Логарифмы. Что мы знаем о логарифмах? ... них появилась потребность? Всё предельно

Логарифмы.
Что мы знаем о логарифмах? Почему в
них появилась потребность? Всё предельно
просто, если в степени неизвестен показатель
степени, и он элементарно не угадывается, то
его значение нужно было как-то записать: вот
так и появились логарифмы, а затем и таблицы
значений десятичных и натуральных логарифмов.
В эпоху, когда
отсутствовали микрокалькуляторы и персональные компьютеры, сложные
функциональные вычисления производились при помощи обычной
логарифмической линейки. Нельзя было представить инженера без этого
инструмента, все расчёты производились при помощи линейки. Логарифмы
позволяли степень заменить произведением, произведение – суммой, частное
– разностью. Сейчас мало кто помнит логарифмическую линейку, а вот сами
логарифмы активно используются. Многие процессы в физике, астрономии и
биологии проходят по логарифмической функциональной зависимости.
Контрольная работа № 5.
Вариант 4 (2 ч).
№1. Найдите log 15 75 , если log 2 5  a, log 2 3  b .
Решение: log1575=
Ответ:
log 2 75 log 2 (52  3) 2  log 2 5  log 2 3 2  a  b



.
log 2 15 log 2 (5  3)
log 2 5  log 2 3
ab
2a  b
.
ab
№2. Решите уравнение:
а) log 2 4 x  3  log 1 125  log 0,5 x  log 4 0,04 ;
8
б) log 22 3x  1  3 log 1
2
4
2
 
3x  1  7 
log 2 1, 5 log 2 4
7
7
;
ln x  9
5
 e ln x 1 .
в) x
Решение: а) представим в уравнении log 2 4 x  3  log 1 125  log 0,5 x  log 4 0,04 все
8
логарифмы по основанию 2:
log2  4 x  3  log2 x  0 ,
следовательно, х=1.
или,
log2  4 x  3  log2 5   log 2 x  log 2 5 ,
откуда:
 x  0, 75,
 x  0, 75,
4 х  3  0,



 x  0,
 x  0,
  x  1,
(4 x  3)  x  1; 4 x 2  3 x  1  0;   x  0, 25;



Ответ: 1.
4
2
Решение: б) представим в уравнении log 3x  1  3 log 1
 
3x  1  7 
2
log 2 1, 5 log 2 4
2
2
логарифмы
по
основанию
log22  3x  1  3log 2 (3x  1)  0,
2:
log22  3x  1  6  3log 2 (3x  1)  6 ,
log2  3x  1  (log2 (3x  1)  3)  0,
или
7
а
7
все
откуда
теперь:
3x  1  0,
 x  1/ 3,


следовательно, получили два корня х=0 и х=-7/24.
 3x  1  1,
  x  0,
 3x  1  0,125;   x  7 / 24;


Ответ: 0; -7/24.
ln x  9
5
 e ln x 1 , очевидно, что х – число положительное, но тогда
Решение: в) x
прологарифмируем обе части по основанию e: (lnx+9)∙lnx=5∙(lnx+1), откуда
 x  e,
ln x  1, 
получаем: ln x+4∙lnx-5=0, 
1
ln x  5;  x  5 .
e

2
Ответ: e;
1
.
e5
№3. Решите неравенство:
9
а) 1 
 16 
log7  x 1
Решение: а)
4
 
5
 9
1 
 16 
log1  x  3 
log7  x 1
7
б) log x 2 2  log x 2 x 2  log x 2 13x  20 .
;
4
 
5
log1  x  3 
7
, откуда
5
 
4
2log 7 ( x 1)
5
 
4
log 7 ( x  3)
, так как
показательная функциональная зависимость с основанием 1,25 является
возрастающей, то неравенство заменим на неравенство ему равносильное:
 x  1  0,
 x  1,
 x  1,



2log7(x+1)>log7(x+3) или  x  3  0,
 x  3,
  x  1, следовательно,
 x 2  2 x  1  x  3;  x 2  x  2  0;   x  2;



x>1.
Ответ: x>1.
Решение: б) log x 2 2  log x 2 x 2  log x 2 13x  20 , применив свойство, получим:
log x2 (2 x2 )  log x2 13x  20 , далее рассмотрим совокупность двух систем:
  x  2  1,
  x  3,
  x  3,
 2


 2 x  13 x  20,   x  0,
 2 x 2  0,
 2 x 2  13x  20  0,  2,5  x  4, 3  x  4,
 2  x  3,


 2  x  2,5.

 0  x  2  1,  2  x  3,

   x  4,
 2


 2 x  13 x  20,   x  20 /13,
13x  20  0;  2 x 2  13x  20  0;    x  2,5;


Ответ: 2<x≤2,5 и 3<x≤4.
№4. Исследуйте функцию y  e 2 x 1   4 x 2  x  на монотонность и
1
2

экстремумы.
Решение:
заметим,
что
функция
1

y  e 2 x 1   4 x 2  x 
2

определена
и
дифференцируема для всех действительных х. Найдём производную и
приравняем её к нулю: y’=e2x+1∙(1-8x2-2x-8x-1)=e2x+1∙(-8x2-10x); y’=0,
следовательно: e2x+1∙(-8x2-10x)=0, откуда х1=0, х2=-1,25. Определим знаки
производной: если x<-1,25, y’<0; если -1,25<x<0, y’>0; если x>0, y’<0. Таким
образом, заданная функция возрастает на промежутке [-1,25; 0], а убывает на
двух промежутках (-∞; -1,25] и [0; +∞). Следовательно, xmin=-1,25;
ymin= 
9
; xmax=0; ymax=0,5e.
2e e
Ответ: функция возрастает на промежутке [-1,25; 0], а убывает на двух
промежутках (-∞; -1,25] и [0; +∞); ymin= 
9
; ymax=0,5e.
2e e
№5. Из точки A (0;-1) проведите касательную к графику функции
1

y  ln  e 3 x  .
3

Решение: преобразуем функцию к следующему виду:
1
3
1
x
у=3+ln( x ), её производная y’= . Пусть хо – абсцисса точки касания, тогда
1
3
у(хо)= 3+ln( xo ), y’(хо)=
у=
1
. Уравнение касательной принимает вид:
xo
1
1
∙х+3+ln( xo )-1. Для точки А(0; -1) уравнение касательной принимает
3
xo
1
3
вид: -1=ln( xo )+2, откуда хо=
имеет вид: у=
Ответ: у=
3
. Следовательно, уравнение касательной
e3
e3
 x 1 .
3
e3
 x 1 .
3
№6. Решите неравенство 4 x  2 x 2  7  log 2 x  1 .
Решение: область допустимых значений неравенства – все х>1. На ОДЗ
неравенства квадратный трёхчлен убывает, а логарифм возрастает; при х=3
имеем равенство: 1=1. Таким образом, неравенство 4 x  2 x 2  7  log 2 x  1
верно для всех х∈(1; 3].
Ответ: (1; 3].
Дополнительное задание.
 3  1  2  1  3 x
log 7       91
2
 y
№7. Решите систему уравнений 
x
 2 2
1
2x
log 7 y  2 2   log 7 y  13  2 .
 
