ЛОКАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

УДК 517.948
В.М. Мадорский
ЛОКАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДАМИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Итерационные процессы, локально сходящиеся с кубической скоростью,
обладают тем достоинством, что «разболтка» процесса наступает часто на один-два
порядка позже по норме невязке, чем при применении итерационных процессов,
локально сходящихся с квадратичной скоростью (как правило, если методы второго
12
13
 10 по
порядка позволяют получить приближённое решение с точностью до 10
норме невязки, то методы третьего порядка часто позволяют получать приближённое
12
15
 10 по норме невязки)
решение с точностью 10
Рассматривается уравнение


f  x   0, f D  R n  R n .
Относительно нелинейного оператора f предполагается, что
f  C D2  и
 f x 1
(1)
 B0  0 .
Для решения уравнения (1) применяем итерационный процесс:
Шаг 1. Решается линейная система
f ' ( xn )( yn  xn )  f ' ( xn )yn   f ( xn ), n  0,1, ...
Шаг 2. Вносится поправка в вектор xn для определения вектора yn
y n  xn  y n , n  0,1, ...
(2)
(3)
Шаг 3. Решается линейная система
f ' ( xn )( xn 1  xn )  f ' ( xn )xn    n  f ( xn )   n f ( yn ) , n  0,1, ...
(4)
Шаг 4. Вносится поправка в вектор xn для определения вектора очередного
приближения
xn 1  xn  xn , n  0,1, ...
(5)
Шаг 5. Проверяется окончание итерационного процесса: если
f ( xn 1 ) и (или)
xn   – конец просчетов, иначе – переход на шаг 6.
Шаг 6. Производится пересчет шаговой длины по правилу, если
f ( xn 1 )  f ( xn ) ,
то  n 1 : 1 , иначе  n1 находим по одной из формул монографии [2, стр. 174-176] и
переходим на шаг 1.
Характеристическим свойством этих формул является выполнение
соотношений:
 0 f ( x0 )  1 f ( x1 )  ...   n 1 f ( xn 1 ) , n  1  k.
(6)
Описанный выше итерационный процесс символически можно записать в виде
xn 1  xn   n  f ( xn )
1
 f ( x )   f x
n
n
n

  f ( xn ) f ( xn ) 
1


 xn   n xn , n  0,1,...;  0  10  4 ,10 1 .
(7)
Здесь  f  xn 
1
– оператор, обратный оператору f  xn  – производной Фреше
оператора f на элементе xn . Локальная кубическая скорость процесса (2)-(5) доказана
в работе [1, стр. 306].
2 
Так как f  C D , то имеют место соотношения
f x1   f x2   L x1  x2 , x1 , x2  D ,
f x1   f x0   f x0 x1  x0   0.5K x1  x0 , x, x0  D .
Далее, полагаем M  max L, K .
Относительно процесса (2)-(5) заметим, что при применении LU – разложения
2
объём вычислительной работы при решении СЛАУ (2) и (4) лишь незначительно
больше, чем при решении одной линейной системы, поскольку матрицы этих систем
одинаковые.
В силу того, что f  C D , справедлива оценка
( 2)
f ( xn 1 )  f ( xn )  f ' ( xn )( xn 1  xn ) 
K
2
xn , n  0,1, ...
2
(8)
С учетом (4), соотношение (8) можно переписать в виде
f ( xn1 )  f ( xn )   n f ( xn )   n2 f ( yn ) 
Из (9) имеем оценку
f ( xn1 )  1   n  f ( xn )   n2 f ( yn ) 
K
2
xn .
2
K
xn
2
2
.
(9)
(10)
Оценим f ( yn ) и xn . Используя теорему о среднем, имеем
f ( yn )  f ( xn )  f ' ( xn )( yn  xn ) 
K
2
y n  xn ,
2
(11)
откуда в силу (2), (11) справедлива оценка для f ( yn ) :
f ( yn ) 
K 2
2
B f ( xn ) ;
2
 n f ( yn )  hn f ( xn )
(12)
K 2
B f ( xn ) . Далее, из (7), (12) имеем:
2
xn   n B f ( xn )   n f ( yn )    n B1  hn  f ( xn ) .
Здесь hn   n
(13)
Подстановка (12), (13) в соотношение (10) позволяет выразить связь между
нормами невязок на соседних шагах
f ( xn1 )  1   n  f ( xn )   n hn f ( xn )   n hn 1  hn  
2



