ЕГЭ. Задачи части С-4

Задачи типа «С-4» ЕГЭ по математике
Задача № 1. Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного
треугольника со сторонами 10, 10, 12, отсекает от него четырехугольник, в
который
можно
вписать
окружность.
Найти
площадь
этого
четырехугольника.
I случай
A
M
N
α
C
H
Решение.
B
1.Найдем углы ABC. По теореме косинусов имеем:
АВ2=AC2+ВС2-2АС•ВС•cosα
AC 2  BC 2  AB 2 100  144  100 144 3
cos  


 .
2 AC  BC
2 10 12
240 5
4
sin   .
5
2.SBMNC=S
S  ABC 
ABC-S AMN
1
12 10  4
ВС  AC  sin  
 48
2
25
3. Найдем угол MAN в
ABC:
MAN  180  2 , тогда sin MAN  sin(180  2 ) 
4 3 24
sin 2  2sin   соs  2   
5 5 25
7
cos MAN 
25
4.Рассм.
AMN
MN 24
 , тогда MN=24x, AN=25x
AN 25
AM
7
cos MAN 
 , тогда AM=7x
AN 25
sin MAN 
5. Известно, что в четырехугольник BMNC можно вписать окружность, тогда
выполняется равенство:
ВМ+СN=MN+BC; 10-7х+10-25х=24х+12; 56х=8;
X
1
7
тогда MN=
24
; AM=1
7
1
12
S AMN   AM  MN 
2
7
S BMNC  S ABC  SAMN  48 
II случай.
12
2
 46
7
7
A
M
α
C
H
N
Найдем
S ACNM  S ABC  SBMN
Рассмотрим
BMN, от прямоугольный, тогда
MN 4
 , тогда MN=4y, BN=5y
BN 5
BM 3
cos  
 , BM=3y
BN 5
sin  
B
Известно, что в четырехугольник AMNC можно вписать окружность, тогда
выполняется равенство AM+CN=MN+AC, подставляю в это равенство
значения, получим:
10-3y+12-5у=4у+10; 12у=12; у=1.
Таким образом, получаем BM=3, BN=5, MN=4.
Найдем площадь треугольника ВMN и площадь четырехугольника AMNC.
1
S BMN   BM  MN  6
2
S ACNM  S ABC  SBMN  48  6  42
2
Ответ : 46 ; 42
7
Задача № 2. В треугольнике стороны равны 15, 7, 9. Точка D принадлежит
меньшей стороне и делит ее в отношении 5:7 от вершины В. Окружности,
вписанные в каждый из полученных треугольниковADC и ADB касаются
стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.
А
Е
N
С
M D
F
R
P
В
Решение.
1.Из отношения BD:DC=5:7 и BC=7 найдем отрезки BD и DC.
BD  5 
7 35
7  7 49
 ; DC=

12 12
12 12
2.Рассмотрим
ABD, в него вписана окружность, которая касается AB в
точке N, AD в точке F, BD в точке M, тогда AN=AF, BM=BN, DM=DF.
3.Аналогично из треугольника ADC: AE=AP, CR=CP, DE=DR.
4.EF=DE-DF
DE=AD-AE=AD-AP=AD-(AC-CP)=AD-(AC-CR)=AD-AC+CR=
=AD-AC+CD-DR=AD-AC+CD-DF,
2DE=AD-AC+CD;
AD  AC  CD
2
DE 
DF=AD-AF=AD-AN=AD-(AB-BN)=AD-AB+BN=AD-AB+BM=
=AD-AB+BD-MD=AD-AB+BD-DF;
DF 
AD  AB  BD
2
Таким образом,
AD  AC  CD AD  AB  BD


2
2
AB  AC  CD  BD 43

 .
2
2
EF  DE  DF 
2-й случай.
А
E
F
D
M
В
P
N
R
С
Решение.
1.Из отношения BD:DC=5:7 и BC=7, DC=DB+BC
Пусть BD=x, тогда
x
5
35
 ; x=
x7 7
2
Таким образом, BD=14,5; DC=14,5+7=21,5.
2. EF=DE-DF
DE=AD-AE=AD-AP=AD-(AC-CP)=AD-AC+CP=AD-AC+CR=
=AD-AC+DC-DR=AD-AC+DC-DE.
DE 
AD  AC  DC
2
DF=AD-AF=AD-AN=AD-(AB-BN)=AD-AB+BN=AD-AB+BM=
=AD-AB+BD-DM=AD-AB+BD-DF.
DF 
AD  AB  BD
2
AD  AC  DC AD  AB  BD


