Вариант 1. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с плотностью f X1 ( x) e x , x , где θ , - неизвестный параметр. Найти оценки параметра θ метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить, является ли полученные оценки состоятельными и несмещенными. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n распределения f X 1 ( x ) из генеральной совокупности, имеющей плотность a 4 3 ax x e , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Сравнить при 6 помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону N 0,2 , с неизвестным параметром 2 . Проверить эффективность * оценки 2 X 2 . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,9 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 получить абсолютную погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более 0,1, если 2 1 , а в качестве оценки используется выборочное среднее? Вариант 2. 1. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) 2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, показательному закону с неизвестным параметром распределенной по α 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка распределения f X 1 ( x ) из генеральной совокупности, имеющей плотность a 4 3 ax x e , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Является ли 6 оценка a * X / 4 эффективной оценкой параметра 1/ a ? 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,91 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить абсолютную погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более 0,01, если 2 2 , а в качестве оценки используется выборочное среднее? Вариант 3. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону Бернулли с неизвестным параметром p . Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) 2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону Na, 2 , где параметр a неизвестен, а параметр 2 известен. Проверить эффективность оценки a* X . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,92 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,99 получить абсолютную погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более 0,02, если 2 3 , а в качестве оценки используется выборочное среднее? Вариант 4. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [0, θ] , где θ 0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) a 2 x e ax , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону Пуассона с неизвестным параметром λ 0 . Проверить эффективность оценки λ* X . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,93 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить абсолютную погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более 0,01, если 2 0,64 , а в качестве оценки используется выборочное среднее? Вариант 5. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение: f X1 ( x) 1 x x e , x 0 , с неизвестным параметром 0 и известным параметром () 0 . Найти оценки параметра по методу моментов (через первый момент) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. (Здесь () t 1e t dt - гамма функция. ( ) ( 1) ( 1) , ( n ) ( n 1)! , 0 (1 / 2) ). 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [0, ] , где 0 - неизвестный параметр. Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной геометрическому закону с параметром совокупности, распределенной по p . Проверить эффективность оценки * X параметра 1 / p . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,94 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 2, если несмещенная выборочная дисперсия s 2 16 ? Вариант 6. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X 1 ( x) 3x2 / 3 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, распределенной по закону с x2 x плотностью f X 1 ( x) e 2 , x 0 . θ 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону N a ,σ 2 , с неизвестным параметром σ 2 ( a - известно). Проверить эффективность оценки 2 ( X a) 2 . * 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,95 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 25 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 0,1, если несмещенная выборочная дисперсия s 2 4 ? Вариант 7. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону с x2 плотностью x 2 f X 1 ( x ) 2 e 2 , x 0 . 2 0 . Найти оценки параметра σ 2 по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с плотностью f X1 ( x) e x , x , где θ , - неизвестный параметр. Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение: 1 x f ( x) x e , x 0 , с неизвестным параметром 0 и известным параметром ( ) 0 . Проверить эффективность оценки * (Здесь () t 1e t dt - гамма функция, X 0 ( ) ( 1) ( 1) , (n) (n 1)! , (1 / 2) ). 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,96 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 9 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 0,2, если известна дисперсия совокупности 2 2,25 ? Вариант 8. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону с x 1 плотностью f X 1 ( x ) e , x 0 . 0 . Найти оценки параметра по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X 1 ( x) 3x2 / 3 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n распределения выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность f X1 ( x) e x 1 e x 2 , x R , с неизвестным параметром . Проверить эффективность оценки * X . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,97 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 0,02, если несмещенная выборочная дисперсия s 2 1 ? Вариант 9. 1. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) a 2 x e ax , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Найти оценки параметра a по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) a x a 1 , x [0,1] , с неизвестным параметром a 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность 1 1 ( x ) , x , с неизвестным параметром 0 и известным распределения f X 1 ( x ) e параметром R . Проверить эффективность оценки * X . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,98 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 0,02, если известна дисперсия совокупности 2 1 ? Вариант 10. 1. Пусть X 1 , X 2 , , X n распределения f X 1 ( x ) выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность a 3 2 ax x e , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Найти оценки 2 параметра a по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X 1 ( x) 4 x 4 / 4 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по показательному закону с неизвестным параметром 0 . Проверить эффективность оценки * 1 / X . 4. Имеется выборка из n 40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,98 . 5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не более, чем на = 0,02, если известна дисперсия совокупности 2 1 ? Вариант 11. 1. Пусть выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность X 1 , X 2 , , X n 1 распределения f ( x) 1 ( x ) e , x , с известным параметром α 0 и неизвестным параметром β R . Найти оценки параметра по методу моментов (по первому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n распределения f X 1 ( x) из генеральной совокупности, имеющей плотность a 3 2 ax x e , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Сравнить при 2 помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение: f X1 ( x) оценки 1 x x e , x 0 , с неизвестным параметром . Проверить эффективность () * X . (Здесь () t 1e t dt - гамма функция. ( ) ( 1) ( 1) , 0 ( n ) ( n 1)! , (1 / 2) ). 