Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГОУ ДПО «Институт развития регионального образования Свердловской области»
РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПОДГОТОВКЕ
К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
Авторы-составители:
А.Е.
Шнейдер,
председатель
предметной комиссии по математике
ГЭК Свердловской области;
А.Ф.
Клейменов,
заместитель
председателя предметной комиссии по
математике ГЭК Свердловской области
ЕКАТЕРИНБУРГ
2009 г.
Методическое письмо
по результатам репетиционного экзамена
по математике в 2009 г.
Как известно, 9 апреля 2009 года во всех общеобразовательных
учреждениях Свердловской области проводился репетиционный (пробный)
ЕГЭ по математике.
Ниже приводятся возможные решения всех заданий базового уровня
сложности варианта 1 и варианта 2 пробного экзамена. Это задания А1 – А10 и
В1 – В3. Кроме этого, приводятся комментарии к решению учащимися
заданий базового уровня сложности и анализ результатов выполнения этих
заданий. При анализе для каждого задания типа А учитывался не только
процент правильных ответов, но и проценты для каждого из оставшихся трех
неправильных ответов, которые в литературе принято называть
дистракторами.
Письмо адресовано учащимся старших классов, учителям математики и
методистам.
А1.1
Упростите выражение 4a
3
7
5


7
:  0,8a 


3
5

3
5

2
7
10
7
1) 5a
3) 5a
2) 0,5a
4) 3,2a
Решение. Используя свойства степени с рациональным показателем, получаем,
4a
что
3
7
0,8a
3
7
5
7
3
5
2


4 a

 5  5  a 7 7  5a 7 .
0,8
a7
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 81%.
А1.2
1)
9
2
Найдите значение выражения
2)
1
3
3) 3
9 5 a  9 3a при
4)
a 
1
.
4
1
81
Решение. Используя свойства степени с рациональным показателем, получаем,
что
9 5 a  9 3a = 9 5 a  3 a = 9 2 a . Подставляя вместо a его значение, равное
1
1
2
1
4
9
 92 
, получим, что
4
9 =3.
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 60 %.
Задание этого типа о вычислении частного (или произведения) двух степенных
одночленов встречается во всех вариантах ЕГЭ, начиная, по крайней мере, с
2005 г. Несмотря на это, процент правильных ответов в задании А1.2 оказался
невысоким. При решении этого задания 20% учащихся выбрали ответ
13% учащихся – ответ
1
,а
81
9
. Процент выполнения задания А1.1 можно считать
2
вполне удовлетворительным. Неправильные
распределились примерно поровну.
3
А2.1
0,189
Вычислите: 3
ответы
в
этом
задании
3 7
1)
1
30
2) 1
3) 0,9
4) 0,1
Решение. Используя свойства корней, найдем, что
3
0,189 1 3 189
1 3 27
1 3


  0,1.
=
3 7 1000 3 1000 3 10
33 7
Номер правильного ответа: 4.
Процент правильных ответов: 47 %.
А2.2
3
3
a =0,09.
Найдите значение выражения 64a , если
1) 2,4
2) 0,72
3) 0,36
4) 1,2
Решение. Поскольку корень из произведения двух неотрицательных чисел
равен произведению корней той же степени из этих чисел, то
64a = 3 64  3 a  43 a .
3
Подставляя вместо a его значение, равное 0,09, получим:
43 a  4  0,09  0,36.
3
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 71 %.
Это задание является также типичным. Самая распространенная ошибка
связана с тем, что учащиеся вместо корня третьей степени извлекали
квадратный корень, либо вовсе не вычисляли корень из числа. Так в задании
А2.1 30 % учащихся решили так, что
3
3
27 равен 27 (3-ий ответ), а в задании
А 2.2 у 13 % учащихся 64 оказался равным 8 (2-ой ответ).
Отметим также традиционные затруднения, возникающие при извлечении
корней из десятичных дробей (задание А2.1).
А3.1
Вычислите: log 2 192  log 2
1) – 5
2) 4
3) 32
1
6
4) 5
Решение. Применяя формулу суммы логарифмов, получим:
1
192
log 2 192  log 2 = log 2
= log 2 32 =5.
6
6
Номер правильного ответа: 4.
Процент правильных ответов: 56 %.
А3.2 Найдите значение выражения log b b 6 c , если log b c  8
1) 48
2) – 2
3) 14
4) 0,35
 
Решение. Используя формулу логарифма произведения, получим:
log b b 6 c = log b b 6 + log b c =6+ log b c . Подставляя заданное значение log b c ,
 
