Гл2.п.1

Глава 2. Теория сравнений с арифметическими приложениями.
Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений.
Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций
арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический
язык для делимости, основного понятия теории чисел.
Понятие сравнения было введено впервые Гауссом в «Disquisitiones
Arithmeticae». Это понятие фактически в неявном виде употреблялось
многими математиками до Гаусса, однако только Гаусс точно определил его
и систематически развил соответствующую теорию. Дальнейшие,
фундаментальные результаты Гаусса, изложенные в этой книге, из которых
особенно надо выделить квадратичный закон взаимности, явились основой
всего последующего развития теории чисел. Метод сравнений, созданный
Гауссом и лежащий в основе теории сравнений, является по существу
формальным методом. Однако этот метод весьма полезен в техническом
отношении. Он полезен как инструмент, с помощью которого можно в целом
ряде случаев довольно легко получать такие результаты, подход к которым с
помощью иных методов представляется громоздким.
§ 1. Сравнения в кольце целых чисел. Системы вычетов.
1. Отношение сравнимости, свойства.
Определение 1. Пусть a, b  Z , m  N , m  1 . Целые числа a и b называют
сравнимыми по модулю m , если (a  b)m . Обозначение: a  b(mod m) .
Примеры. 14  6(mod 8),25  5(mod 4),17  5(mod 7) .
Теорема 1. a  b(mod m) тогда и только тогда, когда a и b при делении
на m имеют равные остатки, то есть являются равноостаточными.
Доказательство. По теореме о делении с остатком получаем a  mq1  r1 ,
b  mq2  r2 , 0  r1  m,0  r2  m . Тогда a  b  m(q1  q2 )  (r1  r2 ) , по свойствам
делимости из последнего соотношения вытекает утверждение теоремы.
Свойства сравнений.
1°. Отношение сравнимости является отношением эквивалентности, то
есть является отношением рефлексивным, симметричным, транзитивным:
1) a  a(mod m), 2) a  b(mod m)  b  a(mod m) ,
3) a  b(mod m), b  c(mod m)  a  c(mod m) .
2°. Сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать:
если a  b(mod m), c  d (mod m), то a  c  b  d (mod m), a  c  b  d (mod m) .
Доказательство. a  b  mk1, c  d  mk2  ac  bd  mk  ac  bd (mod m) .
3°. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель d ,
если он взаимно прост с модулем m :
d  ОД (a, b), (d , m)  1, a  b(mod m) 
a b
 (mod m) .
d d
4°. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий
делитель d :
58
a b
m
 (mod ) .
d d
d
5°. Если сравнение a  b(mod mi ) имеет место по нескольким модулям,
d  ОД (a, b, m), a  b(mod m) 
где i  1, k , то оно имеет место и по модулю, являющемуся наименьшим
общим кратным этих модулей, в частности,
 a  b(mod m1 )
a  b(mod m1  m2 )  
 a  b(mod m1  m2 )
a  b(mod m2 )
Следствия. Обе части сравнения можно умножать на любое целое
число.
К обеим частям сравнения можно прибавить любое целое число. К любой
части сравнения можно прибавить произвольное число, кратное модулю.
Сравнения можно возводить в любую натуральную степень. Обе части
сравнения и модуль можно умножать на одно и тоже натуральное число.
a  c  b  c(mod m)
 a  c  b  c(mod m)
a  b(mod m)  
.
 a  b  k  m(mod m)

n
n
 a  b (mod m)
Пример. Найти последнюю цифру числа 19931995.
Решение. Так как 1993  3(mod 10) , то
19931995  31995  32
997
 31  (1)997  3  3  7(mod 10) .
Следовательно, последняя цифра данного числа равна 7.
Теорема 2. Пусть F ( x)  an xn  an 1xn 1  ...  a1x  a0 , a  Z , i  0, n, an  0(mod m) .
Если x  y(mod m) , то F ( x)  F ( y )(mod m) .
В частности, F (10)  F (1)(mod 9) , отсюда получаем признак делимости на
9. Аналогично из теоремы можно получить и другие признаки делимости.
2. Кольцо классов вычетов по заданному модулю.
Отношение сравнимости по модулю m делит кольцо Z на классы
чисел, сравнимых между собой по заданному модулю – классы вычетов.
Вычетом класса чисел по заданному модулю называется любое число этого
класса. Кольцо целых чисел Z распадается на m классов вычетов по модулю
m , каждый из которых порождается любым числом этого класса.