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,9 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 получить относительную погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,2, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ? Вариант 12. 1. Пусть выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность X 1 , X 2 , , X n распределения f ξ ( x) 1 | x θ| e , x R , с неизвестным параметром θ R . Найти оценки 2 параметра θ по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, показательному закону с неизвестным параметром распределенной по 1 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность 1 распределения f X 1 ( x ) 1 ( x ) e , x , с неизвестным параметром β R и известным параметром α 0 . Проверить эффективность оценки * X . 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,92 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить относительную погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,1, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ? Вариант 13. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [ , ] , где θ 0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка распределения X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность f X1 ( x) (1 ) 2 x ln( x), x (0,1) , с неизвестным параметром 0. Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по биномиальному закону Bk , p с неизвестным параметром p . Проверить эффективность оценки p* X / k . 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,85 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,8 получить относительную погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,15, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ? Вариант 14. 1. Пусть X 1 , X 2 , , X n распределения f X 1 ( x ) выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность 1 2 e x 2 , x R , с неизвестным параметром 0 . Найти оценки параметра по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [0, ] , где 0 - неизвестный параметр. Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по второму и третьему моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с плотностью f X 1 ( x ) 2 x e x , при x 0 , с неизвестным параметром 0 . Является ли 2 оценка * X 2 эффективной оценкой параметра 1 / ? 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,94 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,8 получить относительную погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,1, если в качестве оценки используется выборочная дисперсия D0 1 n ( xi a ) 2 ? n i 1 Вариант 15. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [ , 0] , где θ 0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, показательному закону с неизвестным параметром распределенной по 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по второму и третьему моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с плотностью f X (1) ( x) 3 x 2 e x , при x 0 , с неизвестным параметром θ 0 . Является ли 3 оценка * X 3 эффективной оценкой параметра 1 / ? 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,85 . 5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить относительную погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,3, если в качестве оценки используется выборочная дисперсия D0 1 n ( xi a ) 2 ? n i 1 Вариант 16. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной распределения f X1 ( x) (1 ) 2 x ln( x), совокупности, имеющей плотность x (0,1) , с неизвестным параметром 0 . Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, распределенной по геометрическому закону с параметром p . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра p метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону N 0,2 , с неизвестным параметром 2 . Проверить эффективность * оценки 2 X 2 . 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,89 . 5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной совокупности, полученной по выборке из n = 20 измерений, не превышает 0,3, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ? Вариант 17. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на отрезке [ , ] , где θ 0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, распределенной по закону Пуассона с неизвестным параметром . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по биномиальному закону Bk , p с неизвестным параметром p . Проверить эффективность оценки p* X / k . 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,8 . 5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной совокупности, полученной по выборке из n = 50 измерений, не превышает 0,2, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ? Вариант 18. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) 4 x 3 / 4 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Найти оценки параметра метода моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) a x a 1 , x [0,1] , с неизвестным параметром a 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность a 3 2 ax распределения f X 1 ( x) x e , x 0 , с неизвестным параметром a 0 . Является ли 2 оценка a * X / 3 эффективной оценкой параметра 1/ a ? 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,92 . 5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной совокупности, полученной по выборке из n = 100 измерений, не превышает 0,05, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 1 n ( xi a ) 2 ? n i 1 Вариант 19. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность 1 |x2 | распределения f ( x ) e , x R , с неизвестным параметром R . Найти оценки 4 параметра по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок. 2. Дана выборка X 1 , X 2 , , X n из генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X1 ( x) 2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром 0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с плотностью f X 1 ( x ) 2 x e x , с неизвестным параметром 0 . Является ли оценка 2 * X 2 эффективной оценкой параметра 1 / ? 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,9 . 5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной совокупности, полученной по выборке из n = 100 измерений, не превышает 0,05, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 1 n ( xi a ) 2 ? n i 1 Вариант 20. 1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей непрерывное f X1 ( x) 2e2( x ) , x , где θ , - неизвестный распределение с плотностью параметр. Найти оценки параметра θ метода моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить, является ли полученные оценки состоятельными и несмещенными. 2. Дана выборка из X 1 , X 2 , , X n генеральной совокупности, имеющей плотность распределения f X 1 ( x ) 2 x e ax , x 0 , с неизвестным параметром 0 . Сравнить при 2 помощи асимптотического подхода оценки параметра метода моментов, найденные по первому и второму моментам. 3. Пусть X 1 , X 2 , , X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону N a ,σ 2 , с неизвестным параметром σ 2 ( a - известно). Проверить эффективность оценки 2 ( X a) 2 . * 4. Имеется выборка из n 36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1, таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной вероятности 0,95 . 