получим: 6+ log b c =6+8=14.
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 51 %.
Ошибки при выполнении этих заданий связаны, в основном, с неправильным
применением формул преобразования логарифма произведения, степени и
частного. В задании А3.2 40 % учащихся выбрали первый ответ, решив, что
6
6
логарифм произведения b  с равен произведению логарифмов b и с, а не их
сумме. В задании А3.1 27 % учащихся выбрали неправильный третий ответ,
считая, что log 2 32  32.
А4.1 На рисунке изображен график одной из данных функций. Укажите эту
функцию.
1
1) y   
2
x
2) y  3
x
3) y  6
x
1
4) y   
 3
x
y
1
0 1
x
Решение. Из условия следует, что на рисунке изображен график показательной
x
функции y  a , возрастающей на области определения и проходящей через
x
точку 1;3 . Подставляя координаты x  1, y  3 в уравнение кривой y  a ,
x
1
получим 3  a , a  3 . Поэтому y  3 - искомая функция.
Номер правильного ответа: 2.
Процент правильных ответов: 54 %.
А4.2 На рисунке изображен график одной из данных функций. Укажите эту
функцию.
1) y  log 3 x
2) y  log 4 x
3) y  log 1 x
4
4) y  log 1 x
y
1
0
1
x
2
Решение. Из условия заключаем, что на рисунке изображен график
логарифмической функции y  log a x , возрастающей на области определения
и проходящей через точку 4;1 . По аналогии с предыдущим решением
получим, что 1  log a 4, a  4 . Искомая функция задается формулой
y  log a 4 .
Номер правильного ответа: 4.
Процент правильных ответов: 45 %.
Основная трудность при решении этих заданий вызвана тем, что
учащиеся не в полной мере используют известное утверждение: если график
функции проходит через данную точку, то ее координаты удовлетворяют
уравнению кривой.
Кроме того, практически не используется свойство монотонности
показательной и логарифмической функций. Так, в задании А4.1 39 %
учащихся в своих ответах указали функции, являющиеся убывающими, хотя
на рисунке изображен график возрастающей функции. В задании А4.2 доля
таких неправильных ответов составила 44 %.
А5.1 Найдите производную функции
x 1
1) y  7 cos x  3xe
x
2) y   7 cos x  3e
y  7 sin x  3e x .
x
3) y   7 cos x  3e
x 1
4) y   7 cos x  3xe
Решение. Используя формулы производных показательной функции и
функции y  sin x , получаем:
y  (7 sin x)  (3e x ) = 7(sin x)  3(e x ) = 7 cos x  3e x .
Номер правильного ответа: 2.
Процент правильных ответов: 62 %.
А5.2 Найдите производную функции
x
1) y   2e  1,8 x  3
x
2) y  2e  1,8 x
y  2e x  0,9 x 2  3.
x
3) y   2e  0,9 x
x 1
4) y  2 xe  1,8 x
Решение. Используя формулы производных показательной и степенной
функций, получаем:
y  (2e x )  (0,9 x 2 )  (3)  2(e x )  0,9( x 2 )  2e x  1,8 x .
Номер правильного ответа: 2.
Процент правильных ответов: 72 %.
Опыт показывает, что производную от степенной функции (задание
А5.2) учащиеся находят довольно уверенно. В то же время при вычислении
производной от синуса (косинуса) учащиеся знают, что функция при этой
операции меняется на кофункцию, а вот меняется ли при этом знак, они
помнят не всегда. Поэтому в задании А5.1 вариант неправильного ответа 3) с
ошибочным знаком указали 23 % учащихся. Вычисляя производную числа 3 в
задании А5.2 12% учащихся решили, что она равна этому же числу 3.
Отметим, что учащиеся достаточно часто допускают эту досадную ошибку.
А6.1
x
5
Найдите множество значений функции y     8 .
7
5 
1)  ;  
2) 8;  
3) 8;
4)  ; 8 
7 
x
Решение. Множеством значений показательной функции y  a , a  1
x
5
является множество всех положительных чисел:    0 . Прибавляя к обеим
7
x
5
частям неравенства число 8, получим    8  8 . Поскольку показательная
7
x
5
функция y    принимает все значения из промежутка 0;   , то функция
7
x
5
y     8 принимает все значения из промежутка 8;   .
7
Номер правильного ответа: 2.
Процент правильных ответов: 42 %.
А6.2 Какое из следующих чисел входит в множество значений функции
y  4 x  15 .
1) - 15
2) – 19
3) – 16
4) – 14
x
Решение. По аналогии с предыдущим решением получим, что 4  15  15 .
Этому неравенству удовлетворяет только одно из приведенных чисел – (-14).
