Формулы сокращенного умножения При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Но в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения. Возведём в квадрат сумму (а+в). (а+в)2 =(а+в)(а+в)=а2 + ав+ ав+ в2 = а2 +2 ав+ в2 Значит, квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2 Возведём в квадрат разность (а-в). (а-в)2 =(а-в)(а-в)=а2 – ав- ав+ в2 = а2 -2 ав+ в2 Значит, квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2 Умножим разность (а-в) на сумму (а+в) (а+в)(а-в)=а2+ав-ав-в2 =а2-в2. Значит, произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2 Аналогичным образом можно вывести формулы куба суммы и куба разности (а+в)3 ; (а-в)3. Значит, куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Значит, куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Для разложения на множители суммы кубов используется тождество а3+в3=(а+в)(а2-ав+в2). Чтобы доказать это тождество умножим двучлен (а+в) на трёхчлен (а2-ав+в2). (а+в)(а2-ав+в2)=а3-а2в+ав2+а2в-ав2+в3=а3+в3. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 Для разложения на множители разности кубов используется тождество а3-в3=(а-в)(а2+ ав+в2). Чтобы доказать это тождество умножим двучлен (а-в) на трёхчлен (а2 +ав+в2). (а-в)(а2 +ав+в2)=а3+а2в+ав2-а2в-ав2-в3=а3-в3. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3