ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Брянский Государственный Технический Университет Кафедра: «ИиПО» Контрольная работа №1 по вычислительной математике Задание 2 Решение транспортной задачи линейного программирования Выполнила студентка гр. 05-САПР Горохов А.Н. Зачётная книжка № 051720 Преподаватель: Порошин Б.В. Брянск 2007 Решить транспортную задачу линейного программирования. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у конечного числа поставщиков в известном количестве у каждого, необходимо доставить потребителям, число и потребности которых известны. Число поставщиков и потребителей, запасы и потребности, стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю даны в таблице Поставщики А1 А2 А3 А4 Потребности В1 5 1 2 10 50 Потребители В2 В3 6 2 9 3 8 9 3 5 150 200 В4 2 7 3 1 150 Запасы В5 8 3 4 9 350 150 175 275 300 900 Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывезти грузы и полностью удовлетворить потребности потребителей. При этом его стоимость должна быть минимальной. Решение Составим математическую модель задачи. По таблице задачи определим, что имеется 4 поставщика и 5 потребителей. Обозначим поставщиков через Аi , а запас количества продукта сосредоточенный у каждого аi (i=1,2,3,4) единиц соответственно. Потребителей обозначим через Вj , а потребности каждого bj (j=1,2,…,5) единиц. Стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му по1 требителю обозначим через Сij . Обозначим через xij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к jму потребителю. Так как от i-го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке xij единиц груза, то стоимость перевозки составит Cijxij . Стоимость всего плана выразится двойной суммой m n Z Cij xij . i 1 j 1 Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: все грузы должны быть вывезены и потребности должны быть удовлетворены. 5 x a ij i j 1 4 x b j i 1 ij (i 1,2,..., 4) ( j 1,2,..., 5) Решение полученной математической модели будем искать методами математики. Составляем с помощью метода двойного предпочтения план задачи. В каждом столбце отмечаем знаком V клетку с наименьшей стоимостью (в первом столбце это стоимость, помещённая в клетку А2В1). Затем то же проделываем в каждой строке (для первой строки эта стоимость помещена в клетку А1В3). В результате клетки А2В1 и А4В4 имеют отметку VV. В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещаются максимально возможные объёмы перевозок (в клетку А2В1 поместим 50 единиц груза, а в клетку А4В4 поместим 150 единиц груза). Таким образом, исключаем из рассмотрения первый и четвёртый столбцы, поскольку потребности по этим столбцам удовле2 творены. Затем распределяем перевозки по клеткам, помеченным знаком V (в А2В5 помещаем 75 единиц груза). Выполняем подобные действия до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. В результате в таблице 1 получен план. Для определения оптимальности плана, если план невырожденный, необходимо построить систему потенциалов, используя которую можно сделать вывод об оптимальности плана. Таблица 1 Поставщики А1 А2 А3 А4 Потребности В1 5 VV 50 V - 1 2 10 50 Потребители В2 В3 В4 6 V 2 V 150 9 3 50 8 9 V 3 5 VV 150 150 150 200 150 Запасы В5 2 8 7 V 3 75 3 4 275 1 9 350 150 175 275 300 900 В таблице 1 опорный план вырожденный , поэтому необходимо дополнить количество занятых клеток до m+n-1 , вводя нулевые перевозки. Введём нулевую перевозку в клетку А3В4 и получим новый опорный план (таблица 2). 3 Таблица 2 Поставщики А1 А2 А3 А4 В1 5 1 50 2 10 - Потребности 50 Потребители В2 В3 В4 6 2 150 9 3 50 8 9 0 3 5 150 150 150 200 150 Запасы В5 2 8 - 7 3 75 3 4 275 1 9 350 150 175 275 300 900 Для определения m+n=4+5=9 потенциалов имеется m+n-1 условий, то есть однозначно потенциалы определить нельзя, поэтому один из потенциалов приравниваем к нулю (U1 =0). В строке А1 одна занятая клетки А1В3, которая связывает потенциал U1 с потенциалами V3. Определим этот потенциал: V3=C13 – U1 = 2 – 0 =2. С помощью потенциала U1 определить ещё какой-нибудь потенциал невозможно. Теперь рассматриваем столбец В3, для которых потенциалы уже определены. В столбце В3 имеется две занятые клетки, которые связывают потенциал V3 с потенциалами U1 и U2 , потенциал U1 уже определён. Переходим к клетке А2В3 и с помощью С23 определим неизвестный потенциал: U2= C23 – V3 = 3 – 2= 1. Подобным образом находим все потенциалы и получаем таблицу 3. 4 Таблица 3 Матрица планирования Vj Постав- Ui щики А1 U1 =0 А2 U2 =1 А3 U3 =2 А4 U4 =0 Потребители V1 =0 V2 =3 V3 =2 V4 =1 V5 =2 В1 В2 В3 В4 В5 5 - 6 - 1 50 Потребности 150 9 2 - 50 7 9 75 0 5 200 3 3 - 8 - - 3 150 150 3 8 10 2 50 - - 2 4 275 1 150 150 Запасы 9 350 150 175 275 300 900 Проверяем правильность построения системы. Проверим выполнение условия оптимальности для незанятых клеток: U1 +V1 =0 5, U3 +V1 =2 2, U1 +V2 =3 6, U3 +V2 =5 8, U1 +V4 =1 2, U3 +V3 =4 9, U1 +V5 =2 8, U4 +V1 =0 10, U2 +V2=4 9, U4 +V3=2 5, U2 +V4 =2 7, U4 +V5=2 9. Получили, что для всех незанятых клеток условие оптимальности выполняется, то есть получен оптимальный план. Подсчитаем минимальную стоимость перевозки груза в соответствии с этим планом, составленную как сумма произведений объёмов перевозок, стоящих в левом углу занятых клеток, на соответствующие стоимости в этих же клетках: Z min 1 50 3 150 2 150 3 50 0 3 1 150 3 75 4 275 2425åä. ñòîèìîñòè 5