 1   n 1  hn 2  2hn  hn2

Если положить  n  hn 2  2hn  hn
можно переписать в более компактном виде
2
и q
n
 f ( x ) .
(14)
n
 1   n (1   n ) , неравенство (14)
f ( xn1 )  1   n 1   n  f ( xn )  qn f ( xn )
Соотношение (15) является базовым при доказательстве
итерационных процессов, локально сходящихся с кубической скоростью.
(15)
сходимости

Теорема 1. Пусть в области D  S  x0 ,

B f ( x0 ) 2  h0  
 существует x * –
1  q0

решение уравнения (1), оператор f удовлетворяет перечисленным выше условиям и
 0  h0 2  2h0  h02   1 .
(16)
Тогда итерационный процесс (2)-(5) со сверхлинейной (локально с кубической)
*
скоростью сходится к x .
Доказательство. При n  0 из (15), (16) следует, что
f ( x1 )  1  0 1   0  f ( x0 )  q0 f ( x0 ) ;
(17)
q0  1   0 1   0   1, q0  1.
Из (6) и (17) следует, что f ( x1 )  f ( x0 ) ,
При n  1 имеем, что h1  1
1   0 .
K 2
B f ( x1 )  h0 ,
2
1  h1 2  2h1  h12    0  1,
f ( x2 )  1  1 (1  1 )  f ( x1 )  q1 f ( x1 ) , q1  q0 .
Индуктивные рассуждения позволяют утверждать, что последовательность q n 
 n 
монотонно возрастает к 1 и
f ( xn1 )   qi f ( x0 ) ,
(18)
монотонно убывает к нулю, последовательность
справедлива оценка
n
i 1
из которой следует, что последовательность элементов
xn 
по функционалу
стремится к нулю, lim hn  0 и при некотором k  n0 итеративный процесс (2)-(5)
n 
входит в область притяжения процесса с
xn , y n  D
n 1
n 1
 k  1 . Нетрудно проверить, что все
xn  x0   xi 1  xi   xi  B f ( x0 )
1  h0 
;
1  q0
i 0
i 0
B f ( x0 ) 1  h0  B f ( x0 )
yn  x0  yn  xn  xn  x0  B f ( xn ) 

(2  h0 ).
1  q0
1  q0
Стандартным образом можно показать не только слабую
последовательности x n  к x , но и сильную сходимость x n  к x
*
xn p  xn 
n  p 1
 xn
i n
сходимость
*
n1
 B f ( x0 ) (1  h0 ) qi .
(19)
i 0
Из (19) следует фундаментальность последовательности элементов
n
*
xn  ,
а в
силу полноты пространства R существование предельного элемента x , который как
просто проверить, является решением уравнения (1). Теорема доказана.
Пусть на некотором шаге итерационного процесса шаговая длина (параметр β)
1
становится равным 1 и в этой точке (назовем ее х0) существует оператор  f x0  .
Найдём условия, при которых при переходе от точки x0 , в которой  f x0 
1
существует, к точке
 f x1 
1
x1 будет существовать ограниченный обратный оператор
. В силу (7) имеем
E   f x0  f x1    f x0 
1
  f x0 
1
1
 f x0   f x1  
f x1   f x0   B0 M x1  x0  B0 M x0 .
Далее, с учётом (7), (9) при βn = 1 справедлива оценка

x1  x0  B0 f x0   0,5MB02 f x0 
2
(20)

 B0 f x0  1  h0 ; h0  0.5MB02 f x0  .
(21)
Подставляя (21) в правую часть (20), имеем
B0 M x1  x0  B02 M f x0  1  h0   2h0 1  h0 .
Если в качестве l 0 взять l0  2h0 1  h0  и потребовать, чтобы
E   f x0  f x1   l0  2h0 1  h0   1,
1
(22)
то из (22) в силу теоремы Банаха существует оператор, обратный оператору
 f x0 1 f x1  и справедлива оценка  f x1 1
Из (22) имеем, что h0 




 B0 1  l0  .
1
3  1 / 2 . Найдём оценку для f  x1  .


