Степень разупрочнения, которая может быть достигнута при

СТЕПЕНЬ РАЗУПРОЧНЕНИЯ, КОТОРАЯ МОЖЕТ БЫТЬ ДОСТИГНУТА ПРИ
УСТОЙЧИВОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
МАТЕРИАЛА ТИПА ТРЕСКА
Т. Б. Лаврова
Самарский государственный университет, Самара
Для континуальной механики разрушения одним из основополагающих является
понятие разупрочнения материала (называемое также внутренней неустойчивостью).
Разупрочнение может рассматриваться как феноменологическое и макроскопическое
выражение таких особенностей поведения тела, которые являются следствием его
начального рассеянного макроразрушения в тех пределах, когда среда еще может рассматриваться как сплошная. Таким образом, упругопластические определяющие соотношения с разупрочнением в принципе позволяют описывать начальные стадии разрушения материалов в рамках подхода и с помощью методов механики сплошной среды.
В случае геометрически линейной механики сплошных сред считается, что материал упрочняющийся, если все его модули для пластического отклика положительны и
разупрочняющийся, если среди этих модулей имеется хотя бы один отрицательный.
Так как в линейной механике фигурирует один только тензор напряжений (тензор Коши T ) и один тензор деформаций (тензор малых деформаций  ), то и тензор модулей
материала L тоже один (в том смысле, что один для каждого режима деформирования
упругопластического материала). Если под модулями, знак которых характеризует
свойства упрочнения или разупрочнения, понимать «истинные» модули в смысле
Я. Рыхлевского, т.е. собственные числа тензора модулей как линейного оператора,
отображающего пространство симметричных тензоров второго ранга в себя, то их положительность (упрочнение) эквивалентна положительной определенности соответствующей квадратичной формы
(1)
T :    : L : 
а наличие среди них отрицательных (разупрочнения) эквивалентно наличию отрицательных значений этой квадратичной формы, что соответствует определениям упрочнения и разупрочнения по Друккеру.
В случае геометрически нелинейной механики (что означает учет начальных
напряжений) эта однозначность понятий отпадает: тензоров напряжений два, а в определении их приращений возможны варианты. Однако при стремлении начальных
напряжений к нулю должно получаться прежнее условие наличия или отсутствия положительной определенности квадратичной формы (1).
В настоящей работе принимается следующее обобщение процитированного усло
вия упрочнения. Пусть T  T  T :    : T – яуманова производная тензора напряжений Коши, а  – тензор скоростей поворотов, тогда инкрементальному определяющему соотношению можно придать следующий вид:

Lp : , : S  0;
T e
L : , : S  0,
где Lp , Le – тензоры четвертого ранга, задающие модули материала для упругого и
пластического откликов, S – симметричный тензор второго ранга, являющийся нормалью к поверхности текучести. В случае симметричной пластичности Lp и Le связаны
соотношением Lp  Le   S  S,   0. Здесь  – скалярная величина, связанная с
1
функцией упрочнения, отрицательность  означает, что материал при разгрузке является более жестким, чем при пластическом нагружении.
Назовем материал упрочняющимся (или разупрочняющимся), если квадратичная
p