2
2
DC  AC  AB  BD 13

  6,5
2
2
EF  DE  DF 
Ответ :
43
; 6,5
12
Задача № 3. Дан параллелограмм АВCD. Биссектрисы его углов A
и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны
параллелограмма, если его периметр равен 40.
B
K
N
С
M
А
D
Решение.
BAM  MAD, так как АN- биссектриса BAD
ADM=MDC, так как DK- биссектриса ADC
MAD  MNK (внутренние накрест лежащие углы)
ABN - равнобедренный, поэтому AB=BN.
MDC=MKN (внутренние накрест лежащие углы)
KCD - равнобедренный, поэтому CD=KC.
2
Так как по условию BK=KN=NC, то BN=AB= BC
3
PABCD=2(AB+BC)=40
AB+BC=20
2
BC+BC=20
3
BC=12; AB=8.
2-й случай
M
B
A
Решение.
N
K
C
D
BAN=NAD, так как AN- биссектриса BAD
ADK=KDC, так как DM - биссектриса ADC
NAD  BNA (внутренние накрест лежащие углы)
следовательно, ABN, тогда AB=BN.
ADK=DKC (внутренние накрест лежащие углы),
следовательно, KCD  равнобедренный , тогдаCD  CK .
1
BN  NK  KC  BC  AB
3
2(AD+AB)=40; 3AB+AB=20; AB=5; AD=15.
Ответ: 8; 12 или 5; 15.
Задача № 4. Основание равнобедренного треугольника ABC равно 40.
15
17
Косинус угла при вершине равен
. Две вершины прямоугольника,
вписанного в треугольник, лежат на основании, а две другие на боковых
сторонах. Найти площадь прямоугольника, если известно, что одна из его
сторон вдвое больше другой.
A
N
M
C
H
L
K
B
Решение.
Пусть в прямоугольнике LKMN LK=2NK.
Обозначим <CAB=α, <CBA=β
1
1
HAB  CAB   (свойство равнобедренного треугольника)
2
2
15
8
По условию cos = , тогда sin = .
17
17
Из ABH имеем:



 =90- , тогда tg =tg(90- )  ctg .
2
2
2
1  сos

получим ctg  4
2
sin 
2
CML  NKL(по катету ML=NK и острому углу C=B.
NK
тогда BK=CL . Из BKN находим: tg =
, следовательно,
BK
NK NK
BK 

, так как KL=2NK, то BC=2BK+KL=
tg 
4
NK
5
5
=
 2 NK  NK , но BC=40, тогда NK  40,
2
2
2
NK  16, KL  32.
S KLMN  NK  KL  16  32  512.
по формуле ctg


2-й случай.
A
M
C
Решение.
L
N
H
K
B
Пусть в прямоугольнике LKMN NK=2LK, <CAB=α, <CBA=β.
По доказанному в 1 случае имеем: BK=CL
BK 
NK LK

4
2
таким образом, получим: BC=2BK+LK=LK+LK=2LK,
но BC=40, тогда LK=20, NK=40.
Ответ: 512 или 800.
SKLMN  NK  KL  20  40  800.
Задача № 5. Высота равнобедренного треугольника ABC, опущенная на его
основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.
Найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и
продолжений двух других сторон.
1 случай.
A
R
P
O
C
D
B
K
F
O1
Решение.
Треугольник ABC равнобедренный, следовательно, AC=AB, так как AD –
высота, то она же медиана и биссектриса, AD=9. OD=OP=R=4, тогда
AO=AD-OD=5.
Треугольник AOP прямоугольный, так как
OP  AB, пусть DAB   , тогда
OP 4
3 AP
sin  
 ; cos = 
, следовательно, AP  3
AO 5
5 AO
Окружность с центром О1, радиус О1F которой нужно найти, касается CB в
точке D, AB в точке F, AC – в точке К, тогда CD=KC, BD=BF.
Окружность с центром О вписана в треугольник ABC, тогда BD=BP,CD=CK.
Из прямоугольного треугольника ABD найдем BD.
4
BD  AD  tg  9   12.
3
Такимобразом, AF  FP  PB  BF  3  12  12  27.
Из прямоугольного треугольника AO1F найдем радиус окружности с центром
О1.
4
O1F  AF  tg  27   36.
3
2 случай.