f x1   f x0   f x0  f x0   0,5M  f x0  f x0   f x0    f x0  f x0 
1
1

 0,5MB02 f x0   0,5MB02 f x0  1  0,5MB02 f x0 
2
2


1

2
2



(23)
 h0 f x0  1  1  h0  .
Поскольку l1  2h1 1  h1  , выясним, при каких условиях
следовательно, l1  l0 . Из (23) и оценки B1 имеем
2
2

h1  h0
и,
 B 
2
2
h1  0,5MB f x1   0,5M  0  h0 f  x0  1  1  h0   h02 2  2h0  h02 / 1  l0  . Требован
 1  l0 
ие h1  h0 приводит к соотношению
2
1




h0 2  2h0  h02  1  2h0 1  h0  ,
которое справедливо при h0  0,1633 .
2
Таким образом, если начальное приближение x0 таково, что существует
оператор  f  x0  и h0  0,1633 , то процесс (шаг 1 – шаг 6) продолжаем.
Найдём условия, при которых решение уравнения (1) в области D существует
1
x1  x0  B0 f x0  1  h0 ; x2  x1  B1 f x1  1  h1  



B0
h0 f x0  2  2h0  h02 1  h0   B0 f x0  1  h0 q0 ;
1  l0
здесь q0  h0 2  2h0  h02 / 1  l0 
x3  x2  B2 f x2  1  h2   B0 f x0  1  h0 q02 .
Индуктивно получим оценку:
xn1  xn  B0 f x0  1  h0 q0n .
(24)
Из (24) следует оценка для радиуса области существования решения r для
сходящегося процесса (шаг 1 – шаг 6):



r   xi  B0 f x0  1  h0  1  q0  q02  ...  B0 f  x0  1  h0  / 1  q0 . (25)
i 0
Наряду с оценкой (25) может быть получена оценка (26)


i 0
i 1


r   xi  x0   xi  B0 f  x0  1  h0   B1 f  x1  1  h0  1  q1  q12  ... 
 B0 f x0  1  h0   B1 f x1  1  h0 / 1  q0 .
(26)
Найдём условия, при выполнении которых в области D  S  x0 , r  не более
одного решения. Положим, что в S  x0 , r  существует два решения x
справедлива оценка
 f x   f x  
   f x   f x   B Mr x  x
x   x   x   x    f x0 
1

 B0 f x0  x   x 
Если
в
(27)






0
потребовать,
чтобы

и x . Тогда

.
B0 Mr  q  1
(27)
или
q0,5B0 f x0 
, q  0,1 , то в сфере  x0 , r  будет не более одного
h0
решения. В условиях сходящегося процесса (шаг 1 – шаг 6) рассмотрим неравенство
B0 f x0  1  h0 
0,5qB0 f x0 
q


,
(28)
1  q0
B0 M
h0
r  q / B0 M  
которое равносильно утверждению r  r .
Из (17) следует оценка для h0 :
1
(29)
h0    0,25  0,1841q  F q   0,159 .
2
Так, что при h0  0,159 решение в сфере S  x0 , r  существует и единственно.
Если в качестве r взять правую часть соотношения (26) и потребовать выполнения
условия
B0 f x0  1  h0  
B1 f x1  1  h0  0,5qB0 f x0 

,
1  q0
h0
то неравенство (30) также равносильно условию r  r .
(30)
Из (30) имеем соотношение, связывающее нормы B0 f  x0  и B1 f  x1 
(нормы на соседних шагах).
B1 f x1 
0,5q  h0  h02
1  q0  ;

B0 f x0 
h0 1  h0 


И пусть
B1 f  x1 
B0 f  x0 

0,5q  h

 h02
1  q0     1 .
h0 1  h0 
0
Рассмотрим соотношения:
2
B1 f x1 
0,5q  F q   F q 
1  q0 F q 