Номер правильного ответа: 4.
Процент правильных ответов: 48 %.
Задачи на нахождение множества значений функции являются для
учащихся трудными. Они часто путают эту задачу с задачей нахождения
области определения функции. В задании А6.1 23% учащихся указали в
качестве ответа область определения. Кроме того, учащиеся нередко путают
строгое и нестрогое неравенства. В задании А6.2 27 % учащихся выбрали
неправильный ответ 1), в котором дано число -15. Однако все числа из
x
множества значений функции y  4  15 строго больше -15. В задании А6.1
аналогичную ошибку допустили 22 % учащихся.
А7.1
На рисунке показан график изменения температуры в помещении в
течение некоторого периода времени.
Сколько часов температура в
40 T, ºC
35
помещении
была
ниже
25
30
градусов?
25
20
15
10
5
0
1) 5
2) 14
3) 10
Время, час
2 4 6 8 10 12 14
4) 8
Решение. Из графика изменения температуры можно установить, что
температура в помещении равна 25 градусов только при двух моментах
времени: в 4 часа и в 14 часов. В промежутке от 4 до 14 часов график изменения
o
температуры лежит ниже прямой T  25 . Поэтому в этом промежутке, длина
o
которого составляет 10 часов, температура в помещении была ниже 25 .
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 78 %.
А7.2
На рисунке показан график изменения температуры в колбе в течение
некоторого периода времени.
T, ºC
Сколько минут температура в
40
35
колбе была выше 20 градусов?
30
25
20
15
10
5
0
Время, мин
2 4 6 8 10 12 14
1) 8
2) 4
3) 6
4) 10
Решение. По аналогии с предыдущим решением установим, что в промежутке
o
от 2 до 10 минут, т.е. в течение 8 минут температура в колбе была выше 20 .
Номер правильного ответа: 1.
Процент правильных ответов: 70 %.
Задания А7.1 и А7.2 являются заданиями с практическим содержанием. Это
новый на ЕГЭ тип заданий. Отрадно, что учащиеся показали достаточно высокие
результаты при выполнении таких заданий.
А8.1
 x  52 x  4   0
Решите неравенство
1)  ;  2  5;
x
2)  2; 0  5;  
3)  ;2  0;5
4)  2; 0  0; 5
Решение. Решаем неравенство методом интервалов. Сначала нанесем числа 2
и 5, обращающие числитель в нуль (т. е. являющиеся нулями числителя), на
числовую ось. Так как неравенство нестрогое, то эти числа изобразим с
помощью заполненных кружков. Далее, единственным нулем знаменателя будет
число 0, которое изобразим выколотым кружком. Знаки левой части неравенства
на получающихся промежутках могут быть определены с помощью вычислений
в контрольных точках. В результате получим кривую знаков
+
2
+
0
x
5
Таким образом, получаем ответ:  ;2  0;5.
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 53 %.
5x
А8.2
 0.
Решите неравенство
1) 0; 3  3;
2) 0; 3
2 x  6 
3)  ; 0  3;
4) 0;  
Решение. По аналогии с предыдущим решением найдем, что числа 0 и 3,
являющиеся нулями числителя и знаменателя соответственно, делят числовую
ось на три интервала:  ;0, 0;3, 3; .Определяя знак дроби в каждом из
этих интервалов и учитывая нестрогость исходного неравенства найдем, что
x   ; 0  3;
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 62 %.
Неравенства из заданий А8.1 и А8.2 подавляющее большинство учащихся
решают методом интервалов, что полностью соответствует методическим
рекомендациям, которые дают учителя математики. Практика ЕГЭ показывает,
что самая распространенная ошибка, допускаемая учащимися при решении
таких неравенств методом интервалов, состоит в следующем. Например, при
решении неравенства из задания А8.1 числами -2 и 5, являющиеся нулями
числителя, разбивают числовую ось на три интервала:  ;2,  2;5, 5; .
Про нуль знаменателя указывают, что x  0 и число 0 выкалывают в интервале
 2;5 . Однако при переходе через точку x  0 знак исходной дроби не меняют,
что является ошибкой. В результате кривая знаков проходит только через точки
-2 и 5, что приводит к неправильному ответу: x   2;0  0;5 . Эту ошибку в
задании А8.1 допустили 15 % учащихся. В задании А8.2 ту же ошибку
допустили 18 % учащихся.
А9.1
Решите уравнение cos x  sin x  1 .
1)   2n , n  Z

