Аримф.приложения

§ 7. Некоторые арифметические приложения теории сравнений.
Рассмотрим некоторые вопросы элементарной арифметики, изучение
которых упрощается применением теории сравнений.
1. Признаки делимости (все доказательства, связанные с нахождением
простых и удобных признаков делимости, упрощаются на языке теории
сравнений).
Пример 1. Вывести признак делимости на 11 в десятичной системе
счисления.
Решение. Разобьем цифровую запись числа на группы по две цифры в
каждой группе (разбиение ведется справа налево). Получим
M  ...  a5a4  104  a3a2  102  a1a0  ...  a5a4  a3a2  a1a0 (mod 11) , так как 102  1(mod 11) .
Отсюда вытекает признак делимости на 11.
2. Нахождение остатков при делении числа на данное число (этот вопрос
мы рассматривали в теме теоремы Эйлера и Ферма)
Пример 2. Найти остаток от деления 8! на 13.
Решение. 1 способ. Группируем члены в произведении 8! Так, чтобы
удобнее и скорее найти остаток от деления на 13.
8! 1  2  3  4  5  6  7  8  (3  5)  (2  6)  (4  7)  8  2  (1)  2  8  2(2  8)  2  3  6  7(mod 13)
II способ. Индексируем сравнение x  8!(mod 13) . Получим
indx  ind 8  ind 7  ind 6  ind 5  ind 4  ind 3  ind 2  ind 1(mod  (13)) ,
indx  9  5  11  3  2  4  7  0  5(mod 12), x  7(mod 13).
3. Определение периода систематической дроби (этот вопрос рассмотрим
подробнее).
4. Проверка результатов арифметических действий (эту тему рассмотрим
обзорно, на примерах).
1. Систематические дроби.
а) конечные систематические дроби.
Ранее мы рассматривали целые систематические числа. Рассмотрим
аналогичные представления любых рациональных чисел. Так как любое
рациональное число может быть представлено в виде a  n  r , где n - целое
число, а 0  r  1 , мы ограничимся изучением таких рациональных чисел,
что 0  r  1 . Эти числа могут быть записаны в виде правильных
положительных дробей: r 
p
,0  p  q .
q
Самым простым является случай, когда знаменатель дроби является
a
, где 0  a  g n .
n
g
a
Теорема 1. Любую положительную правильную дробь вида r  n
g
степенью основания системы счисления, то есть когда r 
можно представить в виде конечной суммы
a
a a
a
a
 1  22  ...  kk  ...  nn ,
n
g
g g
g
g
98
(1)
где при всех k имеем 0  ak  g .
Вместо записи (1) обычно пишут так:
a
 0, a1a2 ...an ,
gn
(2)
дробь (2) называют конечной g -ичной систематической дробью.
Запись вида (1) допускают не только дроби r 
a
a
, но и любые дроби ,
n
b
g
обладающие следующим свойством:
Теорема 2. Правильная несократимая дробь
a
b
может быть
представлена в виде:
a a1 a2
a
  2  ...  nn
b g g
g
в том и том случае, когда в разложение знаменателя b на простые
множители входят только те простые числа, которые участвуют и в
разложении на простые множители основания g .
Следствие 1. Несократимая дробь
a
может быть представлена в виде
b
конечной десятичной дроби в том и только в том случае, когда в разложение ее
знаменателя на простые множители входят лишь простые числа 2 и 5, то есть
когда b  2  5 .
Примеры 3. Дробь
7
можно представить в виде конечной
96
12-ной
дроби, так как 96  3  25 , а в разложении 12 на простые множители входят лишь
2 и 3. Чтобы получить это разложение, запишем:
7
7
7  32  2 126
,



96 3  25 (3  22 )3 123
но 126  12 10  6 , и потому
7 12  10  6 10
6

 2  3  0,0(10)612 .
3
96
12
12 12
9
Пример 4. Дробь
можно записать в виде конечной десятичной
160
дроби, так как 160  25  5 .
7
Пример 5. Дробь
нельзя представить в виде конечной десятичной
96
дроби, так как 96  25  3 .
б) бесконечные систематические дроби.
Введем теперь бесконечные g -ичные дроби и покажем, что любое
рациональное число может быть выражено периодической g -ичной дробью.
Как и выше, будем рассматривать лишь числа на промежутке 0  r  1 .
Определение 2. Правильной бесконечной g -ичной дробью называется
ряд
99

a1 a2
a
a
 2  ...  nn  ...   kk
g g
g
k 1 g
,
(3)
где для всех n имеем 0  an  g .
Так как для любого n имеем
an
1
 n 1 , а ряд
n
g
g

