минимально-фазовыми. Звенья

2.3.1 Общие свойства минимально-фазовых устойчивых звеньев
Общим показателем свойств звена является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости.
Комплексный коэффициент передачи можно выразить как
m
W ( j ) 
K m   j  qi 
i 1
n
An   j  pi 
.
i 1
Рассмотрим сомножитель числителя
в точке
 j  qi  . Эта разность представляет собой вектор, начало которого лежит
qi , а конец - на мнимой оси в точке j . Фаза этого вектора характеризует поворот этого вектора относительно
вещественной оси против часовой стрелки.
На рис. 2.3. построены два таких вектора
для различных положений точки
qi
и
qi .
qi , обозначенных
Из построения видно, что при одном и
том же значении модуля комплекса
фаза

 j  qi  его
меньше в том случае, когда
qi
лежит в
левой полуплоскости. Поэтому звенья, все нули
передаточной функции которых лежат в левой
полуплоскости
Re qi  0 ,
называются
минимально-фазовыми.
Звенья,
передаточные
функции которых имеют хотя один нуль, лежащий в
правой полуплоскости, называются неминимально фазовыми.
Для минимально фазовых устойчивых
звеньев между амплитудно-частотной и фазочастотной характеристикой существует однозначная
зависимость
и,
следовательно,
амплитудночастотная характеристика однозначно определяет
Рис. 2.3 Пример расположения нулей
передаточной функции
передаточную функцию звена.
2.4.1 Простейшие звенья. Пропорциональное звено
Самым простым является звено, выходная величина которого прямо пропорциональна входной величине.
Уравнение такого звена
y  kx,
где k - коэффициент передачи (усиления) звена.
Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу производится мгновенно без какой-либо инерции.
Поэтому пропорциональные звенья называются безинерционными. Если на вход пропорционального звена подать
синусоидальный сигнал
x  X m sin t ,
то на выходе появится сигнал
y  Ym sin t . В комплексной форме
y  j   k  x  j .
Комплексный коэффициент передачи
W  j  
y  j 
k.
x j 
Годограф комплексного коэффициента передачи
Рис. 2.4 Переходная и весовая функция пропорционального звена
 (t )  k   (t ) .
W  j 
при изменении
частоты 0     имеет вид точки, сдвинутой на расстояние k от нуля по
вещественной оси.
Переходя от коэффициента усиления к передаточной функции
W ( p)  k , а затем к переходной и весовой функциям, получаем
h(t )  k  10(t ) ,
Графическое изображение переходной и весовой функции пропорционального звена приведено на рис. 2.4.
2.4.2 Интегрирующее звено
Выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины:
t
y  k  x (t )  dt  y 0 ,
0
где
k
- коэффициент пропорциональности. Такие звенья называются интегрирующими.
Если на вход интегрирующего звена подать синусоидальный сигнал
x  X m sin t ,
то выходной сигнал y
равен
y
или
y 
k

X m cos t
k
x
j
и
y  j  
k
x j  .
j
Частотный годограф и частотные характеристики интегрирующего звена показаны на рис. 2.5.
Логарифмическая
амплитудно-частотная
характеристика
L  20 lg W  j 
имеет вид прямой с наклоном
в функции
 20
дБ
,
дек
lg 
т.е. при
изменении частоты в 10 раз уменьшается на 20 дБ.
График интегрирующего звена пересекает ось абсцисс
при частоте   k .
Переходя от коэффициента передачи к
передаточной функции
W ( p) 
Рис. 2.5 Частотные характеристики
интегрирующего звена
 (t )  k  10(t ) .
k
,
p
а затем к переходной и весовой функциям, получим
h(t )  k  t  10(t ) ,
Рис. 2.6 ЛАЧХ интегрирующего звена
Рис. 2.7 Переходная и весовая функция интегрирующего звена
2.4.3 Дифференцирующее звено
Выходная величина y зависит от входной величины x как производная
yk
dx
,
dt
где k - коэффициент пропорциональности.
Комплексный коэффициент передачи
y  j 
W  j  
 k   e
x  j 
j
2 .
Рис. 2.8 Частотные характеристики дифференцирующего звена
Рис. 2.9 Переходная и весовая функции дифференцирующего звена
Логарифмическая частотная характеристика имеет положительный наклон в 20дБ/дек.
Передаточная функция дифференцирующего звена
W ( p)  k  p ,
а переходная и весовая функции соответственно
h(t )  k   (t ) ,
 (t )  k   (t ) .
Производная от  - функции на рис. 2.9 изображена в виде двух импульсов второго порядка, интервал между которыми
 стремится к нулю.
2.5 Звенья первого порядка
2.5.1 Инерционное звено
Одним из самых распространенных звеньев систем автоматики является инерционное звено. Оно описывается
уравнением
T
dy
 y  k  x.
dt
Перейдем в выражении от мгновенных значений к их частотным спектрам или к гармоническим сигналам:
W  j  
y  j 
k

x j  1  j  T
.
Частотные характеристики для показанной функции
Рис. 2.10 АЧХ инерционного звена
W  j  
k
1  T 
    arc tg T .
2
,
Чтобы построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику, представим её в виде