5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной совокупности, полученной по выборке из n = 50 измерений, не превышает 0,1, если в качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 1 n ( xi a ) 2 ? n i 1 Приложение 1 Таблица 1 X1 1,60 5,77 6,73 0,03 8,59 3,15 7,76 7,60 5,22 7,94 2,20 3,08 7,18 5,62 6,90 3,33 3,38 2,69 3,87 0,67 5,70 4,53 6,59 6,36 5,70 5,69 5,58 4,14 7,99 4,32 7,16 3,48 4,59 7,42 4,57 4,13 3,33 5,85 2,24 1,07 X2 0,24 1,11 6,77 5,13 3,77 4,63 6,26 5,28 0,97 5,89 4,34 5,49 7,20 2,36 5,11 -0,52 7,37 6,08 4,15 4,56 -0,42 4,09 4,74 3,29 8,65 4,10 6,58 5,09 7,79 1,10 8,62 1,26 5,73 5,92 4,12 3,24 4,49 2,55 5,59 3,27 X3 0,48 0,47 2,62 5,30 0,31 -0,20 -3,71 4,75 1,98 2,05 -2,13 -3,80 -4,83 -1,05 -5,39 4,83 -1,10 2,55 -1,92 -0,25 5,25 3,45 5,31 6,67 -2,26 0,69 5,61 0,80 5,85 2,53 3,29 -2,40 -3,70 2,24 2,41 0,69 2,09 4,45 0,36 -7,09 X4 -4,86 -3,03 5,55 2,47 -2,98 2,25 1,81 -0,64 1,67 2,86 8,67 5,59 -0,72 2,72 -2,48 0,54 6,45 0,36 3,04 0,95 1,24 4,84 -0,69 4,19 2,74 -6,58 -0,43 -1,89 0,58 0,79 3,21 0,16 3,33 2,50 2,58 4,44 1,43 -3,16 2,60 -3,87 X5 -0,75 -2,41 -2,47 -0,02 -0,02 -2,28 -0,91 0,71 -0,01 -2,10 -0,59 -1,84 -1,76 -1,15 -1,58 0,81 -1,78 -2,75 -1,30 -1,80 -1,30 -1,76 -0,66 -1,58 0,78 -0,53 -0,91 -1,41 0,09 -1,65 -1,75 -1,15 -1,71 -1,44 0,15 -1,76 -0,42 -0,13 -0,40 -1,78 X6 -0,75 -0,26 -1,87 -1,89 -0,69 -0,77 -1,46 1,24 -0,29 -1,30 0,20 -1,50 -2,59 -1,55 -0,87 -0,52 -1,45 -0,22 -1,89 -0,80 -3,21 -2,06 -1,73 0,57 -2,11 -2,35 -1,71 0,13 -1,36 -1,02 -1,02 -1,19 -1,75 -1,62 -0,16 -0,88 -1,07 -1,42 -1,32 -2,21 X7 5,70 6,94 10,75 5,63 9,43 7,10 7,01 7,95 9,37 9,85 7,97 7,18 10,22 5,65 5,89 7,04 8,46 4,69 9,87 5,23 5,85 7,83 9,40 7,21 4,02 2,86 4,46 7,13 9,24 4,13 5,51 8,86 5,55 5,50 9,01 8,14 5,90 6,03 8,55 3,87 X8 4,45 5,42 7,61 5,09 4,21 6,74 7,54 5,55 7,72 9,31 7,33 7,93 10,55 7,17 7,32 7,91 6,54 6,41 5,66 9,08 8,22 3,54 6,28 8,85 9,14 4,57 8,92 6,33 6,34 5,10 7,38 5,32 7,20 6,29 9,00 6,40 3,44 7,57 5,55 6,28 X9 1,66 0,68 4,22 5,19 2,42 2,18 3,77 4,32 2,10 3,29 7,47 4,03 8,03 5,51 0,37 1,03 5,30 3,05 4,26 6,56 1,34 5,54 3,67 4,01 4,02 6,63 4,04 5,26 6,79 6,03 4,60 1,49 5,17 3,24 2,04 4,54 2,73 -2,57 1,36 3,94 X10 -2,66 4,98 5,40 -1,30 2,24 2,35 4,43 3,95 2,54 6,28 5,74 3,90 4,39 6,79 4,10 7,79 1,50 0,26 3,55 6,38 6,77 3,45 6,17 4,88 1,61 3,14 6,99 6,03 6,15 0,78 5,21 -3,37 5,48 5,33 4,47 1,58 -0,34 2,20 1,41 3,16 Таблица 1 (продолжение) X11 -4,44 -5,21 2,46 5,81 -0,98 13,51 7,49 -2,91 -9,33 12,72 2,03 9,89 1,41 -1,33 -5,30 -3,79 5,14 13,70 -7,60 7,30 6,96 11,31 0,89 -3,55 1,16 -4,12 2,55 13,76 -0,80 -2,14 17,07 3,93 10,25 1,89 1,01 -5,31 X12 3,61 -5,84 -0,31 -1,29 -4,76 0,18 -6,24 0,00 -5,91 -5,52 -1,79 5,44 5,92 11,42 0,31 9,41 -10,26 8,01 11,83 2,70 6,35 -1,37 7,67 2,38 -1,05 1,92 12,76 -10,58 -9,71 1,57 -11,58 -10,44 -1,18 5,00 -2,97 6,50 X13 10,60 2,66 -6,13 3,41 1,46 0,04 -3,14 -2,08 -3,05 4,08 2,28 -3,72 -6,52 -1,77 -1,46 -2,01 -4,67 5,48 4,44 -0,72 0,65 -5,13 -1,28 -2,27 4,86 1,58 4,35 -2,80 -2,63 0,00 3,13 -1,01 -0,39 -8,37 13,23 -6,09 X14 11,62 4,60 -1,09 2,03 -3,65 -7,30 -2,03 -4,54 4,69 -1,51 3,39 3,04 7,15 -6,46 2,78 5,94 6,30 -5,16 -7,07 -7,16 -0,27 3,85 -6,22 -9,51 1,65 7,05 -4,93 -10,95 13,13 -7,21 -12,29 -9,23 -9,03 -2,95 -10,92 -11,19 X15 20,74 16,47 10,39 20,60 14,86 10,73 2,92 0,67 -0,20 17,33 10,71 4,51 5,65 14,18 8,76 -3,05 27,94 12,21 20,46 19,66 5,95 -0,51 5,90 5,60 2,38 15,62 7,90 12,51 12,29 10,53 -1,01 6,25 13,08 31,86 2,97 10,83 X16 3,02 0,19 10,23 1,42 20,05 8,85 30,27 10,71 19,97 4,25 16,37 20,77 8,81 17,37 13,78 22,46 7,26 20,45 17,57 7,82 16,86 -2,40 16,99 13,49 -0,45 12,39 8,68 5,75 14,54 16,34 6,14 12,24 2,39 7,93 0,12 26,79 