g
1
n 1
n 1
сходится, поскольку
является геометрической прогрессией со знаменателем g 1  1 , то и ряд (3)
сходится при любых значениях коэффициентов an , таких, что 0  an  g .
Иными словами, всегда существует действительное число a , такое, что
a
a1 a2
a
 2  ...  nn  ... .
g g
g
(4)
a
a
- правильная несократимая дробь. Тогда
b
b
можно представить в виде конечной или бесконечной g -ичной дроби, причем
Теорема 3. Пусть
единственным образом в случае бесконечной дроби.
Если
a a1 a2
a
  2  ...  nn  ... ,
b g g
g
то
 g na 
n 1

  a1 g  ...  an 1 g  an
 b 
и
 g n 1a 
n2

  a1 g  ...  an  2 g  an 1 . Значит
 b 
 g na 
 g n 1a 
an  
  g
.
 b 
 b 
(5)
в) периодические систематические дроби.
Введем следующие определения:
Определение 3. Систематическая дробь по основанию g 0, a1a2 ...an ...
называется чисто периодической с периодом длины s,если для всех k
выполняется ak  ak  s , причем s – наименьшее натуральное число с этим
свойством ( иными словами, если 0  q  s , то найдется такое k,что ak  ak  q ).
Определение 4. Систематическая дробь по основанию g 0, a1a2 ...an ...
называется смешанной периодической с периодом длины s,если найдется такое
m>0, что для всех k  m имеем : ak  ak  s , причем s – наименьшее натуральное
число с этим свойством.
Чисто периодическую дробь с периодом длины s записывают: 0, (a1a2 ...as ) ,
а смешанную дробь: 0, a1a2 ...am (am 1...am  s ) .
a
b
a
взаимно прост с основанием системы счисления, (b, g )  1 . Тогда дробь
b
представима в виде чисто периодической g -ичной дроби, период s которой
a
равен порядку числа g по модулю b (s=Pb(g)) :  0, (a1a2 ...as ) .
b
Теорема 4. Пусть знаменатель несократимой правильной дроби
100
Теорема 5. Пусть разложение числа b на простые множители имеет
вид:

b  p1 1  ... pk
причем g
несократимая
делится на p1 ,..., pk
a
b
дробь
k


 q1 1  ...ql l ,
и не делится на q1 ,...ql . Тогда правильная
может
быть
представлена
в
виде:
a
 0, a1...am (am 1...am  s ) , где справа стоит смешанная периодическая g -ичная
b
дробь. Период этой дроби равен порядка s числа g по модулю c  q11  ...ql  l , а
число цифр между запятой и началом первого периода (предпериод) равно
наибольшему из показателей 1,..., k , то есть m  max( 1,..., k ) .
7
 0á (179487 ) , так как 103, 10  1(mod 39),   6 .
39
13
13
m  max( 1,2)  2

