Tema_8Issl_urok_2

(11 класс, модуль 8, урок 2)
Урок 2. Основные этапы исследования функций
План урока
 2.1. Необходимость исследования функции для построения ее графика
 2.2. Первый этап построения – нахождение области определения
функции и промежутков непрерывности
 2.3. Нахождение нулей и промежутков знакопостоянства
 2.4. Характер поведения функции вблизи граничных точек области
определения
 2.5. Правый и левый пределы функции
 2.6. Неограниченное возрастание и убывание функции
 2.7. Нахождение промежутков монотонности функции
 2.8. Локальный максимум и локальный минимум
 2.9. Поведение функции при неограниченном возрастании или убывании
переменной
 2.10. Наклонная асимптота
 2.11 Определение наклонной асимптоты
 2.12 Выпуклость функции
 Тесты
 Домашнее задание
Цели урока:
На этом уроке указываются и объясняются основные этапы
исследования функции и рассматриваются многочисленные примеры
построения графиков функций.
2.1. Необходимость исследования функции для построения ее графика
При изучении функций мы неоднократно использовали их
геометрическое изображение — графики. Обозримость и наглядность
графика делают его незаменимым вспомогательным средством
исследования функции.
Заметим, что графики функций изображают примерно, передавая
общий вид и характерные особенности поведения функций. При
необходимости в каждой конкретной точке можно вычислить значение
функции и проверить соответствие с рисунком графика. Заметим, что
некоторые свойства графика являются результатом предварительного
исследования. Такие свойства графика не нуждаются в доказательстве.
Однако, некоторые свойства графика подсказывает сделанный рисунок. В
этом случае замеченная закономерность нуждается в доказательстве.
Способ построения графика по точкам, который применялся, начиная
с младших классов, нельзя считать совершенным.
Дело в том, что мы можем вычислить значения функции даже
в большем количестве точек, но этих значений может оказаться мало для
правильного представления о характере поведения функции. Например,
предположим, что мы по точкам строим график функции y  1  sin12 x .




Перебирая значения x  0 , x   , x   , x   , x   , x  2k , и так
6
4
3
2
далее, мы каждый раз будем получать значение функции, равное 1. Отсюда
можно вообразить, что графиком функции y  1  sin12 x является прямая
y  1 (рисунок 1). Однако, это неверно, потому что более детальное
исследование приводит к графику, изображенному на рисунке 2.
Чтобы построить график функции, отражающий основные
закономерности ее поведения, необходимо провести исследование функции.
Такое исследование обычно проводят в несколько этапов.
Вопрос. Какое предположение можно сделать, если вычислить
значения функции y  x 2 ( x 2  1)( x 2  4)( x 2  9) при x  0 , x  1 , x  2 ,
x  3 ?
2.1 Первый этап построения – нахождение области определения
функции и промежутков непрерывности
Первым этапом исследования функции можно считать нахождение ее
естественной области определения и промежутков непрерывности. За
редким исключением будут рассматриваться такие функции, которые
непрерывны на всей области определения. Каждый случай наличия
разрывов будет оговариваться особо.
На графике свойство непрерывности функции отражается в том, что
на каждом из промежутков области определения график изображается
неразрывной линией.
Например, функция y  1 определена при x  0 и непрерывна в
x
каждой точке области определения. Это приводит к тому, что график
функции y  1 изображается двумя линиями (рисунок 3).
x
Вопрос. Каким числом неразрывных линий изображается график
2
функции y  x 2 4 ?
x ( x  1)
2.3. Нахождение нулей и промежутков знакопостоянства
Еще один этап исследования функции состоит в нахождении нулей и
промежутков знакопостоянства.
Нулями функции f ( x) называют решения уравнения f ( x)  0 .
Каждому нулю функции соответствует точка графика, ордината которой
равна нулю. Каждая такая точка лежит на оси абсцисс. Поэтому нули
функции позволяют определять пересечение графика с осью Ox .
