СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ранг матрицы
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
Пусть Р некоторое фиксированное поле и пусть А = 
.
. ... . 


a

a
...
a
mn 
 m1 m 2
произвольная матрица размерности m  n. Каждый столбец матрицы можно рассматривать как
m-мерный вектор из m-мерного арифметического пространства Аm. Тогда система столбцов
матрицы будет системой m-мерных векторов а1 = (а11, а21, … , аm1), а2 = (а12, а22, … , аm2), … ,
аn = (а1n, а2n, … , аmn).
Определение 26. Столбцевым рангом матрицы А называется ранг системы её
векторов – столбцов.
По аналогии со столбцами каждую строку матрицы А можно рассматривать как nмерный вектор из n-мерного арифметического пространства Аn .
Определение 27. Строчным рангом матрицы А называется ранг системы её
векторов – строк.
Теорема 18 (Теорема Кронекера – Капелли ). Столбцовый ранг матрицы равен
наибольшему порядку среди отличных от нуля её миноров.
Доказательство. Если все элементы матрицы – нули поля Р, то все её столбцы –
нулевые вектора. Ранг этой системы векторов равен нулю. В матрице А все миноры первого
порядка, все миноры второго порядка и т.д. равны нулю. Можно считать, что максимальный
порядок отличных от нуля миноров равен нулю.
Пусть в матрице А не все элементы равны нулю, тогда в матрице есть отличные от нуля
миноры. Выберем минор наибольшего порядка среди всех отличных от нуля. При перестановке
столбцов ранг системы векторов-столбцов не изменится. При перестановке строк матрицы
изменится только порядок координат векторов (при этом у всех векторов одинаково).
Следовательно, эта перестановка тоже не изменит ранга системы векторов-столбцов.
Переставим, если нужно, строки и столбцы матрицы так, чтобы выбранный нами минор М
располагался в левом верхнем углу матрицы. Пусть его порядок равен к. Рассмотрим систему
векторов-столбцов матрицы А. Обозначим их а1, … , ак, ак+1, … , аn . Векторы а1, … , ак линейно
независимы, иначе выбранный нами минор был бы равен нулю. Покажем, что любой другой
вектор-столбец через них линейно выражается. Для этого окаймим выбранный минор
любым столбцом с номером к +1, к + 2, … , n и любой строкой.
Если номер этой строки не больше к, то
а1, … , ак,
ак+1, …, аn
полученный определитель будет иметь две
a1k 1 ... a1n 
 a11 ... a1k


одинаковых строки, поэтому равен нулю. Если
...
.
.
...
. 
 .
номер окаймляющей строки больше к, то
 a

...
a
a
...
a
kk
kk 1
kn
этобудет минор матрицы А порядка
(к + 1),

А =  k1
поэтому
равен
нулю
по
условию.
Итак,
 ak 11 ... ak 1k ak 1k 1 ... ak 1n 
 .
определитель  равнее нулю при любом s, равном
...
.
.
...
. 

к + 1, … , n и любом р, равном 1, 2, … , m .
a
amk 1 ... amn 
 m1 ... amk
Разложим  по последней строке, получим
a11 ... a1k a1s
a p1 Ap1  ...  a pk Apk  a ps M  0.
. ... .
.
= 0.

Ap1
A
ak1 ... akk aks
 a p1  ...  pk  a pk .
Так как М  0, то a p1  
M
M
a p1 ... a pk a ps
Если номер столбца s зафиксирован, то алгебраические дополнения Ар1, … , Арк не меняются
A
A
при изменении номера строки р. Следовательно, аs =  p1  а1 – … – pk  ак . Итак, любой
M
M
вектор-столбец матрицы А линейно выражается через первые к её столбцов. Следовательно,
столбцовый ранг матрицы равен к, т.е. наибольшему порядку отличных от нуля её миноров.
Следствие. Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.
Доказательство. Транспонируем матрицу А. При этом векторы-строки матрицы А
станут векторами-столбцами транспонированной матрицы АТ. П ри транспонировании матрицы
транспонируются и все её миноры. Так как при транспонировании определитель не меняется, то
максимальный порядок отличных от нуля миноров в матрицах А и АТ один и тот же. По
доказанной теореме столбцовые ранги этих матриц равны. Отсюда и следует утверждение
следствия.
Так как столбцовый и строчный ранги матриц равны, то можно дать определение:
Определение 28. Рангом матрицы называется ранг системы её векторов-столбцов
(или векторов-строк).
Из теоремы о ранге матрицы следует, что если мы найдём в матрице А минор М к-го
порядка, отличный от нуля, то среди миноров (к + 1)-го порядка достаточно рассмотреть только
те, которые получаются окаймлением минора М. Если они все равны нулю, то ранг матрицы
равен к. В дальнейшем минор наибольшего порядка среди отличных от нуля будем называть
базисным минором.
 1 1  


