Оценка напряженно деформированного состояния вязкоупругой крупногабаритной оболочечной конструкции, нагруженной

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 4(23)
УДК 539.319:620.22
Оценка напряженно деформированного
состояния вязкоупругой крупногабаритной
оболочечной конструкции, нагруженной
внутренним давлением
Н. Н. Кашин, В. М. Пестренин, И. В. Пестренина
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
Ipestrenina@gmail.com; (342)2 396 375
Рассматривается вязкоупругая крупногабаритная оболочечная конструкция под внутренним
давлением. Материал конструкции – ортогонально армированный углепластик. Изучается
влияние вязко-упругих свойств материла конструкции на ее поведение во времени,
определяются зоны концентрации напряжений.
Ключевые слова: вязкоупругость; концентрация напряжений; крупногабаритные
оболочечные конструкции.

Материал конструкции – ортогонально
армированный углепластик с объемным
содержанием волокна 0,6. В качестве
связующего служит эпоксидная смола ЭДТ–
10. Приведенные вязко упругие свойства
углепластика рассчитываются в два этапа:
эффективные свойства однонаправленого
армированного материала рассчитывались в
пространстве изображений по Лапласу –
Карсону методом условных моментных
функций; расчет приведенных свойств
слоистого пакета проводился осреднением по
толщине. Переход к начальным функциям
осуществлялся
методом
нелинейной
аппроксимации [3]. В частности, для
ортогонально армированного в плоскости
x 2 x3 под углами   / 4 относительно оси
В настоящее время имеются проекты
создания крупногабаритных конструкций из
армированных пластиков для освоения
Космического пространства [1]. Материалом
такой конструкции может служить композит,
состоящий из углеродной ткани и эпоксидной
матрицы [2]. Такой материал проявляет
вязкоупругие свойства, поэтому актуальным
является исследование поведения таких
конструкций во времени под действием
различных нагрузок. В настоящей работе
проводится
оценка
напряженнодеформированного состояния вязкоупругой
крупногабаритной оболочечной конструкции,
нагруженной внутренним давлением.
Постановка задачи. Рассматривается
оболочечная конструкция под действием
внутреннего давления в одну атмосферу.
Оболочка состоит из основной цилиндрической части и двух полусфер, геометрические размеры конструкции показаны
на рис.1.
x 2 углепластика
функции
представляются в виде
5
Rij (t )  Cij0   Cij( k ) e 
поддержке
( k )t
,
(1)
k 1
[C
© Кашин Н. Н., Пестренин В. М., Пестренина И. В.,
2013
Работа выполнена при
РФФИ №12-08-00970-а.
релаксации
(k )
ij
]  МПа, [
(k )
1
]c .
Параметры, входящие в формулу (1),
представлены в таблице. Задача о нагружении
оболочки рассматривается в двух вариантах.
гранта
29
Н. Н. Кашин, В. М. Пестренин, И. В. Пестренина
В первом варианте углеродные волокна
параллельны образующим оболочки и ее
меридианам. Во втором варианте углы
составляют (+45о, –45о) с образующими
оболочки.
Рассматриваемый
материал
является термореологически простым и имеет
ядра ползучести ограниченного типа. Это
позволяет провести оценку вязкоупругого
поведения конструкции путем решения
упругих
задач
с
динамическими
и
равновесными модулями.
Y
X
Z
б
а
Рис. 1. Внешний вид конструкции а) и схема б). Толщина оболочки 0,01 м
Параметры матрицы функций релаксации
k
 (k )
C11( k )
C12( k )  C13( k )
(k )
(k )
C 22
 C 33
(k )
C 23
(k )
C 44
1
2
3
4
5
–
0.2072 10-1
0.4570 10-1
0.8747 10-1
0.5193 10-1
0.6165 10-1
4773
74.24
57.97
162.2
397.2
527.0
2505
-30.81
-24.02
-67.02
-162.6
-208.8
39720
345.0
240.5
721.3
1801
1621
35279
-311.1
-243.5
-648.2
-1614
-1372
34980
36.14
28.04
76.87
183.9
200.3
C 55( k )  C 66( k )
1509
105.1
82.69
227.7
573.6
719.5
 , Па
 , Па
Z,.м
б
а
 , Па
г
в
30
Оценка напряженно деформированного состояния вязкоупругой…
Рис. 2. Графики зависимости от координаты Z окружных а), в) на сферической части; б), г) –
на цилиндрической; графики а), б) для длительных модулей упругости, в) и г) – для динамических
m, Па
а
б
m, Па
m, Па
в
Рис. 3. Напряжения
 m (r )
г
для сферической а), в) и
 m (z )
для цилиндрической части б), г);
графики а), б) для длительных модулей упругости, в) и г) – для динамических
В квазистационарном процессе вязко
упругое решение задачи будет ограничено
этими двумя решениями. Задача решается с
использованием инженерного пакета ANSYS
в трехмерной постановке.
область занимает примерно по 5 м от границы
стыка в обе стороны. Величина коэффициента
концентрации составляет 5–7 %. При сравнении результатов, полученных для длительных и динамических модулей, обна-руживаем
небольшое увеличение меридиальных напряжений с течением времени.
Проведенный численный анализ сравним с аналитическим решением, полученным
с использованием методов расчета И.А. Биргера и C.П. Тимошенко [4, 5] на основе гипотезы плоских сечений.
Напряжения вне зоны краевого эффекта
не зависят от варианта расположения слоев.
Результаты вычислений. Наибольший
интерес представляет распределение напряжений в области стыка цилиндрической и
сферической частей конструкции, в которой
возникает концентрация напряжений (краевой
эффект). На рис. 2, 3 представлены меридиальные (  m ) и окружные (   ) напряжения
для варианта 1. Сплошной линией показаны
напряжения на внутренней поверхности
оболочки, штриховой – на внешней.
На рис. 4, 5 представлены меридиальные (  m ) и окружные (   ) напряжения
для варианта 2.
Как видно из графиков, в зоне стыка
цилиндрической и сферической частей
возникает концентрация напряжений. Эта
Для цилиндрической части
pR
 10 8 Па,
h
pR
m 
 5 10 7 Па.
2h
 
