Методическая разработка урока математики к 70-летию Победы

Методическая разработка урока математики к 70-летию Победы
ЗАДАЧА МАКСИМАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ ПОЛЁТА СНАРЯДА И
ПАРАБОЛА БЕЗОПАСНОСТИ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Класс:
10
Тема:
Задача максимальной дальности полёта снаряда и парабола
безопасности. Числовые функции.
Тип:
Урок обобщения и систематизации знаний
Учебник:
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.
10 – 11 классы. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г.
Мордкович. – 12-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2011. –
399с.
2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.
10 – 11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г.
Мордкович. – 12-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2011. –
271с.
Цели урока:
 обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Числовые
функции»;
 решить задачу дальности полета от угла бросания снаряда, ввести понятие
«парабола безопасности»;
 определить
вклад
математики
и
математиков
в
победу
в
Великой
Отечественной войне;
Планируемые результаты:
 развитие познавательной математической активности, решая задачи общего
развития и профессионального направления;
 воспитание умений работать самостоятельно, коллективно;
1
 патриотическое воспитание.
Методы:
изучение литературных источников, сравнительный анализ
полученной информации, отбор информации для работы,
изучение и решение задач, которые могли решаться в годы войны
Оборудование:
ПК, интерактивная доска.
Домашнее задание к уроку: сообщение «Математика и математики во время
Великой Отечественной войны».
Ход урока
1. Организационный этап
Проверка готовности учащихся к уроку.
9 мая 2015 года наша страна будет отмечать 70-летие нашей Победы над
фашисткой Германией в Великой Отечественной Войне. Прошло около 70 лет со
дня Победы советского народа в Великой Отечественной войне. Неисчислимые
жертвы понесла страна во имя независимости, свободы и общественных идеалов:
миллионы погибших и раненых, страдания от голода, тысячи разрушенных
городов и деревень, сотни тысяч угнанных на фашистскую каторгу. Несмотря ни
на что советский народ выстоял и победил.
2. Актуализация знаний
И машиной управлять,
Прежде нужно уже в школе
Математику узнать.
На войне ли современной,
В годы ль мирного труда,
При расчетах непременно
Математика нужна.
Учитель: История военных лет показала, что большую роль в укреплении
оборонной мощи нашей страны во время Великой Отечественной войны и после
нее сыграла математика. Роль математики и математиков в военном деле велика.
Математики нашей страны в период тягчайших испытаний проявили себя как
2
подлинные патриоты, проявляли величайшее мужество, были храбрыми и
расчетливыми воинами. Многие из тех, кто ушел на фронт, не возвратились.
Страна потеряла огромное количество талантливой молодежи, которая могла бы
стать гордостью отечественной науки.
3. Самоопределение к деятельности
Учитель: Во время Великой Отечественной войны
математиками решались
важнейшие задачи обороны страны. Сегодня на уроке мы рассмотрим некоторые
задачи ВОВ и решим их математическими методами.
Сообщение темы урока (слайд 1), совместная с учениками постановка целей урока
(слайд 2).
4. Обобщение и систематизация знаний.
Учитель: В 1941 г. многих выпускников механико-математического факультета
МГУ сразу после вручения им дипломов отправили на фронт техникамилейтенантами в основном в артиллерийские войска. Ходаков Владимир Алексеевич
- оказался в их числе (слайд 3). В ходе реальных боевых действий решались
сложные расчетные и оптимизационные задачи, о которых можно рассказать
только на профессиональном уровне. Но простейшие «идеальные» задачи, в
которых не учитываются погодные или другие условия боя, могут быть понятны и
школьнику, владеющему элементарными знаниями механики и тригонометрии.
Рассмотрим одну из задач, относящуюся к теории внешней баллистики: Задача о
максимальной дальности полета снаряда.
Представим себе, что в начале координат стоит пушка (рис. 1), которая стреляет
снарядами, вылетающими из ствола со скоростью ν0. Артиллерист может
направить ствол пушки под любым углом α к горизонту. Выведем закон движения
снаряда.
Учитель: По какой траектории будет лететь снаряд?
Ученики: Используя закон движения снаряда (механика 10 класс) и уравнение
линии траектории (математика 8 класс) линией траектории снаряда является
парабола (слайд 4).
Учитель: Всегда ли эта траектория одинакова? В каком случае снаряд полетит
дальше (если это возможно)?
3
Ученики: При разных углах α получаются разные траектории. Так как траекторией
снаряда является парабола, на дальность полёта влияет лишь угол стрельбы α.
Учитель: Проверим нашу гипотезу.
Ученики вместе с учителем выводят формулу.
Рис. 1
Выведем формулу параболы.
