Б2.В.5 Основы матстатx

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по
дисциплине (модулю): Б2.В.5 Основы математической статистики
Общие сведения
1. Кафедра
Математики и ММЭ
2. Направление подготовки
100400.62 Туризм профиль "Технология и
организация туроператорских и турагентских
услуг"
3. Дисциплина (модуль)
4. Тип заданий
Количество этапов формирования
5.
компетенций (ДЕ, разделов, тем и т.д.)
Б2.В.5 Основы математической статистики
Контрольная работа
5
Перечень компетенций
ПК-2: Способностью обрабатывать и интерпретировать с использованием базовых
знаний
математики и информатики данные, необходимые для осуществления проектной
деятельности в туризме
ПК-13: способностью находить, анализировать и обрабатывать научно-техническую
информацию в области туристской деятельности с использованием информационнокоммуникационных технологий
Критерии и показатели оценивания компетенций
Знания: основные понятия, связанные с математической статистикой; методы решения
задач математической статистики.
Умения: применять классические методы математической статистики при решении
фундаментальных и прикладных задач; самостоятельно разбираться в мощном
математическом аппарате, содержащемся в специальной литературе; доводить решение
вероятностной задачи до практически приемлемого результата (уметь проводить
доказательства и делать выводы).
Навыки: практического использования базовых знаний и методов математической
статистики; основами автоматизации решения задач вычислительного характера;
необходимыми умениями для работы с информацией в глобальных компьютерных сетях.
Опыт деятельности: должны владеть современными знаниями о математике;
математическим языком, математическими терминами, математической символикой,
методами решения рассматриваемых в курсе задач.
Этапы формирования компетенций (Количество этапов формирования
компетенций)
1.
2.
3.
4.
5.
Выборочный метод.
Статистические оценки параметров распределения.
Методы расчета сводных характеристик выборки.
Элементы теории корреляции.
Статистическая проверка статистических гипотез.
Шкала оценивания (за правильно решенную задачу дается 1 балл)
«2» – 60% и менее
«3» – 61-80%
«4» – 81-90%
«5» – 91-100%
Типовое контрольное задание
1. Задано статистическое распределение выборки. Найти:
а) эмпирическую функцию распределения F*(x);
б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее, исправленную
дисперсию, исправленное среднеквадратическое отклонение.
13
14
16
20
хi
4
2
1
3
ni
2. По выборке объемом п определены выборочное среднее x в и исправленное среднее
квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти
доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и
дисперсии 2. Принять Р = 0,95.
3. По двум независимым выборкам пх = 9 и пу = 10 извлеченным из нормальных
генеральных совокупностей Х и Y найдены выборочные средние x = 2,41 и y =2,32.
Генеральные дисперсии известны:
D(X)= s x   0,6  0,36
2
 2
D(Y)= s y  0,4  0,16
Необходимо при уровне значимости  = 0,01 проверить нулевую гипотезу
Н0:M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе Н1: M(X)  M(Y).
4. В результате проведения n опытов полученны n пар значений (хi; yi). Допуская, что х и
у связанны линейной зависимостью y = kx+b, методом наименьших квадратов найти
коэффициенты k i b , а также выборочный коэффициент корреляции rв. Проверить
значимость корреляционной зависимости. Принять уровень значимости  = 0,1.
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
хi
12,4
14,7
18,2
21,1
23,2
yi
n=5
2
и
2
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний
Решения типовых контрольных заданий
1. Решение. а) Эмпирической функцией распределения F*(x) называется относительная
частота того, что признак примет значение, меньшее заданного. Другими словами, для
данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частоту
niнакопл
F*(x) =
= wiнакопл
n
Для эмпирической функции распределения рассчитаем относительные частоты по
формуле wi= ni /n , где n – объем выборки. Вычисления занесем в таблицу:
xi
ni
wi= ni /n
F*
13
4
0,4
0,4
14
2
0,2
0,6
16
1
0,1
0,7
20
3
0,3
1,0
n
=
10
1,0

Таким образом эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:
1,0
0,9
0
0,4

F * ( x)  0,6
0,7

1
при x  13
при 13  x  14
при 14  x  16
при 16  x  20
при
x  20
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
-1
13
14
15
16
17
18
19
20
б) Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:
1 k
xв   xini – выборочное среднее;
n i1
2
1 k 2
Dв   xi ni  xв  – выборочная дисперсия
n i1
Для удобства произведения хini и х2ini вычислим с помощью таблицы:
хi
ni
хi  ni
х2i  ni
13
14
16
20

4
2
1
3
10,0
52
28
16
60
156,0
676
392
256
1200
2524
2524
 15,62 = 252,4 – 243,36 = 9,04
10
n
10
2
Исправленную дисперсию s2 найдем по формуле s 
Dв  9,04 = 10,04
n 1
9
xв 
156
 15,6
10
Dв 
Исправленное среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из
исправленной дисперсии
s  s2  10,04 = 3,17.
2. Решение. Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания
имеет вид:
xв 
ts
ts
 a  xв 
.
n
n
По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение
для интегральной функции Лапласа будет составлять
(t) 
 0.95

