Актуальность: При подготовке конкурентоспособного

Уроки по решению экономических задач оптимизации различными средствами
Тема урока 1: Решение оптимизационных задач в среде электронных таблиц методом
поиска решения.
Цели урока: изучение возможностей MS Excel по решению оптимизационных задач
методом поиска решения и практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического
закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.
Задачи урока:
обучающая - научить учащихся решать оптимизационные задачи в среде электронных
таблиц MS Excel методом поиска решения;
развивающая - познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников
для экономического расчёта наилучшего использования ресурсов;
воспитательная -
выработка умения рационально использовать
ресурсы в сельском
хозяйстве.
Оборудование урока:

компьютеры с ОС MS Windows;

программа Microsoft Excel;

карточки с задачами для самостоятельной работы.
Ход урока
Объяснение нового материала
Поиск решения
оптимизированного
является надстройкой, которая позволяет решать задачи
моделирования.
Процедура
поиска
решения
позволяет
найти
оптимальное значение формулы, содержащейся в ячейке, которая называется целевой.
Рассмотрим решение задачи линейного программирования с использованием указанной
возможности.
Пусть в хозяйстве требуется распределить площадь пашни между двумя
культурами по данным следующей таблицы:
Культура
Площадь,
га
1
2
X
Y
Урожай ц/га
Затраты,
на 1 га
Цена за
1ц
Затраты
тракторосмен на 1 га
10
15
50
80
6
8
0,1
0,24
Затраты
человекодней на 1 га
2
10
Кроме того, заданы ресурсы производства: земли
- 1800 га, тракторо-смен – 300, человеко-дней –
8000 – и потребности в той и другой культуре:
для первой культуры – 10000 ц и для второй
культуры – 7500 ц. Величины x и y
являются
неизвестными и подлежат определению.
Построение математической модели задачи
включает в себя: задание ц е л е в о й ф у н к ц и и
(ее надо максимизировать или минимизировать);
задание с и с т е м ы о г р а н и ч е н и й в форме
линейных уравнений и неравенств; требование
неотрицательности переменных.
Решим задачу по оптимизации критерия, а именно: по максимуму прибыли. Ограничения
задачи имеют следующий вид:
ограничение по площади: x+y ≤1800;
ограничение по тракторо-сменам: 0,1х+0,24у≤300;
ограничение по человеко-дням: x+5y ≤4000;
ограничения по потребностям в культурах: 10х≥10 000, или х≥1000, 15у≥7500, или у≥500
Кроме того, ясно, что x≥0, y≥ 0
Для прибыли согласно данным таблицы имеем формулу:
П=6·10x+8·15y-50·x-80y=10(x+4y)
Учтя все условия задачи, приходим к её математической модели: среди неотрицательных
целочисленных решений системы линейных неравенств
X+Y ≤ 1800
0,1х+0,24у≤300
X+5Y ≤ 4000
х≥1000
y ≥ 500
найти такое, которое соответствует максимуму линейной функции F=10(x+4y).
Теперь заполним расчетную форму в табличном процессоре Excel.
В пункте меню Сервис выбираем Поиск решения.
Оптимальное решение найдено. Таким образом, x=1250(га), y=550(га) – искомый
оптимальный вариант распределения площади
пашни между двумя культурами, при
которой достигается максимальная прибыль, и выполняются все условия задачи.
Графическое решение приводит к тому же результату.
Попробуем изменить ограничения: например, ограничения по площади: вместо 1800 га
введем 2000 га. Содержимое ячейки Е11 смени на 2000. Выдели В8→Сервис→Поиск
решения→Выполнить. Проанализируем полученный результат.
Практическая работа по закреплению изученного материала
Предложить учащимся решить одну из следующих задач, в зависимости от уровня
подготовки,
исследовать задачи с новыми ограничениями, сделать соответствующие
выводы.
