Урок по теме: « Тригонометрические уравнения» Цели урока: 1. Образовательные - обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений; восполнить знание учащихся, которые пропустили материал. 2. Развивающие – способствовать формированию умений, применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. 3. Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуре, формировать общетрудовые умения. Ход урока: 1. Организационный момент Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений. Задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. Разминка – повторение (карточки – 1,2 вариант). sin 2 x cos 2 x sin х 1 tgx 1, x cos 2 x sin 2 x ctgx 1, x sin( x) cos( x) сos ( x 2 sin 8 2 ) cos cos( ) 6 sin 8 sin( x 2 sin 12 2 ) cos 12 sin( ) 3 cos( ) Ребята обмениваются карточками и проверяют. На экране появляется таблица правильных ответов(1 неправильный ответ – оценка «4», два неправильных ответа – оценка «3», 3 и больше – «2»,записавшим все ответы правильно – «5»). 2. Повторение изученного материала (устно) 1) каково будет решение уравнения sin x=a при |a | > 1 ? 2) при каком значении а уравнение cos x=a имееет решение? 3) какой формулой выражаются решения уравнений sin x =a , cos x=a при условии |a | ≤ 1 4) назовите частные случаи решения уравнений sin x =a , cos x=a 5) какой формулой выражается решение уравнения tg x= a? 6) какой формулой выражается решение уравнений ctg x =a ? 3. Основная работа – методы решения уравнений. I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям. Пример 2 cos 3x 2. 4 Решение. I. шаг. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты. 2 ; cos 3x 4 2 II. шаг. Найти аргумент функции по формулам 3x 2n, n Z ; 4 4 III. Найти неизвестную переменную 3 2n, n Z 4 4 3 3x 2n, n Z 4 4 2 x n, n Z . 4 12 3 2 Ответ: n, n Z . 4 12 3 3x II Замена переменной Пример. 2 cos 2 x x 5 sin 5 0 2 2 Решение. I шаг. Привести уравнение к алгебраическому относительно одной из тригонометрических функций. x x 21 sin 2 5 sin 5 0 2 2 x x 2 sin 2 5 sin 3 0 ; 2 2 II шаг. Обозначить полученную функцию переменной любой буквой Пусть sin x t , где | t | 1 . 2 III Решить алгебраическое уравнение 2 t 2 5t 3 0 ; t=1, t =-3/2, не удовлетворяет условию | t | 1 IV шаг. Сделать обратную замену и решить простейшее тригонометрическое уравнение sin x 1 2 x 2n, n Z 2 2 x 4n, n Z Овет: 4n, n Z III Метод понижения порядка уравнения. Схема решения. Пример. cos 2 x cos2 x 5 4 Решение. I шаг. Заменить данное уравнение линейным, используя формулы понижения степени: cos 2 x 1 1 cos 2 x 5 2 4 II шаг. Аналогично методам I , II 1 1 5 cos 2 x cos 2 x 2 2 4 3 3 cos 2 x 2 4 1 cos 2 x 2 2x x Ответ: 2n, n Z 3 6 n, n Z 6 n, n Z IV Однородные уравнения. Схема решения. Пример. 5sin 2 x 3sin x cos x 4 0 Решение. I шаг. Применить основное тригонометрическое тождество 5 sin 2 x 3 sin x cos x 4 cos2 x 4 sin 2 x 0 sin 2 x 3 sin x cos x 4 cos 2 x 0 II шаг. ). Разделить обе части уравнения на а) cos x≠0; б) cos2 x≠0 и решить изученными методами tg 2 x 3tgx 4 0 Пусть tgx t , тогда t 2 3t 4 0 t 1, tgx 1, t 4 tgx 4 x 4 n, n Z, x -arctg 4 k, k Z. Ответ: x 4 n, n Z, x -arctg 4 k, k Z. 4. Дифференцированная самостоятельная работа ( 2 варианта) 2 cos 2 x+ 7cos x+3=0 5 cos 2 x+21 sin x=13 sin2 x- sin x=0 cos 2 x+sin x cos x=1 (допол) 2sin x- 3 cos x=0 (допол) cos 5 x+ cos x=0 Критерии оценок: «5» - решено все верно и полностью «4» - допущены небольшие ошибки «3» - решено одно уравнение 5. Домашнее задание: карточка с уравнениями (на выбор ученикам) Дифференцированная домашняя работа. На «3». Решите уравнения: 1) sinx=1/2 2) cos2x-9cosx+8=0 3) 3cosxsinx-sinx=0 На «4». Решите уравнение: 1) cos2x-9cosx+8=0 2) 3cosx+sinx=0 3) 3sin2x+sinxcosx- 2cos2x=0 На « 5». Решите уравнение: 1) 2cos2x+3sinx=0 2) 3sinxcosx-cos2x=0 3) 2sin2x-3sinxcosx+4cos2x=4 6. Итог работы 1. Что такое тригонометрические уравнения? (Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций) 2.какие типы и методы решения тригонометрических уравнений вы знаете? 3. Дается оценка работы класса.