Связанные состояния кварков и глюонов. Основные свойства мультиплетов мезонов. Основы теории групп. Правила комбинирования схем Юнга. Дублет антикварков. Мультиплеты мезонов в SU(2), SU(3) и SU(4). Нонеты мезонов из легких кварков. Кварковый состав мезонов из SU(3) нонета. Векторные и псевдоскалярные мезоны. Массовые формулы ГеллМанна-Окубо. Смешивание мезонов, правило ОЦИ. Протон – составная частица (N N) o 1949, Ферми, Янг: o 1956, Саката, Окунь: p,n, o 1964, Гелл-Манн: кварки o 1964, Цвейг: (1020) K K aces 83% 16% ?? ss su + s u Есть внутренние составляющие адронов. Они предпочитают сохранять свою индивидуальность в реакциях сильного взаимодействия. Cвязанные состояния кварков (и глюонов?) Мезоны - qq Барионы – qqq -------------------------------- Глюболы – gg Гибриды – (qq)g --------------------------------- 4-x кварки - qq qq молекулы (K K) Групповые свойства мезонов и барионов (динамические свойства – неизвестны) Какие семейства (мультиплеты) можно образовать из (qq), (qqq) ? Число кварков 2,3,4, … Элементы теории групп Группа – множество элементов, для которого определена операция композиции: композиция двух элементов группы является снова элементом группы существует тождественный элемент группы I EI=IE=E каждый элемент группы E имеет единственный обратный элемент Е-1 Е E-1 = E-1 E = I операция композиции ассоциативна A (B C) = (A B) C Пример: множество всех фазовых множителей волновой функции U ( ) ei - вещественное число i ( ) U ( ) U ( ) e U ( ' ) 1) 2) I = U(0) 3) U-1() = U(-) 4) {U(1) U(2)} U(3) = U(1) {U(2) U(3)} U ( ) ei UU = 1 - одномерная унитарная группа U(1) Каждый элемент группы характеризуется определенным значением континуального параметра . Генераторы группы: Если каждый элемент группы может быть представлен в виде: E = 1 + iFi + (2 i) при малых i То группа называется группой Ли, а Fi – генераторы группы Ли. Любой элемент группы Ли можно представить в виде n i i Fi E ( 1 , 2 ,..., n ) e i 1 Fi – генераторы группы Ли Генератор группы – величина, порождающая группу. Пример: SU(n) – special unitary groups Матрицы U(n x n) , det U=1, UU = 1 n2-1 независимых параметра SU(2) – 3 параметра Общий вид элемента группы U e in - угол вращения n – вектор оси вращения, - генераторы преобразований, матрицы Паули 0 1 2 1 1 0 , 0 i 1 0 3 , i 0 0 1 i2 = I [i j ]+ = 0, ij i j = I ij + i ijk k [i j ] = 2 i ijk k (123, 231, 312) = +1 (213, 132, 321) = -1 Генераторы группы образуют алгебру Ли: [Fi Fj] = ijk Fk (123, 231, 312) = +1 структурные константы группы (213, 132, 321) = -1 Основные свойств группы определяются заданием алгебры группы Представление группы: Набор линейных операторов Т(Ga), которые соответствуют элементам Ga группы Т(Ga) Т(Gb) = Т(Ga Gb), T(E) = 1 Любые матрицы NxN, которые удовлетворяют алгебре SU(2), образуют N- мерное представление группы SU(2) Представления классифицируются по собственным значениям оператора Казимира – оператор, коммутирующий со всеми генераторами представления. Пример: Оператор спина (изоспина): S= ½ [S2, Si]=0, S2 – оператор Казимира Представления классифицируются по значениям спина: Пример: S=1/2, S=1, S=3/2…. Внутри представления элементы группы классифицируются по значениям S3 . Неприводимое представление группы: Все представления конечной группы можно построить из конечного числа неприводимых представлений Неприводимые представления стационарные состояния с фиксированной энергией Для любого неприводимого представления все члены мультиплета вырождены по массе, если [U,H]=0. Фундаментальное представление SU(2) – дублет u q d SU(3) – триплет u q d s Какие семейства (мультиплеты) можно образовать из комбинации qq ? Если q=SU(2), SU(3)…SU(6) Схемы Юнга Фундаментальное представление группы SU(N) N Сопряженное представление N группы SU(N) N-1 Пример: SU(2) 2 2 SU(3) 3 3 Правила комбинирования схем Юнга 1 = + А 2 S = + Запрещенные конфигурации 3 = + Размерность любого представления SU(N) определяется дробью: Числитель: N N+1 N+2 N-1 N N+1 N-2 N-1 N-3 Произведение всех чисел Знаменатель: “крюк” K=1 “крюк” K=3 “крюк” K=1 Произведение всех “крюков” Пример: SU(2) = + Числитель Числитель 21=2 23=6 Знаменатель Знаменатель 21=2 21=2 2/2 = 1 – синглет 6/2 = 3 – триплет SU(3) Числитель 321=6 Знаменатель 321=6 6/6 = 1 – синглет = + Числитель 3 4 2 = 24 Знаменатель 311=3 24/3 = 8 – октет Числитель 4 3 2 1 = 24 Знаменатель 4 3 2 1 = 24 24/24 = 1 – синглет = + Числитель 5 4 3 2 = 120 Знаменатель 1421=8 120/8 = 15 – плет Литература: Дж.