виды линейных преобразований евклидовых пространств

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Так как евклидовы пространства являются линейными пространствами, то все свойства
линейных преобразований линейных пространств верны и в евклидовых пространствах. Но все
эти свойства связаны лишь с двумя алгебраическими операциями: сложением векторов и
умножением вектора на элемент поля Р. В евклидовом пространстве есть ещё одна операция:
скалярное умножение векторов. В зависимости от того как меняется скалярное произведение
выделяются некоторые частные виды линейных преобразований.
Ортогональные линейные преобразования
Определение 53. Линейное преобразование  евклидова пространства Е называется
ортогональным, если для любых векторов а и в из Е выполняется условие
(а, в)
= ((а), (в)).
(49)
Свойства ортогональных преобразований.
Пусть  – ортогональное преобразование пространства Е.
0
1 . | а| = |(а)| для любого вектора а.
| а| =

a 2 =  (a ) 2 = | (а)|.
 

20. a,  b =  (a),   (b) для любых векторов а и b .
30. Пусть Еn конечномерное евклидово пространство, е = (е1, е2, ... , еn) – базис в нём, А –
матрица преобразования  и Г – матрица Грама в этом базисе. Тогда (а) = Ах, ( b ) = Ау,
где
х и у –столбцы координат векторов а и b соответственно; (а, b ) = хТГу,
((а), ( b )) = (Ах)ТГ( Ау) = хТ(АТГА)у. Так как (а, b ) = ((а), ( b )), то Г = АТГА. Итак,
матрица ортогонального преобразования удовлетворяет условию
Г = АТГА
(50)
Справедливо и обратное. Если в Еn зафиксирован базис и Г – матрица Грама в этом
базисе, то матрица А, удовлетворяющая условию (48), задаёт ортогональное преобразование.
Если базис е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный, то Г = Е и формула (50) примет вид
АТ А = Е, или АТ = А–1.
Определение 54. Квадратная матрица А называется ортогональной, если
АТ = А–1
(51).
Теорема 48. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным
тогда и только тогда, когда в ортонормированном базисе оно задаётся ортогональной матрицей.
Доказательство следует из свойства 30 и определения 53.
Теорема 49. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда
сумма квадратов всех элементов любого столбца (или строки) равна 1, а сумма попарных
произведений соответствующих элементов двух различных столбцов (или строк) равна нулю.
Доказательство следует из формулы 51.
Теорема 50. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным
тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный
базис.
Доказательство.  Пусть  : Еn  Еn ортогональное преобразование и пусть
е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный базис в Еn . Если А – матрица этого преобразования в
базисе е, то А – ортогональная. Но тогда (е) = еА. Распишем это равенство, если
Получим (ек) = а1ке1 + а2ке2 + … + аnкеn . Так как базис е
 a11 a12 ... a1n 


ортонормированный, то
 a21 a22 ... a2 n 
2
А= 
.
((ек))2 = a12k  a22k  ...  ank
= (ек)2 = 1, т.е. все векторы (ек)
.
. ... . 


