Урок 5

Урок 5
Одним из самых важных приложений производной является применение ее к одной из
главных задач дифференциального исчисления - исследованию функций и построению
графиков функций.
Исследование функций с помощью производной
Возрастание и убывание функций
Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если для любых
точек x1 и х2, принадлежащих данному интервалу, из условия х1 < x2, следует неравенство
f(x1) < f(x2).
Функция y = f(x) называется неубывающей на некотором интервале, если для любых
точек x1 и х2, принадлежащих данному интервалу, из условия х1 < x2, следует неравенство
f(x1)  f(x2).
Функция y = f(x) называется убывающей на некотором интервале, если для любых
точек х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, из условия х1 < х2, следует неравенство
f(x1) > f(x2).
Функция y = f(x) называется невозрастающей на некотором интервале, если для
любых точек х1 и х2, принадлежащих этому интервалу, из условия х1 < х2, следует
неравенство f(x1)  f(x2).
Функция y = f(x) называется монотонной на некотором интервале, если она на этом
интервале только возрастающая (неубывающая) или только убывающая (невозрастающая).
Критерий возрастания и убывания функций
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале
(a, b). Тогда для того, чтобы функция f(x) была возрастающей на этом отрезке необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство f  (x) > 0 для любого x  (a, b).
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале
(a, b). Тогда для того, чтобы функция f(x) была убывающей на этом отрезке необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось неравенство f  (x) < 0 для любого x  (a, b).
Если монотонная на интервале (a, b) функция дифференцируема на этом интервале, то
ее производная не меняет знака на интервале (a, b).
Экстремумы функции
Точка хо называется точкой локального минимума функции f(x), если существует
такая окрестность точки х0, в которой функция определена и для любой точки х  х0 из этой
окрестности выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
Y
x0
X
Точка хо называется точкой локального максимума функции f(x), если существует
такая окрестность точки х0, в которой функция определена и для любой точки х  х0 из этой
окрестности выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Y
x0
X
Точки локального минимума и локального максимума функции называют точками
локального экстремума.
Необходимое условие экстремума
Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная
равна нулю (f (x0) = 0) или не существует.
Точки, в которых производная данной функции
равна нулю, называются
стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее
производная равна нулю, или не существует, называются критическими точками функции.
Необходимое условие не является достаточным, т. е. из того, что производная
некоторой функции в данной точке обращается в ноль (или не существует) еще не следует,
что эта точка обязательно будет точкой экстремума.
Например, рассмотрим функцию y = x3. Производная этой функции y ′ = 3x2
обращается в ноль в точке x0 = 0. Но функция y = x3 не имеет экстремума в точке x0 = 0. Или
функция y  3 x , для которой производная y  
1
3
3 x2
в точке x0 = 0 не существует, не имеет
экстремума в точке x0 = 0.
Достаточные условия экстремума
1. Первый достаточный признак экстремума.
Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности (х0 – , x0 + ) критической
точки х0, дифференцируема в ее проколотой окрестности, тогда:
 f ( x)  0 при x  ( x0  δ, x0 ),
а) если 
 f ( x)  0 при x  ( x0 , x0  δ),
то х0 – точка максимума функции (рис. 3.);
f (x)
+
–
x0
max
f(x)
Рис. 3
 f ( x)  0 при x  ( x0  δ, x0 ),
б) если 
 f ( x)  0 при x  ( x0 , x0  δ),
то х0 – точка минимума функции (рис. 2.6.4).
f (x)
f(x)
+
–
x0
min
Рис. 4
2. Второй достаточный признак экстремума.
Пусть в точке x0 функция имеет первую и вторую производную. Точка x0 есть точка
экстремума функции y = f(x), если f ′ (x0) = 0, а f ′′ (x0)  0, причем
если f ′′ (x0) > 0, то x0 − точка локального минимума,
f ′′ (x0) < 0, то x0 − точка локального максимума.
Точки перегиба и выпуклость графика функции
График функции y = f(x) выпукл вниз на интервале (а, b), если на этом интервале дуга