 n , n  Z
2)
2
3) n , n  Z
4) 2n , n  Z
Решение. Используя формулу косинуса двойного аргумента
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x приведем уравнение к виду cos 2 x  1. Сделав замену
t  2x , получим уравнение cos t  1 , откуда следует, что t  2n, n  Z . Делая
обратную замену, получим 2 x  2n или x  n, n  Z .
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 36 %.
2
А9.2
Решите уравнение sin
2
x
2

.
2
2
3
 2n , n  Z
4
n
n 1 

, nZ
2)  1
8 2
3
 4n , n  Z
3) 
2
1) 
4)
 1n 1 
2
 2n , n  Z
Решение. Сделав замену t 
2
x
, получим уравнение sin t  
, решением
2
2
которого является серия t   1
n 1

4
 n, n  Z . Делая обратную замену,
x
n 1 
n 1 
  1
 n, n  Z или x   1
 2n .
2
4
4
Номер правильного ответа: 3.
Процент правильных ответов: 36 %.
Решение тригонометрических уравнений традиционно вызывает немалые
трудности у учащихся. Прежде всего они вызваны недостаточными знаниями
формул, определяющих решения простейших тригонометрических уравнений:
sin x  a , cos x  a и tgx  a . Кроме этого, ошибки нередко допускают при
вычислении значений переменной после обратной замены.
А10.1 Решите неравенство log 1 5 x  7   log 1 4 x 
получим
1) 1,4; 7
2) 0;
3
3)  ; 7
3
4) 7;  
5 x  7  0
Решение. Неравенство задается системой 
, откуда следует, что ОДЗ
4 x  0
неравенства есть луч 1,4;   . Поскольку функция y  log 1 t , t  0 является
3
убывающей (знак неравенства меняется на противоположный), на ОДЗ
равносильно неравенству 5x  7  4x , или x  7 . С учетом ОДЗ получим ответ
1,4  x  7 .
Номер правильного ответа: 1.
Процент правильных ответов: 28 %.
А10.2 Решите неравенство log 4 2 x  5  log 4 x  7
1) 2,5; 2) 7;
3)  ;2
4)  2;
Решение.
По аналогии с предыдущим решением установим, что ОДЗ
неравенства есть луч 7;   . Поскольку функция y  log 4 t , t  0 является
возрастающей, то исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству
2x  5  x  7 , x  2 . С учетом ОДЗ получим ответ 7; .
Номер правильного ответа: 2.
Процент правильных ответов: 40%.
Несмотря на то, что простейшие логарифмические неравенства встречаются
практически во всех вариантах ЕГЭ, процент правильных ответов остается
невысоким. Основная ошибка связана с тем, что при решении учащиеся не
учитывают ОДЗ. Так, в задании А10.1 соответствующий неправильный ответ
 ;7 выбрали 30 % , а в задании А10.2 неправильный ответ  2; выбрали
39 % учащихся. Еще одна серьезная ошибка связана с игнорированием характера
монотонности функции при переходе от логарифмического неравенства к
линейному. В задании А10.1 такую ошибку сделали 34 %, в задании А10.2 – 9%
учащихся.
Переходя к комментариям к решению учащимися заданий типа В, еще раз
отметим, что для одного и того же учащегося результат на основном экзамене,
как правило, значительно лучше его результата на пробном экзамене. И если
для заданий типа А это различие на столь большое, то к заданиям типа В и, в
особенности, типа С учащийся на пробном экзамене нередко просто не
приступает.
В1.1
1

sin


 
Найдите cos , если
и
5
2
sin 
, найдем cos . По основному
cos 
4
2
2
тригонометрическому тождеству cos   1  sin   . По условию
5

    и, поэтому, cos  0 . Тогда cos    4   2 . Подставляя
2
5
5
1
значения sin  и cos в формулу для tg , получим tg    0,5 .
2
Ответ: -0,5.
Процент правильных ответов: 19 %.
Решение. Используя формулу tg 
3

  .
и
2
10
Решение. Используя формулу двойного аргумента sin 2  2 sin   cos  ,
найдем cos . Из основного тригонометрического тождества получим:
В1.2
Найдите sin 2 , если sin  
1
. Учитывая, что угол  принадлежит второй четверти,
10
3
1
3
1