Решая неравенство f ( x)  0 , мы получаем значения x , при которых
значения функции положительны. Поэтому ординаты соответствующих
точек графика положительны и такие точки лежат в полуплоскости y  0 .
f ( x)
Каждый из промежутков, на котором значения функции
положительны, иногда называют промежутком положительности функции
f ( x) .
Аналогично, решая неравенство f ( x)  0 , мы получаем промежутки
отрицательности функции f ( x) .
Вместе
промежутки
положительности
и
промежутки
отрицательности иногда называют промежутками знакопостоянства
функции f ( x) .
x ( x  1)
Пример 1. Рассмотрим функцию
. Эта функция
y
x 1
определена при x  1 .
x ( x  1)
Решая уравнение
 0 , получаем x1  0 , x2  1 . В точках с
x 1
такими абсциссами график пересекает ось Ox .
x ( x  1)
Решая неравенство
 0 , получаем множество (1 0)  (1) .
x 1
Промежутки (1 0) и (1) являются промежутками положительности
x ( x  1)
f ( x ) . Решениями неравенства
 0 являются все оставшиеся точки
x 1
области определения, то есть точки множества (1)  (01) . Промежутки
(1) и (01) являются промежутками отрицательности f ( x ) .
Проведенное исследование позволяет поставить две точки (0 0) и
(1 0) графика и отметить те области, в которых лежат оставшиеся точки
графика (рисунок 4).
Вопрос. Какие нули, промежутки положительности и промежутки
отрицательности имеет функция y  x3  x ?
2.4. Характер поведения функции вблизи граничных точек области
определения
Еще один этап исследования функции состоит в установлении
характера поведения функции вблизи граничных точек области
определения. Рассмотрим функцию f ( x)  2 1
. Она определена на
x ( x  1)
множестве ( 0)  (01)  (1) . Граничными точками области определения
являются числа 0 и 1 , которые не входят в область определения, но
являются концами промежутков, на которых функция определена.
Для исследования поведения функции вблизи точки 0 нужно рассмотреть
два случая.
I случай. Возьмем достаточно близкое к нулю отрицательное
значение x и вычислим f ( x) . Например, при x  0 001 имеем
1
1000000


(0 001) (0 001  1)
1  0 001
Это значение отрицательно, причем мало отличается от числа
1000000 . Выбирая более близкое к нулю отрицательное значение x , мы
получим еще большее по модулю отрицательное значение f ( x) . Про такую
особенность поведения функции f ( x) говорят, что при x , стремящемся к
нулю слева, значения f ( x) стремятся к "минус бесконечности".
Символически это можно записать в следующем виде:
f ( x)   при x  0 и x  0
Геометрически полученная особенность означает, что по мере
приближения переменной x к нулю слева, точки графика приближаются к
оси Oy в ее отрицательном направлении (рисунок 5).
II случай. Возьмем достаточно близкое к нулю положительное x и
f ( x) .
x  0 02
вычислим
Например,
при
получим
1
f ( x)  f ( x)  f (0 02) 
Это
значение
  10000 .
(4  0 98)
(0 02)2 (0 02  1)
отрицательно, причем мало отличается от 2500 . Выбирая более близкое к
нулю положительное значение x , мы получим еще большее по модулю
отрицательное значение f ( x) . Отсюда можно сделать вывод, что
f ( x)   при x  0 и x  0 (рисунок 6).
Для исследования поведения функции вблизи точки 1 нужно также
рассмотреть два случая.
I случай. Возьмем достаточно близкое к 1 и меньшее 1 значение x ,
1
например, x  0 99 . Тогда f ( x)  f (0 99) 
  100 2 . Это
(0 99) 2 (0 99  1)
(0 99)
значение отрицательно, причем мало отличается от 100 . Выбирая более
близкое к 1 значение x , которое меньше 1 , мы получим еще большее по
модулю отрицательное значение f ( x) . Отсюда можно сделать вывод, что
f ( x)   при x  1 и x 1 . При этом точки графика приближаются к
прямой с уравнением x  1 в ее отрицательном направлении (рисунок 7).