0 2 2  
Пример. Найти ранг матрицы А = 
в зависимости от .
0 3 3  


  1 1 2 


Решение. Так как не все элементы матрицы равны нулю, то её ранг не меньше 1. Так как
второй т третий столбцы одинаковы, то один из ни можно отбросить и находить ранг матрицы
 1  


0 2
0 2  
А1 = 
.
Из
миноров
второго
порядка
только
один
не содержит , но этот
0 3  
0 3


  1 2 


минор равен 0.
0 1

0 2
0 3

0 1

то М1
Рассмотрим минор М1 =
 1
0
2
 2 . При
 = 0 матрица А1 имеет вид
0

0
. В ней только один ненулевой столбец, следовательно, её ранг равен 1. Если   0 ,
0

0 
 0, т.е. ранг матрицы не меньше 2. Минор М1 можно окаймить третьей строкой и
 1 
третьим столбцом или четвёртой строкой и третьим столбцом. Получим М 2 = 0
0
2    2 .
3 
Так как   0 , то М2  0. В матрице А1 миноров 4-го порядка нет, поэтому rang A = rang A1 = 3.
Итак, при  = 0 rang A, при   0 rang A =3.
Теорема 19. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга.
Доказательство следует из того, что при элементарных преобразованиях матрицы мы
получаем эквивалентные системы её векторов-строк.
Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
 a x  a x  ...  a x  b

2n n
2,
Пусть дана система линейных уравнений  21 1 22 2
(25),
..........
..........
..........
.....

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm .
коэффициенты которых принадлежат данному полю Р.
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
Пусть
А = 
(26)
матрица этой системы
и
.
. ... . 


a

a
...
a
mn 
 m1 m 2
a11 a12 ... a1n b1
А1 =
a21
a22
... a2 n b2
(27) расширенная матрица. Если система (25) имеет хотя
.
. ... . .
am1 am 2 ... amn bm
бы одно решение, то её называют совместной, в противном случае система несовместная.
Если все слагаемые, содержащие неизвестные, стоят в левых частях уравнений, а свободные
члены – в правых частях, то система называется приведённой. Если в системе (25) хотя бы один
свободный член отличен от нуля, то эта система называется неоднородной. Если же все
свободные члены равны нулю, то имеем систему линейных однородных уравнений.
Теорема 26 (теорема Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг её матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство.  Пусть система (25) совместна. Следовательно, существуют такие
элементы 1, 2, … , n , что
 a11  1  a12   2  ...  a1n   n  b1 ,
 a    a    ...  a    b ,
 21 1 22 2
2n
n
2

......................................

am1  1  am 2   2  ...  amn   n  bm .
Записав эти равенства в векторной форме, получим, что в = 1а1 + 2а2 + … + аn , где
а1, а2, … , аn –векторы-столбцы матрицы А, в – вектор-столбец свободных членов. Из
последнего равенства следует, что системы векторов а1, а2, … , аn и а1, а2, … , аn , в
эквивалентны, поэтому их ранги равны. Итак, rang A = rang A1.
 Пусть rang A = rang A1 = к. Не нарушая общности, можно считать, что отличный от нуля
минор к-го порядка в матрице А стоит в левом верхнем углу.
Векторы-столбцы обозначим
а1, а2, … , ак, ак+1, … , аn, в
(). Система а1, а2, … , ак будет максимальной линейно
независимой подсистемой в системе (), следовательно, найдутся такие коэффициенты х10, х20,
… , хк0, что в = х10 а1 + х20 а2 + … + хк0 ак. Это равенство равносильно равенству
в = х10 а1
+ х20 а2 + … + хк0 ак + … + 0ак+1 + … + 0аn. Перейдя к координатам, получим:
 b1  x10 a11  x20 a12  ...  xk0a1k  0  a1k 1  ...  0  a1n ,

