ядра.
Эффект Мессбауэра
Таким образом, переходы между уровнями энергии в ядре приводят
к излучению  - квантов электромагнитного излучения. Естественно
было бы ожидать и явление резонансного поглощения
для гамма-
квантов, однако долгое время наблюдать это явление не удавалось.
Причина состояла в следующем: как при излучении, так и при поглощении происходит явление отдачи, когда определенная часть энергии ЕR передается ядру, в результате испущенный квант оказывается
меньше энергии перехода. Такой квант уже не сможет быть поглощен
поглотителем, если линии испускания и поглощения не перекрываются
(или перекрываются слабо). Для оптической области смещение линий
излучения и поглощения оказывается незначительным по отношению к
ширине линий, и резонансное поглощение наблюдается. Для -квантов
перекрывание линий практически отсутствует и резонансное поглощение для свободных атомов, как говорилось выше, не наблюдалось.
Характеристики возбужденного состояния определяются с точностью,
например, для
191
Ir :
E 129Kээ
Ir 
191
*
Ir , E  t  ;   E 
191

6.6  1016 эВ  с


 6.6  10 6 эВ
10
T1
10 с
2
Для этого перехода : T1  1010 c,
2
Таким образом, испускаемые - кванты немонохроматичны с естественной шириной Г=∆Е=10-6 эВ.
Излучатель (атом, ядро), в силу закона сохранения импульса, всегда
испытывает отдачу при испускании кванта, поэтому, если излучатель
свободен, то он приобретает кинетическую энергию ЕR, а вылетающий квант ровно на такую же величину теряет энергию.
Энергия отдачи и доплеровское уширение линии для ядра 191Ir можно
оценить следующим образом:
Е2
(130  10 3 ) 2
Eотд 

 0,05 эВ
2
6
2Mс
2  191  931  10
Е D  2 Eотд  кТ  2 0.05  0.025  0.07 эВ
В результате отдачи при испускании  - кванта, линия излучения
оказывается смещенной по отношению к линии поглощения на 2ЕR
(см. рис.1 ).
Если бы линии излучения и поглощения были беско-
нечно узкими, то при любом их смещении резонансное поглощение не
наблюдалось бы. Учет естественной ширины спектральной линии
(Г=10-6эВ) изменяет ситуацию.
Рис. 1 Смещение линий испускания и поглощения относительно
энергии перехода Е0.
В реальных условиях обычно ширина линий значительно превышает
естественную ширину. Это связано с одной стороны с различного рода
возмущениями поля излучателя, а с другой – с тепловым движением
свободных излучателей, что приводит к доплеровскому сдвигу линии
ΔE D  0.07 эВ .
На рис.3 изображены линии поглощения и излучения -квантов для
свободно движущихся атомов с учетом энергии отдачи и доплеровского
уширения линии.
Е
Рис.3 Спектр излучения и спектр поглощения свободных атомов: Е энергия гамма-перехода, ЕR - энергия отдачи ядра при испускании
(поглощении) гамма-кванта, ЕD - доплеровское уширение линии.
Из рисунка видно, что лишь небольшая часть крыла гамма-линии
испускания перекрывается с крылом линии поглощения, и вероятность
резонансного поглощения очень мала. С увеличением энергии гаммаквантов и такое перекрывание практически исчезает (увеличивается
сдвиг ЕR).
Экспериментально резонансное поглощение гамма-квантов удавалось наблюдать, когда источник по отношению к поглотителю двигали
с такой скоростью, чтобы за счет эффекта Доплера скомпенсировать
сдвиг линии, возникающий за счет отдачи.
Ситуация существенно изменяется, когда ядро находится внутри
кристалла. В кристалле, благодаря связи атомов между собой, энергия
отдачи превращается в энергию колебательного движения кристаллической решетки. Как известно, колебания кристаллической решетки
квантуются. Квант колебаний с энергией ħ и волновым вектором k
называется фононом. Поэтому испускание гамма-кванта в твердом теле
сопровождается испусканием или даже поглощением фононов различных энергий. Эти процессы носят вероятностный характер.
Если энергия отдачи ЕR меньше средней энергии фононов, характерной для данной кристаллической решетки, то возможными становятся процессы, в которых испускание гамма-кванта происходит без
испускания или поглощения фонона. В таких процессах импульс отдачи воспринимается всем кристаллом, как целым. Кинетическая энергия,
которую приобретает кристалл, воспринимая импульс отдачи, пренебрежимо мала, поскольку масса кристалла бесконечно велика по сравнению с массой отдельного атома. Поэтому энергия гамма-квантов, отвечающих процессам излучения без испускания фононов, точно равна
энергии гамма-перехода.
Именно этот эффект был обнаружен немецким физиком Рудольфом
Мессбауэром в 1957 г и впоследствии получил название эффекта Мессбауэра. При охлаждении излучателя и поглотителя импульс отдачи
воспринимается всем кристаллом, а не отдельным атомом. Поэтому:
E отд (90 К ) 
Е2

