Алгебра

Задания интеллектуального марафона
Цикл «Алгебра»
8 класс
8.1. Найдите произведение 99 множителей: 100  12 100  22     100  99 2 .
8.2. Известно, что x  y  a , xy  b . Вычислите x  y .
4
4
8.3. Первый фонтан наполняет бассейн за 2 ч 30 мин, второй  за 3 ч 45 мин. За какое
время наполнят бассейн 2 фонтана?
8.4. Если велосипедист будет ехать со скоростью 10 км/ч, то он опоздает на 1 час. Если
же он будет ехать со скоростью 15 км/ч, то он приедет на 1 час раньше. С какой скоростью он должен ехать, чтобы приехать вовремя?
8.5. Может ли число вида ABCABC быть квадратом натурального числа?
8.6. Назовем автобусный билет счастливым, если сумма цифр его шестизначного номера делится на 13. Могут ли два идущих подряд билета оказаться счастливыми?
9 класс
9.1. Найдите значение выражения
x  x 2
x 2

x  12 x  35
x 5
при x  2008 .
9x 2  4xy  1
9.2. Решите систему уравнений 
2
9xy  4y  2.
9.3. После того, как в десятичной записи числа
число
a . Что больше a или
1
вычеркнули 2008 цифру получилось
14
1
?
14
9.4. При каких значениях a наибольшее значение функции f (x )  x
2
 2ax  2 на
отрезке [1;3] равно 17?
9.5. Найдите все пары целых чисел x и y , являющихся решениями системы неравенств
1

2
y  x  2x   0,
2

y  x  1  2.

9.6. Из некоторого пункта кольцевой дороги в одном направлении выехали одновременно велосипедист и мотоциклист. Известно, что каждый из них двигался с постоянной
скоростью и мотоциклист обогнал велосипедиста в n-й раз, когда велосипедист проехал
ровно m кругов. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Цикл «Алгебра»
8 класс
8.1. Ответ: 0.
Среди множителей присутствует множитель 100  10 2  0 .
8.2. Ответ: a 4  4a 2 b  2b 2 .
1) x 2  y 2  x  y 2  2 xy  a 2  2b
2) x 4  y 4  x 2  y 2   2 x 2 y 2  a 2  2b  2b 2  a 4  4a 2b  2b 2 .
2
2
8.3. Ответ: за 1,5 часа.
Первый фонтан заполняет за час
4
2
бассейна, второй 
бассейна, следовательно,
5
15
вместе за час они заполнят две трети бассейна, а последнюю треть еще за полчаса.
8.4. Ответ: 12 км/ч.
Способ I (Арифметический). Предположим велосипедистов двое, и скорости их равны
10 км/ч и 15 км/ч. Если бы первый из них, выехал на 2 ч раньше второго, то они финишировали бы одновременно. При этом второй велосипедист давал бы фору первому в 20 км,
которую он наверстал за 20 : 15  10   4 ч. Следовательно, он проехал 15  4  60 км. Осталось определить скорость велосипедиста, проезжающего 60 км за 5 ч.
Способ II (Алгебраический). Пусть надо прибыть на место через x ч.
Тогда 10  ( x  1)  15  ( x  1) , откуда x  5 , то есть надо прибыть на место через 5 ч, расстояние равно 10  (5  1)  60 км, а искомая скорость –
60
 12 км/ч.
5
8.5. Ответ: нет.
Предположим ABCABC - квадрат натурального числа.
Тогда x 2  ABCABC , x 2  ABC 1001  ABC  7 11 13 и, поскольку 7, 11 и 13 числа простые, то
ABC кратно 7, 11 и 13, а следовательно, ABC кратно 1001. Но ABC  1001 . Противоречие.
8.6. Ответ: да.
Например, 444999 и 445000. Суммы 39 и 13 соответственно кратны 13.
9 класс
9.1. Ответ: 6.
Преобразуем выражение:
( x  2)( x  1)
x 2

( x  7)( x  5)
Ответ не зависит от значения x , если x  25 .
x 5
 x 1 


x  7  6.
9.2. Ответ: 1;2 и  1;2  .
Проведем равносильные преобразования. Получим:
 x(9 x  4 y )  1
2 x(9 x  4 y )  2
 x(9 x  4 y )  1



 y (9 x  4 y )  2
 y (9 x  4 y )  2
2 x  y (9 x  4 y )  0.
Рассмотрим два случая:
 x(9 x  4 y )  1
 x(9 x  4 y )  1
и 2) 
2 x  y  0
9 x  4 y  0.
1) 
В первом случае:
 x  1,

x  1
 x(9 x  4 y )  1
 y  2 x  2,

 

2 x  y  0
2 x  y  0.  x  1,

 y  2 x  2,
2
Вторая система уравнений решений не имеет. Проверьте самостоятельно.
9.3. Ответ: a 
Поскольку
1
.
14
1
 0,0714285  , и длина периода 6, следовательно, 2008-ая цифра после за14
пятой равна 4. После вычеркивания на ее месте окажется 2.
9.4. Ответ: –7; 1.
Заметим, что график функции f ( x)  x 2  2ax  2 – парабола, ветви которой направлены
вверх. Следовательно, наибольшее значение достигается на одном из концов промежутка
[1;3] .
1) Проверим, может ли наибольшее значение достигаться при x  1 .
Получим: f (1)  3  2a  17 , тогда a  7 . При этом: f (3)  11  42  17 . Следовательно,
наибольшее значение достигается в точке x  1 и равно 17.
2) Проверим, может ли наибольшее значение достигаться при
x  3 . Тогда:
f (3)  11  6a  17 , откуда a  1 , а f (1)  3  4  17 .
Решение можно проиллюстрировать рисунками.
9.5. Ответ: 0;0  , 2;0  , 1;1 .
Перепишем первое неравенство системы в виде: y  x 2  2x  
1
. Поскольку x и y
2
целые числа, то y  0 . Из второго неравенства системы получим: y  x  1  2 . Следовательно, y  2 , то есть y  0 или y  1 . Рассмотрим случаи:
1
2
  x  2x ,
1) y  0 , тогда  2
 x  1  2.
Из первого неравенства получим x  0 или x  2 , что удовлетворяет второму неравенству.
3
2
  x  2x ,
2) y  1 , тогда  2
 x  1  1.
Из первого неравенства получим x  0,1 или 2. Второму неравенству удовлетворяет
только x  1 .
9.6. Ответ: в
mn
раз.
m
Пусть велосипедист проехал x кругов до того момента, когда мотоциклист обогнал его
в первый раз. Тогда:
1) велосипедист проехал nx кругов до того момента, когда мотоциклист обогнал его в
n-й раз. Из условия задачи следует, что nx  m , откуда x 
m
.
n
2) так как за одно и то же время велосипедист проезжает x кругов, а мотоциклист x  1
круг, то скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в
чим ответ:
x 1  m  m m  n
.
   1 : 
x
m
n
 n
x 1
раз, откуда полуx