единичной длины. По той же причине
((ек), (ер)) =
a

 n1 an 2 ... ann 
а1ка1р + а2ка2р + … + аnкаnр = (ек , ер ) = 0,
если к  р, т.е. (ек)  (ер). Так как векторы системы (е) попарно ортогональны, то они
линейно независимы, т.е. (е) – базис. Итак, (е) – ортонормированный базис.
2
 Пусть е и (е) – ортонормированные базисы. Тогда 1 = ((ек))2 = a12k  a22k  ...  ank
и
0 = ((ек), (ер)) = а1ка1р + а2ка2р + … + аnкаnр при к  р. Следовательно, по теореме 49,
матрица А – ортогональная.
Теорема 51. Если матрица А ортогональная, то |А | =  1.
Действительно, если матрица А ортогональная, то АТ А = Е. Отсюда |АТА | = |Е |,
|АТ|| А| = 1, |А||А| = 1, |А|2 = 1, |А| = 1.
Теорема 52. Собственные значения ортогонального преобразования могут быть только 1
или (–1).
Доказательство. Пусть  – собственное значение ортогонального преобразования .
Тогда существует такой ненулевой вектор (х1, х2, … , хn )Т, что Ах = х, где А – матрица
преобразования . Равенство транспонируем и перейдём к сопряжённым числам, получим
T
T
T
T
T
T
x  A    x . Перемножим почленно оба равенства. x  A  A  x    x    x . Так как А –
действительная
T
ортогональная
матрица,
то
T
A  A  AT  A  E .
Следовательно,
T
x  x      x  x . Отсюда     1 , т.е. ||2 = 1. Но это и значит, что собственными
значениями могут быть только числа 1 и (–1).
Теорема53. Собственные векторы ортогонального преобразования, принадлежащие
различным собственным значениям ортогональны.
Доказательство. Для любых а и в из Еn имеет место (а, в) = ((а), (в)) = (1а, 2в) = =
12(а, в). Так как 1  2, то, согласно предыдущей теоремы, 1 =1, 2 = –1. Следовательно, (а,
в) = – (а, в). Отсюда (а, в) = 0. Так как а и в не нулевые, то они ортогональные.
Сопряженные линейные преобразования
Пусть  - линейное преобразование евклидова пространства Еn .
Определение 55. Линейное преобразование : Еn  Еn называется сопряжённым к
преобразованию , если для любых двух векторов а и в из Еn выполняется условие
(а, (в)) = ((а), в)
(52)
Теорема 54. Матрицы сопряжённых преобразований связаны формулой А = Г–1(А)ТГ.
Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2, ... , еn), Г – матрица Грама, А – матрица
преобразования  и А – матрица . Если х, у, у1 и х – столбцы координат векторов а,
в, (в) и (а)) соответственно, то (а, (в)) = хТГ у1, ((а), в) = (х)ТГ у. Используя
равенство (52), получим хТГ у1 = хГ у. Используя связь координат вектора и его образа
(формула (36)), получим у1 = Ау, х = А  х. Подставим в предыдущее равенство:
хТГ(Ау) = (Ах)ТГу , хТ(ГА)у = хТ((А)ТГ)у. Отсюда ГА = (А)ТГ , или
А = Г–1(А)ТГ
(53)
1 Т
–
Следствие 1. А = Г А Г
(54).
Доказательство. Из формулы (53) следует, что (А)Т = ГАГ–1, А = (Г–1)ТАТГТ. Так
как Г – симметрическая матрица, то ГТ = Г. Следовательно, А = Г–1АТГ .
Следствие 2. Сопряжённость линейных преобразований взаимна.
Доказательство следует из формул 53 и 54.
Следствие 3. Если базис ортонормированный, то А = АТ.
Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе Г = Е.
Пример. В базисе е = (е1, е2, е3 , е4) пространства Е4 скалярное произведение задано
3 0 0 1
 2 1 3 1




 0 1 0 0
  1 0 2 3
матрицей Грама Г = 
. Пусть А = 
– матрица линейного
0 0 1 0
1 2 0 1




1 0 0 1
 4 1 2 1




преобразования  в этом базисе. Найти матрицу сопряжённого преобразования.
Решение. Легко проверить, что Г удовлетворяет всем требованиям матрицы Грама.
Используем формулу (54). Из неё А = Г–1АТГ. Нужно найти матрицу Г–1. Проверьте, что
 1 0 0  1


0
2
0
0
1


Г–1 =  
. Итак,
2 0 0 2 0


 1 0 0 3 


 1 0 0  1  2  1 1 4   3 0 0 1   3  2 0 2 

 
 
 

1  0 2 0 0   1 0 2 1   0 1 0 0    2 0 2 0 
А =  


=
.
2 0 0 2 0   3 2 0 2   0 0 1 0   11 2 0 5 

 
 
 

 1 0 0 3   1 3 1 1   1 0 0 1   1
5 0 5 

 
 