кривой расположена выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Y
y = f(x)
О
a
b
X
График функции y = f(x) выпукл вверх на интервале (а, b), если дуга кривой на этом
интервале расположена ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Y
y = f(x)
О
a
b
X
Достаточные условия выпуклости.
Пусть функция y = f(x) имеет первую и вторую производную на интервале (а, b).
Тогда:
– если f (x) ≤ 0 для любого x  (а, b), то график функции выпукл вверх;
– если f (x) ≥ 0 для любого x  (а, b), то график функции выпукл вниз.
Точки перегиба.
Точка P(х0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в этой
точке график имеет касательную и существует окрестность точки х0 оси ОХ, в пределах
которой слева и справа от х0 график функции имеет разные направления выпуклости.
Y
P
f(x0)
O
x0
X
Необходимое условие точки перегиба
Точка x0 может быть точкой перегиба, если в этой точке вторая производная равна
нулю или не существует.
Достаточные признаки точки перегиба
1. Первый достаточный признак точки перегиба
Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и имеет вторую производную в
некоторой окрестности этой точки. Если при переходе через точку x0 вторая производная
меняет знак, то точка x0 является точкой перегиба.
2.Второй достаточный признак точки перегиба
Пусть функция y = f(x) непрерывна в точке x0 и имеет вторую производную в
некоторой окрестности этой точки. Если f ′′(x0) = 0, а f ′′′(x0)  0, то точка x0 является точкой
перегиба.
План построения графика функции
1. Найти О.Д.З.
2. Определить, является ли функция четной или нечетной.
3. Определить, является ли функция периодической или общего вида.
4. Найти точки пересечения с осями координат.
5. Найти промежутки постоянства знака значений функции.
6. Найти асимптоты функции.
7. Нарисовать эскиз графика функции.
8. Найти экстремумы функции и промежутки монотонности.
9. Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.
10. Найти дополнительные точки.
11. Построить график функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее (наименьшее) значения непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a, b]
достигаются либо в критических точках этого отрезка, либо на концах отрезка.
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции f(x) на отрезке [a, b], надо:
1) найти f  (x);
2) найти критические точки, т.е. точки, в которых f  (x) = 0 или не существует;
3) среди получившихся точек выбрать те, которые принадлежат отрезку [a, b];
4) найти значение функций в выбранных точках и на концах отрезка;
5) cреди получившихся значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 1.
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции
y = (x + 1)2(x – 3)2 .
Решение
Найдем производную:
2
y   ( x  1) 2 ( x  3) 2    ( x  1) 2   x  3  ( x  1) 2
 x  3  
 2( x  1)  x  3  2( x  1) 2  x  3 
2
 2( x  1)  x  3 ( x  3  x  1)  2( x  1)  x  3 (2 x  2)
2
Найдем нули производной:
2( x  1)  x  3 (2 x  2)  0 ;
x + 1 = 0 или x – 3 = 0 или 2x – 2 = 0;
x = –1,
x=3
x=1
На числовой оси отметим нули первой производной и определим знаки получившихся
интервалов:
f ′(x)
f(x)
–
−
+
+
−1
1
3
min
mах
min
X
Найдем значения функции в точках экстремума:
у(−1) = 0,
у(3) = 0,
у(1) = (1 + 1)2(1 – 3)2 =16.
Тогда в точке (1,16) – максимум функции, в точках (−1,0) и (3,0) – минимум функции.
Итак, на интервалах ( −1,1) и (3, ) функция возрастает; на интервалах (−∞,−1) и
(1, 3) функция убывает, (1,16) – точка максимума функции, (−1,0) и (3,0) – точки минимума
функции.
Пример 2.
x3
Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции y 
.
( x  2)2
Решение

3 
2
3
2 
 x3   x  ( x  2)  x  ( x  2) 
y  


2 
( x  2) 4
 ( x  2) 

3x 2 ( x  2)2  2 x3 ( x  2) x 2 ( x  2)(3( x  2)  2 x)


( x  2)4
( x  2)4

x 2 (3x  6  2 x) x 2 ( x  6)

.
( x  2)3
( x  2)3
Найдем нули первой производной:
y = 0;
x2(x + 6 ) = 0;
x = 0 или
x + 6 = 0,
x  6
На числовой прямой отметим нули числителя и нули знаменателя первой
производной и определим знаки получившихся интервалов:
f ′(x)
f(x)
–
+
−6
max
+
−2
+
0
X
Найдем значение функции в точке экстремума.
y  6  
63
216

   13,5; тогда в точке  6, 13,5 – максимум функции.
2
(6  2)
16
На интервалах (−, −6), (−2, 0) и (0, ) функция возрастает, на интервале (−2, 0)
функция убывает.