0
0
0
 b2  x1 a21  x2 a22  ...  xk a2 k  0  a2 k 1  ...  0  a2 n ,
(28)

...........................................

bm  x10 am1  x20am 2  ...  xk0 amk  0  amk 1  ...  0  amn
Отсюда следует, что (х10, х20, … , хк0, 0,… ,0) – решение системы (25), т.е. эта система совместна.
Из теоремы Кронекера – Капелли следуют правила решения системы линейных
уравнений.
Для решения системы линейных уравнений достаточно
1. Найти ранги основной и расширенной матриц ( А и А1 ). Если rang A  rang A1, то
система не имеет решения.
2. Если rang A = rang A1 = к, то для решения достаточно оставить к уравнений,
коэффициенты которых стоят на тех строчках матрицы А, на которых стоит базисный минор, и
в этих уравнениях оставить в их левых частях те неизвестные, коэффициенты которых входят в
базисный минор. Остальные неизвестные нужно перенести в правые части уравнений. Они
могут принимать все возможные значения из поля Р. Эти неизвестные называются
свободными. (Не нарушая общности, можно считать, что оставлены первые к уравнений и
первые к неизвестных , система (29)).
Определитель левой части системы (29)
 a11x1  a12 x2  ...  a1k xk  b1  a1k 1  ...  a1n xn ,
отличен от нуля, число уравнений равно
a x  a x  ...  a x  b  a
 21 1 22 2
2k k
2
2 k 1  ...  a2 n xn ,
числу неизвестных, поэтому (по теореме
(29)

..........
..........
..........
..........
.....
Крамера) эта система при всевозможных

 ak1 x1  ak 2 x2  ...  akk xk  bk  akk 1  ...  akn xn .
хк+1, … , хn имеет единственное решение.
Следовательно, неизвестные х1, х2, … , хк можно выразить через хк+1, … , хn . Формулы, с
помощью которых х1, х2, … , хк выражаются через хк+1, … , хn задают так называемое общее
решение данной системы уравнений. При каждом конкретном наборе переменных хк+1, … , хn
мы получим единственный набор х1, х2, … , хк . Это частное решение системы уравнений.
Число свободных неизвестных равно n – к. Поэтому если к = n, то свободных неизвестных нет,
система (29), а поэтому и система (25), имеет единственное решение. Если же к  n, то система
имеет бесконечно много решений.
Пример. Исследовать систему уравнений и решить её, если она совместна в поле R.
 2 x1  3x2  4 x3  x4  1,

 2 x1  3x2  2 x3  3x4  2,
2 x  3x  2 x  11x  4.
2
3
4
 1
Решение. Составим матрицу и расширенную матрицу.
Так как первый и второй столбцы пропорциональны, то
2  3 4 1 1
для нахождения ранга матрицы один из них можно
А1 = 2  3 2 3 2
удалить. Будем считать, что удалён второй столбец.
2  3 2  11  4
4 1
Минор М =
 0.
2 3
Окаймим этот минор первым столбцом и третьей строкой , получим
Следовательно, rang A = 3. Но rang A1 не может быть
2 4 1
больше 3. Итак, rang A = rang A1 = 3. Для решения остаются
 = 2 2 3 = 56  0.
три уравнения, т.е. все уравнения. Оставим в левых частях
2 2  11
первое, третье и четвёртое неизвестные,
второе
неизвестное перенесём в правые части,
получим
1  3x2 4  1
 2 x1  4 x3  x4  1  3x2 ,

Для этой системы  = 56, 1  2  3x2 2 3 = 84х2 ,
 2 x1  2 x3  3x4  2  3x2 ,
2 x  2 x  11x  4  3x .
 4  3x2 2  11
3
4
2
 1
2
1  3x2
 2  2 2  3x2
2  4  3x2
1
3 = 20,
 11
2 4
1  3x2
3  2 2 2  3x2 = 24. По формулам Крамера получаем
2 2  4  3x2
84 x2 3
20 5
24 3
3
5 3
 x2 , х3 =
 , х4 =
 . Общее решение данной системы ( x2 , x2 , , ),
56
2
56 14
56 7
2
14 7
х2 – любое действительное число.
х1 =