К вопросу оценки надежности нанокомпонентов

К ВОПРОСУ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАНОКОМПОНЕНТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОНЯТИЯ КОПУЛЫ
Кондратьева О.Ю, Терин Д.В., Сафонов Р.А., Ревзина Е.М., Кондратьева Е.В.
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
e-mail: elka@sgu.ru
Прогнозирование
количественных
показателей
надежности
(прогнозирование надежности), как частный случай, входит в понятие
«прогнозирование
отказов».
Статистическое
прогнозирование
количественных показателей надежности заключается в оценке параметров
надежности на время по данным наблюдениям за время ti при t ≥ ti, этот
метод базируется на использовании математического прогнозирования
случайного процесса [1,2].
Копулой называется такая функция, которая при подстановке в нее в
качестве аргументов значений частных функций распределения некоторых
случайных величин дает значение их совместной функции распределения.
Формально d-мерная копула определяется как совместная функция
распределения d стандартных равномерных наноподкомпонентов. Одним из
наиболее важных результатов в теории копула-функций является теорема
Скляра [3]. Она позволяет разбить процедуру оценки параметров
многомерного распределения на несколько шагов: выбор семейств частных
функций распределения; оценка параметров частных функций; выбор
семейства копулы; оценка параметров копула-функции, что позволяет
обобщить традиционный подход к моделированию совместной функции
распределения наносистемы за счет возможности использования различных,
наиболее подходящих, частных функций распределения.
В данной работе мы исследуем общую методологию для
количественной
оценки
взаимодействия
между
атомами
наноподкомпонентов и определения надежности и вероятности отказа
нанокомпонентов. Понятие копулы применяется для разделения законов
распределения компонент случайного вектора и взаимосвязи их между
собой. Копула определяется скрытыми зависимостями, характерными для
многомерных
совместных
распределений.
Использование
таких
математических конструкций позволяет выявлять эти зависимости и
проводить различные формы вероятностного анализа многомерных структур.
[4,5]. Копула, являясь нечувствительной к монотонным преобразованиям,
позволяет моделировать нелинейную связь между наносубкомпонентами
компонентов наносистемы.
Нанокомпонент представляет собой набор атомов, которые
расположены в определенном порядке, способствующем достижению
желаемой цели с приемлемой производительностью и надежностью всей
наносистемы.
Виды атомов, их расположение внутри наноподкомпонента и их
взаимодействие между собой определяют надежность нанокомпонента и
вероятность его отказа. Можно констатировать, что в реальной ситуации
зачастую невозможно получить данные по отказам нанокомпонентов,
поскольку сбор такой информации потребует длительного времени, ресурсов
либо невозможен в принципе. Рассмотрим анализ вероятности отказа на
примере нанокомпонента из 16 атомов. Площадь нанокомпонента около 4
. Первая группа из Рис. 1а показывает нанокомпонент с его 16 атомами и
соответствующей равномерной случайной переменной в каждом атоме.
Рис.1а
Рис1б
Рис 1в
Следующий шаг - наложение прямоугольной сетки, где четыре
элемента являются квадратами (2 х 2 нм). Из Рис.1б, видно, что мы имеем
четыре наноподкомпонента, и каждый наноподкомпонент имеет четыре
атома. Если рассматривать более подробно, первый нано-подкомпонент
имеет четыре атома, представленных U(si); i = 1,…,4,, второй наноподкомпонент имеет четыре атома, представленное U(si); i = 5,…,8,, третий
нано-подкомпонент имеет четыре атома, представленное U(si); i = 9,…,12 и
четвертый нано-подкомпонент имеет четыре атома, представленных U(si); i =
13,…, 16. Так как каждая копула С имеет скрытый фактор U, то каждый
скрытый фактор связан с наноподкомпонентами 1; 2; 3 и 4 представлены с
помощью случайных величин V1; V2; V3 и V4, соответственно.
Очевидно, что совместное распределение U(s1); U(s2); U(s3) и U(s4) для
нано-подкомпонента 1, предполагает, что зависимость между U(si) и V1
моделируются связи копулы Ci (u; v); i =1, 2, 3, 4, задается
,
где
Мы вычисляем вероятность отказа для каждого шага наносубкомпонента и эта вероятность сводится к вероятности отказа для
нанокомпонента. Изложенный процесс был применен для анализа
вероятности отказа нанокомпонента, имеющего структуру двумерной
прямоугольной сетки.
Рис. 2.
Анализ проводился для случая, когда из регулярной структуры сетки
изымался ряд атомов. Считалось, что рассматривается т.н. «параллельная
структура», т.е. под отказом подразумевался отказ всех ее компонентов. Для
вероятностей отказа атомов использовалось гауссово распределение. На рис.
2 представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов.
Для каждого числа отсутствующих атомов, было проведено 10 вычислений.
Расположение этих атомов выбиралось случайно с помощью датчика
псевдослучайных чисел. На рисунке видно, что вероятность отказа для
одного и того же числа изъятых атомов может колебаться в довольно
больших пределах, что объясняется выбранной моделью параллельной
структуры. В распределении точек на графике прослеживаются почти
прямые линии, связанные с дискретным характером распределения точек по
наноподкомпонентам. Таким образом, данный метод является более гибким и
проще программнореализуемым по сравнению с известными методами
статистического прогнозирования количественных показателей надежности.
Он позволяет спрогнозировать отказ наносистемы путем масштабирования
нанокомпонента и моделирования выхода из строя наноподкомпонента.
Литература:
1.
Вуль А.Я., Соколов В.И. Исследования наноуглерода в России: от
фуллеренов к нанотрубкам и нано-алмазам/ Российские нанотехнологии,
2007. Т. 3 (3–4).
2.
Пиотровский Л. Б., Кац Е. А. «Нанотехнология», «нанонаука» и
«нанообъекты»: что значит «нано»?/, «Экология и жизнь» №8, №9 2010 URL
http://elementy.ru/lib/431265?page_design=print дата захода 05.03.2015
3.
Sklar, A. Fonctions de repartition _a n dimensions et leurs marges. Publ.
Inst. Statist. Univ. Paris, 1959, 8:229-231.
4.
Roser BN (1999) An introduction to copulas. Springer, New York
5.
Хобза П., Заградник Р. Межмолекулярные комплексы. — М.: Мир,
1989.