II случай. Возьмем достаточно близкое к 1 и большее 1 значение x ,
например, x  1 0001 . Тогда
1
f ( x)  f (1 0001) 
 10000 .
(1 0001) 2 (1 0001  1) (1 0001) 2
Это значение положительно, причем мало отличается от 10000 . Выбирая
более близкое к 1 значение x , которое больше 1 , мы получим еще большее
положительное значение f ( x) . Отсюда можно сделать вывод, что
f ( x)   при x  1 и x 1 (рисунок 8)
Итогом проведенного исследования являются особенности поведения
графика функции f ( x)  2 1
вблизи точек 0 и 1 (рисунок 9).
x ( x  1)
Вертикальные прямые с уравнениями x  0 и x  1 , к которым
приближаются линии графика, называют вертикальными асимптотами.
f ( x)  f (0 001) 
2
Вопрос. Какую вертикальную асимптоту имеет график функции
y 1 ?
x2
2.5. Правый и левый пределы функции
При исследовании поведения функции вблизи граничных точек
области определения оказываются удобными понятия пределов справа и
слева.
Пусть функция f ( x) определена на множестве D .
Определение 1. Число M называется пределом функции f ( x) при x ,
стремящемся к числу a справа, если для каждого положительного
числа  найдется такое   0 что при всех x , удовлетворяющих
условиям
x  D и a  x  a   , выполняется неравенство
 f ( x)  M   .
Предел функции f ( x) при x , стремящемся к числу a справа,
обозначают lim f ( x) .
xa 0
Определение 2. Число M называется пределом функции f ( x) при x ,
стремящемся к числу a слева, если для каждого положительного
числа  найдется такое   0 , что при всех x , удовлетворяющим
условиям
x  D и a    x  a , выполняется неравенство
 f ( x)  M   .
Предел функции f ( x) при x , стремящемся к числу a слева,
обозначают lim f ( x) .
xa 0
Отметим, что если существует lim f ( x ) , то тогда
xa
lim f ( x)  lim f ( x)  lim f ( x) .
x a  0
x a 0
x a
3
Пример 3. Рассмотрим функцию f ( x)  x  1 . Она определена на
 x 1 
множестве (1)  (1) . Граничной точкой области определения является
число 1 .
Исследуем поведение функции f ( x) вблизи точки 1 .
3
I случай. Пусть x  1. Тогда f ( x)  x  1  ( x 2  x  1) . Поэтому
 x 1
lim f ( x)  lim (( x2  x  1))   lim( x 2  x  1)  3 . Следовательно, когда x
x 10
x 10
x 1
приближается слева к числу 1 , значения функции f ( x) приближаются к
числу 3 (рисунок 10).
3
II случай. Пусть x  1 . Тогда f ( x)  x  1  x 2  x  1 . Поэтому
 x 1
lim f ( x)  lim ( x2  x  1)  lim( x2  x  1)  3
x 1 0
x 10
x 1
Следовательно,
когда
x
приближается справа к числу 1 , значения функции f ( x) приближаются к
числу 3 (рисунок 10).
3
Вопрос. Какой полный график имеет функция f ( x)  x  1 ?
 x 1 
2.6. Неограниченное возрастание и убывание функции
Пример, рассмотренный в пункте 2.4, показывает, что вблизи
граничной точки области определения иногда значения функции могут либо
неограниченно возрастать, либо неограниченно убывать. Для записи такого
характера поведения функции удобно использовать значки  и  и
определить пределы, равные  и  .
Говорят, что функция f ( x) стремится к  при x , стремящемся к a
справа, если для каждого натурального числа k найдется такое   0 , что
при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и a  x  a   , выполняется
неравенство f ( x)  k .
В этом случае записывают, что lim f ( x)   .
x a  0
Говорят, что функция f ( x) стремится к  при x , стремящемся к a
справа, если для каждого натурального числа k найдется такое   0 , что
при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и a  x  a   , выполняется
неравенство f ( x)  k .