Найдем проекции начальной скорости на координатные оси (рассмотрим
прямоугольные треугольники):
Ох: 𝜗𝑥 = 𝜗0 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
Оу: 𝜗𝑦 = 𝜗0 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
Тогда, 𝑥 = 𝜗0 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑡 (𝟏), 𝑦 = 𝜗0 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑡 −
Из уравнения (1) выразим время t: 𝑡 =
𝑥
𝜗0 ∙𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔𝑡 2
2
(𝟐).
(3)
Подставим правую часть выражения (3) в формулу (2):
𝑥
𝑔(
)2
𝑥
𝜗0 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑦 = 𝜗0 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙
−
𝜗0 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
2
Преобразовав полученное выражение, придем к формуле:
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝛼 −
𝑔
2𝜗02 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
𝑥 2 (4)
Учитель: Опишите полученную функцию.
Ученики: Квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вниз, 𝑎 =
−
𝑔
2𝜗02 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
, 𝑏 = 𝑡𝑔𝛼, 𝑐 = 0.
По траектории данной функции летит снаряд.
5. Применение знаний и умений в новой ситуации.
4
Учитель: (слайд 5) Военная техника Второй мировой войны — вооружение и
боевая техника (авиация, бронетехника, артиллерия, стрелковое оружие, боевые
корабли), применявшиеся в период с 1939 по 1945 год. Во время Второй мировой
войны боевая техника развивалась достаточно быстро. T-34 — советский средний
танк периода Великой Отечественной войны, выпускался серийно с 1940 года, был
основным танком до первой половины 1944 года. С 1942 по 1945 годы основное
крупносерийное
производство
Т-34
было
развёрнуто
на
мощных
машиностроительных заводах Урала и Сибири. Танк Т-34 оказал огромное влияние
на исход войны и на дальнейшее развитие мирового танкостроения. Благодаря
совокупности своих боевых качеств Т-34 был признан многими специалистами и
военными экспертами одним из лучших танков. Начальная скорость бронебойного
снаряда приблизительно равна 600 м/с. Именно эту скорость мы и возьмем при
решении задач на дальность полета снаряда.
Мы с вами вывели уравнение траектории снаряда. При каком угле α снаряд
полетит дальше?(слайд 6)
Найдем дальность полета при разных углах бросания снаряда:
а) 300
б) 45
в) 600
г) 750
(Вместе с учителем решают при α = 450)
Решение:
В формулу (4) подставим α = 450, 𝜗0 = 600 м/с.
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑡𝑔450 −
10
𝑥2
2
2
0
2 ∙ 600 𝑐𝑜𝑠 45
10
𝑦=𝑥−
2𝑥
2
√2
2 ∙ 360000 ∙ ( )
2
𝑦=𝑥−
1
36000
𝑥 2 - квадратичная функция, график парабола, ветви направлены вниз.
Построим график функции.
1) Найдем вершину параболы: 𝑥 = −
𝑥=
𝑏
2𝑎
.
1 ∙ 36000
= 18000м.
2
1 ∙ 180002
𝑦 = 18000 −
= 18000 − 9000 = 9000м.
36000
5
Вершина параболы (18000; 9000)
2) Найдем точки пересечения параболы с осью Ох: у = 0
1
𝑥2 = 0
36000
1
𝑥 (1 −
𝑥) = 0
36000
𝑥−
𝑥1 = 0 или 1 −
1
36000
𝑥=0
1
𝑥=1
36000
𝑥 = 36000м
36000м. = 36 км.
Дальность полета снаряда – 36км.
у, м
9000
𝑦=𝑥−
О
18000
1
36000
𝑥2
36000
х, м
Рис.2
Работа по рядам (ученики решают задачи, затем обсуждают ответы):
1) α = 300
Ответ: ≈ 30600 м.
2) α = 600
Ответ: ≈ 30600 м.
3) α = 750
Ответ: ≈ 20000 м.
Аналогично, учащиеся делают вывод, что при α = 150 дальность падения снаряда
равна 20000 м.
Сравнивая результаты, учащиеся определяют одинаковую дальность полета
снаряда в зависимости от угла.
Построим семейство этих парабол в системе координат Оху (слайд 7).
6
Рис. 3
Учитель: При каком угле α снаряд полетит дальше? Выше?
Ученики: Угол наибольшей дальности полёта снаряда равен 45.
Учитель: Сформулируйте правило дальности снаряда от угла бросания.
Ученики: чем больше угол бросания, тем дальше летит снаряд. Но этому
увеличению дальности есть предел: дальше всего снаряд летит, если его бросить
под углом 45 градусов. Если еще увеличивать угол бросания, снаряд будет
забираться все выше, но зато падать он будет все ближе.
Учитель: А что же на практике: может ли, действительно, снаряд улететь на такое
расстояние (при α = 450 на 36км, при α = 300 и α = 600 на 30,6км)? Почему?
