Перечень заданий для самостоятельной работы

Перечень заданий для самостоятельной работы
Первый семестр
1.
Доказать свойства определителей и операций над матрицами.
2.
Составить схему нахождения определителя методом Гаусса.
3.
Доказать линейную независимость ФСР.
4.
Вывести
формулы
двойных
и
тройных
углов
для
тригонометрических функций, используя комплексные числа.
5.
Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой
на плоскости к другому.
6.
Доказать,
что
уравнение
х2 у2

1
а2 b2
является
уравнением
гиперболы.
7.
Составить схему определения вида кривой второго порядка по
общему уравнению.
8.
Доказать
свойства
скалярного,
векторного
и
смешанного
произведений.
9.
Вывести формулы перехода от одного способа задания прямой
в пространстве к другому.
10.
Приготовить доклад по теме «Метод сечений».
Второй семестр
1.
Доказать свойства операций над множествами.
2.
Определить свойства элементарных функций.
3.
Доказать свойства пределов и теоремы о пределах функций.
4.
Составить схему раскрытия неопределенностей.
5.
Составить таблицу эквивалентных функций, используя первый и
второй замечательные пределы.
6.
Вывести формулу логарифмического дифференцирования.
7.
Доказать формулу Лейбница методом математической индукции.
8.
Доказать основные теоремы дифференциального исчисления.
Составить схему решения задач на наибольшее и наименьшее
9.
значения.
Составить схему исследования функций.
10.
Третий семестр
1.
Доказать свойства неопределенных интегралов.
2.
Вывести
формулы
интегрирования
по
частям
и
замены
переменной в неопределенном интеграле.
3.
Доказать формулу Остроградского.
4.
Вывести формулы приведения для интегралов
 sin
n
xdx ,
x
n
 x
dx
2
a

2 n
,
dx
 cos
n
x
,
e  x dx .
5.
Доказать свойства определенных интегралов.
6.
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм
2
n 1
1
1 
 1
 1
lim  2  2    2  и lim 


.
n  n
n


nn
n
n 

 n 1 n  2
7.
Исследовать сходимость интеграла Эйлера-Пуассона.
8.
Доказать, что гамма-функция сходится при p>0.
9.
Вывести
формулы
интегрирования
по
частям
и
замены
переменной в определенном интеграле.
10.
Вывести формулы для приближенных вычислений интегралов.
11.
Доказать, что необходимый признак сходимости ряда не
является достаточным (привести пример).
12.
Доказать, что гармонический ряд расходится.
13.
Исследовать сходимость ряда Дирихле при разных значениях р.
14.
Доказать, что признак Лейбница не является необходимым.
15.
Вывести формулы для приближенных вычислений значений
функций с помощью разложения в степенной ряд.
16.
Выразить объем правильной четырехугольной пирамиды, как
функцию ее высоты и бокового ребра.
17.
Построить линии уровня функции z  x 2 y .
18.
Показать, что относительная ошибка произведения приближенно
равна сумме относительных ошибок сомножителей.
19.
Вывести условия полного дифференциала для случая трех
переменных.
20.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный
объем, найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
Четвертый семестр
1.
Доказать свойства кратных интегралов.
2.
Найти якобиан при переходе к полярным, цилиндрическим и
сферическим координатам.
3.
Найти
координаты
центра
тяжести
фигуры,
ограниченной
кардиоидой.
4.
Вычислить момент инерции площади лемнискаты относительно
оси, перпендикулярной ее плоскости в полюсе.
5.
Доказать свойства криволинейных интегралов.
6.
Найти работу упругой силы, направленной к началу координат и
пропорциональной удалению точки от начала координат, если точка
приложения силы описывает против часовой стрелки четверть
х2 у2
эллипса 2  2  1 (х0, у0).
а
b
7.
Доказать свойства поверхностных интегралов.
8.
Доказать, что div(rota)=0.
9.
Составить схему решения ДУ первого порядка.
10.
Составить дифференциальное уравнение всех окружностей на
плоскости ХОУ.
11.
Методом
изоклин
построить
поле
интегральных
кривых
уравнения y’=x.
12.
Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию
точки касания от начала координат.
13.
Найти уравнение кривой, для которой отрезок, отсекаемый на
оси ординат нормалью в любой точке кривой, равен расстоянию этой
точки от начала координат.
14.
Составить
схему
решения
физических
задач
методом
дифференциалов.
15.
Доказать, что для тяжелой жидкости, вращающейся около
вертикальной оси, свободная поверхность имеет форму параболоида
вращения.
16.
Найти уравнение каната подвесного моста, предполагая, что
нагрузка
распределена
равномерно
по
проекции
каната
на
горизонтальную прямую. Весом каната пренебречь.
17.
Исследовать на линейную зависимость систему функций: sin 2 x ,
cos 2 x , 1.
18.
Составить линейное однородное дифференциальное уравнение,
зная его фундаментальную систему решений: y1  sin x, y2  cos x .
19.
Доказать,
что
общее
решение
линейного
неоднородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
может
быть
представлено
соответствующего
в
однородного
виде
суммы
уравнения
и
общего
решения
частного
решения
неоднородного уравнения.
20.
Составить общую схему решения систем дифференциальных
уравнений.