3.3. Спектр излучения атома Томсона квазиупругой силой

3.3. Спектр излучения атома Томсона
Атом Томсона является простейшей классической моделью атома, дающей
удовлетворительное описание процессов взаимодействия света с веществом. В рамках
этой модели полагается, что электрон удерживается вблизи ядра квазиупругой силой,
изменяющейся с расстоянием по гармоническому закону (13.17). Помимо возвращающей
силы в модель Томсона обычно включают слагаемое, описывающее потери энергии в
результате излучения - так называемое радиационное трение. В рамках релятивистской
электродинамики показывается, что сила радиационного терния пропорциональна
производной по времени от ускорения электрического заряда. Однако, в случае почти
гармонических колебаний эта сила может приближенно считаться линейной по скорости
(3.18). Таким образом, уравнение колебаний электронного облака в атоме Томсона
оказывается совпадающим со стандартным дифференциальным уравнением,
описывающим затухающие гармонические колебания.
В рамках классической физики величина константы радиационного затухания
может быть найдена, исходя из энергетических соображений, и оказывается
пропорциональной квадрату частоты собственных колебаний электрона. В оптическом
диапазоне частот характерное время радиационного затухания примерно на 8 порядков
превосходит период колебаний электрона в атоме Томсона.
Решением дифференциального уравнения (13.18) являются затухающие
гармонические колебания, частота которых близка к собственной частоте колебаний 0
(13.19). Таким образом, в результате смещения электронного облака относительно
положения его устойчивого равновесия в атоме Томсона возникает дипольный момент,
который начинает совершать слабозатухающие во времени гармонические колебания
(13.20). Эти колебания сопровождаются излучением электромагнитных волн.
d 2r
  02 r  0 ,
2
dt
Z 2e2
 02 
ma 3
d 3r
dr
Frad  const  3  2m  2
dt
dt
2
d r
dr
 2
  02 r  0
2
dt
dt
r (t )  r0  exp( t ) 
(13.17)

(13.18)
(13.19)
     i  02   2     i 0
d(t )  qr(t )  d 0 exp(    i 0 )t
(13.20)
Re d  d 0 e d exp(   t ) cos 0 t   
Выражение для электромагнитного поля, излучаемого ускоренно движущимся
зарядом, может быть получено непосредственно
из системы уравнений Максвелла,
что было проделано в курсе классической электродинамики (см. Пример 1-15.4). Менее
строгим, но весьма изящным и наглядным является модельный выводом, предложенный
Лоренцем и основанный на использовании свойства неразрывности силовых линий
электрического поля в вакууме.
Удобно рассмотреть частный случай поля, создаваемого первоначально
покоившимся, а затем - равномерно движущимся с нерелятивистский скоростью v<<c в
течение времени T электрическим зарядом. При этом предполагается, что разгон заряда
происходил в течение небольшого промежутка времени , на протяжении которого
движение заряда было равноускоренным. Окружающее заряд пространство естественным
образом разделяется на три области, разделенные сферическими поверхностями с центром
в точке первоначального нахождения заряда (рис.3.1). Окружающая центральную точку
внутренняя область пространства содержит точки, до которых дошла информация о
равномерном движении частицы и электрическое поле соответствует полю равномерно
движущегося заряда. Как известно, линии электрического поля равномерно движущегося
заряда представляют собой прямые, направленные в точку фактического положения
заряда в данный момент времени (см. Лекцию 1-8, Пример 8.2) и сгущаются в плоскости,
перпендикулярной вектору скорости заряда. В случае движения с нерелятивистскими
скоростями эффектом сгущения можно пренебречь.
Внешняя область содержит точки, удаленные более чем на cT от исходного
положения заряда. Находящиеся в этих точках наблюдатели (в соответствии с общими
требованиями специальной теории относительности) принципиально не могут обладать
информацией о том, что заряд начал двигаться. Поле в этих точках совпадает с
электростатическим полем покоящегося заряда.
Наконец, слой толщиной c соответствует точкам пространства, до которых в
данный момент дошла информация об ускоренном движении заряда. Именно в этих
точках возникает дополнительное поле, изучению свойств которого посвящена основная
часть данного курса.
Входящая в систему уравнений Максвелла теорема Гаусса о потоке вектора
электрического поля требует провести линии вектора E внутри пограничного слоя c
таким образом, чтобы линии напряженности во внутренней и внешней областях
переходили друг в друга без разрывов. Неизбежно возникающий при таком соединении
линий излом означает появление в "пограничном" слое дополнительного электрического
поля, направленного перпендикулярно к электростатическому. Напряженность этого,
обусловленного ускоренным движением заряда, дополнительного поля в волновой зоне (на
больших расстояниях от источника) легко найти из геометрических соображений (3.21). В
отличие от электростатической составляющей поле ускоренно движущегося заряда
спадает с расстоянием гораздо медленнее, что обуславливает удобство его
использования для передачи сигналов. Другой важной особенностью рассматриваемого
поля является его сильная зависимость от направления. В направлении ускоренного
движения заряда излучение полностью отсутствует.
Рис. 3.1
E vT sin 