 0.475  t  1.96
2
2
Тогда доверительный интервал имеет вид:
1.96  0,3
1.96  0,3
 a  1,32 
16
16
1,32  0,147  a  1,32  0,147
1,47  a  1,17
1,32 
Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:
n  1s2  D( X )  n  1s2
22
12
Для величины 1 вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;
2
Для величины 2 вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025
По числу степеней свободы, равному п–1 = 15, находим из таблицы распределения 2
2
Находим 1 = 6,26 и 2 = 27,5
Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:
2
2
15  0,32
15  0,32
 D( X ) 
27,5
6,26
0,05  D( X )  0,22
3. Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:
x y
2,41  2,32
0,09


 0,58
D( X ) D(Y )
0,36 0,16 0,155


9
10
nx
ny
zнабл 
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Н1: M(X)  M(Y), поэтому критическая
область двусторонняя. Найдем правую критическую точку :
Ф( zкр ) 
1   1  0,01

 0,495 . По таблице интегральной функции Лапласа находим
2
2
zкр = 2,58. Так как zнабл < zкр , то нулевая гипотеза о равенстве средних подтверждается.
Другими словами, выборочные средние различаются не значимо.
4. Решение. Параметры k и b , а так же выборочный коэффициент корреляции найдем по

таким формулам: k
b
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
2
n   xi yi   xi   yi
n   xi2    xi 
 i 1 
i 1
n
n
(1)
n
 xi2   yi   xi   xi yi
i 1
2
n   x    xi 
i 1
 i 1 
n
;
n
.
(2)
2
i
rв 
n
n
n
n xi yi    xi   yi 
i 1
 i1  i1 
2
(3)
n xi2    xi   n yi2    yi 
i 1
 i1 
i 1
 i1 
n
n
n
n
2
Вычислим необходимые суммы, пользуясь следующей расчетной таблицей:
хi
yi
хi  yi
хi2
yi2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.0
12.4
14.7
18.2
21.1
23.2
89.6
2.48
5.88
10.92
16.88
23.2
59.4
0.04
153.76
0.16
216.09
0.36
331.24
0.64
445.21
1
538.24
2.2 1684.5 тогда
5 59.4 3 89.6
=
5 2.2 - 3.0
k=
2.2 89.6 5 2.2 -
b=
3.0
3.0
59.4
=
28
= 14
2
19
= 9.52
2
Таким образом, искомое уравнение регрессии
имеет вид
Y=
14 x + 9.52
выборочный коэффициент корреляции равен
5  59.4  3  89.6
28.2 0,999,
rв 

2
2
1
.
41
19.86
5  2.2  3  5 1684 .5  89.6
Выборочный коэффициент корреляции r служит для оценки силы линейной
корреляционной связи: чем ближе |r| к единице, тем сильнее связь; чем ближе |r| к нулю,
тем связь слабее.
Видим, что в нашем случае линейная корреляционная связь очень сильная.
Так как выборочный коэффициент корреляции r положителен, то увеличение одной
величины приводит к увеличению другой.
Для проверки статистической значимости корреляционной зависимости величин
воспользуемся критерием Стьюдента:
t
r
1 r
2
n2 
0.999  5  2 1.73

 38.4 .
1  (0.999) 2 0.045
Для уровня значимости  = 0,1 и числа степеней свободы равным n–2 = 3 по таблице в
учебнике,
найдем
критическое
значение
критерия
Стьюдента
t;(n–2) = t0,1; 3 = 2,35.
Так как, tрасчет > t(n–2) , то принимаем гипотезу Н. Вывод: корреляционная связь
между признаками статистически значимая.
Ссылки на электронные программы для самоподготовки студента
http://test.i-exam.ru/training/student/test.html
Вопросы к зачету
Примерный перечень вопросов к зачету
Задача математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Повторная
и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Способы отбора. Статистическое
распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
Выборочная средняя как оценка математического ожидания теоретического
распределения. Генеральная и выборочная дисперсия. Исправленная
дисперсия.
Точечные оценки параметров распределения. Метод моментов. Метод наибольшего
правдоподобия. Точность оценки, доверительная вероятность и доверительный интервал.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального
распределения при известном и неизвестном СКО.
Условные варианты. Обычные начальные и центральные эмпирические моменты.
Условные эмпирические моменты. Отыскание центральных моментов по условным.
Метод произведений вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.
Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим. Эмпирические и выравнивающие
(теоретические) частоты. Построение нормальной кривой по опытным данным. Оценка
отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и экцесс.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Условные средние.
Корреляционная зависимость. Две основные задачи теории корреляции. Отыскание
параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по несгруппированным
данным. Корреляционная таблица. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой
линии регрессии по сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции и
его свойства. Метод четырех полей вычисления выборочного коэффициента корреляции.
Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии. Предварительные
соображения к введению меры любой корреляционной связи. Выборочное
корреляционное отношение и его свойства. Корреляционное отношение как мера
корреляционной связи. Достоинства и недостатки этой меры. Простейшие случаи
криволинейной корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Статистическая гипотеза. Виды гипотез. Ошибки 1-го и 2-го рода. Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая
область. Область принятия гипотезы. Критические точки. Отыскание критических
областей. Мощность критерия. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической
генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки).
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых
неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). Сравнение выборочной средней и
гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. Связь между
двусторонней критической областью и доверительным интервалом. Определение
минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной
средних. Пример на отыскание мощности критерия. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки).
Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью
появления события. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных
совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена. Проверка гипотезы
о значимости выборочного коэффициента корреляции. Проверка гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. Методика
вычисления теоретических частот нормального распределения.