Следовательно, в одном и том же классе числа равноостаточные (сравнимые
по заданному модулю), классы не пересекаются (не имеют общих элементов,
то есть вычеты из разных классов не сравнимы по заданному модулю) и
объединение всех классов образуют множество целых чисел.
Определение 2. Класс вычетов a по модулю m называется множество
чисел a  x  a(mod m), x  Z .
Пример. Пусть m  3 , тогда кольцо целых чисел разобьется на три
класса вычетов:
0   6,3,0,3,6,..., числа, при делении которых на 3 получается остаток 0,
1  ...,8,5,2,1,4,7,..., числа, при делении которых на 3 получается остаток 1,
2  ...,7,3,1,2,5,8,... , числа, при делении которых на 3 получается остаток 2.
59
Множество классов вычетов по заданному модулю m обозначим
Z m   0,1, 2,..., m  1  и введем на этом множестве операции сложения и
умножения, согласованные с операциями сложения и умножения в кольце
целых чисел.
Определение 3. Суммой (произведением) двух классов вычетов a и b
по заданному модулю будем называть класс, которому принадлежит число
def
def
a  b ( a  b ): a  b  a  b , a  b  a  b .
Для корректности определения надо убедиться, что оно не зависит от
обозначения или от представителей (вычетов) классов. Действительно, пусть
a1  a2 , b1  b2  a1  a2 (mod m), bb  b2 (mod m) , по свойству сравнимости следует,
что a1  b1 a 2 b2 (mod m), a1  b1 a 2 b2 (mod m)  a1  b1  a2  b2 , a1  b1  a2  b2 .
Теорема 3. Пусть Zm   0,1, 2,..., m  1 , тогда множество классов
вычетов по заданному модулю относительно сложения и умножения
является коммутативным кольцом с единицей, причем по составному
модулю оно имеет делители нуля, а по простому модулю является полем
(пример конечного поля).
Следствие. Множество классов вычетов по простому модулю без нуля
относительно умножения является группой.
П.3. Системы вычетов.
В каждом классе вычетов a по модулю m можно найти наименьший
неотрицательный вычет – остаток от деления a на m : a  mq  r ,0  r  m , и
абсолютно наименьший вычет – вычет, абсолютная величина, которого
меньше абсолютных величин всех других вычетов этого же класса.
Определение 4. Совокупность чисел, взятых по одному из каждого
класса вычетов по заданному модулю m , называется полной системой
вычетов по модулю m (ПСВ). ПСВ содержит m чисел и они между собой не
сравнимые по модулю m .
Приведенной системой вычетов по модулю m (ПрСВ) называется часть
ПСВ, которая состоит из чисел, взаимно простых с m . ПрСВ состоит из
 (m) (функция Эйлера) чисел, которые взаимно просты с m и не сравнимы по
модулю m .
Теорема 4. Если (a, m)  1, b  Z и x пробегает ПСВ по модулю m , то
ax  b также пробегает ПСВ по модулю m . Если же (a, m)  1 и x пробегает
ПрСВ по модулю m , то ax также пробегает ПрСВ по модулю m .
Доказательство. Пусть x : x0 , x1,..., xm 1 , то ax  b : ax0  b, ax1  b,..., axm 1  b ,
получаем также m чисел, причем по свойствам сравнимости нетрудно
показать, что они несравнимые по заданному модулю.
Примеры. Пусть
m  3 , тогда ПСВнн.= 0,1,2 , ПСВаб.н.= 0,1,1,
ПрСВн.н= 1,2, ПрСВаб.н.= 1,1.
Пример 1. Проверить истинность следующих сравнений:
а) 53  29(mod 17) ; б) 121  33(mod 22) ; в) 5107  18(mod 30) .
60
Решение. Числа сравнимы тогда и только тогда, когда их разность делится на
модуль. Находим
а) 53  29  24 , 24 не делится на 17, т.е. 53 не сравнимо с 29 по модулю 17.
б) 121-33=88, 8822 , т.е. 121  33(mod 22) .
в) 5107  18 не делится на 5, следовательно. И 5107  18 не делится на 30, т.е.
5107 не сравнимо с 18 по модулю 30.
Пример 2. Известно, что a176  7(mod 11) , a177  91(mod 11) . Вычислить
остаток от деления a на 11.
Решение. Во второе сравнение вместо a176 можно поставить сравнимое с ним
число 7 (теорема о сравнимости значений многочлена), т.е. 7  a  91(mod 11) .
Можно рассуждать иначе: обе части первого сравнения умножим на a .
