Тема 11. Системы

Тема 11. Системы дифференциальных уравнений
11.1 Общие понятия. Теорема о существовании и единственности решения задачи
Коши
 y   f ( x, y , y , , y ),
1
1
2
n
 1
 y   f ( x, y , y , , y ),
2
1
2
n
Система вида  2


 yn  f n ( x, y1 , y2 , , yn ),
(11.1)
где функция fi (i  1, n) определена в некоторой (n+1)-мерной области D переменных
x, y1 , y2 ,
называется нормальной системой n-дифференциальных уравнений
, yn
первого порядка с неизвестными функциями y1 ( x), y2 ( x),
, yn ( x) .
Число уравнений, входящих в систему (11.1), называется ее порядком.
Решением системы (11.1) в интервале (a, b) называется совокупность функций
y1 ( x), y2 ( x),
, yn ( x), непрерывных дифференциальных в (a, b) и обращающих вместе со
своими производными каждое уравнение системы (11.1) в тождество.
Общим
yi  i ( x, c1 , c2 ,
решением
системы
(11.1) называется совокупность
n
функций
, cn ) (i  1, n), зависящих от n произвольных постоянных c1 , c2 ,
, cn и
удовлетворяющих следующим условиям:
1) функции  i ( x) определены в некоторой области изменения переменных
x, c1 , c2 ,
, cn и имеют непрерывные частные производные
f i
;
y j
2) совокупность  i ( x) является решением системы (11.1) при любых значениях ci ;
3)для любых начальных условий (11.2) из области D, где выполняются условия
теоремы Коши, всегда найдутся единственные значения произвольных постоянных
c10 , c20 ,
, cn0 , что будут справедливы равенства yi0  i ( x0 , c10 , c20 ,
, cn0 ) .
Задача Коши для системы (11.1) имеет следующую формулировку: найти решение
y1 ( x), y2 ( x),
, yn ( x)
y1 ( x0 )  y10 , y2 ( x0 )  y20 ,
где y10 , y20 ,
системы
(11.1),
удовлетворяющее
начальным
, yn ( x0 )  yn0 ,
условиям:
(11.2)
, yn0 – заданные числа; x0   a; b  .
Частным решением системы (11.1) называется решение, полученное из общего
при некоторых частных значениях произвольных постоянных Ci .
Все выше указанное справедливо и для частного случая системы (11.1):
 y   a ( x) y  a ( x) y 
11
1
12
2
 1
 y   a ( x) y  a ( x) y 
21
1
22
2
 2



 yn  an1 ( x) y1  an 2 ( x) y2 
где aij ( x), fi ( x)
 a1n ( x) yn  f1 ( x),
 a2 n ( x) yn  f 2 ( x),
(11.3)
 ann ( x) yn  f n ( x),
fi ( x) (i  1, n) непрерывные в (a;b) функции. Если fi ( x)  0, то система
(11.3) называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Если aij ( x)  const , то система (11.3) называется линейной с постоянными
коэффициентами.
Существуют методы, позволяющие проинтегрировать систему (11.3).
11.2 Метод исключения
Метод исключения состоит в следующем. При выполнении некоторых условий
всегда можно исключить все неизвестные функции, кроме одной, например, y1 и получить
для y1 ( x) одно линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами (при условии aij ( x)  const ) порядка n. Решив его, найти все остальные
неизвестные функции y2 ( x),
, yn ( x) с помощью операции дифференцирования.
 x  x y
Пример 11.1. Решить систему уравнений 
 y  y  4 x.
Выразим y (t ) из первого уравнения системы: y  x  x
(11.4)
Для того, чтобы подставить полученное выражение во второе уравнение, необходимо
найти y. Для этого дифференцируем (11.4) по переменной t:
y  x  x.
Подставляя последнее выражение для y и (11.4) во второе уравнение исходной системы,
получаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго
порядка
x  2x  3x  0. Его решением является
x(t )  c1et  c2e3t . Для нахождения
y (t ) подставляем полученное решение x(t ) в (11.4), получаем y(t )  2c1et  2c2e3t .
 x(t )  C1et  C2e3t ,
Ответ: 
t
3t
 y(t )  2C1e  2C2e .
11.3 Метод Эйлера
Рассмотрим этот метод на пример системы (11.3) ( fi  0 ). Решение этой системы в
виде фундаментальной системы решений: y1(i )  1(i ) ei x , y2(i )   2(i ) ei x ,
где i ,1(i ) , 2(i ) ,
 (a11  i )1(i )  a12 2(i )   a1n n(i )  0,

(i )
(i )
(i )
a211  (a22  i ) 2   a2 n n  0,
(i )
, n : 

 an11(i )  an 2 2( i )   (ann  i ) n( i )  0.
, yn(i )   n(i ) ei x , (11.5)
Эта система имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю, т.е.
уравнение вида
a11  i
a21
an1
a12
a22  i
a1n
a2 n
 0,
(11.6)
ann  i
an 2
называемое характеристическим.
Раскрывая определитель, получаем алгебраическое уравнение n-го порядка
относительно i с действительными постоянными коэффициентами, которое имеет n
корней ( с учетом их кратности).
Возможны следующие случаи, когда корни характеристического уравнения (11.6)
являются:
1)
действительными и различными
2)
комплексными и различными
3)
действительными, среди которых есть кратные
4)
комплексные, среди которых есть кратные.
 x  x  y ,
Решить методом Эйлера систему 
 y  y  4 x.
Пример 11.2.
Приведем исходную систему к следующему виду:
 x  x  y  0,

4 x  y  y  0.
(11.7)
Решение этой системы будем искать в виде
x      eit ,
i
i
y       eit
i
i
(i  1, 2) . Подставим его в (11.7)
i
i
 i  i t

e    eit    eit  0,
 
i
 i  it
 i  i t
 i  i t

4 e  i  e   e  0.
Сокращаем на eit :
 (i  1) i    i   0,
 i 
i 
4  (i  1)   0.
(11.8)
Составляем характеристическое уравнение:
i  1
4
1
 0,
i  1
  2i  3  0,
1  1, 2  3.
2
i
Замечание. Решения характеристического уравнения (11.6) являются собственными
значениями, для каждого из которых строится собственный вектор.
Для   1 система (11.8) имеет вид
(1)
(1)
t
(1)
(1)
2    0,
   C1 ,
 x  C1e ,
Тогда  1
  1
 1
1
t
 4  2   0,
   2C1.
 y  2C1e .
Для   3 система (11.8) имеет вид
  (2)  C2 ,
 2 (2)   (2)  0,
. Тогда
   2
  2
 2
4  2   0,
   2C2 .
 x (2)  C2e3t ,
  2
3t
 y  2C2 e .
Общее решение исходной системы имеет вид
 x  C1et  C2e3t ,

t
3t
 y  2C1e  2C2e .
Задания для работы на семинаре:
Учебные материалы по курсу "Дифференциальные и разностные уравнения".
Составители:Андреев В.Б., Кюркчан А.Г., Чернявский В.М. ~ М.: ВШЭ, 1996.
1) Стр. 124, № 786-812,
2) Стр. 125, № 826-845.