 
Теорема 55. Если некоторое подпространство L евклидова пространства Еn инвариантно
относительно линейного преобразования , то ортогональное дополнение L инвариантно
относительно сопряжённого преобразования .
Доказательство. Пусть а L , в  L. Тогда из условия (а)  L следует, что
(в,
(а)) = 0. Но (в, (а)) = ((в), а). Следовательно, ((в), а) для любого вектора а L.
Следовательно, (в)  L для любого вектора в  L. Но это и означает, что подпространство
L инвариантно относительно .
Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
Определение 56. Линейное преобразование называется самосопряжённым, если оно
совпадает со своим сопряжённым преобразованием (  - самосопряжённое   = ).
Из формулы (52) следует, что линейное преобразование  евклидова пространства будет
самосопряжённым тогда и только тогда, когда (а, (в)) = ((а), в)
(55).
Пусть в Еn зафиксирован базис е = (е1, е2, ... , еn), Г – матрица Грама и А – матрица
самосопряжённого преобразования  . В этом случае А = А и формула (53) будет иметь вид: А
= Г–1АТГ . Если базис ортонормированный, то А = АТ, т.е. матрица А – симметрическая. Итак,
верна
Теорема 56. Линейное преобразование является самосопряжённым тогда и только тогда,
когда в ортонормированном базисе оно задаётся симметрической матрицей.
Теорема 56 объясняет тот факт, что самосопряжённое преобразование называют также
симметрическим.
Отметим некоторые свойства симметрических преобразований.
10. Тождественное преобразование является симметрическим.
Действительно, тождественное преобразование в любом базисе задается единичной матрицей.
Но единичная матрица – симметрическая.
20. Сумма симметрических преобразований есть преобразование симметрическое.
Это утверждение следует из того, что сумма двух симметрических матриц есть матрица
симметрическая.
30. Произведение симметрического преобразования на действительное число есть
симметрическое преобразование.
Действительно, если симметрическую матрицу умножить на действительное число, то
получится симметрическая матрица.
40. Если симметрическое преобразование  имеет обратное преобразование –1, то –1 –
симметрическое преобразование.
Это свойство тоже следует из свойств симметрических матриц.
50. Если линейные преобразования  и  евклидова пространства симметрические, то
их произведение будет симметрическим преобразованием тогда и только тогда, когда они
перестановочны, т.е.  = .
Действительно, для симметрических преобразований  и  имеем () =  = .
 будет симметрическим тогда и только тогда (по определению), когда () =  . отсюда
следует, что  будет симметрическим тогда и только тогда, когда  = .
60. Пусть  симметрическое преобразование евклидова пространства Е. Если Н –
инвариантное подпространство преобразования , то и ортогональное дополнение Н является
инвариантным подпространством преобразования .
Это свойство следует из соответствующего свойства преобразования .
Теорема 57. Все корни характеристического многочлена симметрического
преобразования действительные.
Доказательство. Пусть в пространстве Еn зафиксирован ортонормированный базис е,
пусть  симметрическое преобразование и А – его матрица в базисе е. Матрица А –
симметрическая. Пусть 0 – произвольный корень характеристического многочлена |А – Е |.
Однородная система уравнений (А –0Е )х = 0 имеет ненулевые решения, ибо определитель её
равен нулю. Эти решения могут быть и комплексные. Пусть х = (х1, х2, …, хn )Т – одно из таких
решений. Тогда Ах = 0х. Умножим обе части этого матичного уравнения на строку x Т ,
получим
(). Вычисляя
x ТАх =0 x Тх
x Тх, получим
x Тх =
2
2
2