Ученики: мы считали, что на летящий снаряд действует только сила тяжести. Это
было бы верно, если бы мы стреляли в безвоздушном пространстве. А при полете
снаряда в воздухе возникает еще одна сила, которую нельзя сбросить со счета: это
— сила сопротивления воздуха.
Учитель: Да, действительно. Сопротивление воздуха резко возрастает, когда
увеличивается скорость движущегося тела. Когда вы идете пешком, вы вовсе не
чувствуете сопротивления воздуха. Но попробуйте сесть в открытый автомобиль и
развить скорость хотя бы 60км/ч, вы почувствуете, как даже в самый тихий день
сильный «ветер» начнет трепать ваши волосы, срывать фуражку с головы. Так же
обстоит дело и со снарядом. Если выстрелить из орудия, бросающего снаряд с
небольшой скоростью, то сопротивление воздуха полету такого снаряда будет
ничтожно, оно почти не отразится на его полете. Но положение резко изменится,
если выстрелить снарядом, который летит с большей скоростью.
Учитель: Почему же воздух тормозит снаряд?
7
Ученики: Потому что воздух, как и всякое другое вещество, обладает
определенной плотностью. Он состоит из бесчисленного количества частиц.
Снаряд расходует часть своей энергии на то, чтобы растолкать частицы воздуха,
мешающие его полету.
Учитель: Что получится, если снаряд будет лететь в противоположном
направлении?
Ученики: Траекторией движения снарядов будут параболы, симметричные
данным параболам относительно оси ординат.
Учитель: построим семейство парабол. Оказывается, все параболы этого
семейства касаются одной параболы. Она называется параболой безопасности.
Выше неё самолетам летать безопасно (снаряды, выпущенные под любым углом из
пушки, поднимутся не выше вершины параболы безопасности).
Рис. 4
Учитель:
Какие
еще
задачи
математики
решались
во
время
Великой
Отечественной войны? (слайд 9).
Сообщение Математика и математики во время Великой Отечественной войны
(Приложение 1).
6. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
Учитель: Из формулы (4) мы видим, что дальность полета снаряда зависит не
только от угла бросания снаряда, но и от начальной скорости. Как будет зависеть
дальность полета снаряда от начальной скорости? Для этого в задаче о дальности
полета снаряда мы изменим условие (слайд 10):
1) α = 450, 𝜗0 = 1000м/с.
2) α = 450, 𝜗0 = 300м/с.
8
Вывод записать в тетрадь.
Ответы к домашнему заданию: 1) 100000м. = 100км,
2) 9000м. = 9км. Чем
больше начальная скорость снаряда, тем дальше он упадет при прочих равных
условиях.
7. Рефлексия
Учитель: Можно ли назвать задачу дальности полета снаряда одной из важнейших
во время Великой отечественной войны? Почему?
Ученики: Да. Решая задачу дальности полета снаряда, учёные разрабатывали
новые установки, танки…
Учитель: Продолжи фразу (слайд 11)
1. Сегодня я узнал…
2. Было интересно…
3. Было трудно…
4. Я понял, что…
5. Я приобрел…
6. Я научился…
7. Я попробую…
8. Меня удивило…
9
Используемые ресурсы
1. http://rudocs.exdat.com Математика на службе армии.
2. http://armor.kiev.ua
Никифоров Н. Н., Туркин П. И., Жеребцов А. А.,
Галиенко С. Г. Артиллерия / Под общ. ред. Чистякова М. Н. - М.: Воениздат
МО СССР, 1953.
3. http://fiz.1september.ru
И.А. Изюмов. Математический анализ и парабола
безопасности (летящих снарядов)
4. http://www.teoretmeh.ru Примеры решения задач по кинематики
10
Математика и математики во время Великой Отечественной войны
Мы должны преклоняться перед выдержкой, самоотверженностью и верностью
Отчизне, которую проявляли математики-воины. Нельзя забывать о вкладе математиков в победу советского народа. Этот вклад состоит в использовании тех
знаний и умений, которыми обладают математики. Без таких предварительных
математических исследований не создается ни одна техническая система. В период
Великой Отечественной войны техника была разнообразной и сложной. Она
требовала широкого использования математических расчетов.
Достижение блестящих результатов в совершенствовании боевых самолетов
позволило А. С. Яковлеву и С.А.Лавочкину создать истребители, С. В. Илюшину –
штурмовики,
А.Н. Туполеву, Н. Н. Поликарпову и В. М. Петлякову –
бомбардировщики.
Но, овладевая большими скоростями, авиаконструкторы столкнулись с
неизвестным ранее явлениями в поведении самолета. В определенных режимах
работы моторов в конструкциях самопроизвольно возникало возбуждение, это
явление (флаттер) вело к разрушению самолета в воздухе. При взлете и посадке
самолета колеса вдруг начинали вилять из стороны в сторону. Это явление,
названное шимми, нередко вызывало катастрофы самолетов на аэродромах.