B0 f x0 
F q 1  F q 

B1 f x1 
B0 f x0 

(31)
0,5q  F q   F q   1  q F q     1
2

F q 1  F q 

(32)
0

q0 F q   F q  2  2F q   F q  / 1  2F q 1  F q  .
Соотношение (31) эквивалентно неравенству
2
B0 f x0  1  F q   B1 f x1  1  F q   B1 f x1  1  F q q0 F q   ... 
 0,5B0 f x0  q / F q .
(33)
Левая часть (33) эквивалентно вычислению радиуса области существования
решения уравнения (1) с условным коэффициентом сжатия (УКС) q0 F q   0,159 ,
правая часть этого неравенства – эквивалентное вычисление радиуса области
единственности с тем же УКС.
Предположением о том, что при выполнении (31) h0  F q  приводит к тому,
что при подстановке в (33) вместо F q  величины h0  F q  левая часть этого
неравенства увеличивается, а правая уменьшается, что невозможно в силу (32). Таким
образом, при выполнении (31), (32) на некотором шаге немедленно выполняется
условие h0  F q   0,159 , что эквивалентно выполнению достаточного условия
существования и единственности решения в сфере S  x0 , r , r 
0,5qB0 f  x0 
F q 
. Таким
образом, справедлива
Теорема 2. Пусть выполняются перечисленные выше условия на оператор f . Если на
некотором шаге сходящегося процесса (шаг 1 – шаг 6) выполняются условия (31), (32),
тогда в сфере S  x0 , r  решение x существует и единственно.
До сих пор мы рассматривали итерационные процессы с гладкими операторами.
В практически важных случаях оператор f часто лишь непрерывен.
Для решения нелинейного уравнения

f ( x)  0; f ( D  R n  R n ), f  CD
применяем итерационный процесс:
шаг 1. Решается линейная система
f ( xn , yn )yn   f ( xn ); yn  xn  f ( xn ), n  0,1,2...
(34)
шаг 2. Вносится поправка в элемент x n
yn 1  xn  yn , n  0,1,2...
шаг 3. Решается вторая линейная система
f ( xn , yn )xn   n ( f ( xn )   n f  yn ), n  0,1,2...
шаг 4. Находится очередное приближение
xn1  xn  xn
(35)
(36)
(37)
шаг
5.
Проводится проверка окончания вычислительного процесса – если
f ( xn1 )    1, то процесс вычислений заканчивается, иначе мы вновь
возвращаемся на шаг 1. Итерационный процесс (шаг 1 – шаг 5) символически может
быть записан в виде
1
1
(38)
xn1  xn  n  f ( xn , yn ) ( f ( xn )  n f ( xn   f ( xn , yn ) f ( xn )))
Доказательство сходимости процесса (34)–(37) (шаг 1 – шаг 5) проводится
вполне аналогично тому, как это имеет место при доказательстве теоремы 1. При
доказательстве сходимости используем аналог интерполяционной формулы Ньютона
для операторов [2], из которой следует неравенство:
f ( xn1 )  f ( xn )  f ( xn , yn )( xn1  xn )  K ( xn1  xn ) ( xn1  yn ) , n  0,1, ... ,
здесь f ( x, y, z )  K , x, y, z  D .
Как и выше, полагаем, что существует ограниченный обратный оператор
[ f ( xn , yn )]1 , xn , yn  D .
Вначале найдем условия, при которых процесс (шаг 1 – шаг 5) является
релаксационным. Из (34), (38) и условий, накладываемых на оператор f, следуют
оценки:
 f ( xn , yn )1  B.
2
2
f ( xn 1 )  1   n  f ( xn )   n f ( yn )  K n2 B 2 f ( xn ) 1   n hn N   n hn  
 1   n 1   n hn  KB 2  n f ( xn ) 1   n hn N   n hn  f ( xn ) 
 1   n 1   n  f ( xn )  qn f ( xn ) .
f ( yn )  KB 2 f ( xn ) N ,
2
Здесь
f ( xn , yn )  E  N ,
(39)
 n  n hn  KB2 n f ( xn ) 1  n hn N  n hn  ,
qn  1  n 1   n , hn  KB2 N f ( xn ) , n  0, 1, ... .
С учетом характеристического свойства (6) имеем, что все  i   0 , i  0, 1, ... .
Если  0  1, то из (39) следует, что
f ( x1 )  f ( x0 ) , а из (6) при n  0 имеем, что
1   0 . Индуктивные рассуждения позволяют утверждать, что последовательность
итерационных параметров  n , монотонно возрастая, стремиться к 1,
последовательность норм невязок
 f ( x ) ,
n
монотонно убывая, стремиться к 0,
последовательность qn  , монотонно убывая, стремиться к 0, и справедлива оценка:
n
f ( xn 1 )   q f ( x0 )  q0n1 f ( x0 ) ,
i 0
(40)
Из (40) следует, что при q0  1 последовательность элементов хn   x * –
решению уравнения (1), если x*  D . Таким образом, можно сформулировать
Теорему 3. Пусть в сфере S x0 , r   D существует х* – решение уравнения (1),
 0  1. Тогда
оператор f удовлетворяет перечисленным выше условиям и
итерационный процесс (шаг 1 – шаг 5) со сверхлинейной скоростью сходится к х*.
Процесс (34)–(37) является нелокальным и, начиная с некоторого номера k,
переходит в процесс с βi = 1, i ≥ k. Если положить, что, начиная с этого номера, в
некоторой окрестности решения, например, в сфере S(х0, r), существует ограниченный
оператор  f ( x0 , y0 ) , то можно отказаться от требования того, что бы всюду в
интересующей нас области S x0 , r   D , был ограничен.
1
Пусть существует ограниченный обратный оператор  f ( x0 , y0 )  B0 и найдем
1
условия, при которых будет существовать ограниченный оператор  f ( x1 , y1 ) . Имеем
1
E   f ( x0 , y0 ) f ( x1 , y1 )   f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 , y0 )  f ( x1 , y1 )) 
1
1
  f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 , y0 )  f ( y0 , x1 )  f ( y0 , x1 )  f ( x1 , y1 ))
1
(41)
Всюду ниже будем предполагать, что для всех x,y,zD имеют место
соотношения
(42)
E  f ( x, y)  M , f ( x, y)  f ( y, z )  L x  z .
f ( x)  f ( y)  f ( y, z )( xy )  K x  y  x  z .
Тогда с учетом (42) соотношение (41) имеет вид:
E   f ( x0 , y 0 ) f ( x1 , y1 )  B0 L( x1  x0  y1  y0 ) 
1
B0 L( x0  y0 )  B0 L(1  M ) x0  B02 L(1  M ( f ( x0 ) 
 KB02 f ( x0 ) M ))  B02 A(1  M ) f ( x0 ) (1  AB 2 (1  M ) f ( x0 ) ) 
2
 h0 (1  h0 )  l0
2
Здесь A  max( L, K ), h0  AB0 (1  M ) f ( x0 ) . Если потребовать, чтобы l0
было меньше единицы, то в силу теоремы Банаха существует оператор, обратный
оператору
 f ( x0 , y0 )1 f ( x1 , y1 )
и
 f ( x1 , y1 )1