В этом случае записывают, что lim f ( x)   .
x a  0
Аналогично определяются пределы  и  при x , стремящемся к
a слева, и просто при x , стремящемся к a .
Используя введенные обозначения, в примере из пункта 2.4 можно
1
1
1
записать:
lim
  ;
lim
  ;
lim
  ;
x 0 0 x 2 ( x  1)
x 0  0 x 2 ( x  1)
x 1 0 x 2 ( x  1)
1
lim
  . Важно понять, что записи вида
x 1 0 x 2 ( x  1)
lim f ( x)  
xa
используются только для удобства и отражают некоторую особенность
функции f ( x) , не имеющей предела в точке a .
Вопрос. Пусть lim f ( x)   , lim g ( x)  100 . Как пояснить, что
xa
xa
lim( f ( x)  g ( x))   ?
x a
2.7. Нахождение промежутков монотонности функции
Еще один этап исследования функции состоит в нахождении
промежутков монотонности, то есть промежутков возрастания и
промежутков убывания функции. Это исследование основывается на
теореме пункта 1.6. Действительно, если вычислить производную f ( x )
функции f ( x) , то из решений неравенства f ( x)  0 можно найти все
промежутки строгого возрастания, а из решений неравенства f ( x)  0 —
все промежутки строгого убывания функции f ( x) .
Пример 4. Найти
промежутки
монотонности
функции
3
f ( x)   x  3x .
Решение. Функция определена при всех
x . Вычислим
3
2
f ( x)  ( x  3x)  3x  3 и решим неравенство f ( x)  0 : 3x 2  3  0 ,
x 2  1  0 , x  (1)  (1) . Далее решим уравнение f ( x)  0 и получим
x1  1 , x2  1 . Для оставшихся x из интервала (11) выполняется
неравенство f ( x)  0 . После этого можно сделать вывод, что функция
f ( x)  x3  3x строго возрастает на интервале (1) , строго убывает на
интервале (11) , строго возрастает на интервале (1) . Такой характер
поведения функции можно записать в виде следующей символической
таблицы.
1
(1)
(11)
(1)
x
1
0
0
f ( x )
0
0
0
f ( x)
Вопрос. Как доказать, что функция f ( x)  x3  3x строго убывает на
отрезке [11] ?
2.8. Локальный максимум и локальный минимум
Исследование функции на возрастание и убывание позволяет
определить ее точки локального максимума и локального минимума.
Прежде чем определять локальные максимумы и минимумы,
рассмотрим функцию f ( x)  x3  3x на интервале (2 0) . Функция
непрерывна на этом интервале, на промежутке (21) возрастает и на
промежутке (1 0) убывает. Поэтому, вычислив значения f (2)  2 ,
f (1)  2 , f (0)  0 , можно изобразить ее график (рисунок 11). Из графика
f (1)  2
видно,
что
значение
является
наибольшим
из
всех значений f ( x) для x  (2 0) . Однако, число 2 не может быть
наибольшим значением функции f ( x)  x3  3x , если ее рассматривать на
всей числовой прямой. Действительно, нетрудно указать значение f ( x) ,
которое больше 2 . Например, f (10)  103  3 10  970  2 . Тем не менее, на
интервале (2 0) точка x  1 соответствует некоторой характерной
особенности данной функции.
Определение 1. Точка a называется точкой нестрогого локального
максимума функции f ( x) , если существует такой интервал U ,
содержащий точку a , что при всех x из U , входящих в область
определения, выполняется неравенство f (a )  f ( x) .
Определение 2. Точка a называется точкой нестрогого локального
минимума функции f ( x) , если существует такой интервал U ,
содержащий точку a , что при всех x из U , входящих в область
определения, выполняется неравенство f (a )  f ( x) .
Вместе для точек локального максимума и локального минимума
используют общее название — точки экстремума.