   0,6 .
найдем: cos   
. Тогда sin 2  2
5
10 10
10
Ответ: -0,6.
Процент правильных ответов: 15 %.
cos 2   1  sin 2  
Это задание является типичным. Отметим две, наиболее часто
встречающиеся ошибки при его выполнении. Первая ошибка связана с
незнанием основного тригонометрического тождества. Вторая ошибка вызвана
тем, что учащиеся путают знаки тригонометрических функций в
соответствующих четвертях. Для этих заданий характерны также
вычислительные ошибки.
В2.1 На рисунке изображен график функции y  f x  и касательная к этому
графику в точке с абсциссой x 0 .
y
Найдите значение производной
этой функции в точке x 0 .
1
Решение. Поскольку значение производной функции в точке x 0 равно
угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке, то для решения
задания достаточно определить угловой коэффициент касательной прямой,
изображенной на рисунке. Касательная прямая проходит через точки  2;0 и
0;4 . Поэтому, тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс вычисляется
4
так: k  tg   2 .
2
Ответ: 2.
Процент правильных ответов: 28 %.
В2.2 Прямая, проходящая через точку A0;4 , касается графика функции
y  f x  в точке B1;1 . Найдите значение производной функции
y  f x  в точке 1.
Решение.
Используя
решение
предыдущей
задачи,
получим
4 1
k  tg  
 3 .
1
Ответ: -3.
Процент правильных ответов: 10 %.
Основная трудность при решении таких заданий связана с тем, что
учащиеся не могут найти угловой коэффициент прямой, проходящей через две
заданные (или обозначенные на рисунке) точки. Так, при решении задания В2.2
11% учащихся дали неправильный ответ 0,6, отличающийся от правильного
ответа только знаком.
В3.1 Для гидроизоляции потолка и стен комнаты с окном (см. рисунок) нужно
приобрести
фольгу,
причем
фольга
4м
покупается
с
запасом
20%
от
2,5 м
гидроизолируемой площади. Цена фольги 50
руб. за 1 кв.м. Окно не гидроизолируют.
Ширина окна равна 2 м, высота - 1,5 м.
2м
Определите стоимость фольги, если потолок
гидроизолируют по всей его площади, а стены
– от пола до потолка.
Решение. Площадь потолка и стен вместе с окном равна в кв.м.
: S1  2  (2  2,5)  2(4  2,5)  (2  4)  38 . Площадь окна равна: S 2  2 1,5  3 .
S 3  38  3  35 . Площадь под
Площадь под гидроизоляцию равна:
гидроизоляцию с 20%-ным запасом составляет S 4  35 1,2  42 . Стоимость
фольги в рублях равна: 42  50  2100 .
Ответ: 2100.
Процент правильных ответов: 20 %.
В3.2 Для утепления пола и стен комнаты (см. рисунок) нужно приобрести
теплоизоляционные плиты, причем плиты
2м
покупаются с запасом в 10% от утепляемой
площади. Цена теплоизоляционных плит 100
2,5 м
руб. за 1 кв.м. Ширина двери равна 0,8 м,
высота - 2м. Определите стоимость плит, если
1,8 м
пол утепляют теплоизоляционными плитами
по всей его площади, а стены - от пола до
потолка.
Решение. Площадь потолка и стен вместе с дверью равна в кв.м.
: S1  2  (1,8  2,5)  2(2  2,5)  (1,8  2)  22,6 . Площадь двери равна: S2  0,8  2  1,6 .
Площадь под утепление равна: S3  22,6  1,6  21 . Площадь под утепление с
10%-ным запасом составляет S4  211,1  23,1 . Стоимость теплоизоляционных
плит в рублях равна: 23,1100  2310 .
Ответ: 2310.
Процент правильных ответов: 18 %.
Эти задания, как и задания А7.1 и А7.2, являются новыми на ЕГЭ. Основные
ошибки при выполнении заданий В3.1 и В3.2 – вычислительные: либо не
исключают площадь дверей (окон) из площади для соответствующей отделки,
либо не учитывают запас материала отделки.
Опыт проведения ЕГЭ в Свердловской области показывает, что
достаточно уверенно учащиеся выполняют: тождественные преобразования
иррациональных, показательных и логарифмических выражений, решение
простейших показательных и иррациональных уравнений.
Хуже обстоит дело, когда требуется провести анализ имеющихся
выражений (графиков): чтение графиков функций и иллюстрация с помощью
графика основных свойств функций; нахождение множества значений
функций; владение геометрическим и физическим смыслом производной. На
уровне ниже планируемых результатов решались неравенства различных
типов. Самое слабое место – решение геометрических заданий. По геометрии
даются три задания: В10, В11 и С4. Проценты их выполнения значительно
ниже, чем проценты выполнения равных им по сложности заданий из алгебры
и начал анализа.
При подготовке выпускников к итоговой аттестации следует обратить особое
внимание на изучение основных свойств функций и построение их графиков;
на решение неравенств, в том числе, дробно–рациональных; на решение
планиметрических и стереометрических задач.