Лабораторная работа № 6 Цилиндр в однородном поле ФГБОУ ВПО

ФГБОУ ВПО
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 6
Цилиндр в однородном поле
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2012
Лабораторная работа № 6
Цилиндр в однородном поле
Цель работы - исследование картины поля в окрестностях протяженного цилиндра,
помещенного в однородное поле в случае, когда проводимость цилиндра отличается от
проводимости окружающей среды методами физического и математического
моделирования.
Ключевые слова: однородное поле, возмущенное поле, потенциальное поле, картина
поля, уравнения Лапласа.
Описание установки
Установка (рис.1) состоит из устройства для формирования поля и измерительной
части. Для формирования поля используется лист электропроводящей бумаги и
металлические электроды, к которым подводится напряжение от источника питания U.
Для обеспечения надежного контакта электродов с бумагой лист накладывается на
упругую резиновую подложку, а электроды выполнены массивными.
Измерение потенциалов различных точек производится мультиметром (в режиме
измерения напряжения), снабженным щупом. При измерении «земляной» вывод
мультиметра присоединяют к одному из полюсов источника питания, а «сигнальный»
вывод к щупу. Прикасаясь концом щупа к проводящей бумаге, по показаниям
мультиметра определяют потенциал в точке прикосновения.
В работе исследуется поле в окрестности металлического цилиндрического
электрода, установленного на листе проводящей бумаги (проводимость цилиндра много
больше проводимости внешней среды γ2»γ1) и в окрестности цилиндрического отверстия,
выполненного в проводящей бумаге (проводимость цилиндра много меньше
проводимости внешней среды γ2«γ1). Внешнее поле в обоих случаях создается плоскими
электродами, расположенными параллельно друг другу.
Исследуемое поле симметрично относительно плоскости, проходящей через центр
цилиндра перпендикулярно к направлению внешнего поля, и эта плоскость является
эквипотенциальной. Для получения более подробной картины поля в данной работе один
из электродов устанавливается вдоль плоскости симметрии и исследуется лишь половина
общей картины поля.
Из-за ограниченности размеров модели, электроды, создающие однородное поле,
устанавливаются на расстоянии соизмеримом с радиусом цилиндра а = 3 см. Это вызывает
искажение картины поля по сравнению с теоретическим случаем. Для уменьшения
погрешности, вызванной конечными размерами модели, расстояние от центра цилиндра
до поверхности плоского электрода следует выбирать в 4-6 раз больше радиуса а
цилиндра.
Для исследуемого поля вблизи металлического цилиндра на лист проводящей бумаги
устанавливают цилиндрический электрод и вплотную к нему два коротких плоских
электрода так, чтобы их грани, обращенные к длинному электроду, находились в
плоскости, проходящей через центр цилиндра. Длинный плоский электрод устанавливают
параллельно с коротким расстоянием на расстоянии d.
Короткие электроды и цилиндр соединяют между собой проводником и
подключаются к одному из выводов источника питания, а длинный электрод к другому
(рис.2).
Для исследования поля вблизи отверстия на листе проводящей бумаги вырезается
круглое отверстие. Затем на бумагу устанавливают параллельно друг другу плоские
электроды (рис.3). Кромка одного из электродов должна проходить через центр отверстия,
кромка другого электрода должна быть расположена на расстоянии d от центра отверстия.
Величина d составляет 4-6 значений радиуса а отверстия.
Рис.1
Рис. 2
Рис. 3
Аналитическое описание поля цилиндра, помещенного в однородное поле
Электрическое поле в диэлектрике в области, где нет свободных зарядов; поле
постоянных токов в проводящей среде, в области, где нет источников сторонних сил;
описывается уравнением Лапласа 2  0 .
Когда совпадают формы границ областей с разними значениями параметров,
совпадают распределения диэлектрической проницаемости ε, проводимости γ и совпадают
граничные условия – имеет место подобие каждого из перечисленных выше полей. Это
обстоятельство позволяет одно поле моделировать другим.
Теоретически
наиболее
просто
удается
экспериментально
исследовать
плоскопараллельное поле в проводящей среде.
В
данной
работе
производится
экспериментальное
исследование
плоскопараллельного поля в проводящей бумаге. Результаты исследования могут быть
использованы для анализа электрического поля в диэлектрике и магнитного в
ферромагнетике.
Одним из полей, для которого известно аналитическое решение уравнения Лапласа,
является плоскопараллельное поле, существующее при внесении диэлектрического
цилиндра радиуса а.