Нахождение точек экстремума является одним из важных этапов
исследования функции.
Вопрос. Какие точки экстремума имеет функция f ( x)  x 2  4 x  1 ?
2.9. Поведение функции при неограниченном возрастании или
убывании переменной
Еще один этап исследования функции состоит в установлении
характера поведения функции f ( x) при неограниченном возрастании
переменной x , то есть при x   , или при неограниченном убывании x ,
то есть при x   . Иногда это можно сделать, сравнивая значения
функции f ( x) со значениями хорошо известной функции g ( x ) .
Пример 5. Рассмотрим функцию f ( x)  x3  3x . При больших
положительных значениях x слагаемое x 3 значительно больше, чем 3x .
Почему значение x3  3x относительно мало отличается от x 3 . Зная, что при
x   график функции y  x 3 все круче уходит вверх, можно
аналогичный вывод сделать и о поведении графика функции f ( x)  x3  3x .
Точно так же при больших по модулю отрицательных значениях x
значение f ( x)  x3  3x относительно мало отличается от x 3 . Поэтому при
x   график функции f ( x)  x3  3x аналогично графику функции y  x3
все круче уходит вниз.
Вопрос. Как схематически изобразить график функции y  x  x ?
2.10. Наклонная асимптота
Иногда при x   или при x   значение функции f ( x) удобно
сравнивать со значениями линейной функции y ( x)  kx  b .
Пример 6. Рассмотрим
функцию
2
f ( x)  x  x  1 .
x
Так
как
f ( x)  ( x  1)  1 , то значение f ( x) отличается от значения y ( x)  x  1 на
x
1 . Поэтому при больших по модулю значениях x разность между f ( x) и
x
y ( x) мала. На графике эта особенность отражается в том, что при x   и
при x   график функции f ( x) приближается к графику функции y ( x) ,
то есть к прямой (рисунок 12). Эту прямую называют также наклонной
асимптотой.
 x 1
К каким прямым приближается график функции f ( x) 
при
x 1
x   и при x   ?
2.11 Определение наклонной асимптоты
Приближение графика функции при x   или при x   к
некоторой прямой связано с понятием асимптоты. Однако, прежде чем
ввести понятие асимптоты, нужно распространить понятие предела функции
на пределы при x   и при x   .
Пусть функция f ( x) определена на множестве D .
Определение 1. Число M называется пределом функции f ( x) при
x   , если для каждого положительного числа  найдется такое
число P , что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и x  P ,
выполняется неравенство  f ( x)  M   .
Определение 2. Число M называется пределом функции f ( x) при
x   , если для каждого положительного числа  найдется такое
число P , что при всех x , удовлетворяющих условиям x  D и x  P ,
выполняется неравенство  f ( x)  M   .
Пределы функции f ( x) при x   и при x   обозначают
соответственно lim f ( x) и lim f ( x ) .
x 
x 
Рассмотрим теперь определение асимптоты при x   .
Определение 3. Прямая
асимптотой
функции
lim ( f ( x)  (kx  b))  0 .
с
уравнением y  kx  b называется
f ( x)
x   ,
при
если
x 
Функция f ( x) имеет при x   асимптоту y  kx  b в том и
f ( x)
только в том случае, когда существуют следующие пределы: k  lim
,
x 
x
b  lim ( f ( x)  kx) .
x 
Аналогично определяется асимптота, и записываются правила ее
нахождения при x   .
2
f ( x)  x  x  1
Пример 7. Найти асимптоту функции
при
x
x   .
2
f ( x)
Решение. k  lim
 lim x  x  1  lim 1  1  12   1 ;
x 
x 
x  
x
x
x x 
b  lim ( f ( x)  1 x )  lim  x  1  lim 1  1   1 . Отсюда следует, что
x 
x 
x 
x
x




прямая y  x  1 является асимптотой данной функции при x   .