Эллиот, П.Добер, Симметрия в физике, 2т, “Мир”, 1983. Ф.Клоуз. Кварки и партоны, Москва, Мир, 1982. Г.Кейн, Современная физика элементарных частиц, Москва, Мир, 1990 Мир мезонов (qq) Sq Sq L Мультиплеты мезонов характеризуются: L – орбитальный момент между кварками S – полный спин S= Sq + Sq J – полный орбитальный момент J=L+S n - главное квантовое число P = (-1)L+1 C= (-1)L+S Для 2 ароматов u,d работает SU(2)f симметрия – частицы должны объединяться в триплеты и синглеты Для 3 ароматов u,d,s работает SU(3)f симметрия – частицы должны объединяться в октеты и синглеты Что такое q ? u q d u q d ?? I3 = Q – Y/2 d q u ? q должен преобразоваться как q Повернем q на угол вокруг оси y: u ' cos d ' sin sin u cos d d ' sin u cosd d ' sin u cos d d ' cos u' sin sin d cos u d ' cos u ' sin - не совсем похоже sin d cos u - то, что надо d q u d u qq d u 1 / 3 2 / 3 qq 2 / 3 1 / 3 |ud> Q=+1 + -|du> Q=-1 Нейтральные комбинации: 1 ( uu dd ) 2 1 (uu dd ) 2 и 0 (540) Изотриплет с I=1 - не симметричен Изосинглет c I=0 - симметричен относительно перестановок кварков Добавим s-кварк Нонет псевдоскалярных мезонов JPC = 0+ I 1 1 1 SU(3) 8 8 8 Волновая функция ud du ½ ½ ½ ½ 0 8 8 8 8 8 us u s ds d s ’ 0 1 + 0 K+ KK0 K0 1 ( uu dd ) 2 1 (uu dd 2ss ) 6 1 (uu dd ss ) 3 Нонет векторных мезонов JPC = 1 SU(3) 8 8 8 Волновая функция ud du K*+ ½ K*- ½ ½ 0 K* K*0 ½ 0 8 8 8 us u s ds 8 8 d s 1 + 0 I 1 1 1 0 1 ( uu dd ) 2 1 (uu dd 2ss ) 6 1 (uu dd ss ) 3 Массовые формулы m1=u, d ; m2=s ; m = <ud | H | ud >= 2m1 –b mK = <us | H | us> = m1 + m2 –b m = 2/3 m1 + 4/3 m2 –b 1 6 u u d d 2s s Линейная формула Гелл-Манна-Окубо 4 mK = 3 m + m 1992 1759 12% Квадратичная формула Гелл-Манна-Окубо 4 m2 K = 3 m2 + m2 8% !? Почему надо брать квадраты – объяснила КХД! Векторные мезоны 4 m2 K* = 3 m2 + m2 3.1684 2.4322 23% !! Выход: нет чистого октета и чистого синглета. Компонента октета с I=0 смешивается с компонентой синглета I=0 и образует реальные частицы и ’ и В массовые формулы входят не реальные частицы или , а чистые состояния - 8 , 0 (8 , 0). 4 m2 K* = 3 m2 8 + m2 2 m8 1 ( 4m K2 * m 2 ) 3 Реальные частицы и есть смесь 8 и 0 = cos 8 - sin 0 = sin 8 + cos 0 0 1 (uu dd ss ) 3 (uu dd )( sin 8 1 (uu dd 2ss ) 6 1 1 1 2 cos ) ss (sin cos ) 3 6 3 6 Определим угол идеального смешивания: 2 cos i 3 1 sin i 3 1 (uu dd ) sin( i ) ss cos( i ) 2 1 (uu dd ) cos( i ) ss sin( i ) 2 Когда =i = 35.30 | ss , 1 (uu dd ) 2 Угод смешивания определяется массами мезонов. Считается, что массовые формулы Гелл-Манна-Окубо выполняются абсолютно точно. tg 2 m82 m2 m2 m82 Для векторных мезонов угол смешивания почти совпадает с идеальным = -i =3.70 - практически чистое ss состояние, а не синглет по ароматам: 1 3 (uu dd ss ) Для тензорных мезонов: = -i =-7.30 Для псевдоскалярных мезонов: = -i =-(45-55)0 Большое смешивание – отличие псевдоскалярных мезонов от обычных мезонов Идеальное смешивание | ss подавление выхода в взаимодействиях нестранных адронов 3. Правило Окубо-Цвейга-Иизуки Процессы с разрывными кварковыми линиями – подавлены c + e u e+ e+ J/ c e+ e+ d e+ Окубо: Процессы с разрывными кварковыми линиями – строго запрещены. Невозможно образовать мезон со скрытой странностью во взаимодействиях нестранных адронов: 2 M ( A B C ss ) Z 0 M ( A B C uu ) M ( A B C dd ) Перейдем к реальным частицам и : Z tan( i ) M (A B C ) M (A B C ) 1 Z tan( i ) Если правило ОЦИ справедливо, то Z=0 M (A B C ) tan( i ) M (A B C ) Рождение идет только за счет отклонения от идеального смешивания, т.е. за счет примеси легких кварков в волновой функции -мезона. Предсказание ОЦИ: (A B C ) tan 2 ( i ) 4.2 10 3 (A B C ) Правило ОЦИ справедливо с точностью 10 % Тензорные мезоны ( = -i =-7.30) ( A B C f 2 (1525)) tan 2 ( i ) 16 10 3 ( A B C f 2 (1270)) Псевдоскалярные мезоны ( = -i =-(45-55)0) ( A B C ) 2 ( A B C ) Аномальные псевдоскаляры: Частица m, МэВ 780 0 900 8 929 1020 Частица m, МэВ 549 8 566 0 949 958 Типичная масса адрона – 1 ГэВ нет мезонов из u,d,s-кварков, тяжелее 2.5 ГэВ Самые легкие – псевдоскалярные мезоны самое сильное взаимодействие в системе кварк-антикварк L=0, S=0 O+ - нетипичные адроны