3.12i. Тонкое непроводящее кольцо радиуса R заряжено с линейной плотностью 0 cos( ) , где 0 - постоянная, - азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля : a) в центре кольца; b) на оси кольца в зависимости от расстояния x до его центра. Исследовать полученное выражение при x>>R. Решение: Рассмотрим сразу общий случай- пункт б) задачи. Из вида функции λ=λ(r), ясно, что одна половина кольца заряжена положительно, а другая- отрицательно. Учитывая принцип суперпозиции E E E и понимая, что в силу симметрии распределения заряда результирующий вектор поля Е направлен против оси Х, находим: E E x E y E x d E x d E Cos dq Cos 40 r 2 Здесь dq dl 0 CosRd элементарный заряд дуги dl По теореме Пифагора r 2 R 2 z 2 dEx 0 R 4 0 ( R 2 z 2 ) Cos 2d поле элементарного заряда Теперь интегрируем по области положительного заряда (-π/2<φ<π/2): E x dE x 0 R 40 ( R z ) 2 1 2 Cos d 2 ( SinCos ) 2 2 , так как Теперь, учитывая, очевидное равенство E E , запишем: E 2 E x Cos R Cos 2 R 2 x E 2Ex Наконец, E 0 R 2 4 0 ( R z ) 2 2 3 R (R z 2 ) 2 1 2 (*)- искомая зависимость. 2 Теперь можем исследовать ее при x>>R: E R 2 0 p , 3 40 z 40 z 3 где p R 2 0 - дипольный распределением заряда. момент кольца с заданным Для нахождения поля в центре кольца достаточно подставить в (*) z=0.