ответы, решения и критерии оценивания к варианту 4

Решение.
Вариант 4
15 а) Решите уравнение 2 cos3 x  2 cos x  sin 2 x .
 3

, 0 .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
 2

2
 2n ; где k , n  Z .
3
4
2
б)   , 0 , 
и 
.
3
3
а) x  k ,
Ответ:
Решение.

x

2
2
а) 2 cos x cos x  1  sin x ,
sin x  0 или cos x  
б) Находим радиус НМ вписанной окружности треугольника АВС:
НМ  rABC 
 2 cos x sin 2 x  sin 2 x ,
откуда находим, что
1
2
 2n .
. Поэтому x  k или x  
3
2
б) Используя единичную окружность (или с помощью графика, или путём решения
 3

, 0 принадлежат корни
двойных неравенств и т.п.) находим, что отрезку 
 2


, 0 , 
2
4
и 
.
3
3
Замечание. Текст решения должен содержать обоснованный как-либо отбор корней.
Баллы
2
1
0
а) Пусть для определённости точка М лежит на стороне АВ основания пирамиды,
точка К лежит на стороне ВС основания пирамиды, а точка Р лежит на стороне СА
основания пирамиды. Так как высота пирамиды ТН перпендикулярна АВ и высота
ТМ боковой грани перпендикулярна АВ , то и НМ перпендикулярна АВ (по
теореме о трёх перпендикулярах) . Точно так же получаем, что НК перпендикулярно
ВС , а НР перпендикулярно СА . Тогда ТМН , ТКН и ТРН – прямоугольные
треугольники, равные между собой (по катету и гипотенузе). Следовательно, НМ =
НК = НР , и точка Н – центр вписанной окружности треугольника АВС .
Критерии оценивания задания 15
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)
Обоснованно получен верный ответ в п. а) или в п. б)
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется
верная последовательность всех шагов решения и отбора корней
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
16 В треугольной пирамиде ТАВС с вершиной Т и основанием АВС высоты ТМ,
ТК и ТР боковых граней пирамиды равны между собой, при этом точки М , К и Р
лежат на сторонах треугольника АВС . Точка Н – проекция вершины Т на
основание АВС .
ТН 2  НМ 2  5  4  3 .
ТМ =
Баллы
2
1
0
17
2S ABC 48

 2 . По теореме Пифагора получаем:
pABC 24
Критерии оценивания задания 16
Обоснованно получены правильные ответы в п. а) и б) .
Обоснованно получен правильный ответ только в одном из п. а) или б) .
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Решите неравенство 2 | 2  x |
Ответ:
x .
 9  17 
x  0  1 ,
.
2 

Решение: заменой
x  t  0 преобразуем исходное неравенство к виду:
2
2  2  t 2  t или 2  t  2  t . Перейдем к равносильной системе:
2
2


2  t  2  t
t
2 t2  2 t  

2
2


2  t  2  t
t
t  1

t  0
t  0

t 4 0
t    1  17 ,  1  17 

 
2
2

 
а) Докажите, что Н – центр вписанной окружности треугольника АВС .
б) Найдите ТМ , если ТН = 5 , площадь основания АВС равна 24 ,
и периметр основания АВС равен 24 .
Ответ: 3 .
С
учетом
неотрицательности
 9  17 
x  0  1 ,

2 

.
t,
получаем
  1  17 
t  0  1 ,

2


и
Баллы
2
1
Критерии оценивания задания 17
Обоснованно получен верный ответ
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно приведшая к
неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех
шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
1
18 Две окружности с центрами О1 и О2 касаются друг друга внутренним образом.
Третья окружность, с центром в точке О, касается первых двух и прямой О1О2.
0
0
а) Докажите, что периметр треугольника ОО1О2 равен наибольшему из диаметров
этих трёх окружностей.
б) Найдите диаметр третьей окружности, если диаметры первых двух равны 2 и 8 .
Ответ:
1,92 .
Решение.
а) Обозначим за О1 – центр и за r – радиус меньшей из двух первых окружностей, за
О2 – центр и за R – радиус большей из двух первых окружностей, а за О – центр и за
x – радиус третьей окружности, касающейся первых двух и прямой О 1О2 . Так как
точка касания двух окружностей и центры этих окружностей лежат на одной прямой,
то
Поэтому
O1O 2  R  r ,
O1O  r  x ,
O2O  R  x .
.
O1O 2  О1О  О 2 О  R  r  r  x  R  x  2R
б) Опустим из точки О перпендикуляр ОН на прямую О 1О2 . Обозначим за y –
длину отрезка О2Н . Применяя теорему Пифагора к треугольникам О2ОН и О1ОН ,
 x 2  y 2  ( R  x) 2
получим систему уравнений: 

.
Решая эту систему

 x  ( R  r  y )  (r  x)
2
2
2

 x  y  (4  x)
при r = 1 и R = 4 , последовательно получаем:
,
 2
2
2

x

(
3

y
)

(
1

x
)