2 Мс 2  N aт
E отд (300 К )
 
10 8
Е D  2 E отд kT90 K  , поэтому Eисп  Eпогл
и должно наблюдаться поглощение с острым
резонансом с полушириной ~ .
В эксперименте для входа и выхода из резонанса источник движется
относительно поглотителя со скоростью:

Vист

с

E  
E   ; Vист

 (для
c
Т1
Т1Е
2
57
*
26 Fe , E
2
 14 КэВ, Т 1  107 с)  0.01см
2
с
Применение эффекта Мессбауэра:
1.
Сверхтонкое расщепление ядерных уровней.
2.
Определение размеров ядер в возбужденном состоянии.
Эффект Мессбауэра уникален, так как позволяет измерять очень малые изменения энергии. Мерой точности этого метода служит величина Г/Е, которая может быть доведена до 10-15 – 10-17. Этого достаточно для измерения «красного смещения», предсказываемого общей
теорией относительности. Оценим изменение Е за счет сил тяготения:
m 
E
, E  mgH ,  
E
gH , H  1м
c2
c 2
E
gH 9.81  1
 2 
 10 16 такая точность
16
E
c
9  10
возможна с увеличением Н до 100 м и подбором
и материала свысокой температурой дебая
Внутренняя конверсия - процесс перехода ядра из состояния с
большей энергией Ei, в состояние с меньшей энергией Ef путем передачи избытка энергии непосредственно одному из электронов атомной
оболочки. Электрон становится свободным, если сообщенная ему энергия Ei - Ef превышает его энергию связи Ee. Процесс внутренней конверсии осуществляется без участия реального фотона. Энергия передается электрону ядром главным образом за счет кулоновского взаимодействия.
Примеры решения задач.
1. Определить тип и мультипольность - излучения из первого возбуждённого состояния ядра
137
Ва .
Решение: Радиоактивный изотоп
137
Cs с периодом полураспада 30 лет
превращается путём  - распада в ядро
137
Ва , причем 92%  - перехо-
дов происходит на первый возбуждённый уровень ядра-продукта со
P

спином и четностью J  (11 2 ) .
Спин и четность основного состояния ядра
137
Ва равны J P  ( 3 2 )  . Ми-
нимальная мультипольность излучаемого с первого возбуждённого


11 3
уровня  - кванта равна 4, четность (-1): J   ;
2 2

J  4,5,6,7 ;
P  ( 1)( 1)  ( 1) . Получаем, что с первого возбуждённого уровня
137
Ва могут излучаться следующие  - кванты: М4, Е5, М6, Е7. Вероят-
ности излучения первых двух квантов, больше вероятности излучения
остальных (формулы 9.7 и 9.8). Поскольку мультипольности обоих
квантов велики, вероятности их излучения малы по сравнению с вероятностями излучений квантов меньшей мультипольности; времена
жизни ядер в таких возбуждённых состояниях относительно велики.
Такие состояния называют метастабильными, а переходы с этих состояний – изомерными.
2. Для ядра
60
Ni во втором возбуждённом состоянии, возникающем в
результате  - распада
60
Co , определить наиболее вероятный путь  -
переходов в основное состояние. Указать мультипольность и тип излучаемых  - квантов.
Решение: Рассмотрим законы сохранения момента импульса для двух
возможных каналов  - переходов из второго возбуждённого состояния
60
ядра
Ni , Jp = 4+:


4 2 :



4  2  J ; J  2,3,4,5,6 .