31
Н. Н. Кашин, В. М. Пестренин, И. В. Пестренина
Для сферической части
s*  
pR
   m 
 5 10 7 Па .
2h
В окрестности сопряжения сферической и
цилиндрической частей возникает резкое
изменение напряжений (т.н. краевой эффект).
Максимальные напряжения в зоне краевого
эффекта по теории Тимошенко [5]:
 m  1.293
;

C11 D11
;   C11C 22  C122 ;
2
K112 C 22  2 K12 K 21C12  K 22
C11

;
h2
Cij  hBij ; K ij 
Bij ;
2
Окружные напряжения в среднем на 30 %
больше меридиальных:
pR
 2 10 9 Па .
h
Рассчитаем
зону
краевого эффекта s*[4]:

D11 
pR
 6.46  108 Па .
2h
   1.032
2R
B11 
E1
E2
; B22 
;
1  1 2
1  1 2
B12 
 1 E1
 E
 2 2 .
1  1 2 1  1 2
В результате расчета получаем, что
s  2.78 м для варианта 1 и s *  4.7 м для
варианта 2, что вполне согласуется с
решением в ANSYS, поэтому оценочные
расчеты о поведении рассматриваемой
конструкции можно проводить, используя
аналитические зависимости.
*
распространения
 , Па
б
а
 , Па
г
в
Рис. 4. Графики зависимости от координаты Z окружных а), в) на сферической части; б), г) –
на цилиндрической; графики а), б) для длительных модулей упругости, в) и г) – для динамических
рассмотренных
в
данной
статье
симметричных ортогональных пакетов, с
целью оценки влияния вязко упругих
свойств материала можно
Выводы
 Исследования
крупногабаритных
оболочечных
конструкций
из
армированных углепластиков для случаев,
32
Оценка напряженно деформированного состояния вязкоупругой…
проводить по его динамическим
равновесным константам.
 Оценочные расчеты о поведении
рассматриваемой конструкции можно
проводить,
используя
аналитические
зависимости.
и
m, Па
m, Па
а
б
в
г
m, Па
Рис. 5. Напряжения
 m (r )
для сферической части а), в) и
 m (z )
для цилиндрической б),
г); графики а), б) для длительных модулей упругости, в) и г) – для динамических
Список литературы
development of a Moon base // Advances in
Space Research. 2006. № 37. С. 109–115.
3. Пестренин В.М., Пестренина И.В.
Механика композитных материалов и
элементов конструкций / Перм. гос. ун-т.
Пермь, 2005. 364 с.
4. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность.
Устойчивость. Колебания: справочник в 3
т. Т. 2. М.: Машиностроение, 1968. 463 с.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С.
Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966.
636 с.
1. Kondyurin A., Lauke B., Kondyurina I., Orba
E. Creation of biological module for selfregulating ecological system by the way of
polymerization of composite materials in free
space // Advances in Space Research. 2004.
№ 34. P. 1585–1591.
2. Kondyurina I., Kondyurin A., Lauke B., Figiel
Ł., Vogel R., Reuter U. Polymerisation of
composite materials in space environment for
Evaluation of stress-strain state of large viscoelastic
shell structures loaded with internal pressure
N. N. Kashin, V. M. Pestrenin, I. V. Pestrenina
Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15
Ipestrenina@gmail.com; (342)2 396 375
The large viscoelastic shell structures under internal pressure is considered. The. Material of construction – plastic, orthogonally reinforced carbon fiber. The influence of visco-elastic material design properties on its behavior in time is studied, determined the stress concentration zones.
33
Н. Н. Кашин, В. М. Пестренин, И. В. Пестренина
Key words: viscoelasticity; stress concentration; large shell structures.
2