Получим a177  7  a(mod 11) . Затем, используя транзитивность сравнимости,
находим 7  a  91(mod 11) . Сокращаем обе части сравнения на число, взаимно
простое с модулем: a  13(mod 11) или a  2(mod 11) .
Ответ: 2.
Пример 3. Написать таблицы сложения и умножения для кольца Z 5 .
Решение. Мы имеем 5 классов вычетов по модулю 5: 0,1, 2, 3, 4 . Таблица
сложения и умножения имеет вид:
«+» 0
«
1
2
4
1
2
4
3
0
3
»
0
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
2
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
3
3
4
0
1
2
3
0
3
1
4
2
4
4
0
1
2
3
4
0
4
3
2
1
Например: 3  4  3  4  7  2 ; 3  4  3  4  12  2 .
Пример 4. Некоторый класс вычетов по модулю5 содержит произведение a  13 19  3253  27  32 . Каков абсолютно наименьший вычет этого класса?
Решение. Воспользуемся почленным умножением сравнений, заменив
каждый множитель наименьшим по модулю числом, с ним сравнимым. Для
этого применим теорему о делении с остатком. Например, 13  5  2  3 .
Следовательно, 13  3(mod 5) . Но 3 больше половины модуля 5. Поэтому 3
можно заменить числом из того же класса вычетов по модулю 5, отняв 5.
Итак, 3-5=-2 есть абсолютно наименьший вычет из класса вычетов,
содержащего число 13, т.е. 13  2(mod 5) . Аналогично, 19  1, 3453  2 ,
32  2(mod 5) .
Почленно перемножив сравнения, получаем:
27  2 ,
a  16(mod 5) или a  1(mod 5) . Итак, -1 – абсолютно наименьший вычет этого
класса.
Пример 5. Проверить, образуют ли числа –7, -11, 7, 31, 45 полную
систему вычетов по модулю 5.
61
Решение. Числа образуют полную систему вычетов по модулю 5 тогда и
только тогда, когда их ровно 5 и они попарно несравнимы по модулю 5.
Попарную несравнимость можно проверить, заменив каждое число наименьшим неотрицательным вычетов: если повторений не будет, то это полная
система вычетов. Получаем:  7  3 ,  11  4 , 7  2 , 31  1, 45  0(mod 5) . Следовательно, данные числа образуют полную систему вычетов по модулю 5.
Пример 6. Образуют ли числа –19, 19, 37, -13 приведенную систему
вычетов по модулю 12?
Решение. ПСВ по модулю 12: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,1 11. ПрСВ по
модулю 12: 1, 5, 7, 11. Данных чисел четыре, и все они взаимно простые с 12.
Осталось проверить их попарную несравнимость по модулю 12. Так как
 19  5 , 19  7 , 37  1 ,  13  11(mod 12) и среди чисел 5, 7, 1, 11 нет повторений,
то ответ утвердительный.
Упражнения.
№1. Что означает запись a  b(mod m) ?
№2. Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы
два числа были сравнимы по модулю m ?
№3. Установите, сравнимы ли числа 841 и 284 по модулю 7, пользуясь
а) определением; б) признаком сравнимости чисел по модулю.
№4. Сформулируйте свойства сравнений, аналогично свойствам равенств.
№5. Сформулируйте свойства сравнений, отличные от свойств равенств.
№6. В каком случае можно разделить на одно и то же число:
а) обе части сравнения и модуль;
б) обе части сравнения не изменяя модуля?
№7. Дать определение класса вычетов по модулю m .
№8. Сколько существует классов вычетов по модулю m ?
№9. Что называется вычетом по модулю m ?
№10.Какое условие является необходимым и достаточным для того, чтобы
два числа принадлежали одному и тому же классу вычетов по модулю
m?
№11. Назовите три числа из класса вычетов 4 по модулю 7.
№12. При каком условии числа a и  a принадлежат одному и тому же
классу вычетов по модулю m ?
№13. Как определяются операции сложения и умножения классов? Найти
4  7 и 3 5 , если m  8 .
№14. Что называется полной системой вычетов (ПСВ) по модулю m ?
№15. Как получить ПСВ по модулю m ? Сколько их по данному модулю?
№16. Напишите ПСВ (наименьших неотрицательных; абсолютно наименьших и произвольных вычетов) по модулю 8?
№17. Что называется приведенной системой вычетов (ПрСВ) по модулю m ?
№18. Как получить ПрСВ по модулю m ? Сколько их?
№19. По какому модулю все целые числа сравнимы между собой?