Вопрос. Как, исходя непосредственно из определений, доказать, что
lim 1  lim 1  0 ?
x  x
x  x
2.12 Выпуклость функции
Еще один этап исследования функции состоит в определении
участков выпуклости вверх и выпуклости вниз.
Понятие выпуклости мы будем рассматривать только на
промежутках, на которых функция f ( x) имеет производную. В этом случае
в каждой точке графика функции f ( x) на данном промежутке существует
касательная.
Определение 1. Функция f ( x) называется выпуклой вверх на
промежутке D , если график функции на этом промежутке лежит
ниже каждой касательной, проходящей через точку графика.
Для доказательства выпуклости вверх функции f ( x) на промежутке
D можно использовать следующий признак.
Если на промежутке D производная f ( x ) убывает, то функция
f ( x ) выпукла вверх на этом промежутке.
Пример 8. Доказать, что функция f ( x)  arcsin x выпукла вверх на
интервале (1 0) .
Доказательство. f ( x)  (arcsin x)  1 . Так как функция
1  x2
y  1  x 2 на интервале (1 0) возрастает, то f ( x ) на этом интервале
убывает. Поэтому функция arcsin x выпукла вверх на (1 0) . Учитывая, что
на отрезке [ 1 0] функция arcsin x непрерывна, изображаем график таким
образом, чтобы он проходил ниже любой своей касательной (рисунок 13).
Определение 2. Функция f ( x) называется выпуклой вниз на
промежутке D , если график функции на этом промежутке лежит
выше каждой касательной, проходящей через точку графика.
Для доказательства выпуклости вниз функции f ( x) на промежутке
D можно использовать следующий признак.
Если на промежутке D производная f ( x ) возрастает, то функция
f ( x ) выпукла вниз на этом промежутке.
Пример 9. Рассмотрим снова функцию f ( x)  arcsin x . Так как
(arcsin x)  1
и функция y  1  x 2 на интервале (01) убывает, то
2
1 x
f ( x ) на этом интервале возрастает. Поэтому функция arcsin x выпукла вниз
на интервале (01) . Учитывая, что на отрезке [01] функция arcsin x
непрерывна, изображаем график таким образом, чтобы он проходил выше
любой своей касательной (рисунок 14).
Исследование
функции
на
выпуклость
будем
считать
вспомогательным этапом исследования и в дальнейшем проводить не будем,
ограничиваясь рисунками графиков, сделанных с учетом выпуклости.
Вопрос. Как доказать, что функция e x выпукла на всей числовой
прямой?
Мини-исследование.
Проверь себя. Основные этапы исследования функций
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Сколько корней уравнения 2cos3x 1  0 принадлежат промежутку 0; 2  :
 1.3;  2.4;  3.5;  4. 6?
(Правильный вариант: 4)
Какая из прямых является наклонной асимптотой для графика функции
x2  x  1
f ( x) 
:
x
 1. y  x ;  2. y  x  1 ;  3. y  x  1 ;  4. y  x  2 ?
(Правильный вариант: 2)
Какая из прямых является наклонной асимптотой для графика функции
x3  1
f ( x)  2
:
x 1
 1. y  x ;  2. y  x  1 ;  3. y  x  1 ;  4. y  x  2 ?
(Правильный вариант: 1)
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.
На каких из указанных промежутков функция f ( x) 
x2 1
принимает
( x  2) 2
только положительные значения:
 1. (2;  1) ;  2. (1; 0) ;  3. (0; 1) ;  4. (1; ) ?
(Правильные варианты: 1, 4)
На каких из указанных промежутков функция f ( x) 
x 2 ( x 2  4)
принимает
x 1
только положительные значения:
 1. (2;  1) ;  2. (1; 0) ;  3. (0; 2) ;  4. (2;  ) ?
(Правильные варианты: 1, 4)
Пусть f ( x)  2 x , g ( x)  2 x  1 на всей числовой прямой. Какие из указанных
функций возрастают на всей числовой прямой:
 1. f ( x)  g ( x) ;  2. f ( x)  g ( x) ;  3. f 2 ( x)  g 2 ( x) ;  4. f 3 ( x)  g 3 ( x) ?
