 1. .

Примеры решения задач
1. Найти экстремум функции
 (x 1 , x 2 )  2 x 12  3 x 22  x 1 x 2  2 x 1  x 2 .
Решение.
Необходимые условия экстремума:

 4 x1  x2  2  0 ,
x 1

 6 x2  x1  1  0 .
x2
Из системы уравнений
4x1  x 2  2 ,
 x  6 x  1
 1
2
2 
 11
находим x 2  ( x 1 , x 2 )   ;  .
 23 23 
Достаточные условия экстремума:
 2  2
 2
   2  2  2
,
x 1 x 2
x 1 x 2
 2
 2
 2
 4,
 6,
 1 ,
x 1 x 2
x 12
x 22
   4  6  2  1  8  0 .
2 
 11
Следовательно, в точке  ;  функция имеет минимум:
 23 23 
2
2
11  2 
11  2 
 11 
 2 
( x , x )  2     3     
    2 
  .
23
23
23
23
23
 




 23 

1

2
2. Для изготовления 2-х видов продукции используются 3 типа ресурсов.
Запасы ресурсов и их расход на изготовление продукции, а также
прибыль, получаемая от реализации одной единицы продукции, приведены в
таблице:
Число единиц ресурсов,
затрачиваемых на изготовление одной
Тип
Запас
единицы продукции
ресурса
ресурса
1-й вид продукции 2-й вид продукции
1-й тип
2
0,04
1
2-й тип
4
0,5
2
3-й тип
6
1
3
Прибыль от реализации единицы
35
16
продукции
Требуется построить математическую модель задачи линейного
программирования для составления такого плана производства продукции,
при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Решение.
35 x1  16 x 2  max
при
0,04 x1  x 2  2
0 ,5 x 1  2 x 2  4
x1  3 x 2  6
x1  0
x2  0
3. По данным отчетного периода получен следующий баланс
трехотраслевой экономической системы:
Потребители
№
Конечная
Валовая
отраслей
продукция
продукция
1
2
3
20
40
30
110
200
1
2
30
16
60
54
160
3
10
24
16
150
200
Определить валовый выпуск отраслей,
конечный продукт Y 3  130 , 60 , 160  .
обеспечивающий
Решение.
Расчет коэффициентов прямых затрат: a i j 
a1 1 
x1 1

a3 1 
x3 1

20
 0,1;
X 1 200
x1 2 40
a1 2 

 0,25;
X 2 160
x1 3
30
a1 3 

 0,15;
X 3 200
x 2 1 30
a2 1 

 0,15;
X 1 200
x 2 2 16
a2 2 

 0,1;
X 2 160
x 2 3 60
a2 3 

 0,3;
X 3 200
X1
10
 0,05;
200
xi j
Xj
,
новый
a3 2 
x3 2
X2
x3 3

24
 0,15;
160
16
 0,08.
X 3 200
 0 ,1 0 , 25 0 ,15 
A3 , 3    0 ,15 0 ,1 0 , 3 


0
,
05
0
,
15
0
,
08


a3 3 

Расчет коэффициентов полных затрат:
B3, 3  E3, 3  A3, 3  
1
1
  1 0 0   0,1 0,25 0,15  


   0 1 0    0,15 0,1 0,3   
  0 0 1   0,05 0,15 0,08  
 


1
 0,9  0,25  0,15 
   0,15 0,9
 0,3  


  0,05  0,15 0,92 
 1,19 0,38 0,32 
  0,23 1,25 0,45  1


0
,
1
0
,
22
1
,
18


Определение валового выпуска отраслей:
1
X 3 , 1  E3, 3  A3, 3   Y3 , 1 
 1,19 0,38 0,32   130
  0,23 1,25 0,45    60  

 

 0,1 0,22 1,18   160
 229,37 
  176,62 


 215,18 
4. Для реконструкции трех заводов выделено 5 млн. руб.
капиталовложений. Увеличение выпуска продукции (в млн. руб.) после
реконструкции в зависимости от выделенного i -ому заводу i  1,3 объема
капиталовложений x обозначим z i ( x ) и зададим в таблице:
z1 ( x )
z2 ( x )
z3 ( x )
x
1
5
7
6
2
12
10
13
3
16
14
18
4
21
20
21
5
23
25
22