Задача №1. Предполагается, что рацион составляется из двух видов кормов – сена и
концентратов. Суточная потребность кормов на 1 корову равна 20 кормовых единиц. В
следующей таблице приведены числовые данные о себестоимости кормов в данном
хозяйстве.
Содержание
кормовых единиц
в 1 кг кормов
Себестоимость
кормов
Сено
0,5
1,5
Концентраты
1,0
2,5
Виды кормов
0,5х+у=20.
Найти самый дешёвый рацион, если
ежедневный
рацион
кормления
сельскохозяйственных животных должен
включать не менее 16 кг сена. Указание.
Ограничения имеют вид:
Х≥ 16; у≥0;
Целевая функция F(x,y)=1,5x+2,5y
Задача №2. Мебельная фабрика выпускает кресла двух типов. На изготовление кресла
первого типа расходуется 2 м досок стандартного сечения, 0,8 м2 обивочной ткани и
затрачивается 2 человеко-часа, а на изготовление кресла второго типа соответственно 4 м,
1,25 м
2
и 1,75 человеко-часа. Известно, что цена одного кресла первого типа равна 15 р.,
второго типа – 20 р. Сколько кресел каждого типа надо выпускать, чтобы стоимость
выпускаемой продукции была максимальной, если фабрика имеет в наличии 4400 м досок,
1500 м2 обивочной ткани и может затратить 3200 человеко-часов рабочего времени на
изготовление этой продукции?
Указание. Ограничения:
2x+4y≤4400,
2x+1,75y≤3200,
0,8x+1,25y≤1500,
x≥0,y≥0.
Целевая функция: F(x,y)=15x+20y.
Задача №3.
В отделении совхоза имеется 20 тракторов ДТ-75 и 26 тракторов МТЗ-80, с помощью
которых в течение дня надо выполнить два вида работ: культивацию на 1000 и
боронование на 2000 гектаров. Условия задачи представлены в таблице.
№
п/п
1
2
Трактор
ДТ-75
МТЗ-80
Кол-во
тракторов
на культи на бороно
вации
вании
х1
х2
х3
х4
Всего
тракторов
20
26
Производительность
трактора, га/смена
на культи на бороно
вации
вании
50
130
30
80
Затраты,
на 1 га
на культи
вации
0,9
1,0
на
бороновании
0,25
0,34
Как следует распределить технику по работам так, чтобы, с одной стороны, выполнить
их в заданном объеме и, с другой – свести производственные затраты к минимуму.
Величины х1, х2, х3, х4 являются неизвестными и подлежат определению.
Указание.
Ограничения задачи:
Первая группа ограничений связана с требованиями, чтобы тракторы выполнили весь
заданный объем работы:
50 х1+30 х3=1000;
(1)
130х2+80х4=2000;
(2)
Вторая группа ограничений отражает тот факт, что при любом распределении тракторов их
общее число не должно превосходить имеющегося количества:
х1+х2 ≤20;
(3)
x3+x4≤26;
(4)
Выразив общие затраты на производство всех работ, критерий эффективности, или целевую
функцию запишем так:
0,9∙50х1+0,25∙130x2+1,0∙30х3+0,34∙80 x4=45х1 +32,5 x2 +30х3 + 27,2х4 =минимум
Математическая модель задачи: среди неотрицательных целочисленных решений системы
линейных неравенств и уравнений (1)-(4), найти такое, которое соответствует минимуму
линейной функции F(x1,x2,x3,x4)=45х1 +32,5 x2 +30х3 + 27,2х4 .
Тема урока 2: Решение оптимизационных задач с применением таблицы подстановки Excel.
Цели урока: изучение возможностей MS Excel с применением таблицы подстановки по
решению оптимизационных задач и практическое освоение соответствующих умений и
навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического
закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Задачи урока:
обучающая - научить учащихся решать оптимизационные задачи в среде электронных
таблиц MS Excel с применением таблицы подстановки;
развивающая - познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников
для экономического расчёта наилучшего использования ресурсов, развить логическое,
абстрактное и образное мышление;
воспитательная - выработка умения рационально использовать ресурсы.
Оборудование урока:

компьютеры с ОС MS Windows;