№20. Что можете сказать об отношении сравнимости по модулю  m ; по
62
модулю 0?
№21. Доказать, что каждое целое число сравнимо со своим остатком по
данному модулю.
№22. Приведите примеры кольца классов вычетов с делителями нуля и
примеры кольца классов вычетов без делителей нуля.
№23. Содержат ли делители нуля кольца классов вычетов по модулю m , если
1) m  19 ; 2) m  24 ; 3) m  87 ; 4) m  103 ? Какие из колец Z5 ; Z8 ; Z11; Z 20
являются полями?
№24. Решите уравнения: а) 3  x  7 по модулю 11; б) x  3  5 по модулю 6.
№25. Запишите в виде сравнений следующие утверждения:
1) числа 119 и 245 дают одинаковые остатки при делении на 6:
2) число –352 при делении на 31 дает остаток, равный 20;
3) число 487 – 7 делится 12;
4) 20 – остаток от деления числа 389 на 41;
5) число K - четно;
6) число K - нечетно;
7) число K имеет вид: а) 5  n  1 ; б) 7  k  2 ; в) 11 m  4 .
№26. Проверить истинность сравнений:
1) 11  25(mod 7) ; 2) 34  1(mod 5) ; 3) 5  m  2(mod m) ;
4) 3453  25897(mod 2) ; 5) 23456  17986(mod 10) ; 6) (m  2)2  4(mod m) ;
7) 6  m  9  m  32 (mod m) ; 8) 71989  1990(mod 49) ; 9) 61985  5(mod 25) ;
10) 91962  16(mod 12) ; 11) 30  17  81  19(mod 6) ;
12) 2  n  1  2  m  1  2  k (mod 6) , где n, m и k - целые числа.
№27. Указать возможные значения модуля в сравнении x  a(mod m) , если
1) x  13, a  5 ; 2) x  20, a  8 ; 3) x  3  n  1, a  n  1; 4) x  37, a  24 .
№28. Если 3n  1(mod 10) , то 3n  4  1(mod 10) .
№29. Проверить, что 314  1(mod 29) .
№30. Найти остаток от деления 15325  1 на 9.
№31. Показать, что если 100  a  10  b  c  0(mod 21) , то a  2  b  4  c  0(mod 21) .
№32. Известно, что a100  2(mod 73) и a101  69(mod 73) . Найти остаток от деления
числа a на 73.
№33. Дано, что выражение
11  a  2  b
есть целое число. Доказать, что тогда и
19
18  a  5  b
тоже целое число.
19
№34. Показать, что 21131  2(mod 11  31) .
№35. По утверждению Ферма, 2  1 - простое число при всех натуральных
n . Эйлер показал, что уже при n  5 получается число, кратное 641.
Проверить.
2k 1
2 k 1
 2 2k 1  3 2k 1  ...   p  1
 0(mod p) .
№36. Доказать, что 1
№37. Методом сравнений доказать, что для любого n  N выполняется
2n
63






2 n 1
7
n
 22n 1 17 ; 4) 25n 1 31 .
1) n  6  n 7 ; 2) 10  9  n  1 9 ; 3) 3  5
№38. Каким классом вычетов по модулю 8 принадлежат все простые числа
p  3 ? Запишите общий вид этих чисел в виде равенств и сравнений.
№39. Указать все классы вычетов:
1) взаимно простых с модулем 12;
2) имеющих с модулем 12 НОД, равный 2; равный 3; равный 4; равный
6; равный 12.
№40. Показать, что следующие числа составляют ПСВ:
1) 25, -20, 16, 46, -21, 18, 37, -17 по модулю m  8 ;
2) 32, -9, 15, 42, -18, 30, 6 по модулю p  7 ;
3) 21, 18, -19, 37, 28, -23, -32, 5, 41, -35, -33 по модулю p  11 ;
4) 21, 2, -18, 28, -19, 40, -22, -2, 15 по модулю m  9 .
№41. Показать, что следующие числа составляют ПрСВ:
1) 19, 23, 25, -19 по модулю 12; 2) 11, -1, 17, -19 по модулю 8;
3) 23, -11, 21, -3 по модулю 10; 4)–5, 13, 11, -21, 5 по модулю 12.
№42. По какому модулю числа 20, -4, 22, 18, -1 составляют ПСВ?
№43. Образуют ли степени 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 210 вместе с числом
0 ПСВ по модулю 11?
№44. Доказать, что система чисел 51, 52, 53, 54, 55, 56 является ПрСВ по
модулю 7.
64