(Правильные варианты: 1, 4)
Как ведет себя функция f ( x) 
x2
, когда x приближается к точке
( x  1) 2
a  1 :
f ( x)   при x  1, x  1 ;
f ( x)   при x  1, x  1 ;
f ( x)   при x  1, x  1 ;
f ( x)   при x  1, x  1 ?
(Правильные варианты: 2, 4)
 1.
 2.
 3.
 4.
Для каких функций f ( x) в точке 1 предел слева равен пределу справа:
x3  1
x 1
x 1
x3  1
 1. f ( x) 
;  2. f ( x)  3
;  3. f ( x) 
;  4. f ( x)  3
?
x 1
x 1
x 1
x 1
(Правильные варианты: 1, 3)
Для каких функций f ( x) прямая y   x является наклонной асимптотой при
x   :
x2  1
x2
x2  x
x2  x
 1. y 
;  2. y 
;  3. y 
;  4. y 
?
x
x 1
x
x
(Правильные варианты: 1, 3)
Для каких функций f ( x) прямая y   x является наклонной асимптотой при
x   :
x2  1
x2
x2  x
x2  x
 1. y 
;  2. y 
;  3. y 
;  4. y 
?
x
x 1
x
x
(Правильные варианты: 1, 3)
Домашнее задание
1. Найдите область определения функции:
а) f ( x)  x2 2 ;
x 1
б) f ( x) 
2x  3 ;
x  3x  2
2
4 x  1 ;г) f ( x )  1 ;
6 x2  5x  1
x3  x
д) f ( x)  2 x  3 ;
е) f ( x)  ( x  2)( x  3) .
в) f ( x) 
2*. Найдите область определения функции:
а) f ( x)  x 2  2 x  3 ;б) f ( x) 
x 1 ;
x2
2
д) f ( x)  x  1 ;
x2
x 1 ;
x
г) f ( x)  x 4  5x 2  4 ;
в) f ( x) 
е) f ( x)  x( x 2  4) .
3**. Найдите область определения функции:
x ;
б) f ( x)  log x2 1 (2 x  1) ;
x2
2 x ;
в) f ( x)  log 2 x (2  x  x 2 ) ;г) f ( x)  log
( x 1)
x2
д) f ( x)  log x (3x  1) ; е) f ( x)  log3 x ( x2  1) .
а) f ( x)  log 2
4. Найдите нули функции:
а) f ( x)  x3  3x 2  2 x ;
б) f ( x)  ( x 2  2)2 ;
2
г) f ( x)  12  2  3 ;
в) f ( x )  x  x  1 ;
x
x
x 1
2
2
д) f ( x)  ( x  2 x  3)  x ;е) f ( x)  x  1 .
x3  1
5. Найдите промежутки знакопостоянства для функции:
а) f ( x)  x( x  1)( x  2) ; б) f ( x)  ( x 2  1)( x  2) ;
2
в) f ( x )  x2  1 ;
г)  f ( x)  2 x  x ;
x 4
x  5x  6
x3  1 ;
x  3x  2
f ( x)  x  x  2 ;
д)  f ( x) 
ж) 
3
е)  f ( x)  x 3  1 ;
x 1

з) f ( x)  x  2  2 x  6 ;
2
и)  f ( x)  5 x 2  1  4 x .
6. Найдите промежутки монотонности для функции:
а) f ( x)  x3  x 2 ;
б) f ( x)  x  1 ;
x
2
г)  f ( x)  ( x  2)  x ;
в) f ( x)  x ;
x2
д)  f ( x)  ( x 2  1)2 ;е)  f ( x)  x  4 .
4
x
7. Для функций из задачи 6 найдите точки локального экстремума.