1
Обратная матрица рассчитана на ПК с помощью Excel

Необходимо найти вариант распределения капиталовложений, при
котором суммарное увеличение выпуска продукции на трех заводах
максимально.
Решение.
Сначала (прямой прогон) рассчитаем функции, показывающие
суммарное увеличение выпуска продукции на k заводах, по рекуррентному
соотношению:
z 1...k ( y )  max z k ( x k )  z 1...( k 1 ) ( y  x k ).
0  xk  y
Для k  1 , т.е. при выделении объема капиталовложений y одному
заводу (например, первому) функция совпадает с z 1 ( x ) .
Рассчитаем функцию z 12 :
z ( 0 )  z ( 1 ) при x  0 
0 5
z 12 ( 1 )  max
 z 2 ( 1 )  z 1 ( 0 ) при x 2  1  max 7  0  7 ,
 2

1
2


 z 2 ( 0 )  z 1 ( 2 ) при x 2  0 

 0  12 

z 12 ( 2 )  max z 2 ( 1 )  z 1 ( 1 ) при x 2  1   max 7  5   12 ,


10  0 

 z 2 ( 2 )  z 1 ( 0 ) при x 2  2 

 0  1 6
 z 2 ( 0 )  z 1 ( 3 ) при x 2  0 
 7  1 2


z 12 ( 3 )  max z 2 ( 1 )  z 1 ( 2 ) при x 2  1   max
 19 ,
z 2 ( 2 )  z 1 ( 1 ) при x 2  2
1 0  5
 z ( 3 )  z ( 0 ) при x  3


 2

1
2
1 4  0 
 0  2 1
 z 2 ( 0 )  z 1 ( 4 ) при x 2  0 
 7  1 6
 z 2 ( 1 )  z 1 ( 3 ) при x 2  1 


z 12 ( 4 )  max z 2 ( 2 )  z 1 ( 2 ) при x 2  2   max 1 0  1 2   23 ,
 z 2 ( 3 )  z 1 ( 1 ) при x 2  3 
1 4  5 
 z 2 ( 4 )  z 1 ( 0 ) при x 2  4 
2 0  0 
 z 2 ( 0 )  z 1 ( 5 ) при x 2  0 
 0  2 3
 z 2 ( 1 )  z 1 ( 4 ) при x 2  1 
 7  2 1
 z 2 ( 2 )  z 1 ( 3 ) при x 2  2 




z 12 ( 5 )  max z 2 ( 3 )  z 1 ( 2 ) при x 2  3   max 1 0  1 6   2 8 .
1412
 z 2 ( 4 )  z 1 ( 1 ) при x 2  4 
2 0  5 
 z 2 ( 5 )  z 1 ( 0 ) при x 2  5 


2 5  0 


Рассчитаем функцию z 123 ( y0 )  z 123 ( 5 ) , т.к. только при полном
выделении капиталовложений всем заводам достигается максимальное
суммарное увеличение выпуска ими продукции:
 0  2 8
 z 3 ( 0 )  z 12 ( 5 ) при x 3  0 
 6  2 3
 z 3 ( 1 )  z 12 ( 4 ) при x 3  1 


 z 3 ( 2 )  z 12 ( 3 ) при x 3  2 
z 123 ( 5 )  max
 max 1 3  1 9   3 2 .

z ( 3 )  z ( 2 ) при x  3
1812
 z 3 ( 4 )  z 12 ( 1 ) при x 3  4 
2 1  7 
12
3
 3



 z 3 ( 5 )  z 12 ( 0 ) при x 3  5 
2 2  0 
Затем (обратный прогон) находим, что максимальное суммарное


увеличение выпуска продукции не трех заводах z 123 ( 5 )  32 млн. руб. При
этом третьему заводу выделяется 2 млн. руб. капиталовложений, а остальным
двум – 3 млн. руб.
При выделении двум оставшимся заводам 3 млн. руб. капиталовложений
максимальное суммарное увеличение выпуска продукции на них z 12 ( 3 )  19
млн. руб. При этом второму заводу выделяется 1 млн. руб. Тогда первому
заводу выделяется оставшиеся 2 млн. руб. капиталовложений.
Итак, максимальное суммарное увеличение выпуска продукции на трех
заводах 32 млн. руб. при оптимальном распределении капиталовложений
x 3  ( x 1 , x 2 , x 3 )  ( 2 ; 1 ; 2 ) млн. руб.
5. Найти условный экстремум функции
 (x 1 , x 2 )  4 x 12  3 x 22  2 x 1 x 2  x 1  x 2
при условии (ограничении)
x1  3 x2  5 .
Решение.
Составим функцию Лангранжа:
L  4 x 12  3 x 22  2 x 1 x 2  x 1  x 2   ( x 1  3 x 2  5 ) .
Необходимые условия экстремума:
L
 8 x1  2 x2  1    0 ,
x 1
L
 6 x 2  2 x 1  1  3   0 ,
x 2
L
 x1  3 x2  5  0 .