Для бесконечно длинного цилиндра, радиус которого а и диэлектрическая
проницаемость ε2, помещенного в среду с проницаемостью ε1, так что ось цилиндра
перпендикулярна вектору напряженности однородного внешнего поля Е0, известно
аналитическое решение уравнения Лапласа для плоскости, перпендикулярной к оси
цилиндра в дали от его концов.
В цилиндрической системе координат потенциал вне цилиндра
  2  1  a  2 
e   E0 1 
   r cos .
  2  1  r  
(1)
Рис.4
Внутри цилиндра:
i   E0
21
r cos  .
 2  1
(2)
Выражение вектора напряженности поля может быть получено из соотношения
E   grad .
При этом радиальная и касательная составляющие напряженности поля вне
цилиндра:
  2  1  a  2 
Eer  E0 1 
   cos ,
  2  1  r  
  2  1  a  2 
Ee   E0 1 
   sin  .




2
1 r  

Для поля внутри цилиндра:
Ei  E0
21
 2  1
(3)
(4)
(5)
- поле внутри цилиндра однородно.
Аналогичные выражения имеют место и для проводящего цилиндра с
проводимостью γ2, помещенного в среду с проводимостью γ1. В частности, если считать
проводимость цилиндра бесконечно большой, напряженность поля внутри цилиндра и
касательная составляющая напряженности на его поверхности становятся равными нулю,
а радиальная составляющая равна Eer  2 E0 cos  .
Подготовка к работе
1. Рассчитать и построить профиль эквипотенциальной поверхности внешнего поля
  0, 4U для двух случаев:
а) проводимость цилиндра много больше проводимости бумаги,
б) проводимость цилиндра много меньше проводимости бумаги.
2. Объяснить как, располагая картиной эквипотенциальных поверхностей,
определить напряженность электрического поля в различных точках поля.
3. Как определить, является ли потенциальным поле с заданным аналитическим
законом распределения напряженности поля?
4. В чем особенности поля внутри цилиндра?
5. В каких точках напряженность внешнего поля максимальна при γ1> γ2 и при γ1< γ2.
Рабочее задание
Физическое моделирование
Исследование поля в окрестностях металлического цилиндра
1. Установить на листе проводящей бумаги цилиндрический электрод и плоские
электроды согласно рис.2. Обвести простым карандашом контуры электродов.
Подключить электроды к источнику напряжения U и построить экспериментально
эквипотенциали внешнего поля через каждые 10% от величины приложенного
напряжения.
2. На полученную картину нанести эквипотенциаль, рассчитанную в п.1 подготовки
к работе.
3. Построить силовые линии внешнего поля.
4. Определить максимальную плотность тока в проводящей бумаге.
Исследование поля в окрестностях цилиндрического отверстия
1. В листе проводящей бумаги, использованном в предыдущем эксперименте,
вырезать отверстие по контуру цилиндрического электрода. Перевернуть лист.
2. Установить на листе проводящей бумаги с вырезанным отверстием электроды,
согласно рис.3. Подключить электроды к источнику напряжения U и экспериментально
построить эквипотенциали внешнего поля через каждые 10% от величины приложенного
напряжения.
3. На полученную картину нанести эквипотенциаль, рассчитанную в п.1 подготовки
к работе.
4. Построить силовые линии внешнего поля.
5. Рассчитать плотность тока внутри цилиндра и величину тока, протекающего через
поперечное сечение цилиндра.
Методические указания
Полученную систему эквипотенциалей следует дополнить системой силовых линий.
При построении картины силовых линий следует выполнять следующие правила:
1. Линии напряженности поля и линии равного потенциала должны быть взаимно
перпендикулярны.
2. Ячейки сетки, образованной линиями равного потенциала и силовыми линиями,
должны быть подобны друг другу.
Если в каждой ячейке сетки обозначить среднее расстояние между соседними
эквипотенциалями n , а среднее расстояние между соседними силовыми линиями b , то
при построении системы силовых линий следует стремиться к тому, чтобы
n / b  const ; наиболее удобно, если это соотношение равно единице.
Построенная с соблюдением указанных требований картина поля позволяет
вычислить с определенным приближением ряд интегральных характеристик, таких,
например, как полные и частичные емкости и проводимости, величину тока электрода и
др.
Компьютерное моделирование
1. Создать на рабочем столе папку, с названием соответствующем номеру Вашей
учебной группы. В дальнейшем все выполняемые на компьютере задания
рекомендуется сохранять в этой папке.