B0
. Найдем оценку для f ( x1 ) .
1  l0
f ( x1 )  f ( x0   f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 )  f ( x0   f ( x0 , y0 ) f ( x0 )))) 
1
1
 f ( x0   f ( x0 , y0 ) f ( x0 )) 
1
 AB0 f ( x0 )  f ( x0   f ( x0 , y0 ) f ( x0 )) 
1
(43)
 x0  y0   f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 )  f ( x0   f ( x0 , y0 ) f ( x0 ))) 
1
1
 h0 f ( x0 )  h0 f ( x0 ) (1  h0 )  h0 f ( x0 ) (2  h0 )
Далее находим оценку для h1 и выясняем при каких условиях h1  h0 . Имеем с
учетом (43):
B02 (1  M )
h1  AB (1  M ) f ( x1 )  A
h0 f ( x0 )  (2  h0 ) 
(1  l0 ) 2
2
1
 h (2  h0 ) /(1  l0 ) .
2
0
2
С учетом (44), соотношение h1  h0 приводит к неравенству
h0 (2  h0 )  (1  l0 ) 2  (1  h0 (1  h0 )) 2 .
После простых преобразований имеем неравенство относительно h0
(44)
(45)
h04  2h03  2h02  4h0  1  0,
которое справедливо при h0<0.23. Поскольку l1  h1 (1  h1 )  l0 , то при переходе от
точки x0 ( y 0 ) к точке x1 ( y1 ) соотношения, гарантирующие продолжимость
итерационного процесса, остаются в силе. Из (45) имеем, что h0  0,23.
Найдем r – радиус области, где решение существует.
n
r  lim
 xi  lim
 Bi f ( xi ) (1  hi )  lim
 B0 f ( x0 ) (1  h0 ) 
n 
n 
n 
i 0
B f ( x0 ) (1  h0 )
h (2  h0 )
 (1  q0  q  ...  q )  0
; q0  0
1  q0
1  l0
2
0
(46)
n
0
Может быть получен и другой вид оценки радиуса области S ( x0 , r ) , где
решение существует
n
r  x0  lim  xi  B0 f ( x0 ) (1  h0 )  Bi f ( xi ) (1  h0 ) /(1  q0 )
n
(47)
i 1
Найдем условия, при выполнении которых в области S ( x0 , r ) будет не более
одного решения. Положим, что в
тогда справедлива оценка
S ( x0 , r )
существуют два решения х* и х**,
x*  x**  x*  x**   f ( x0 , y0 ) ( f ( x* )  f ( x** )) 
1
 B0 f ( x0 , y0 )( x*  x** )  f ( x* , x** )( x*  x** ) 
 B0 ( f ( x0 , y0 )  f ( y0 , x* )  f ( y0 , x* )  f ( x* , x** ) ) x*  x** 
 AB0 ( x0  x*  y0  x** ) x*  x**  AB0 ( x0  x* 
(48)
 x0  x**  f ( x0 )  f ( x** ) ) x*  x**  AB0 ( x0  x* 
 M x0  x** ) x*  x**  AB0 (1  M )r x*  x**
Если в (48) потребовать, чтобы AB0 (1  M )r  q  1 или
r
qB f ( x0 )
q
 0
, то в сфере S ( x0 , r ) будет не более одного решения.
AB0 (1  M )
h0
В условиях сходящегося процесса (34)-(37) с βk = 1 рассмотрим неравенство
B0 f ( x0 ) (1  h0 ) qB0 f ( x0 )