Из системы уравнений
 8 x 1  2 x 2    1 ,
  2 x 1  6 x 2  3   1 ,
 x 1  3 x 2
 5
находим
x 1  1, x 2  2 ,   5 .
Достаточные условия экстремума:
  2 
 2  2


  8  ( 6 )  2( 2 )  8  6  4  2  0.
  2  2  2

x

x
x 1
x 2
 1 2
Следовательно, в точке
x 2  ( x 1 , x 2 )  ( 1;2 ) целевая функция
 (x 1 , x 2 ) имеет максимум:
 ( x 1 , x 2 )  4  ( 1 ) 2  3  ( 2 ) 2  2( 1 )( 2 )  ( 1 )  ( 2 ) 
 4  12  4  1  2  13.
Примеры решения задач
1. Какое должно быть непроизводственное потребление С t  на
интервале времени 0  t  1 для того, чтобы рост валового продукта
t
N
определялся зависимостью X t   e ?
Решение.
Используем уравнение движения:
dX t  1  a
1

X t   C t .
dt
b
b
Производная функции валового продукта:
 Nt
d  e
dX t 
 
dt
dt


  t
  eN



t

1 N
  e .

N

Подставим в уравнение движения:
1 N 1 a N 1
e 
e  C t  .
N
b
b
t
t
Выразим функцию непроизводственного потребления:
1
1 a N 1 N
C t  
e  e ,
b
b
N
t
t
t
b N 
b N
N
C t   1  a e  e   1  a  e .
N
N

t
b N

Ответ: C t    1  a  e .
N

t
t
2. Во сколько раз увеличится непроизводственное потребление C (t ) в
конечный момент времени t  1 по сравнению с начальным моментом
времени t  0 , если рост валового продукта определяется зависимостью
t
N
X t   e ?
Решение.
Функция непроизводственного потребления при
b

C 1   1  a  e N .
N

t  1:
1
Функция непроизводственного потребления при
b
b

C 0   1  a  e N  1  a  .
N
N

0
Тогда:
t  0:
b

 1  a  e N
1
C 1 
N
N

e .
b
C 0
1 a 
N
1
1
N
Ответ: e .
3. Какие нужны капитальные вложения I t  на интервале времени
0  t  1 для того, чтобы воспроизводство основных производственных
t
N
фондов (ОПФ) определялось зависимостью K t   e ?
Решение.
Используем уравнение движения:
dK t 
  K t   I t  .
dt
Производная функции ОПФ:
 Nt
d  e
dK t 
 
dt
dt


  t
  eN



t

1 N
  e .

N

Подставим в уравнение движения:
t
t
1 N
e   e N  I t  .
N
Выразим функцию валовых капитальных вложений:
1
1

I t   e  e N     e N .
N
N

t
1 N

e .
Ответ: I t     
N


t
N
t
t
4. Рассчитайте значение целевого функционала, определяющего
качество изменения ОПФ на интервале времени 0  t  1 , при найденной в
задаче 3 функции
Решение.
I (t ) .
1
 1

J    I t dt   K 1      e N dt   e N 

0
0 N
t
1
1
0
1

 1
1 N
 1
  N
N
N 
N
       e dt  e      N  e  e    e 
N
0
N
 

1
1
t
1
1
 N1

  1  N  e  1   e N .


1
 N1

N
Ответ: J   1  N  e  1    e .


5. Во сколько раз нужно увеличить капитальные вложения
I (t )
в
конечный момент времени t  1 по сравнению с начальным моментом
t  0 для того, чтобы воспроизводство основных
времени
t
N
производственных фондов (ОПФ) определялось зависимостью K t   e ?
Решение.
Функция валовых капитальных вложений (см. задачу 3) при t  1 :
1  N1

I 1     e .
N

Функция валовых капитальных вложений (см. задачу 3) при
t  0:
1
1

I 0     e N    .
N
N

0
Тогда:
1

   e N
1
I 1 
N
N

e .
1
I 0

N
1
1
N
Ответ: e .
6. Рассчитать значение целевого функционала в задаче оптимального
управления развитием экономики на интервале управления 0  t  1 при
X t   e
t
bN
.
Решение.
Используем уравнение движения:
dX t  1  a
1