x1  x1  x2  x2  ...  xn  xn  x1  x2  ...  xn . Отсюда следует, что x Тх действительное
число, не равное нулю. Покажем, что, если матрица А симметрическая, то число x ТАх тоже
действительное. Число x ТАх можно рассматривать как квадратную матрицу первого порядка.
Такая матрица не меняется при транспонировании, т.е. x ТАх = ( x ТАх)Т = хТАТ x = хТА x .
Кроме того
T
x  A  x  xT  A  x  xT  A  x .
В двух последних равенствах правые части
T
одинаковы, следовательно, равны и левые части, т.е. x ТАх = x  A  x . Следовательно, число
x ТАх действительное. Из равенства () следует, что 0 – действительное число.
Следствие 1. Все характеристические корни симметрической матрицы А являются
действительными.
Следствие 2. Симметрическое преобразование евклидова пространства имеет
собственные векторы.
Теорема 58. Собственные векторы симметрического преобразования, принадлежащие
различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть  – симметрическое преобразование евклидова пространства Еn,
1, 2, = его собственные значения и 1  2 . Пусть а и в – собственные векторы,
принадлежащие собственным значениям 1 и 2 соответственно. Тогда (а) = 1а, (в) = 2в.
По определению симметрического преобразования (а, (в)) = ((а), в). Отсюда
(а,
2в) = (1а, в), 2(а, в) = 1(а, в), (1 – 2)(а, в) = 0. Так как 1  2 , то (а, в) = 0. Так как
собственные векторы не нулевые, то а  в.
Теорема 59. Линейное преобразование : Еn  Еn является симметрическим тогда и
только тогда, когда в Еn существует ортонормированный базис, состоящий из собственных
векторов преобразования .
Доказательство.  Пусть е = (е1, е2, ..., еn) – ортонормированный базис, состоящий из
собственных векторов преобразования . В этом случае (ек) = к для любого к = 1, 2, …, n.
Следовательно, в данном базисе преобразование  имеет диагональную, а поэтому и
симметрическую матрицу, т.е.  – симметрическое преобразование.
 Пусть линейное преобразование : Еn  Еn симметрическое. Доказательство
проведём методом математической индукции. При n = 1 каждый вектор отображается на
пропорциональный ему вектор, т.е каждый вектор является собственным. Поэтому есть базис
из собственных векторов.
Предположим, что утверждение теоремы верно для евклидова пространства
размерности (n – 1). Пусть Еn – евклидово пространство размерности n. По следствию 2
теоремы 54  имеет собственные векторы. Пусть е1 – собственный вектор, принадлежащий
собственному значению 1. Можно считать, что этот вектор единичный, иначе его можно
нормировать. Пусть Е1 = е1. Очевидно,  (Е1) = Е1. Ортогональное дополнение Е1Т тоже
будет инвариантным относительно . Так как dim Е1Т = n – 1, то в Е1Т существует
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов преобразования . Пусть это (
е2, ..., еn). Но тогда (е1, е2, ..., еn) – ортонормированный базис из собственных векторов в
пространстве Еn .
Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение.
Теорема 60. Любая симметрическая матрица А приводится к диагональному виду с
помощью ортогональной матрицы.
Доказательство. Пусть А – симметрическая матрица. Её можно рассматривать как
матрицу некоторого симметрического преобразования  в ортонормированном базисе
е=
(е1, е2, ..., еn) пространства Еn . По теореме 56 в Еn существует ортонормированный базис е1 =
(е11, е21, ..., еn1), состоящий из собственных векторов преобразования . Если А1 – матрица  в
базисе е1, то А1 – диагональная. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда Т –
ортогональная и А1 = Т–1АТ.
Пример. Привести к диагональному виду матрицу
Решение. Характеристический многочлен матрицы А
 0 1 1  1