,
1  q0
h0
которое равносильно утверждению r  r , а это означает, что в сфере S ( x0 , r )
(49)
находится единственное решение уравнения (1). Из (49) следует оценка для h0
(1  h0 )(1  h0  h02 ) q

1  3h0  2h02
h0
Соотношение (50) выполняется при h0  F(q)  0,3q.
(50).
Используя (47) и требование r  r , получим соотношение, связывающее нормы
B0 f x0  и B1 f x1  на соседних шагах.
B1 f ( x1 )  q
 1  q0
   1  h0 
.
B0 f ( x0 )  h0
 1  h0
Вполне аналогично тому, как это было сделано выше, можно утверждать, что
при выполнении условий (51)–(52)
B1 f ( x1 )  q
 1  q0 F (q ) 
 
 1  F (q ) 
,
(51)
B0 f ( x0 )  F (q )
 1  F (q)
B1 f ( x1 )  q
 1  q0 F (q) 
 
 1  F (q) 
   1,
(52)
B0 f ( x0 )  F (q)
 1  F (q)
B f ( x0 ) 1  F (q) 
, существует и единственно.
решение в сфере S ( x0 , r ) , r  0
1  q0 F (q) 
Как показывает практика решения существенно нелинейных задач, применение
изложенного выше нелокального нерегуляризованного итерационного процесса,
локально сходящегося с кубической скоростью, оказывается более эффективным, если
этот процесс «работает» в связке с нелокальным регуляризованным итерационным
процессом, локально сходящимся с квадратичной скоростью, который может быть как
процессом полного, так и не полного прогноза. Такую связку обычно принято называть
гибрид-процесс. Гибридизация производится обычно следующим образом: вначале для
нахождения приближенного решения стартует нелокальный регуляризованный
итерационный процесс, локально сходящимся с квадратичной скоростью. Как только
норма невязки на приближенном решении становится порядка 0,1 – 0,0001,
подключается нерегуляризованный итерационный процесс, локально сходящийся с
кубической скоростью.
Вычислительный эксперимент проводился на ряде нелинейных задач теории
колебаний (задачи типа задач Дуффинга) и на ряде жестких модельных задач Коши [3,
стр. 156], а также при решении нелинейных систем численных уравнений большой
размерности.
К числу достоинств предлагаемых подходов можно отнести то, что знания
глобальных констант не требуется, важен лишь факт их существования.
В рассматриваемой работе с помощью самого вычислительного процесса есть
возможность дать ответ на вопрос: существует ли решение нелинейной задачи в
интересующей нас области, а также эффективная процедура поиска радиуса этой
области. Таким образом, предлагаемые теоремы можно отнести к классу, так
называемых, доказательных вычислений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ортега, Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со
многими неизвестными / Дж. Ортега, В. Рейнболдт. – М.: Мир, 1975. – 558 с.
2. Мадорский, В. М. Квазиньютоновские процессы для решения нелинейных
уравнений / В. М. Мадорский. – Брест: БрГУ, 2005. – 186 с.
3. Хайрер, Э., Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с.