Выдающийся советский математик М. В. Келдыш и возглавляемый им коллектив
ученых
исследовали
причины
флаттера
и
шимми.
Созданная
учеными
математическая теория этих опасных явлений позволила советской авиационной
науке своевременно защитить конструкции скоростных самолетов от появления
таких вибраций. Ученые дали рекомендации, которые требовалось учитывать при
конструировании самолетов. В результате наша авиация во время войны не знала
случаев разрушения самолетов.
Видная роль в деле обороны нашей страны принадлежит выдающемуся
математику – академику А. Н. Крылову, чьи труды по теории непотопляемости и
качки корабля были использованы нашими Военно – Морскими силами. Он создал
таблицу непотопляемости, по которой можно было рассчитать, как повлияет на
корабль затопление тех или других отсеков, какие номера отсеков нужно затопить,
чтобы ликвидировать крен и насколько это затопление может улучшить
11
устойчивость корабля. Использование этих таблиц спасло жизнь многих людей,
помогло сберечь огромные материальные ценности.
Традиционная область деятельности ученых нашей страны — исследование
артиллерийских систем. Проблемы пристрелки, разработанные еще в XIX веке,
потребовали
в
период
Великой
Отечественной
войны
дополнительных
исследований и составления таблиц.
Стрельба с самолета по самолету и по наземным целям также привела к
математическим задачам, которые нужно было срочно решить. Ими занимались
как специалисты в области
артиллерии, так и математики. Проблемы бом-
бометания привели к необходимости составления таблиц, позволяющих находить
оптимальное время для сброса бомб на цель, а также область,
которую накроет
бомбовой удар. Такие таблицы были составлены еще до начала войны, но для
самолетов, обладающих большими скоростями. Во время войны были созданы
специальные полки ночных тихоходных бомбардировщиков, но для них не было
таблиц бомбометания. На кафедре теории вероятностей МГУ были рассчитаны
таблицы бомбометания с малых высот при малых скоростях самолета. Они оказали
несомненную помощь нашим летчикам и летчицам.
В апреле 1942 г коллектив математиков под руководством первого
аксиоматика теории вероятностей академика С. Н. Бернштейна разработал
и
вычислил таблицы для определения местонахождения судна по радиопеленгам.
Таблицы ускоряли штурманские расчеты примерно в 10 раз. В 1943 г были
подготовлены штурманские таблицы, которые
боевых
действиях
дальней
авиации,
нашли широкое применение в
значительно
повысили
точность
самолетовождения
В результате решения сложной математической задачи член – корреспондент
АН СССР Н. Г. Четаев определил наивыгоднейшую крутизну нарезки стволов
орудия. Это обеспечивало максимальную кучность боя и непереворачиваемость
снаряда при полете.
Один из крупнейших наших математиков, академик А.Н. Колмогоров,
используя
свои
работы
по
теории
вероятности,
разработал
наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов. Он
теорию
нашел полное
решение этой задачи и довел его до практического использования. Полученные им
12
результаты помогли повысить меткость стрельбы.
Большое значение для решения практических задач имело развитие
номографии – одного из разделов математики, изучающей теорию и способы
построения одного из видов чертежей – номограмм, которые экономят время для
вычислений, упрощают их. Номограммы специального бюро при НИИ математики
МГУ под руководством Н.А.Глаголева применялись при обороне городов,
использовались для оптимального размещения зенитных батарей вокруг Москвы, в
Военно-Морском Флоте.
Имеется еще один аспект работы советских математиков— это работа по
организации
производственного
процесса,
направленная
на
повышение
производительности труда и на улучшение качества продукции. Эта проблема со
всей остротой возникла перед промышленностью уже впервые дни войны,
поскольку прошла массовая мобилизация и на смену квалифицированным рабочим
пришли женщины и подростки без опыта работы.
Некачественный патрон мог испортить ружье и принести вред стрелявшему,
плохо сделанный снаряд разрывал пушку. Но проверка нередко требует намного
больше времени, что уходит на его изготовление. Математики предложили
использовать статистический метод контроля, что позволяло при проверке
ничтожной доли изделий давать достаточно точные заключения о качестве всей
партии. Через определенное время со станка берутся несколько только что
изготовленных изделий и замеряются параметры их качества. Если все эти
параметры находятся в допустимых пределах, то производственный процесс
продолжается, если же хотя бы одно изделие выходит за пределы допуска, то
подается сигнал о необходимой переналадки станка или смене режущего
инструмента. Среди математиков, занимавшихся этим вопросом, был А.Н.
Колмогоров и его ученик Б.В. Гнеденко.
После окончания войны выяснилось, что результаты
работы советских
математиков и инженеров принесли за годы войны стране миллиардную экономию.
13