X17 8,24 -0,55 -0,81 -1,72 -2,85 8,73 -0,47 1,05 -3,27 11,18 2,19 -3,34 6,31 -4,92 14,53 8,58 -1,36 -12,19 4,95 -5,58 7,56 8,83 11,36 14,91 -1,17 1,41 12,72 12,50 4,75 9,12 4,06 -4,44 -4,72 -0,23 19,71 -11,89 X18 -3,39 -1,91 -19,90 14,53 10,55 -5,79 14,49 -3,35 1,05 -1,35 18,30 -7,19 12,93 -9,92 -5,56 15,47 -6,55 -8,79 0,71 10,74 8,13 1,93 1,28 -18,17 2,89 9,94 -7,21 13,70 -8,66 0,11 5,89 21,52 15,33 0,23 -1,02 -2,98 X19 -6,07 -4,55 14,51 -16,27 15,57 5,76 7,16 -2,86 10,37 5,62 -12,29 -1,46 4,59 8,00 -11,49 6,62 -4,40 2,96 -3,80 -6,50 2,30 -2,08 -4,59 7,77 3,58 8,23 -0,38 11,61 5,44 -0,29 1,22 -0,96 5,57 0,54 -7,50 15,58 X20 17,58 23,80 15,23 9,65 4,16 -0,45 4,37 -9,04 -2,55 -3,33 5,73 -3,81 7,07 3,42 13,03 -7,13 10,12 10,25 5,78 5,42 -3,44 4,00 13,62 -0,01 1,25 -1,76 0,98 -3,22 4,18 7,95 16,34 -3,39 11,47 6,62 -6,40 7,41 Таблица 1 (продолжение) X21 -0,90 0,73 3,60 -6,55 3,29 -2,07 -5,54 -2,32 -1,70 0,40 -0,98 4,03 -0,56 5,92 7,13 4,98 1,62 5,76 -1,57 -1,14 -4,33 -4,56 -0,10 -0,97 -5,23 -7,73 -3,84 2,27 2,62 -4,12 2,08 -2,82 0,39 0,42 5,65 0,22 2,59 -2,77 -3,60 2,13 6,62 3,91 0,01 -0,08 -5,32 1,33 0,64 3,71 -2,52 X22 -3,83 3,83 5,20 -0,70 -3,26 -5,07 -2,93 -6,35 -1,21 -1,10 -1,11 -0,26 -1,54 2,60 -1,96 -4,84 2,71 -0,25 2,03 2,27 -2,54 -1,09 0,08 6,58 -2,21 4,34 -1,96 1,40 1,79 -3,35 0,97 -0,72 1,67 -2,73 1,46 2,49 -1,91 3,33 -4,68 1,92 4,33 0,34 1,36 -3,16 2,48 1,85 -3,08 -0,93 -2,46 X23 5,75 -5,11 -12,29 5,97 2,68 10,41 13,44 11,50 13,25 5,65 8,75 5,50 17,18 3,80 15,00 2,24 -0,64 11,35 15,10 7,33 11,24 -11,64 0,55 13,11 17,68 4,59 6,27 17,11 3,21 16,17 5,22 18,90 -2,94 10,42 10,78 5,88 15,72 22,85 2,25 9,92 4,94 9,91 4,08 -1,84 -3,89 9,19 -1,48 19,66 2,44 X24 9,17 7,73 7,29 3,23 22,72 1,01 -3,56 10,52 3,33 5,37 6,42 12,49 8,56 6,62 12,51 3,52 28,75 -7,55 -1,11 9,45 7,90 11,43 10,64 4,35 7,25 14,08 7,39 6,83 5,44 -2,20 11,16 4,79 9,71 5,96 6,82 -1,97 12,31 3,80 9,32 9,07 4,27 8,40 12,16 6,37 6,09 20,62 0,18 -1,37 13,04 X25 11,57 8,33 12,23 -4,21 -2,86 2,16 4,17 21,95 7,71 18,84 6,18 7,85 -11,16 2,73 2,26 10,73 28,69 12,65 2,08 24,66 0,10 1,47 4,09 12,83 -1,83 6,04 -5,33 14,19 0,44 11,80 -12,07 10,62 14,96 5,69 0,46 11,43 -8,93 1,77 6,19 -11,71 8,10 0,44 -1,26 -1,68 0,57 -7,78 20,77 -2,79 9,04 X26 2,75 -1,96 -2,31 4,57 14,20 2,94 -9,12 -3,76 16,98 -0,93 10,65 -4,15 3,83 -3,04 1,35 0,89 -5,07 8,26 0,06 15,15 4,98 22,57 -6,14 -3,63 3,96 0,55 0,10 17,62 7,48 14,97 3,16 -1,65 17,87 25,28 -2,46 -12,59 1,46 7,08 12,11 0,75 11,85 10,82 -4,13 21,90 15,42 -6,26 8,14 -5,37 -1,91 X27 21,85 4,39 10,43 20,99 17,66 6,43 15,02 1,72 13,28 3,48 -3,77 12,35 16,53 1,97 16,00 20,97 15,03 8,49 2,40 17,71 6,30 5,57 3,54 4,86 25,77 7,37 2,02 11,21 8,88 11,62 -9,27 4,04 7,48 4,41 8,75 11,54 1,65 9,37 -2,57 6,39 1,00 22,32 10,97 3,09 16,21 1,62 11,87 16,22 11,87 X28 -0,01 6,41 22,49 6,32 13,83 3,92 11,04 5,01 -6,85 7,64 -19,11 7,63 30,45 5,43 10,91 16,36 14,84 11,41 13,34 6,73 7,21 8,62 13,20 13,90 20,01 10,59 5,78 5,13 5,58 6,54 11,77 12,17 16,39 -13,46 -7,41 5,39 17,51 16,67 12,83 0,95 1,13 15,93 5,23 10,40 7,19 9,17 11,69 46,08 7,15 X29 24,75 11,77 8,09 37,08 14,61 -3,39 1,45 11,90 8,92 5,82 -5,95 10,25 12,31 23,45 21,37 13,20 5,28 5,38 26,21 2,26 12,44 16,65 22,68 21,58 12,42 15,27 -6,44 -1,66 10,68 15,50 4,90 20,14 21,02 14,07 9,86 1,50 12,13 19,98 8,66 25,08 -2,80 1,50 34,21 4,73 8,33 0,33 3,72 9,15 10,04 X30 2,46 -1,71 4,42 12,06 22,24 -0,98 5,45 21,40 11,33 20,24 15,76 3,25 -8,16 -0,38 25,42 10,79 19,75 2,13 6,28 13,96 23,43 12,32 20,51 37,41 -9,13 15,13 17,59 -7,00 8,73 6,47 2,20 -5,92 15,18 7,51 13,02 14,58 0,23 8,79 17,63 14,32 8,52 8,71 -0,33 6,20 7,23 4,36 7,41 3,88 8,21