En
c
 E 
a(t  R c)  q
sin 
c2R
(3.21)
Более компактной оказывается векторная запись поля излучения (3.22).
Приведенные соотношения получены из ранее установленной для плоских
монохроматических волн связи между векторами Е и В. Использование этой связи для
поля точечного источника в волновой зоне может считаться оправданным, поскольку на
больших расстояниях кривизна сферического волнового фронта становится малой и волна
по своей структуре постепенно приближается к плоской.
Полученные для модельного случая кусочно-равномерного движения соотношения
(3.21) и (3.22) оказываются справедливыми и в случае произвольного ускоренного
движения заряда. Корректным обоснованием сделанного утверждения по существу
является строгое решение системы уравнений Максвелла, приводящее к (3.22). Таким
образом, полученный результат может быть применен к случаю атома Томсона,
электронное облако которого совершает затухающие гармонические колебания. При этом
излучаемые атомом электромагнитные волны (3.23) затухают во времени по
экспоненциальному закону из-за потери атомом энергии на излучение.
B
R, d(t  R c) ;
2
R 
E   , B
R 
(3.22)
c R
d 2
E (t )  02 0 sin   exp(    i 0 )(t  R c),
c R
c
S (t ) 
EE * 
8
2 4
d 
 0 3 0 2 sin 2   exp( 2  )(t  R c)
8 c R
(3.23)
В рамках классического описания константа затухания  может быть оценена,
исходя из энергетических соображений (3.24): скорость убывания механической энергии
осциллятора должна равняться мощности, уносимой излучаемым им электромагнитным
полем. Мощность излучения может быть просто вычислена как поток вектора Пойтинга
через замкнутую сферическую поверхность, окружающую излучатель.
d
d m 02 d 02
WМЕХ 
exp( 2  t ) 
dt
dt 2 q 2

d0 0
 ds, S   3
2
4c
RR

 q
2
0
4
(3.24)

exp( 2  t )  d  sin 3 

0
2
3mc 5
Спектр излучения электрического диполя, совершающего слабозатухающие
гармонические колебания, рассчитывается стандартным образом (3.25). Зависимость
интенсивности от частоты дается так называемым лоренцевским контуром (3.26),
полуширина которого (ширина, измеряемая на уровне половины от максимальной
интенсивности) определяется константой радиационного затухания. Рассмотренное
уширение спектральных линий, возникающее из-за радиационных потерь энергии
излучающим атомом, называется естественными или однородным. Происхождение
последнего термина связано с тем, что все одинаковые атомы, излучающие свет, дают
одинаковый вклад в контур спектральной линии. Далее будут рассмотрены другие
причины уширения линий, в большинстве случаев скрывающие эффект однородного
уширения.
Экспериментальное измерение ширины спектральной линии в принципе позволяет
получать информацию о радиационном затухании. Результаты классического расчета в
оптическом диапазоне частот константы радиационного затухания по порядку величины
удовлетворительно согласуется с данными измерений. Однако, ширины спектральных
линий близких частот для различных атомов реально могут существенно отличаться. Эти
особенности получают адекватное объяснение только на языке вантовой механики.
E (t ) ~ d(t ) ~ E 0  t   exp(   t )  cos 0 t  
E   
E0
4
I   
I
(3.25)
1
   i   

0
Const
 2     0 2
1
I MAX
2
    2  
(3.26)