2
 5

 x  4   16  8 x
 y 2  16  8 x

,
.
Решая первое уравнение
3



 6 y  9  10 x  15
5

 y  x4

3

2
2
2
системы, получаем ( с учетом того, что x > 0) х = 0,96 .
Баллы
3
2
Критерии оценивания задания 18
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и обоснованно получен
верный ответ в п. б)
Получен обоснованный ответ в п. б)
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и при обоснованном
решении п. б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения п. а)
ИЛИ
при обоснованном решении п. б) получен неверный ответ из-за
арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в п. б) с использованием утверждения п.
а), при этом утверждение п. а) не доказано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
19 1 января 2014 года Василий Васильевич взял в банке некоторую сумму рублей в
кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита такова: 1-го января
каждого следующего года банк начисляет х% на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на х процентов), затем Василий Васильевич переводит в банк
очередной ежегодный платёж. Если он будет платить каждый год по 656100 рублей, то
выплатит долг за четыре года. Если же он будет платить каждый год по 1174500
рублей, то выплатит долг за два года. Под какой процент годовых Василий Васильевич
взял деньги в банке?
Ответ:
12,5% .
Решение. Обозначим за S взятую в кредит сумму, за p – величину ежегодного
платежа при выплате кредита за два года, а за q – величину ежегодного платежа при
выплате кредита за четыре года. Тогда, с учётом условий задачи, для нахождения
неизвестных величин
х
и
S
получим следующую систему уравнений:
 100  x
 100  x
 S  100  p   100  p  0


. Перепишем эту

   S  100  x  q   100  x  q   100  x  q   100  x  q  0
 100
 100
  
100
 100



систему уравнений в виде
Отсюда: S  p 
t 1
t2
 q
S  t 2  pt  p  0

S  t 4  qt 3  qt 2  qt  q  0
t3  t 2  t 1
t4
, где
t
100  x
100
.
. Решая последнее уравнение относительно t
t 1
t3  t 2  t 1
t 2 1
,
,

q

p

q

t2
t4
t2
100 x
q
656100
 1,125 и x = 12,5.
t2 

 1,265625 . Поэтому t 
p  q 518400
100
,
последовательно получаем:
p
Баллы
3
2
1
0
Критерии оценивания задания 19
Обоснованно получен верный ответ
Получена верная система уравнений, но при её решении допущена
единичная вычислительная ошибка
Получена верная система уравнений, но в её решении допущена
существенная (не вычислительная) ошибка или более одной вычислительной
ошибки
ИЛИ
Искомый процент годовых верно найден подбором, при этом проверка
выполнена
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
20 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых множество решений
неравенства
Ответ:


a  4  29  2a  3a 2 cos x
1
sin 2 x  a 2  1`


содержит отрезок  ,  .
3 2
 7
  7 
x 
;1   2;
 .
2
2

 
Решение.
значениях
 1
a  4  (29  2a  3a 2 ) cos x  sin 2 x  a 2  1 . Сделав замену cos x  t  0;  ,
 2
2
2
2
t  (3a  2a  29)t  (a  a  2)  0 .
перепишем неравенство в виде
y(t) этого неравенства является парабола, ветви которой
направлены вверх. Поэтому это неравенство будет выполнено при всех


 1
t  0; 
 2
 1 1 1 2
2
 y    3a  2a  29  (a  a  2)  0
тогда и только тогда, когда   2  4 2
.
 y0  (a 2  a  2)  0

Решая эту систему неравенств, получим последовательно:
7
 7

a
 2 49

2
a 
 2
2
, 

и
a 2  a  2  0 a  1

a  2
Баллы
2
1
0
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений а ,
отличающееся от искомого конечным числом точек
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого
множества значений а
С помощью верного рассуждения задача сведена к условию выполнения
квадратного неравенства на промежутке
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
21 По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16 .
При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6
и среди любых четырёх подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно
положительное.
а) Среди таких
б) Среди таких
40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.
Ответ: а) 37; б) 10.
Так как знаменатель левой части неравенства положителен при всех
х ,
то это неравенство можно переписать в виде:
Графиком левой части
4
3
 7
  2  x  1

.
7

2  x  2

Критерии оценивания задания 20
Решение. Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
а) Среди таких 40 чисел отрицательных должно быть не менее трёх. В самом деле,
если бы отрицательных чисел не было, то общая сумма была бы не меньше 40 . Если
отрицательных чисел одно или два, то каждое из них не меньше -5 (так как у каждого
из них есть соседнее положительное число), поэтому их сумма не меньше -10 .
Кроме них имеется 38 или 39 положительных чисел, каждое из которых не меньше
1. Таким образом, сумма всех чисел не меньше, чем -10  38  28 .
Приведём пример набора, в котором ровно три отрицательных числа:
числа -5, -11, -5 стоят подряд, а все остальные 37 чисел равны 1 .
б) Среди любых четырёх идущих подряд чисел есть хотя бы одно положительное.
Поэтому положительных чисел не меньше
10 . Приведём пример набора,
включающего ровно 10 положительных чисел. Возьмём тридцать чисел, равных -1 ,
восемь чисел, равных 5 , и два числа, равные 3 , и расставим их по окружности так,
что после каждого положительного числа идут три числа, равные -1 .
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценивания задания 21
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов:
— искомая оценка в п. а;
— пример в п. а, обеспечивающий точность предыдущей оценки;
— искомая оценка в п. б;
— пример в п. б, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше