Вариант решений представлен организатором олимпиады Юго-Западным государственным университетом (г.Курск) Задача № 1 Ракета массой m, летящая в космическом пространстве с 0 выключенным двигателем со скоростью 0, попадает в облако пыли средней плотностью и L протяжённостью L в направлении движения ракеты. Пылинки неподвижны и прилипают к ракете при столкновении с ней. Площадь поперечного сечения ракеты S. Какую скорость будет иметь ракета при вылете из облака пыли? Сколько времени займёт пролёт через это облако? (10 баллов). Решение: V0 х L После того, как ракета пройдёт расстояние х, к ней прилипнет пыль массой m Sx . Из ЗСИ : откуда mv 0 (m m) v , v0 v . Sx 1 m . 2 балла (1) После пролёта всего облака х = L, тогда искомой скоростью будет: v v0 . SL 1 m 2 балла Найдём время . Перепишем (1) в виде 1 1 S x. v v 0 mv 0 Построим график зависимости 1 v от х. Малое расстояние х ракета пролетит за малый промежуток времени t 1 x . v 2 балла 1 v 1 v 1 v0 t х 0 x L Т.е. площадь под графиком будет численно равна времени движения: 1 1 1 L SL L 1 2 v 0 v v0 2m Ответ: v v0 1 1 1 L SL L 1 , . SL 2 v v v 2 m 0 0 1 m 4 балла Задача № 2 R По гладкому столу движется, быстро вращаясь вокруг своей оси, волчок, имеющий форму конуса с размерами указанными на рисунке. Считая, что ось волчка остаётся вертикальной, определите при какой скорости поступательного движения волчок не удариться о край стола, соскочив с него? (10 баллов) Решение: Рассмотрим движение конуса после срыва его вершины с края стола. Сохраняя свою ось вращения вертикальной конус движется (без учёта вращения) по ветви параболы, как тело брошенное горизонтально с начальной скоростью . 2 балла Выберем оси координат и запишем уравнения движения по осям х и y: x t ; y gt 2 . 2 2 балла Исключив время получим уравнение траектории (параболы): R х x t , Н y g 2 2 2 x . 2 балла y Наименьшая скорость должна обеспечить в момент достижения основанием конуса уровня поверхности стола (смещение на H по y) смещение на R по оси х. Т.е.: H g 2 2 R2 2 балла Откуда: Ответ: R g 2H 2 балла Н Задача № 3 Камень брошен со скалы высотой 20 м, с начальной скоростью 25 м/с. Найдите дальность полёта мяча по горизонтали, если он брошен под углом 30о вниз от горизонта. (10 баллов) Решение: Запишем уравнения движения по оси х и y: x (0 cos ) t ; (1) gt 2 y ( 0 sin ) t . (2) 2 2 балла х 0 В момент падения (х = L, y H ) из (1) L ,. 2 балла t 0 cos H Тогда из (2) H ( tg) L L g 2 202 cos2 y L . 2 балла Получим квадратное уравнение: L2 k( tg)L kH 0 , 202 cos2 93,75 где k g После подстановки значений получим: L2 54,13 L 1875 H 0 2 балла Решая квадратное уравнение и исключая отрицательный корень, получим: Ответ: L 54,13 10430 24 м 2 2 балла Задача № 4 Тело находится на поверхности Земли на широте 600. Определить на какой угол отклоняется вертикаль от истинного направления вследствие вращения Земли. Землю считать сферой. (10 баллов) Решение: Сила тяжести F2 GMm mg направлена к r2 F1 F1 F центру Земли и давала бы направление вертикали, если бы Земля не вращалась. Во вращающейся системе отсчета на тело действует фиктивная центробежная сила инерции, направленная по радиусу от центра окружности вращения F2 maöñ m 2 r 2 m Rç cos m Rç cos T 2 2 Реальная вертикаль направлена вдоль равнодействующих этих сил. Искомый угол находим из треугольника сил: F F12 F22 2F1 F2 cos 600 F12 F22 F1 F2 Из теоремы синусов F2 F sin 600 sin F2 sin 600 F2 3 sin F 2 F12 F22 F1 F2 F1 F2 mg 2 m Rç cos T 2 10 24 3600 3 2 F F 2 1 1 1 F2 F2 gT 2 2 4 Rç cos 2 576 12.96 106 4 10 6.4 106 0.5 2 6.4 106 580 Откуда F1 = 580. F2 sin 3 2 3 1.5 103 2 580 F F 2 1 1 1 F2 F2 0 sin ðàä 1.5–3103 57,30–3 86.0 103 ãðàä Учитывая малость угла sin =1.510 рад = 8610 градуса = 5,16 86.0 103 60 5.16 óãëî âû õ ì èí óò (минут) Ответ: 5,16 (минут) Критерии оценки: Понимание физической ситуации и направление вертикали Рисунок Выражение для центробежной силы Равнодействующая и искомый угол Знание величин и расчет 2 балла 2 балла 2 балла 2 балла 2 балла Задача № 5 Какую минимальную (по модулю и направлению) силу необходимо приложить к центру ящика массой 100 кг, стоящему на горизонтальном полу, чтобы сдвинуть его с места? Коэффициент трения между ящиком и полом μ = 0,75. (10 баллов) Решение: Если сдвигающая сила направлена горизонтально, то ее величина должна быть не менее: F F FÒð.ñê mg 750H . Если вертикально F mg 1000 H . N Возможно, сила будет F тр минимальной, когда она направлена под углом к горизонту. mg Моменту сдвига ящика соответствует равенство нулю проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси. F cos FTP.cê 0 F sin N mg 0 N mg F sin FTP.cê N (mg F sin ) Подставим последнее выражение для силы трения в первое уравнение и выразим силу F cos (mg F sin ) 0 F cos mg F sin 0 F (cos sin ) mg mg F (cos sin ) Дробь, при постоянном числителе, принимает минимальное значение, когда ее знаменатель максимален. Для определения максимального значения выражения стоящего в знаменателе дроби можно использовать известный прием исследования функции на экстремум или способ введения дополнительного угла, известный из тригонометрии. a sin b cos a 2 b 2 ( a a b 2 2 sin b a b 2 2 cos ) a 2 b 2 (cos sin sin cos ) a 2 b 2 sin( ) Так как 1 sin( ) 1, òî a 2 b 2 a sin b cos a 2 b 2 и наибольшее по модулю значение выражения cos sin будет равно: cos sin 1 2 Тогда наименьшее по модулю значение силы F Fmin mg 1 2 0, 75 1000 10 1 9 16 3 4 106 6000 H 4 5 А угол, под которым эта сила направлена к горизонту, найдем так: f ( ) cos sin f / ( ) sin cos 0 sin cos t g arct g arct g (3 / 4) Критерии оценки Рисунок, силы, понимание вариативности внешней силы Система уравнений и выражение силы F Определение минимума модуля силы Определение направления силы 2 балла mg 4 балла (cos sin ) 2 балла 2 балла