2. Открыть программу ELCUT Студенческий двойным щелчком мыши по ярлыку
программы на рабочем столе
3. Создать новый файл командой Файл/Создать/Задача ELCUT или двойным
щелчком по пиктограмме
4. Задать имя новой задачи, в дальнейшем присваивать это же имя всем файлам в
рамках одной задачи. Нажать клавишу Обзор и указать путь к созданной Вами на
рабочем столе папке.
5. Задать характер исследуемого поля – электростатическое, класс модели – плоская,
расчет – обычный, единицы длины – сантиметры, система координат – декартовы
координаты.
6. Приступить к построению геометрической модели при помощи команды
Файл/Создать/Геометрическая модель.
7. Задать геометрию исследуемой модели – поле в окрестностях металлического
цилиндра. При физическом моделировании из-за симметрии исследуется лишь
половина общей картины поля, при компьютерном моделировании исследуется
полная картина поля (рис.5). Задать 4 вершины для построения ограниченной
расчетной области, размеры расчетной области 2dxl, где d – расстояние между
плоскими электродами при физическом моделировании, l – длина длинного
плоского электрода. Для ввода вершин расчетной области щелкнуть по
пиктограмме
(Вставка вершин/ребер). Выбрать команду Добавить
вершины щелчком правой клавиши мыши по рабочему полю. Задать координаты
4 вершин х=0, y=0; х=l, y=0; х=02, y=2d; х=l, y=2d (вводить измеренные в
лаборатории размеры модели). Изменить масштаб, чтобы на экране были видны
все 4 точки, при помощи пиктограммы
. Добавить еще 2 вершины на диаметре
цилиндрического электрода (координаты вершин х=l/2-a, y=d; х=l/2+a, y=d, где а –
радиус цилиндрического электрода). Выбрать в верхней командной строке
команду Половина круга, соединить точки на диаметре окружности, не отпуская
клавишу мыши, при этом должна быть активна пиктограмма
. Выбрать в
верхней командной строке команду Прямая линия, соединить точки-вершины
прямоугольной расчетной области, не отпуская клавишу мыши, при этом должна
быть активна пиктограмма
.
8. Описать построенную модель с помощью меток при помощи пиктограммы
.
Выделение объекта производится двойным щелчком по объекту. Присвоить метку
1 – области внутри окружности, метку 2 – внешней расчетной области, метку 3 –
верхнему электроду – линии, метку 4 – нижнему электроду-линии.
9. В левом окне раскрыть строку Физические свойства, щелкнуть правой клавишей
мыши по строке Метки блоков, выбрать команду Создать метку. Создать метки 1
и 2. Аналогично ввести метки ребер - 3 и 4.
10. Описать свойства блоков 1 и 2, двойным щелчком по метке 1 раскрыть диалоговое
окно. Задать диэлектрическую проницаемость – εх=1000000 (проводящая среда в
данной программе представляется как диэлектрик с большой диэлектрической
проницаемостью). Описать свойства блока 2 - εх=10, ребер - 3 (U=20B) и 4 (U=0B).
11. Построить расчетную сетку. Двойной щелчок левой клавишей мыши по любой из
вершин модели, в открывшемся окне выбрать раздел Шаг дискретизации, задать
его равным 3 или меньше, нажать ОК. Выделить левой клавишей мыши блок 1 на
геометрической модели, построить сетку щелчком по пиктограмме
Аналогично построить сетку в блоке 2.
.
Рис.5 Картина поля вблизи металлического цилиндра
12. Сохранить модель командой Файл/Сохранить как присвоив ему имя заданное в п.
3.
13. Решить задачу командой Задача/Решить. В качестве результатов расчета вывести
картину поля с нанесенными векторами напряженности, цветную картину поля с
указанием цветовой шкалы. Для этого щелкнуть правой клавишей мыши по
области решения задачи, выбрать опцию картина поля.
14. Самостоятельно смоделировать поле для случая цилиндрического отверстия
(рис.6).
Рис. 6 Картина поля вблизи цилиндрического отверстия.
Вопросы для допуска студентов к работе
1. Какова последовательность выполнения работы.
2. Как записываются выражения для определения потенциала и напряженности
электрического поля внутри и вне электрода?
3. Как по системе эквипотенциалей построить силовую линию?
4. Качественно изобразить картину поля (силовые линии и эквипотенциали) для
случая металлического цилиндра помещенного во внешнее однородное поле, и
цилиндрического отверстия.
4. Какие данные об объекте моделирования необходимы для компьютерного
моделирования?
5. Как в программе задается проводящая среда в случае металлического цилиндра во
внешнем поперечном поле?
1.
ЛИТЕРАТУРА
К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические
основы электротехники. Т.3. СПб. Питер, 2003.
2.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное
поле. М.: Высш. Шк., 1986.