программа Microsoft Excel;
Ход урока
Объяснение нового материала
Задача. Ателье шьет женские юбки и платья из ткани двух видов. На одну юбку расходуется
ткани одного вида 1,5 м2, другого – 0,5 м2, а на пошив одного платья расходуется ткани
первого вида 1,6 м2, второго – 0,8 м2. Сколько платьев и юбок нужно сшить, чтобы добиться
наибольшего дохода, если на складе имеется ткани первого вида 141 м2, а второго вида 63
м2? При этом известно, что доход мастерской от реализации одного платья составляет 10 у.е.,
а одной юбки – 6 у.е. Математическая модель задачи. Среди целочисленных решений
системы линейных неравенств: 1,5х+1,6у≤141, 0,5х+0,8у≤63,
х≥0, у≥0
найти такое,
при котором достигается максимум линейной функции F=6x+10y
Решим задачу моделированием переборов всех вариантов с применением таблицы
подстановки приложения MS Excel.
1. Подготовим исходные данные в Excel.
2. Введем в ячейки указанных диапазонов способом автозаполения следующие значения:

в В9:CL9 – значения х от 0 до 88;

в А10:А104 – значения у от 0 до 94
3. В ячеку А9 введем формулу
=ЕСЛИ(И((1,5*B4+1,6*B5)<=141;(0,5*B4+0,8*B5)<=63);6*B4+10*B5;" ")
4. В ячейку В6 введем формулу = =МАКС(B10:CL104) – из множества значений будет
выделено максимальное.
5.
Выделите диапазон ячеек А9:CL104, включающий расчетную формулу и значения х
и у.
6. Данные→Таблица подстановки →заполнить ячейки→ок.
В
процессе
вычисления
будут
получены
88*94
значений
целевых
функций, только часть
из
них,
удовлетворяющая
условиям
будет
задачи,
выведена
на
экран.
Самое
интересное,
что развернутая таблица нам показывает, что наибольший доход в 786 у.е. возможен в 2
случаях: (при пошиве 1 юбки и 78 платьев; 6 юбок 75 платьев). Так что еще возможен
выбор при производстве товаров.
Закрепление. Предложить учащимся решить задачу с новыми ограничениями, например, со
склада тканей первого вида выдали не 141 м2, а 120 м2. Как изменится таблица, сделать
соответствующие выводы.
Решить задачу 1, предложенную ранее, сравнить полученные результаты. Выполнить
моделирование с новыми ограничениями и сделать выводы.
Тема урока 3: Решение оптимизационных задач на основе использования объектноориентированного языка программирования Visual Basic.
Цели урока: изучение возможностей Visual Basic по решению оптимизационных задач и
практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического
закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Задачи урока:
обучающая - научить учащихся решать оптимизационные задачи на основе использования
языка программирования Visual Basic;
развивающая - познакомить учащихся с
применением
исследуемой модели и работе в интерактивном режиме;
компьютеров для визуализации
воспитательная - формирование творческого подхода к поставленной задаче, выработка
умения рационально использовать ресурсы в сельском хозяйстве.
Оборудование урока:
компьютеры с ОС MS Windows; система программирования VB5.0 CCE;
карточки с задачами для самостоятельной работы.
Ход урока
Объяснение нового материала
Оптимизационные задачи можно также решать на основе использования объектноориентированного языка программирования Visual Basic. Такая система программирования
дает
возможность
визуализировать
процесс
создания
графического
интерфейса
разрабатываемого приложения, то есть позволяют создавать объекты и задавать значения их
свойств с помощью диалоговых окон системы программирования.
Рассмотрим решение оптимизационной задачи на основе указанной возможности.
Задача
Хозрасчетной бригаде выделено для возделывания кормовых культур 100 га пашни. Эту
пашню предполагается занять кукурузой и свёклой, причём свёклой решено занять не менее