4   0  : 4  0 J ; J  4 .
Для первого из переходов возможная мультипольность излучения
меньше, чем для второго. Наиболее вероятным будет излучение  кванта с мультипольностью 2. Поскольку четности начального и конечного состояния ядра
60
Ni одинаковы, четность излучения положи-
тельна. Следовательно, из состояния 4+ будет излучаться Е2  - квант.
Ядро
60
Ni перейдёт в первое возбуждённое состояние со спином 2+.
Переход в основное состояние также будет осуществляться путем излучения Е2  - кванта:


2   0  : 2  0 J ; J  2 .
Энергии этих двух квантов равны 1,17 и 1,33МэВ.
3. Определить энергию возбуждения ядра с массой М, которую оно получает при захвате γ - кванта с энергией ħω.
Решение.
M    M  E я  E  ,

 
p
;

 c
где Ея – кинетическая энергия ядра, Е* - энергия возбуждения.
Ея =
 
p2

2M 2Mc 2
; E* =
 

  1 
.
2 
 2 Mc 
4. Найти ширины возбужденных состояний ядра 57Fe (рис. 6 стр. 40),
если средние времена жизни возбужденных состояний составляют τ
(5/2) = 0,89·10-8 с, τ (3/2) = 10-7 с. Доказать невозможность резонансного
поглощения γ – квантов, излученных при распаде этих состояний, покоящимися ядрами 57Fe в основном и первом возбужденном состояниях.
Решение. Ширины уровней
Г5/2 =

 5 2 
= 0,74·10-7эВ. Г3/2 =

 3 2 
= 0,66·10-8 эВ.
при высвечивании γ - кванта ядром массы М кинетическая энергия отдачи равна
2
Ея =  2 и Еγ = ħω = Е* - Ея.
2Mc
При переходе (5/2)- → (3/2)- энергия γ - кванта меньше энергии возбуждения на величину
Ея = 0,14 эВ >> Г5/2. При переходе (3/2)- → (1/2)- на величину Eя  2·10-3
эВ > Г3/2.
В обоих случаях энергия отдачи ядра значительно больше ширины соответствующего уровня и резонансное поглощение невозможно.
5. При α - распаде изотопа с первого возбужденного метастабильного
состояния наблюдаются два конкурирующих процесса: 1) α - распад с
испусканием длиннопробежных α - частиц; 2) переход ядра в основное
состояние путем высвечивания γ - кванта с последующим α - распадом
в основное состояние ядра А — 4. Найти постоянную распада возбужденного состояния ядра А по отношению к вылету длиннопробежных α
- частиц (вероятность распада в секунду). Среднее время жизни уровня
равно τ0, на каждые N1 короткопробежных частиц излучается kN2 длиннопробежных.
Решение.
N2


N 2  N 1 0
6. Свободное ядро
; λ0 = (τ0)-1;
119
λ = [τ0(1+k)]-1.
Sn с энергией возбуждения E=23,8 кэв переходит в
основное состояние, испуская  -квант. Ширина данного уровня
Г=2,4·10-8эв. Возможно ли резонансное поглощение такого  -кванта
другим свободным электроном
119
Sn , находящимся в основном состоя-
нии, если первоначально оба ядра покоились?
 