L   20 lg W  j   20 lg k  10 lg 1  T 
2

.
При построении логарифмических характеристик пользуются также их асимптотическими приближениями. Для
инерционного звена асимптотическое приближение можно получить, заменяя точную характеристику двумя асимптотами

2
при значениях 0  T  1 и T  1 . Первая асимптота находится путем отбрасывания T , а вторая - путем
отбрасывания единицы в том же выражении. Таким образом, асимптотическая характеристика описывается двумя
уравнениями:
20 lg k

L   
20 lg k  20 lg T
при 0  T  1
.
при T  1
2.5.2 Форсирующее звено
Звено, описываемое дифференциальным уравнением
dx 

y  k x T 
dt 

называется форсирующим звеном. Такое звено получается в результате
параллельного соединения пропорционального и дифференцирующего звеньев. Для этого звена получаем:
W  j  
y  j 
 k  1  jT  ,
x j 
модуль этого выражения
W  j   k 1  T 
2
,
а фаза
    arc tg T .
ЛАХ звена имеет вид:


L   20 lg k  10 lg 1  T  ,
20 lg k
при 0  T  1

.
L   
20
lg
k

20
lg

T
при

T

1

2
Передаточная функция форсирующего звена может быть представлена суммой передаточных функций
пропорционального и дифференцирующего звена.
Переходная и весовая функции форсирующего звена имеют вид суммы соответствующих функций простейших
звеньев:
h(t )  k  10t   k  T   t  ,
 t   k   t   k  T   t  .
Рис. 2.11 Характеристики форсирующего звена
2.5.3 Инерционно-дифференцирующее звено
Звено, описываемое дифференциальным уравнением вида
y  T2
dy
dx 

 k  x  T1  ,
dt
dt 

называется инерционно-дифференцирующим. Частотная передаточная функция звена имеет вид:
k
T
y  j 
k  j


.
x  j  1  jT 1  1
jT
Частотные характеристики для функции W  j  имеют вид:
k 

W  j  
,    
 arc tg T ,
2
2
1  T 
W  j  

L   20 lg W  j   20 lg k  10 lg 1  T 
2

.
Асимптотические характеристики состоят из двух полупрямых:
20 lg k


La    
k
20
lg


T
при T  1,
при T  1.
Передаточная функция инерционно-дифференцирующего звена
W ( p) 
kp
.
1  pT
Произведя обратное преобразование Лапласа, получим выражение для переходной функции звена
t
1 
kp
1 k 
h(t )  L 
    e T  10(t ) .
1  pT p  T
После дифференцирования этого выражения, находим весовую функцию звена:
t

k
k
 t     t   2  e T  10(t ) .
T
T
Рис. 2.12 Характеристики инерционно-дифференцирующего звена
Если экспериментально определены частотные характеристики инерционного или инерционнодифференцирующего звена, то по этим характеристикам непосредственно могут быть определены значения k и T .
Фазовый сдвиг между сигналами входа и выхода, равный углу
определяется постоянная времени звена.
характеристики.
T
Коэффициент
k

4
, имеет место при

1
.
T
Из этого условия
находится по диаметру окружности частотной
2.5.4 Инерционно-форсирующее звено
Звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде
y  T2
dy
dx 

 k   x  T1 
dt
dt 

называется инерционно-форсирующим, или упругим, звеном.
звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям. Если
дифференцирующему и инерционно-дифференцирующему звеньям.
Комплексный коэффициент передачи инерционно-форсирующего звена
W ( j ) 
T1
. Если   1, то
T2
  1 , то звено ближе к

Существенным параметром инерционно-форсирующего звена является коэффициент
y  j  k  1  j  T1 
,

x  j 
1  j  T2
а передаточная функция звена
k  1  pT1 
.
1  pT2
Звено, для которого T1  T2 , называется упругим интегрирующим звеном, а звено, для которого T1  T2
W ( p) 
дифференцирующим.
Частотные характеристики
W 0( j ) 
получим
W  j 
k
при
различных
значениях

построены
в зависимости от относительной безразмерной частоты
W 0 j  
1  j
1  j
,
для
  T2 .
нормированных
Учитывая, что
- упругим
значений
T1    T2 ,
1   
,
1  2
    arc tg   arc tg  .
d
Находим
экстремум
фазовой
характеристики
 0.
d
1
  1
имеет место при частоте  
.
 arc sin 

  1
2
W 0  
 max
Логарифмические характеристики описываются уравнением



Максимальный

L0  20 lg W0  j  10 lg 1     10 lg 1  2 .
Асимптотические характеристики в зависимости от величины  выражаются различно:
 1

0
при   1,


1
L0   20 lg 
при 1    ,


1
  20 lg 
при   .