40 га. Как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось
наибольшее число кормовых единиц? При этом должно быть учтено следующее: 1 ц
кукурузного силоса содержит 0,2 кормовых единиц, 1 ц свёклы – 0,26 ц кормовых единиц, на
возделывание 1 га кукурузного поля необходимо затратить 38 человеко-часов труда
механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а на 1 га поля, занятого свёклой,
соответственно 43 и 185 человеко-часов, ожидаемый урожай кукурузы – 500 ц с 1 га, а
свёклы – 200 ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур можно затратить
4 000 человеко – часов труда механизаторов и 15 000 человеко-часов ручного труда.
Указание. Ограничения:
х+у≤ 100;
15x+185y≤15 000;
38x+43y≤ 4 000;
y>=40, x>=0.
Целевая функция имеет вид:
F(x,y)=500•0,2x+200•0,26y.
Построим компьютерную модель оптимизации распределения площади пашни по культурам
на объектно-ориентированном языке программирования Visual Basic.
1. Запустим Visual Basic. Создадим новый проект командой File-New-Standart.
Работа над проектом начинается с создания графического интерфейса будущего
приложения. В окне Конструктор форм на форму помещаются управляющие элементы,
которые должны обеспечить взаимодействие приложения с пользователем.
2. С помощью Панели инструментов на форму (F o r m 1 ) поместим текстовые поля и
командную кнопку.
Далее зададим новые
значения свойств управляющих
элементов.
3. С помощью окна Свойства объекта изменим значения свойств формы и
управляющих элементов согласно таблице:
Эскиз окна будущего приложения
Класс объектов
F o r m ( форма)
TextBox
(текстовое поле
TextBox
(текстовое поле)
CommandButton
( командная кнопка)
Свойство
Caption
BackColor
Text
Значение
Распределение площади пашни
например, желтый
площадь 1 культуры…
Примечание
заголовок формы
установка цвета фона
надписи в
соответствующих
текстовых полях
Name
txtx, txtу, txtm, txtw, , txtt1, txtt2,
текстовые поля для
вывода результатов
Text
ForeColor
например, синий
значения удалить
установить цвет надписи
BackColor
например, голубой
установить цвет заливки
Font
например, MS Sans Serif, 12, жирный,
установить шрифт, его
размер и начертание
Picture
( изображение)
…
выберите
заранее
заготовленный файл
Style (стиль)
1 - Graphical
4. В окне Программный код ввести событийную процедуру:
Dim sngX As Single, bytz As Single, bytw, bytx, byty, bytI, bytj, bytc, bytm, bytp As Single,
bytV(0 To 100, 0 To 100) As Single
Private Sub Command1_Click()
bytw = Val(Txtw.Text)
For bytI = 0 To bytw: For bytj = 0 To bytw: bytx = bytI: byty = bytj
'bytc-сигнальная переменная, равная 0, если bytx и byty, удовлетворяют ограничениям, и
равная 1 в противном случае.
bytc = 0
If bytx + byty > bytw Or 38 * bytx + 43 * byty > 4000 Or 15 * bytx + 185 * byty > 15000 _
Or byty < 40 Then bytc = 1
If bytc = 0 Then bytV(bytI, bytj) = 100 * bytI + 52 * bytj Else bytV(bytI, bytj) = 0
Next bytj : Next bytI
bytm = 0
For bytp = 0 To bytw
bytI = bytp : bytr = 0
For bytj = 0 To bytw
If bytV(bytI, bytj) > bytr Then bytr = bytV(bytI, bytj): bytq = bytj
Next bytj
If bytr > bytm Then bytm = bytr: bytx = bytp: byty = bytq : Next bytp
Txtw.Text = bytx + byty
Txtt1.Text = 38 * bytx + 43 * byty
Txtt2.Text = 15 * bytx + 185 * byty
Txtx.Text = bytx: Txty.Text = byty
Txtm.Text = bytm: TxtN.Text = byty
'Установка масштаба
PicGraph.Scale (0, 110)-(110, -100)
'Построение графика
For sngX = 0 To 110 Step 0.01
PicGraph.PSet (sngX, bytw - (sngX)), vbGreen
PicGraph.PSet (sngX, (4000 - 38 * sngX) / 43), vbMagenta
PicGraph.PSet (sngX, (15000 - 15 * sngX) / 185), vbBlue