 TЯ.О
TЯ.О
W2
(23,8  10 3 )
566  10 6
5,66  10 2




 2,55  10 3
2
6
6
5
2M Я c
2  119  931,5  10
221697  10
2,22  10
Г  2,4  10 8 эВ
 
 Г поэтому данный процесс невозможен
Nнукл
Г
E
7. Определить число  - квантов на один  -распад ядер 38Cl (рис. ), если
относительное число  -распадов с данным парциспектром  -частиц ровно: 31%( 1 ),
альным
1
16%(  2 ) и 53%(  3 ).
2
3
38
1
Cl
2
38
Рис.
Ar
1  0.31   квантов , 1  0.16   квантов , 1  0.53   квантов
X  0,31  2  0,16 1  0,53  0  0,62  0,16  0  0,78
8. При  -распаде ядер 56Mn из основного состаяние испускаются три
парциальных спектра  -частиц, максимальные кинетические энергии
которых 0,72 ; 1,05 и 2,86 Мэв.
Сопроваждающие распад  - кванты имеют энергии 0,84 ; 1,81 ; 2,14 ;
2,65 и 2,98 Мэв.
Рассчитать и построить схему уровней дочернего ядра.
56
1
2
E(Мэв)
3
1,05
0,72
Mn
2,98
3
2,65
2
0,84
1
0
0
2,86
2,98
3
2,65
2
0,84
5
4
1
56
Fe
9. С какой скоростью должны сближатся источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер 191Ir, чтобы можно было наблюдать максимальное поглощение  - квантов с энергией 129 кэв?
При испускании  - квант теряет  на сообщение ЕЯО. Резонансное
поглощение его возможно, если поглощающее ядро будет двигатся ему
на встречу с некоторой скоростью V, чтобы компенсировать недостаток
 для возбуждения ядра до прежнего состояния.
 = ЕЯО =
2T
V

M
E 2
2M Я с 2
;
W≈  =129 кэв
W2
W
129  103  1,6  1012  102



M 2c 2 Mc 191  1,66  10 24  1012  3  102 см / c
206,4  105

 0,22  105 см / c  0,22км / c
951,2
10. На рис. 1 приведена зависимость поглощения  -линии Мессбауера с
энергией 129 кэв от относительной скорости источника и поглотителя
(191Ir). Имея в виду, что испускание  -линии связано с переходом возбужденных ядер непосредственно в основное состояние, найти ширину
и время жизни соответствующего возбужденного уровня.
-4
-2
1 0  22
4
6
8
0,2
0,4
Г≈2,5
0,6
0,8
1
1  0,05
 0,48
2
  2

c
 1  10  5 эB ,

E  1  105 эB ,
E


t

10 27

 0,6  10 10 (сек)
t 
5
12
1  10  1,6  10
E
Задачи для самостоятельного решения.
1. Определить типы и мультипольности  - переходов: 1) 1- → 0+, 2) 1+
→ 0+, 3) 2- → 0+, 4) 2+ → 3-, 5) 2+ → 3+, 6) 2+ → 2+.
2. Рассчитать доплеровское уширение спектральной линии с энергией
1 МэВ при комнатной температуре ( Т  300К ).
3. Определить тип (электрический, магнитный) и мультипольность квантов, возникающих при переходах ядра
ного состояния 1 2


С из первого возбуждён-
( Е  3,09 МэВ ) в основное состояние.
4. Низшее возбуждённое состояние ядра
1
13
17
О имеет спин и чётность
2 . Указать конфигурацию этого состояния. Найти мультипольность и
четность - кванта, излучаемого при переходе из этого состояния в ос17
новное состояние ядра О .
5. Определить энергию возбуждения ядра с массой M, которую оно
получает при захвате  - кванта с энергией  .
6. По схеме низших возбужденных состояний ядра
208
Pb определить
наиболее вероятный путь распада возбужденного состояния 4