 0,02(36) , так как
7.
550 2  52  11
Примеры 6.
Пример
и
10  1(mod 11) .
Пример 8. Найти длину периода и предпериода при обращении дроби
739
в десятичную.
1540
Решение. 1540  22  5  7  11 . Значит в предпериоде две цифры. Вычислим
P7 (10), P11(10) . Вычисления можно провести путем индексирования, то есть
решаем сравнения 10 x  1(mod 7),10 x  1(mod 11), находим P7 (10)  6, P11(10)  2 .
Длина периода равна НОК( P7 (10), P11(10) ) = НОК(6,2) = 6.
Следствие 2. Если каноническое разложение знаменателя b в
несократимой дроби
a
b
не содержит множителей 2 и 5, то эта дробь
превращается в чистую периодическую дробь; при этом число цифр в периоде
равно показателю  , которому принадлежит число 10 по модулю b .
Если каноническое разложение знаменателя b в несократимой дроби
a
b
имеет вид b  2  5  c , где (c,10)  1 , то эта дробь преобразуется в смешанную
дробь, в которой число цифр до периода равно m  max  ,  , а число цифр
периода равно   Pc (10) .
2. Проверка результатов арифметических действий.
С помощью сравнений легко указать необходимые признаки
правильности и достаточные признаки неправильности результатов
выполнения арифметических действий сложения, вычитания и умножения
целых чисел.
Результат действий сложения, вычитания и умножения есть целая
рациональная функция компонент, а потому если вместо данных чисел взять
наименьшие положительные или наименьшие по абсолютной величине
вычеты этих чисел по какому-либо модулю то, результат действий над этими
вычетами должен быть сравним по тому же модулю с наименьшим вычетом
101
проверяемого результата. Если сравнение не имеет места, то результат
получен неверно. В качестве модуля удобнее брать число, наименьшие вычеты
по которому легко вычисляются ( например, для десятичной системы
счисления – 9 или 11). В случае 9 можно брать вместо наименьших вычетов
просто сумму цифр, в случае 11 – разность между суммами цифр, стоящих на
четных и нечетных местах (считая справа налево).
Следует отметить, что неправильность соответствующего сравнения
гарантирует
неправильность
выполнения
действий.
Правильность
соответствующего сравнения лишь подтверждает, но не гарантирует
правильность результата. Дело в том, что проверкой с помощью 9 или 11 не
может быть обнаружена ошибка на число, кратное 9 ил 11 соответственно.
Поэтому чаще всего проверяют одновременно числами 9 и 11. В этом случае
ошибка на число, кратное 99, но вероятность такой ошибки очень мала.
Пример 8. Проверим правильность выполнения действий ( с помощью 9
и 11):
1) 8740297 – 561245 = 8179052,
2) 4237  27925  118275855 ,
3) 19892  20315  10364211 .
Решение. 1). Проверка девяткой. Заменим числа суммами их цифр:
(8+7+4+0+2+9+7) – (5+6+1+2+4+5)  (8+1+7+9+0+5+2) (mod 9) ,
37  23  32(mod 9),14  32(mod 9) .
Сравнение подтверждает, но не гарантирует правильности выполнения
действий.
Проверка числом 11.
8740297  (7  2  4  8)  (9  0  7)  5(mod 11),561245  (5  2  6)  (4  1  5)  3(mod 11),
8179052  (2  0  7 | 8)  (5  9  1)  2(mod 11).
Получим: 5  3  2(mod 11),2  2(mod 11).
Проверка одиннадцатью подтверждает правильность получения
результата (хотя абсолютной гарантии нет, так как возможна ошибка на число,
кратное 99).
2).
4237  4  2  3  7  7(mod 9),27925  2  7  9  2  5  7(mod 9),
118275855  1  1  8  2  7  5  8  5  5  6(mod 9),7  7  6(mod 9).
Значит пример выполнен неверно.
3).
19892  20314  315  (1  9  8  9) 2  (2  0  3  1  4)  (3  1  5)  02  1  0  0(mod 9),
,
10364211  0(mod 9)
то есть признак делимости на 9 в данном случае не позволяет выявить ошибку,
если она есть. Применим признак делимости на 11:
19892  20314  315  (9  8  9  1) 2  (4  1  3 _ 0  2)  (5  1  3)  5(mod 11),
.
10364211  1  1  2  4  6  3  0  1  0(mod 11),0  5(mod 11).
Следовательно, выражение 3) содержит ошибку.
102
Упражнения.
43
9
№ 1. Найдите последнюю цифру числа: а) 4343 , б) 78 , в) 34  43  56  65 .
№ 2. Найдите остаток от деления: а) 19891989 на 13, б) 54312  12543 на 15.
№ 3. Найдите остаток от деления: а) 10! на 11, б) 9! на 17, в) 18! на 7.
№4. Доказать, что если a - четное число не кратное 10, то a оканчивается
цифрами 76.
№5. При помощи свойств сравнений выведите признаки делимости на 3, 9, 8,
125, 6, 15, 18, 12, 27 и 37, 7 и 11 и 13.
№6. Используя признаки делимости найдите все числа вида 13 xy45 z делящееся
на 792.
№7. К числу 6157 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы
полученное число делилось на 45.
№8. С помощью признаков делимости на 2 и 5 проверить правильность
результатов действий: 1) 25045  1487  37240916, 2) 3746  8067  30210915.
№9. С помощью признаков делимости на 9 и 11 проверьте результаты
действий:
1) 13547 – 9862 = 3685, 2) 2504+91382 = 116423, 3) 43711243  5433153 ,
4) 421767 : 3429  123 , 5) 19652=3761225, 6) 5 371293  23 ,
7) (27082  8513874)  18  372  179  276181597 .
№10. Какие из следующих обыкновенных дробей могут быть представлены в
виде а) конечных десятичных дробей, б) чисто периодических дробей,
в) смешанных периодических дробей:
1)
16
89
135
403
371
100
101
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
, 6)
, 7) .
155
160
71
500
80
749
242
№11. Найдите длины периода и предпериода при обращении обыкновенных
дробей в десятичную:
1
82
109
39
43
, 2)
, 3)
, 4)
, 5)
,
380
34400
97000
660
280
101
1
601
805
6)
, 7)
, 8)
, 9)
.
4420
935
646
418
1)
№12. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное периодических
дробей – периодическая дробь.
103