8. Изобразите график функции с его горизонтальной и вертикальной
асимптотой:
а) f ( x)  2 ; б) f ( x)  1 ;
x 1
2x 1

1
в) f ( x)  1 
; г) f ( x)  x  1 ;
x 1
x2
д)  f ( x)  2 x  1 ;е)  f ( x)  3x  1 .
4x  2
2x 1
9*. Найдите наклонные асимптоты для функции:
2
2
а) f ( x )  x  x  1 ;б) f ( x)  x ;
x 1
x2
2
3
2
в) f ( x)  x  1 ; г) f ( x)  x  2 x 2 3x  1 ;
x2
x
3
3
д) f ( x)  x 2 ; е)  f ( x)  ( x  1)2 .
( x  1)
( x  1)
Словарь терминов
Монотонная функция. Монотонные – общее названии для функций,
изменяющихся в одном направлении, то есть для возрастающих, строго
возрастающих, убывающих, строго убывающих. Функция f ( x) называется
возрастающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и x2 из D
неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция f ( x)
называется строго возрастающей на промежутке D , если для любых чисел
x1 и x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется убывающей на промежутке D , если для любых чисел x1 и
x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция
f ( x ) называется строго убывающей на промежутке D , если для любых
чисел x1 и x2 из D неравенство x1  x2 влечет неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) .
Если функция f ( x) имеет положительную производную в каждой
точке промежутка D , то функция f ( x) строго возрастает на этом
промежутке. Соответственно, если функция f ( x) имеет отрицательную
производную в каждой точке промежутка D , то функция f ( x) строго
убывает на этом промежутке.
Касательная к графику функции. Уравнение касательной к графику
функции y  f ( x) , проведенной через точку с абсциссой a , имеет вид
y  f (a)  f (a)( x  a ) (при условии, что функция f имеет производную в
точке a ).
Точка экстремума. Точка a называется точкой нестрогого
локального максимума функции f ( x) , если существует такой интервал U ,
содержащий точку a , что при всех x из U , входящих в область
определения, выполняется неравенство f (a )  f ( x) . Точка a называется
точкой нестрогого локального минимума функции f ( x) , если существует
такой интервал U , содержащий точку a , что при всех x из U , входящих в
область определения, выполняется неравенство f (a )  f ( x) . Вместе для
точек локального максимума и локального минимума используют общее
название — точки экстремума.
Асимптота функции. Функция f ( x) имеет при x   асимптоту
y  kx  b в том и только в том случае, когда существуют следующие
f ( x)
пределы: k  lim
, b  lim ( f ( x)  kx) .
x 
x 
x
Выпуклость функции. Функция f ( x) называется выпуклой вверх на
промежутке D , если график функции на этом промежутке лежит ниже
каждой касательной, проходящей через точку графика. Для доказательства
выпуклости вверх функции f ( x) на промежутке D можно использовать
следующий признак: если на промежутке D производная f ( x ) убывает, то
функция f ( x) выпукла вверх на этом промежутке.
Функция f ( x) называется выпуклой вниз на промежутке D , если
график функции на этом промежутке лежит выше каждой касательной,
проходящей через точку графика. Для доказательства выпуклости вниз
функции f ( x) на промежутке D можно использовать следующий признак:
если на промежутке D производная f ( x ) возрастает, то функция f ( x)
выпукла вниз на этом промежутке.
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. – 9-2-01-1.cdr
Рисунок 2. – 9-2-01-2.cdr
Рисунок 3. – 9-2-02-3.cdr
Рисунок 4. – 9-2-03-4.cdr
Рисунок 5. – 9-2-04-5.cdr
Рисунок 6. – 9-2-04-6.cdr
Рисунок 7. – 9-2-04-7.cdr
Рисунок 8. – 9-2-04-8.cdr
Рисунок 9. – 9-2-04-9.cdr
Рисунок 10. – 9-2-05-10.cdr
Рисунок 11. – 9-2-08-11.cdr
Рисунок 12. – 9-2-10-12.cdr
Рисунок 13. – 9-2-12-13.cdr
Рисунок 14. – 9-2-12-14.cdr