с энер-
гией 3,475 МэВ. Указать мультипольности переходов.
7. Найти ширины возбуждённых состояний ядра
57
Fe , если средние
времена жизни возбуждённых состояний составляют  ( 5 2 )  0,89  10 8 с ,
 ( 3 2 )  10 7 с . Доказать невозможность резонансного поглощения
8. Свободное ядро
191
Ir с энергией возбуждения Е = 129 КэВ перешло
в основное состояние, испустив  - квант. Найти относительное изменение энергии данного  - кванта, возникающее вследствие отдачи ядра.
9. Свободное ядро
119
Sn с энергией возбуждения Е = 23,8 КэВ перехо-
дит в основное состояние, испуская  - квант. Ширина данного уровня
Г  2,4  10 8 эВ . Возможно ли резонансное поглощение такого  - кванта
другим свободным ядром
119
Sn , находящимся в основном состоянии,
если первоначально оба ядра покоились?
10. Для  - переходов ядра
60
Ni с энергиями около 1 МэВ оценить от-
ношение радиуса ядра к приведённой длине волны.
11. Рассчитать энергию ядра отдачи 57Со при испускании фотона с энергией 14,4
кэВ.
12. Рассчитать доплеровское уширение спектральной линии с энергией 1
МэВ при комнатной температуре (Т = 300 К).
13. Источник и поглотитель состоят из ядер одного и того же изотопа. Источник  - квантов расположен на 20 м ниже поглотителя, состоящего из таких же ядер. С какой скоростью и в каком направлении необходимо перемещать источник, чтобы в месте расположения поглотителя полностью скомпенсировать гравитационное "красное" смещение энергии  - квантов?
14. Вычислить гравитационное смещение длины волны излучения /, испускаемого поверхностью Солнца.
ОСНОВНЫЕ КОНСТАНТЫ И ЕДЕНИЦЫ.
1. Классический радиус электрона
2.
3.
4.
5.
6.
re  e 2 me c 2  2,8 1013 см .
Комптоновская длинна волны электрона
eкомпт   / me c  3,85 1011 см .
Комптоновская длинна волны  - мезона
компт   / m c  1,4 1013 см
Комптоновская длинна волны нуклона
13
компт


/
m
c

0
,
2

10
см .
N
N
Ядерное время
 яд  a / c  1,4 1013 / 3 1010  0,5 10 23 сек .
где a - радиус действия ядерных сил; с – скорость света.
Постоянная Планка
  1,054 10 27 эрг  сек  6,6 1016 эв  сек.
7. Скорость света в вакууме
с  3 1010 см / сек .
8. Радиус атома
Rат  10 8 см .
9. Радиус ядра
2  8  1013 см .
10. Магнетон Бора
e 
MB 
  9,27  10  21 эрг / гс .
me c 2
11. Ядерный магнетон Бора
B 
12. Масса нейтрона
13. Масса протона
e  MB
 
 5,05 10 24 эрг / гс .
m p c 2 1836
mn  1838,6 me  1,008665 а.е.м =939,55 Мэв.
m p  1836,1 me  1,007276 а.е.м =938,26 Мэв.
14. Масса электрона
me  9,110 28 г  0,511 Мэв.
15. Заряд электрона
e  4,8 1010 СГС  1.602 1019 Кл
16. Магнитный момент протона
p  2,79B .
17. Магнитный момент нейтрона
 n  1,91 B .
18. Магнитный момент электрона
 e  1M B .
19. Средняя энергия теплового нейтрона
Tтепл  kT 0 .
(при комнатной температуре kT 0  1 / 40 эв).
20. Постоянная Больцмана
k  1,38  10 16 эрг / град .
21. Магические числа
2, 8, 20, (28), 50, 82, 126.
22. Число Авогадро
N A  6,025  10 23 (г  моль) 1 .
23. Атомная единица массы. За 1 а.е.м. принимается часть массы
нейтрального атома углерода. Эту величину можно выразить в
граммах (NA - число Авогадро):
1 а.е.м =
1
M ат (126 С)  1 / N A  1,66  10 24 г  1,5  10 3 эрг  931Мэв .
12
24. 1 эВ  1,6  10 12 эрг ; 1 Мэв  106 эв  1,6  10 6 эрг ;
1 ГэВ  103 Мэв  109 эв  1,6  10 3 эрг .
25. 1 кюри= 3,700  1010 расп / сек .
26. 1 ферми=10 13 см.
Список литературы по курсу «Физика ядра и частиц»
1.
Основная.
Капитонов И.М. Введение в физику ядра и частиц. М.
Едиториал УРСС, 2002.
2
Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. Том 1; 2.
М – Энергоатомиздат, 1993.
3.
Валантен Л. Субатомная физика: ядра и частицы. Том 1,2. М.
– Мир. 1986.
4.
http://nuclphys.sinp.msu.ru
Задачи для семинарских занятий
1. Субатомная физика. Вопросы. Задачи. Факты. Издательство
Московского университета. 1994.
2. Антонова И.А. , Гончарова Н.Г., Живописцев Ф.А. Задачи по
ядерной физике. МГУ - 1979.
3 Иродов И.Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. Атомиздат, М – 1976, 1988, 2001 г.
4. http://nuclphys.sinp.msu.ru