 1
1

0
при


,



1
L0  20 lg 
при    1,


при   1.
 20 lg 

2
Переходная функция определяется как
t

 




k

1

pT
1
1
h(t )  L1 
   k  1    1  e T2   10(t ) ,


 1  pT2  p 
и соответствующая весовая функция
t

dh k
 (t ) 
 1     e T2  10(t )  k     (t ) .
dt T2
фазовый
сдвиг
Рис. 2.13 Характеристики инерционно-форсирующего звена
2.5.5 Колебательное звено
Колебательное звено описывается уравнением второго порядка
2
dy
2 d y
y  2 T
T
 kx
dt
dt 2
  1 , что соответствует комплексным корням
2
характеристического уравнения 1  2  p T   pT   0 .
при степени затухания
Постоянная времени T колебательного звена связана с его резонансной частотой
раз меньше периода резонансных колебаний
T0 
2
0
0
соотношением
. Иногда уравнение записывается в виде
T
1
0
ив
2
где
k1  k   0 .
d2y
dy

2


  0 y  k1 x ,
0
dt
dt 2
Примерами колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным
влиянием массы, электрический колебательный контур.
Переходя в дифференциальном уравнении к гармоническим сигналам, получим комплексный коэффициент
передачи колебательного звена
W ( j ) 
y ( j )
k

x( j ) 1  2  j T  ( j T ) 2
.
Вводя безразмерную величину
 T ,
можно получить
комплексный коэффициент передачи в виде
W ( j) 
k
2
1  2  j   j 
.
Частотные характеристики колебательного звена
приведены на рис. 2.14.
Годограф частотной характеристики проходит через два
квадранта - 4 и 3 - пересекает мнимую ось при частоте   1 ,
когда
1   j  0 . С уменьшением 
2
петля, очерченная
годографом, увеличивается, и при коэффициенте
характеристика вырождается в две полупрямые
 0
1. от W ( j)  k до W ( j)   при 0   
Рис. 2.14 Частотные характеристики
колебательного звена
По
экспериментальному
частотному
2. от W ( j)   до W ( j)  0 при 1   
.
годографу
реального
соответствующего колебательного звена. По точке 1 находится величина
звена
могут
быть
найдены
параметры
k , а по точке 2 находится значение  0 
.
1
T
и
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики колебательного звена выражаются уравнениями:
W  j  
1   
k
2 2
 4 
2
,
2
2 
    arctg 
.
2
1   
При частоте   1 эти характеристики соответственно проходят через точки
k

и    . Для коэффициента   0.707 кривая W   имеет максимум
W
2
2
Wmax 
k
2 1  
2
при

m  1  2 2
.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена описывается уравнением

L   20 lg k  10 lg 1   2  4  2  2 .
Вблизи точки резонанса T    1 эта характеристика сильно зависит от степени затухания  . С удалением от
2
резонансной частоты характеристика практически перестает зависеть от коэффициента
.
Рис. 2.15 ЛАЧХ колебательного звена
Для колебательного звена пользуются асимптотическими характеристиками
20 lg k
при   1

.
L0 ()  
20
lg
k

40
lg

при


1

Передаточная функция колебательного звена
W ( p) 
k
2
1  2 pT   pT 
p1, 2
где
 

T
 0 
и корни характеристического уравнения будут равны
   j 1  2

   j1 ,
T
- коэффициент затухания;
1   0 1   2
- собственная частота колебаний звена.
Переходная функция звена



k
1

 
 .
h(t )  L1 


k

1
0(t ) 1  e T  cos1t 
sin

t
1

2

p



1

2

pT

pT


1



Весовая функция звена
Рис. 2.16 Переходная и весовая функция колебательного звена
dh k   0
 (t ) 

 10(t )  e t sin 1t .
dt
1
2
По экспериментальным переходным характеристикам реального звена можно найти параметры соответствующего
h(t ) определяют k , A1 , A2 , T1 и вычисляют все параметры звена:
 A1 
2
1
 ;  0  12  2  ;   T .
1 
; T1  ln 

T1
T
 A2 
колебательного звена. По графику
Если   1 , то характеристическое уравнение звена имеет отрицательные вещественные корни и звено эквивалентно
соединению двух инерционных звеньев. Такое звено называется апериодическим звеном второго порядка.