Программа курса «Дискретные экстремальные задачи» 1. Организационно-методический раздел. 1.1 Название курса. Дискретные экстремальные задачи. Направление - математика Раздел - “специальные дисциплины” вузовской компоненты. Семестр(ы) - 7,8 1.2 Цели и задачи курса. Дисциплина “ Дискретные экстремальные задачи ” предназначена для студентов и магистрантов механико-математического факультета. Основной целью освоения дисциплины является овладение студентами современными методами решения задач дискретной оптимизации. Курс отражает современное состояние теории дискретных экстремальных задач; его актуальность обусловлена широкими возможностями применения рассматриваемых методов при решении практических задач из производственной и научно-технической сферы. Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса: 1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой 2) сдача экзамена в соответствии с учебным планом. 1.3 Требования к уровню освоения содержания курса. По окончании изучения указанной дисциплины студент должен - иметь представление о задачах дискретной оптимизации; - знать основные методы решения дискретных оптимизационных задач; - уметь использовать освоенные методы при проведении теоретических и прикладных исследований. 1.4 Формы контроля Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен экзамен. Текущий контроль. Не предусмотрен. 2 Содержание дисциплины. 2.1 Новизна. Курс отражает современное состояние теории дискретных экстремальных задач; его актуальность обусловлена широкими возможностями применения рассматриваемых методов при решении практических задач из производственной и научно-технической сферы. 2.2 Тематический план курса. Наименование разделов и тем Лекции Экстремальные задачи на графах Задачи целочисленного линейного программирования Полиномиальная сводимость и NP-трудные задачи Приближенные алгоритмы Итого по курсу 2.3 Количество часов Семинары Лабора- Самостоторные ятельная работы работа Всего часов 34 34 8 8 18 18 8 68 8 68 Содержание отдельных разделов и тем. Экстремальные задачи на графах. Формулировки некоторых экстремальных задач на графах. Задача о минимальном остове (кратчайшей связывающей сети). Алгоритмы Краскала и Прима. Динамическая задача о кратчайшем пути. Алгоритм Дейкстры. Прямо-двойственный метод. Алгоритм Дейкстры с позиций прямо-двойственного метода. Задача о назначениях: условия оптимальности, описание алгоритма. Алгоритм решения задачи о назначениях с позиций прямо-двойственного метода. Задача нахождения паросочетания максимального веса. Теорема Бержа. Подход к решению задачи, основанный на теории двойственности, формулировка вспомогательной задачи, описание алгоритма ее решения и доказательство его конечности. Упрощения в алгоритме в случае единичных весов ребер. Задачи китайского почтальона и покрытия графа ребрами; их сводимость к задаче отыскания паросочетания максимального веса. I. II. Задачи целочисленного линейного программирования. Идея методов отсечения. Схема построения отсечений (дополнительных ограничений) в алгоритмах Гомори. LD-метод. Первый (циклический) алгоритм Гомори и доказательство его конечности. Третий (полностью целочисленный алгоритм) Гомори. Целочисленные многогранные множества. Целочисленность многогранника допустимых решений транспортной задачи. III. Полиномиальная сводимость и NP-трудные задачи. Алгоритмы и оценки временной сложности. Классы P и NP. Полиномиальная сводимость. NP-полные и NP-трудные задачи. Теорема Кука. NP-полнота задач: 3-ВЫПОЛНИМОСТЬ, 3-СОЧЕТАНИЕ, ВЕРШИННОЕ ПОКРЫТИЕ, КЛИКА, НЕЗАВИСИМОЕ МНОЖЕСТВО, ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ, 0-1 РЮКЗАК, РАЗБИЕНИЕ, МНОГОПРОЦЕССОРНОЕ РАСПИСАНИЕ. IV. Приближенные алгоритмы. Полиномиальные алгоритмы построения приближенных решений с оценками точности. Приближенные алгоритмы с оценками для задачи коммивояжера и задачи k--центр. Полиномиальные аппроксимационные схемы. 3 Учебно-методическое обеспечение дисциплины 3.1 Темы рефератов (курсовых работ). Не предусмотрено. 3.2 Образцы вопросов для подготовки к экзамену. а) Динамическая задача о кратчайшем пути; алгоритм Дейкстры. б) Целочисленные многогранные множества (основная теорема). в) NP-полнота задачи ГАМИЛЬТОНОВ ЦИКЛ. 3.3 Список основной и дополнительной литературы. 1. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия решений. Новосибирск: НГУ, 1991. 2. "Исследования по дискретной оптимизации". - М.: Наука, 1976. 3. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. - М.: Наука, 1969. 4. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Мир, 1974. 5. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. - М.: Мир, 1982. 6. Пападимитриу Х, Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. --- М.: Мир, 1985. 7. Гимади Э.Х., Глебов Н.И., Перепелица В.А. Алгоритмы с оценками для задач дискретной оптимизации. Сб."Проблемы кибернетики", вып.31. --- М.: Наука, 1975. Для изучения дисциплин, которые предусматривают использование нормативно-правовых актов, указывать источник опубликования. Не предусмотрено. 3.4 Отв. проф. Глебов Н.И. доц. Плясунов А.В.