PicGraph.PSet (sngX, 40), vbYellow : Next sngX
For sngX = 0 To 110
For sngz = 38.84 To 155.46 Step 38.84
PicGraph.PSet (sngX, (-25 / 13 * sngX + sngz)), vbRed
Next sngz : Next sngX
'Ось Х
PicGraph.Line (0, 0)-(110, 0)
For bytz = 0 To 110 Step 10
PicGraph.PSet (bytz, 0)
PicGraph.Print bytz :Next bytz
'Ось У
PicGraph.Line (0, -200)-(0, 110)
For bytz = -200 To 110 Step 20
PicGraph.PSet (0, bytz)
PicGraph.Print bytz : Next bytz
End Sub
Private Sub Command2_Click()
cls: PicGraph.cls
End Sub
5. Нажать F5. Появится окно приложения Распределение площади пашни. Для
выполнения процедуры щелкнуть по кнопке.
Программа в работе
Наборы параметров, при которых выполняются условия ограничений, можно найти
перебором вариантов с помощью вложенных циклов. Если таких наборов много, то поиск
минимального или максимального значения целевой функции можно осуществить
стандартным методом поиска элемента в массиве. В интерактивном режиме можно изменить
ограничение по площади пашни, например, на 80, получим новые значения искомых
параметров.
Для закрепления изученного материала предложить учащимся решить задачи, решенные в
среде Excel ранее, сравнить полученные результаты.
Тема урока 4: Решение оптимизационных задач средствами Mathcad.
Цели урока: изучение возможностей
Mathcad по решению оптимизационных задач и
практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического
закрепления полученных знаний, умений и навыков.
Задачи урока:
обучающая - научить учащихся решать оптимизационные задачи на основе использования
Mathcad (математической системы автоматического проектирования);
развивающая - познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников
для экономического расчёта наилучшего использования ресурсов, развить логическое
мышление;
воспитательная -
выработка умения рационально использовать
ресурсы в экономике;
формирование представление о целесообразности использования необходимого средства
решения задач.
Оборудование урока:
компьютеры с ОС MS Windows; система Mathcad; карточки с задачами для самостоятельной
работы.
Ход урока
Ранее рассмотренные средства для решения оптимизационных экономических задач не
оптимальны при решении больших потоков задач. Новые возможности в этом открывает
Mathcad - математическая система автоматического проектирования
фирмы MathSoft
(США). В этой системе описание решения задач дается с помощью привычных
математических формул и знаков, а также путем обращения к специальным функциям. В
экономике решение таких задач для целевой функции, обычно являющейся линейной,
позволяет снизить расходы сырья, транспортные затраты и получить наибольшую прибыль
от производства товаров. Объединение текстового, формульного и графического редакторов
с вычислительным ядром позволяет готовить активные электронные документы с высоким
качеством оформления и способные выполнять расчеты с наглядной демонстрацией
результатов. Итоговые документы могут трансформироваться в файлы форматов rtf и html и
использоваться в пакете MS Offise,
в сети Интернет. Продемонстрируем возможности
системы Mathcad на примере.
Транспортная задача
Сущность транспортной задачи состоит в минимизации целевой функции:
m
n
f   Cij X ij , представляющей собой стоимость перевозки сырья из m пунктов поставки и
i 1 j 1
n пунктов потребления, причем Сij – стоимость перевозки(тариф), а Хij – объем перевозок от
i-го поставщика j-му потребителю. Задача поиска неотрицательных значений переменных
(назначений) должна решаться при n+m ограничениях типа равенства запасов сырья в
пунктах поставки:
n
X
j 1
ij
 ai ,
i  1,...m
и потребностей потребителей:
n