 1
1
1
 1 0 1 1 
А= 
.
1   1 1
1 1 0 1 
A E 
= ( – 1)3( + 3)


 1 1 1 0 
1
1   1


1 1
1 
имеет корни 1 = 2 = 3 = 1, 4 = – 3. Все они являются собственными значениями матрицы
А. Найдём соответствующие собственные векторы.
При  = 1 получаем систему уравнений
Ранг этой системы равен 1, поэтому фундаментальная системы
 x1  x2  x3  x4  0,
состоит из 3-х решений, например, а1 = (1, 1, 0, 0), а2 = (1, 0, 1, 0),
 x  x  x  x  0,
 1 2 3
4
а3 = ( –1, 0, 0, 1). Полученную систему векторов нужно

x

x

x

x

0
,
ортонормировать. Для этого нужно задать матрицу Грама. Так как
4
 1 2 3
 x1  x2  x3  x4  0.
скалярное произведение любое, то зададим Г = Е. Тогда получим
следующую ортонормированную систему:
1
1
1
 (1,1,0,0),
 (1,1,1,3) .
е11 =
е21 =
е31 =
 (1,1,2,0) ,
2
2 3
6
При  = –3 получаем систему уравнений
Ранг этой системы равен 3, поэтому фундаментальная системы
 3x1  x2  x3  x4  0,
состоит из 1-го решения, например, а4 = (1, –1, –1, 1). Нормируя
 x  3x  x  x  0,
 1
2
3
4
1

1
его,
получим
е
(1, –1, –1, 1).
4 =
x

x

3
x

x

0
,
3
4
 1 2
2
 x1  x2  x3  3x4  0.
Система векторов е11, е21, е31, е41 – ортонормированный базис из
собственных векторов. Матрица перехода от исходного базиса к базису е1 будет
1
1
1
1 
 1

 1
0
0 




2 
2
6
2 3
 2

 2
1
1
2
1
1
1
1





0 
 

 2  6
2 .
6
6
2 3
Т–1 =  6
.
Т= 
1
1
1
3 
2
1
1

 0



 2 3 2 3 2 3 2 3
2

6
2 3
 1

3
1 
1
1
1 
0




 0

2
2
2 
2 
 2
2 3






А = ТА1Т–1 = 





1
2
1
2
1
6
1

6
2
6
0
0
0

1
2 3
1
2 3
1
2 3
3
2 3
1 

2 
1
 
2 
1
 
2
1 

2 
1

0
0

0






0 0  3 
0 0
1 0
0 1
0
0
0
 1

 2
 1
 6

 1
 2 3
 1

 2
1

0
2
1
2
6
1
6
1
2 3
1

2
2 3
1

2

0 


0 
.
3 
2 3
1 

2 
.
Теорема 62. Для любого линейного преобразования : Еn  Еn преобразования  и
 являются неотрицательными, т.е. эти преобразования симметрические, а все их
собственные значения – неотрицательные числа.
Доказательство. () = () = . Следовательно,  – симметрическое
преобразование. Пусть  – собственное значение преобразования  и а – соответствующий
собственный вектор. Тогда (()(а), а) = (((а),а) = ((а), (а)) = =(а)2. С другой
стороны, (()(а), а) = (а, а) = а2. Следовательно, (а)2 = а2. Так как а  0, то  
0. Для преобразования  рассуждения аналогичны.
Определение 57. Симметрическое линейное преобразование называется положительно
определённым, если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0.
Теорема 61. Симметрическое преобразование является положительно определённым
тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительные.
Доказательство.  Пусть симметрическое преобразование  является положительно
определённым. Тогда (а, (а))  0 для любого вектора, в частности для любого собственного
вектора. Но если а – собственный вектор, то (а) = а. Следовательно, 0  (а, а) = (а, а). Так
как для ненулевого вектора (а, а)  0, то   0.
 Пусть все собственные значения симметрического преобразования  положительные.
Выберем в пространстве Еn базис е = (е1, е2, ... , еn), состоящий из собственных векторов этого
преобразования. Если
n
n
n
  x x (e , e )    x
k 1 j 1
j
k
j
k
определённое.
j
j 1
n
n
k 1
j 1
а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , то (а, (а)) = (  xk ek ,  ( x j e j )) =
j
2
j
. Если а  0, то (а, (а))  0, т.е. преобразование  положительно
Замечание. Симметрическое линейное преобразование называется неотрицательным,
если для любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0.
Симметрическое линейное преобразование называется отрицательно определённым, если для
любого ненулевого вектора а выполняется неравенство (а, (а))  0любого вектора а получим
(а, (а)) = ((а), (а))  0. Следовательно, преобразование  неотрицательное.