X t   C t .
dt
b
b
Производная функции валового продукта:
 bNt 
d  e 

t
t


dX t 
1 bN


bN

  e  
e .
dt
dt
bN


Подставим в уравнение движения:
1 bN 1  a bN 1
e 
e  C t .
bN
b
b
t
t
Выразим функцию непроизводственного потребления:
1
1  a bN
1 bN
C t  
e 
e ,
b
b
bN
t
t
t
1 bN 
1  bN
bN
C t   1  a e  e   1  a  e .
N
N

t
t
Расчет значения целевого функционала:
1
J   e
 t
1
C t dt   X 1   e
0
 t
0
 1

  t

 bN

1
1

 1  a  e bN dt   e bN 
N

t
1
1 1

   1  a   e
dt   e bN 
N 0

1

  1  a     1  1  1   0 
1
N    bN 

 bN
 
bN

e
e
 e 


1



bN
1

1  a   1
1

N   bN 


 1    e bN .
e
1



bN

Ответ: J  
1
1
 1
1

N   bN 
bN

 1  e .
e
1



bN
1  a 
7. Рассчитать значение целевого функционала в задаче оптимального
управления распределением капитальных вложений на интервале управления

0  t  1 при K t   e .
N
t
Решение.
Используем уравнение движения:
dK t 
  K t   I t  .
dt
Производная функции основных производственных фондов (ОПФ):
 N t 
d  e 


t 

dK t 
 N t


N

  e   e .
dt
dt
N


Подставим в уравнение движения:

N

e
N
t
  e

N
t
 I t  .
Выразим функцию валовых капитальных вложений:

I t  
N

e
N
t
 e

N
t



 t
1
 t
    e N     1 e N .
N

N

Расчет значения целевого функционала:


1
 1
 t
J    I t dt   K 1      1 e N dt   e N 
N

0
0


1
1 N t
N
   1   e dt   e 
N
0



0
 1
 N  N 1
N 
N
   1   e  e    e 
N


1
1

 N

N
  1  N  e  1    e .



 N

N
Ответ: J   1  N  e  1    e .


8.
Для
роста
валового
продукта,
определяемого
зависимостью
t
N
X t   e ,
рассчитано, что непроизводственное потребление, т.е.
управление в задаче оптимального управления развитием экономики, должно
b

быть C t    1  a  e N . Требуется определить, во сколько раз нужно
N

t
увеличить непроизводственное потребление, т.е. изменить управление в
задаче оптимального управления развитием экономики, для того, чтобы рост
валового продукта увеличился в
Решение.
e
1
N
При росте валового продукта в
будет иметь вид:
раз.
e
1
N
раз функция валового продукта
t
N
X Б t   e  e
1
N
e
t 1
N
.
Используем уравнение движения:
dX Б t  1  a
1

X Б t   C Б t  .
dt
b
b
Производная функции валового продукта:
 tN1 
d  e 
t 1 
t 1


dX Б t 
1 N


N

  e   e .
dt
dt
N


Подставим в уравнение движения:
t 1
t 1
1 N 1 a N 1
e 
e  C Б t  .
N
b
b
Выразим функцию непроизводственного потребления:
t 1
t 1
1
1 a N
1
C Б t  
e  eN,
b
b
N
t 1
t 1
t 1
b N 
b N
N
C Б t   1  a e  e   1  a  e .
N
N

Нужно увеличить непроизводственное потребление в такое количество
раз:
t 1
b

 1  a  e N
1
C Б t  
N
N

e .
t
C t 
b


 1  a  e N
N

1
N
Ответ: e .
9. Во сколько раз нужно уменьшить валовые капитальные вложения
(инвестиции) I t для того, чтобы основные производственные фонды

t
N

 1

   t
N

уменьшились с K t   e
до K t  e
в задаче оптимального
управления распределением капитальных вложений?
Решение.
При K t   e
t
N
1

I t      e N .
N

t
функция валовых капитальных вложений (см. задачу 3)
При
K М t   e
 1

   t
N

функция валовых капитальных вложений
определяется следующим образом.
Используем уравнение движения:
dK М t 
  K М t   I М t  .
dt
Производная функции ОПФ:
  N1    t 
 
d  e
 1


   1    t 
  t
dK М t 
1




N
N




     e

 e
.

 N
dt
dt



Подставим в уравнение движения:
 1

 1

  t
 1
  N    t
N



e



e
 I М t  .


N


Выразим функцию валовых капитальных вложений:
 1

 1

 1

  t
1   t
 1
   t
I М t      e  N   e  N   e  N  .
N
N

Нужно уменьшить валовые капитальные вложения в такое количество
раз:
 1

 1  1
   e N

      t
I t   N


 1  N e  N  N    1  N e  t .
 1

I М t 
1  N    t
e
N
Ответ: 1  N e  t .
t