форма  T :     : Lp :  является положительно определенной (или может принимать


отрицательные значения).
Таким образом, в процессе деформирования разупрочнение начинает реализовываться в тот момент, когда наименьший «истинный» модуль Lp становится отрицательным. Состояния разупрочнения материала являются достижимыми в тех пределах,
в которых условие разупрочнения совместимо с неравенством Адамара (или при строгом неравенстве с неравенством сильной эллиптичности) для модулей материала в режиме активного пластического нагружения. При нарушении этого неравенства любая
конфигурация тела с любыми граничными условиями становится неустойчивой. Это
утверждение является следствием теоремы Адамара и ее обобщения на упругопластические материалы.
Неравенство Адамара имеет следующий вид:
f  g : C p : f  g  0,  f , g.
(2)
Тензор четвертого ранга C – это тензор пластических модулей для тензора напряжений Пиолы. Он связан с тензором Lp соотношением
1
1324  1
1342 
C p  Lp  T  I   T  I  I  T 
 T  I  I  T
.
2
2
Достаточным условием выполнения неравенства (2) является выполнение неравенства
p
f  g :  Lp  2 max 1def  : f  g  0,
(3)
которое дает более грубое достаточное условие для наличия сильной эллиптичности
тензора C p .
Как известно, существуют испытательные устройства, в которых возможно
устойчивое однородное деформирование образца вплоть до нарушения неравенства
сильной эллиптичности.
Упругопластические материалы типа Треска характеризуются тем, что поверхность
текучести для них является кусочно-гладкой, а нормаль S к этой поверхности в пространстве деформаций представляет собой симметризованную диаду. Будем считать, что
тензор S нормирован на единицу. Условимся, что Le  2G1def , где G – модуль сдвига, а
1def – ортогональный проектор на пространство симметричных тензоров второго ранга.
Тогда без ограничения общности можно считать, что в гладкой точке поверхности текучести типа Треска при режиме активного пластического нагружения
Lp  2G1def   S  S.
(4)
В силу свойств тензора 1 в этом случае наименьший истинный модуль L равен 2G   . То есть условие разупрочнения принимает вид: 2G    0 . С другой стороны, так как тензор Lp  2 max 1def симметричен по перестановке векторов в парах, в (3)
диаду f  g можно заменить на симметризованную диаду, нормированную на единицу.
def
p
Тогда условие (3) выполняется при 2  G   max     0 . Следовательно, разупрочнение в
гладкой точке поверхности текучести для упругопластических материалов типа Треска
не достижимо.
2
Ребра поверхности текучести типа Треска характеризуются тем, что нормали к
граням, при пересечении которых образуются эти ребра, являются соосными симметризованными диадами. В точках поверхности текучести, соответствующих ребру, возможны четыре режима нагружения: разгрузка; два режима неполного пластического
нагружения, для которых тензор Lp имеет вид (4) при S  S1 или при S  S 2 ( S1 , S 2 –
нормали к соответствующим граням); режим полного пластического нагружения, для
которого
Lp  2G1def     S1  S1   S2  S2  ,
(5)
где   и   – безразмерные функции текущего состояния материала, такие, что    0 ,
   0 ,       1 .
В режимах неполного пластического нагружения, так же, как и в режиме, соответствующем активному пластическому нагружению в гладкой точке поверхности текучести, разупрочнение не достигается.
В режиме полного пластического нагружения роль наименьшего истинного модуля тензора Lp играет меньшее из двух значений квадратичной формы  : Lp :  на нормированных собственных тензорах оператора  S1  S1   S2  S2 .
Рассмотрим другую квадратичную форму:
D :  Lp  2 max 1def  : D,
(6)
где D – симметризованная диада, а тензор Lp задан выражением (5). Тогда у тензора
D одно собственное значение равно нулю, а два других собственных значения имеют
разные знаки. В работе доказано, что тензор D , на котором квадратичная форма (6)
принимает наименьшее значение, соосен с тензорами S1 и S 2 . Выполнение неравенства
(3) равносильно условию D :  Lp  2 max 1def  : D  0 , которое можно привести к виду:

2  G   max 

D : D
.
2
2
   D : S1      D : S 2 
(7)
Так как значение правой части неравенства (7) не зависит от нормировки D , примем
2
2
что    D : S1      D : S 2   1 . Свойства тензора D позволяют определить три варианта его возможных собственных значений (то есть три варианта самого D ). Сравнивая значения правой части неравенства (7) для каждого из возможных D и выбирая
меньшее из них, получим ограничение на  , определяющее верхний предел допустимого разупрочнения. Показано, что в режиме полного пластического нагружения всегда существует некоторая конечная достижимая степень разупрочнения, которая тем
больше, чем ближе   к   , и достигает максимума при      .
Таким образом, в отличие от случая активного пластического нагружения в гладкой точке поверхности текучести типа Треска, где разупрочнение невозможно, случай
полного пластического нагружения на ребре характеризуется тем, что на ребре имеется
конечная достижимая (в том числе в реально существующих испытательных устройствах) степень разупрочнения.
3