i 1
X ij  b j
В задаче с закрытой моделью сумма запасов равна сумме потребностей:
j  1,...n
n

i 1
n
ai   b j
j 1
Условиям рыночной экономики больше соответствует открытая модель, в которой запасы
поставщиков больше или меньше потребителей.
При решении оптимизационных задач с большим числом переменных целесообразно
использовать матрицы.
Задача.
Пусть семена в хозяйстве сконцентрированы в двух складах А и В вместимостью 150 и 90
тонн. Сев производят бригады №1, 2, 3, которые должны высеять соответственно 60, 70 и
110 тонн семян. Поскольку расстояние от складов до места сева разное, то и затраты на
доставку будут неодинаковыми. Исходные данные для расчета приведены в таблице, где в
угловых клеточках указана стоимость доставки одной тонны семян со склада в бригаду.
Вместимость склада, т
А
150
В
90
№1
60
Расход семян бригадами, т
№2
70
6
10
12
№3
110
2
4
8
Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивал бы наименьшие затраты.
Операция с пояснениями
ввода текста
при наборе выражения используется символ
глобального присваивания, позволяющий определять
переменные в любом месте документа.
ввод матрицы
Выполнение
Вставка, Текстовая область
панель оценки Подсчет
символ локального присваивания :=
знак умножения (точка)
целевая функция
нажать клавишу «:»
нажать клавишу «*»
ввод нижнего индекса
символ перечисления ..
вычислительный блок начинается с ключевого слова
первое ограничение записывается
выделение столбца
транспонирование (замена местами строк и столбцов)
произведения матриц х и е
функция минимизации находит значение объемов
перевозок, соответствующих минимуму целевой
функции
получение результата
панель векторов и матрицы Матрица
панель исчислений Калькулус
после нажатия клавиши «[»
нажать клавишу «;»
Given
в виде булева равенства «=» из булевой панели
первого столбца (с номером 0) произведения матриц
х и е столбца а.
с помощью знака М<> панели векторов и матрицы
Матрица
с помощью знака МТ панели векторов и матрицы
Матрица
вставка→ функция →Minimize
панель оценки Подсчет
Решение задачи с 2 поставщиками и 3 потребителями имеет следующий вид:
Для перехода к решению открытых транспортных задач с объемом запасов у
поставщиков, не равным потребностям потребителей, в документе делаются изменения,
например:
Закрытая задача
Запасы равны потребностям
m
n
 a  b
i 1
i
j 1
Открытые задачи
Запасы больше потребностей
m
j
n
 a  b
i 1
i
j 1
Потребности больше запасов
m
j
n
 a  b
i 1
i
j 1
j
Вместимость складов А, В
 150 
a

 90 
в сумме равны
потребностям бригад 1, 2, 3
 60 
Вместимость складов А, В
 160 
a

 90 
в сумме превышает
потребности бригад 1, 2, 3
 60 
Вместимость складов А, В
 150 
a

 90 
в сумме меньше
потребности бригад 1, 2, 3
 60 
Ограничения:
равенство вывозимого продукта
запасам складов

( x  e) 0
a
равенство вывозимого продукта
потребностям бригад
T  0
( e  x)
b
Ограничения:
количество
вывозимого
продукта
меньше запасов складов

( x  e) 0
a
равенство вывозимого продукта
потребностям бригад
T  0
( e  x)
b
Ограничения:
равенство вывозимого продукта
запасам складов

( x  e) 0
a
количество
вывозимого
продукта меньше потребностей
бригад
T  0
( e  x)
b
b   70



 110 


b   70



 110 


b   80



 110 


Ответ:
 60 0 90
y
 0 70 20
Минимальные
доставку:



затраты
3
f ( y)  1.02  10
на
Ответ:
 60 0 100 
y

 0 70 10 
Минимальные затраты на
доставку:
f ( y)  980
Ответ:
 50 0 100 
y

 0 80 10 
Минимальные затраты на
доставку:
f ( y)  940
Закрепление. Задача.
Бетон, производимый на заводах А и В, нужно развозить по трем стройплощадкам: №1, №2,
№3. Известны потребности стройплощадок в бетоне (200 т, 280 т, 220 т), запасы бетона на
каждом заводе (320 т, 380 т) и затраты на перевозку 1 тонны бетона от каждого завода до
каждой стройплощадки (в угловых клеточках). Требуется составить такой план перевозок,
который обеспечивал бы наименьшие затраты.
Затраты на перевозку по стройплощадкам
№1
№2
№3
200
280
220
2
4
Запасы бетона заводов, т
А
320
В
380
5
5
6
3
Выполните моделирование задачи с новыми ограничениями и сделайте выводы.
Информационная база
1. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии: Учебное пособие для
10-11 классов. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002
2.
Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям:
Учебное пособие для 10-11 классов. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002
3. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для
учителя. М.: Просвещение, 1990
4. Павлов Б.В. Трудись, компьютер! М.: ВО Агропромиздат, 1991
5. Самарин В.В. Решение экономико-математических задач оптимизации средствами
Mathcad // Информатика и образование. 2002. №12
6. Попова О.Н. Моделирование процессов управления // Информатика и образование.
2002. №3